中考數(shù)學復習：菱形詳細答案

中考數(shù)學復習專題——菱形

一.選擇題（共4小題）

1.（十堰）菱形不具備的性質是（）

A.四條邊都相等B.對角線一定相等

C.是軸對稱圖形D.是中心對稱圖形

2.（哈爾濱）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O,BD=8,tan

NABD=2,則線段AB的長為（）

4

AD

區(qū)

BC

A.QB.20C.5D.10

3.（淮安）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD的長分別為6和8,則這個菱形

的周長是（）

A.20B.24C.40D.48

4.（貴陽）如圖，在菱形ABCD中，E是AC的中點，EF〃CB,交AB于點F,如

果EF=3,那么菱形ABCD的周長為（）

B

A.24B.18C.12D.9

二.填空題（共6小題）

5.（香坊區(qū)）已知邊長為5的菱形ABCD中，對角線AC長為6,點E在對角線

BD上且tanZEAC=l,則BE的長為

3

6.（湖州）如圖，已知菱形ABCD,對角線AC,BD相交于點0.若tan/BAC=L

3

AC=6,貝I]BD的長是

7.（寧波）如圖，在菱形ABCD中，AB=2,NB是銳角，AELBC于點E,M是

AB的中點，連結

MD,ME.若NEMD=90°,則cosB的值為

8.（廣州）如圖，若菱形ABCD的頂點A,B的坐標分別為（3,0）,（-2,0）,

點D在y軸上，則點C的坐標是

9.（隨州）如圖，在平面直角坐標系xOy中，菱形OABC的邊長為2,點A在

第一象限，點C在x軸正半軸上，ZAOC=60°,若將菱形OABC繞點。順時針旋

則點B的對應點B，的坐標為

10.（黑龍江）如圖，在平行四邊形ABCD中，添加一個條件使平行

四邊形ABCD是菱形.

三.解答題（共10小題）

11.（柳州）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC,BD相交于點O,且AB=2.

（1）求菱形ABCD的周長；

（2）若AC=2,求BD的長.

12.（遂寧）如圖，在口ABCD中，E,F分別是AD,BC上的點，且DE=BF,AC

±EF.求證：四邊形AECF是菱形.

13.（郴州）如圖，在口ABCD中，作對角線BD的垂直平分線EF,垂足為O,分

別交AD,BC于E,F,連接BE,DF.求證：四邊形BFDE是菱形.

14.(南京)如圖，在四邊形ABCD中，BC=CD,ZC=2ZBAD.。是四邊形ABCD

內一點，且OA=OB=OD.求證：

(1)ZBOD=ZC；

(2)四邊形OBCD是菱形.

二C.

15.(呼和浩特)如圖，已知A、F、C、D四點在同一條直線上，AF=CD,AB〃

DE,且AB=DE.

(1)求證：^ABC咨ADEF；

(2)若EF=3,DE=4,NDEF=90°,請直接寫出使四邊形EFBC為菱形時AF的長

度.

￥

16.（內江）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點E,F分別是AB,BC±

的點，AE=CF,并且NAED=NCFD.

求證：（1）AAED^ACFD；

（2）四邊形ABCD是菱形.

17.（泰安）如圖，AABC中，D是AB上一點，DELAC于點E,F是AD的中點,

FGLBC于點G,與DE交于點H,若FG=AF,AG平分NCAB,連接GE,CD.

(1)求證：4ECGmAGHD；

(2)小亮同學經過探究發(fā)現(xiàn)：AD=AC+EC.請你幫助小亮同學證明這一結論.

若NB=30。，判定四邊形AEGF是否為菱形，并說明理由.

B

18.(廣西)如圖，在口ABCD中，AE±BC,AF±CD,垂足分別為E,F,且BE=DF.

(1)求證：口ABCD是菱形；

(2)若AB=5,AC=6,求口ABCD的面積.

19.(揚州)如圖，在平行四邊形ABCD中，DB=DA,點F是AB的中點，連接

DF并延長，交CB的延長線于點E,連接AE.

(1)求證：四邊形AEBD是菱形;

(2)若DC=A，tanZDCB=3,求菱形AEBD的面積.

B

20.(烏魯木齊)如圖，在四邊形ABCD中，NBAC=90。，E是BC的中點，AD〃

BC,AE〃DC,EFLCD于點F.

(1)求證：四邊形AECD是菱形；

(2)若AB=6,BC=10,求EF的長.

答案解析

一.選擇題（共4小題）

1.（十堰）菱形不具備的性質是（）

A.四條邊都相等B.對角線一定相等

C.是軸對稱圖形D.是中心對稱圖形

【分析】根據(jù)菱形的性質即可判斷；

【解答】解：菱形的四條邊相等，是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，對角線垂

直不一定相等，

故選：B.

2.（哈爾濱）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O,BD=8,tan

【分析】根據(jù)菱形的性質得出ACLBD,A0=C0,0B=0D,求出0B,解直角三角

形求出A0,根據(jù)勾股定理求出AB即可.

【解答】解：???四邊形ABCD是菱形，

/.AC±BD,AO=CO,OB=OD,

NAOB=90°,

VBD=8,

/.0B=4,

VtanZABD=-^-=—,

4OB

.?.A0=3,

在中，由勾股定理得：

Rt^AOBAB=5/AQ2+OB2=A/32+42=5,

故選：C.

3.（淮安）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD的長分別為6和8,則這個菱形

的周長是（）

【分析】由菱形對角線的性質，相互垂直平分即可得出菱形的邊長，菱形四邊相

等即可得出周長.

【解答】解：由菱形對角線性質知，A0」AC=3,B0,BD=4,且AO，BO,

22

貝1JAB=VAO2+BOS=5,

故這個菱形的周長L=4AB=20.

故選：A.

4.（貴陽）如圖，在菱形ABCD中，E是AC的中點，EF〃CB,交AB于點F,如

果EF=3,那么菱形ABCD的周長為（）

A.24B.18C.12D.9

【分析】易得BC長為EF長的2倍，那么菱形ABCD的周長=4BC問題得解.

【解答】解：是AC中點，

?；EF〃BC,交AB于點F,

，EF是4ABC的中位線,

，EF」BC,

2

，BC=6,

二菱形ABCD的周長是4X6=24.

故選：A.

二.填空題（共6小題）

5.（香坊區(qū)）已知邊長為5的菱形ABCD中，對角線AC長為6,點E在對角線

BD上且tanNEAC=工，則BE的長為3或5.

3-----------------

【分析】根據(jù)菱形的性質和分兩種情況進行解答即可.

【解答】解：當點E在對角線交點左側時，如圖1所示：

?菱形ABCD中，邊長為5,對角線AC長為6,

???AC±BD,BO=VAB2-A02=752-32=^

VtanZEAC=j.^OE_OE

TOA"3

解得：OE=1,

/.BE=BO-OE=4-1=3,

當點E在對角線交點左側時，如圖2所示：

?菱形ABCD中，邊長為5,對角線AC長為6,

/.ACXBD,80=加2_人02地2_32=4

,.,tanZEAC=l=-uE=?—,

3OA3

解得：OE=1,

.\BE=BO-OE=4+1=5,

故答案為：3或5；

6.（湖州）如圖，已知菱形ABCD,對角線AC,BD相交于點O.若tan/BAC=L

3

AC=6,則BD的長是2.

【分析】根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分可得ACLBD,OA=1AC=3,BD=2OB.再

2

解Rt^OAB,根據(jù)tanNBAC=U^=L,求出OB=1,那么BD=2.

0A3

【解答】解：?.?四邊形ABCD是菱形，AC=6,

AACXBD,OA-AC=3,BD=2OB.

2

在Rt^OAB中，?.,NAOD=90。，

.\tanZBAC=—=1,

OA3

.?.OB=1,

，BD=2.

故答案為2.

7.（寧波）如圖，在菱形ABCD中，AB=2,NB是銳角，AELBC于點E,M是

AB的中點，連結

MD,ME.若NEMD=90。，則cosB的值為里”.

BC

【分析】延長DM交CB的延長線于點H.首先證明DE=EH,設BE=x,利用勾股

定理構建方程求出x即可解決問題.

【解答】解：延長DM交CB的延長線于點H.

?四邊形ABCD是菱形，

.AB=BC=AD=2,AD//CH,

.NADM=NH,

'AM=BM,ZAMD=ZHMB,

.△ADM之△BHM,

.AD=HB=2,

*EM±DH,

.EH=ED,設BE=x,

*AE±BC,

.AE±AD,

.ZAEB=ZEAD=90°

AE2=AB2-BE2=DE2-AD2,

.22-X2=(2+x)2-22,

.x=Jj-1或-近-1(舍棄)

AB2

故答案為隼.

8.(廣州)如圖，若菱形ABCD的頂點A,B的坐標分別為(3,0),(-2,0),

點D在y軸上，則點C的坐標是(-5,4).

【分析】利用菱形的性質以及勾股定理得出DO的長，進而求出（：點坐標.

【解答】解：?.?菱形ABCD的頂點A,B的坐標分別為（3,0）,（-2,0）,

點D在y軸上，

，AB=5,

，AD=5,

由勾股定理知：0口=面口彳=五二不=4，

???點C的坐標是：（-5,4）.

9.（隨州）如圖，在平面直角坐標系xOy中，菱形OABC的邊長為2,點A在

第一象限，點C在x軸正半軸上，ZAOC=60°,若將菱形OABC繞點。順時針旋

轉75°,得到四邊形0AEU,則點B的對應點B，的坐標為（/,-灰）.

【分析】作B，H，x軸于H點，連結OB,0B\根據(jù)菱形的性質得到NAOB=30。,

再根據(jù)旋轉的性質得/BOB，=75。，OB'=OB=2則NAOB，=NBOB，-NAOB=45。,

所以AOBH為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形性質可計算得OH=B，H=灰,

然后根據(jù)第四象限內點的坐標特征寫出B，點的坐標.

【解答】解：作B，H，x軸于H點，連結OB,0B\如圖，

?.?四邊形OABC為菱形，

AZAOC=180°-ZC=60",OB平分NAOC,

...NAOB=30°,

???菱形OABC繞原點0順時針旋轉75。至第四象限OABU的位置,

AZBOBZ=75°,OB，=OB=2二，

ZAOB,=ZBOB,-NAOB=45°,

/.△OBH為等腰直角三角形，

.?.OH=B，H=*OB，=&，

...點B，的坐標為（灰，-灰）.

故答案為：（&，-加）.

10.（黑龍江）如圖，在平行四邊形ABCD中，添加一個條件AB=BC或AC,

BD使平行四邊形ABCD是菱形.

【分析】根據(jù)菱形的判定方法即可判斷.

【解答】解：當AB=BC或ACLBD時，四邊形ABCD是菱形.

故答案為AB=BC或ACXBD.

三.解答題（共10小題）

11.（柳州）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC,BD相交于點O,且AB=2.

（1）求菱形ABCD的周長；

（2）若AC=2,求BD的長.

Br

【分析】（1）由菱形的四邊相等即可求出其周長；

（2）利用勾股定理可求出B0的長，進而解答即可.

【解答】解：（1）?.?四邊形ABCD是菱形，AB=2,

??.菱形ABCD的周長=2X4=8；

（2）?四邊形ABCD是菱形，AC=2,AB=2

/.AC±BD,AO=1,

?*,BO=VAB2-A02=722-12=V3;

，BD=2工

12.（遂寧）如圖，在口ABCD中，E,F分別是AD,BC上的點，且DE=BF,AC

±EF.求證：四邊形AECF是菱形.

【分析】根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可證明;

【解答】證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

.*.AD=BC,AD〃BC,

VDE=BF,

，AE=CF,：AE〃CF,

四邊形AECF是平行四邊形，

VACXEF,

???四邊形AECF是菱形.

13.（郴州）如圖，在口ABCD中，作對角線BD的垂直平分線EF,垂足為0,分

別交AD,BC于E,F,連接BE,DF.求證：四邊形BFDE是菱形.

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質以及全等三角形的判定方法證明出aDOE^A

BOF,得到OE=OF,利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形得出四邊形EBFD

是平行四邊形，進而利用對角線互相垂直的平行四邊形是菱形得出四邊形BFDE

為菱形.

【解答】證明：?.?在ABCD中，。為對角線BD的中點，

/.BO=DO,ZEDB=ZFBO,

在和△FOB中，

'/EDO二NFB0

■OD=OB，

ZEOD=ZFOB

.?.△DOE四△BOF(ASA)；

/.OE=OF,

XVOB=OD,

???四邊形EBFD是平行四邊形，

VEFXBD,

...四邊形BFDE為菱形.

14.(南京)如圖，在四邊形ABCD中，BC=CD,ZC=2ZBAD.。是四邊形ABCD

內一點，且OA=OB=OD.求證：

(1)ZBOD=ZC；

(2)四邊形OBCD是菱形.

BD

【分析】（1）延長AO到E,利用等邊對等角和角之間關系解答即可；

（2）連接OC,根據(jù)全等三角形的判定和性質以及菱形的判定解答即可.

【解答】證明:(1)

延長0A到E,

VOA=OB,

/.ZABO=ZBAO,

又NBOE=NABO+NBAO,

AZBOE=2ZBAO,

同理NDOE=2NDAO,

ZBOE+ZDOE=2ZBAO+2ZDAO=2(ZBAO+ZDAO)

即NBOD=2NBAD,

又NC=2NBAD,

AZBOD=ZC；

(2)連接OC,

VOB=OD,CB=CD,OC=OC,

AAOBC^AODC,

ZBOC=ZDOC,ZBCO=ZDCO,

ZBOD=ZBOC+ZDOC,ZBCD=ZBCO+ZDCO,

NBOC」NBOD,NBCO」NBCD,

22

又NBOD=NBCD,

/.ZBOC=ZBCO,

.?.BO=BC,

又OB=OD,BC=CD,

.\OB=BC=CD=DO,

???四邊形OBCD是菱形.

15.（呼和浩特）如圖，已知A、F、C、D四點在同一條直線上，AF=CD,AB〃

DE,且AB=DE.

（1）求證：AABC等ADEF；

（2）若EF=3,DE=4,ZDEF=90°,請直接寫出使四邊形EFBC為菱形時AF的長

度.

【分析】（1）根據(jù)SAS即可證明.

（2）解直角三角形求出DF、OE、OF即可解決問題;

【解答】（1）證明：：AB〃DE,

NA=ND,

VAF=CD,

.\AF+FC=CD+FC,

即AC=DF,

VAB=DE,

/.△ABC^ADEF.

（2）如圖，連接AB交AD于0.

在Rt^EFD中，?.?NDEF=90°,EF=3,DE=4,

DF=432+4J5,

???四邊形EFBC是菱形,

WCF,，，E。美盧考

??OF=OC=JEFi0

.\CF=—,

5

，AF=CD=DF-FC=5--=—.

55

16.（內江）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點E,F分別是AB,BC±

的點，AE=CF,并且NAED=NCFD.

求證：（1）AAED^ACFD；

（2）四邊形ABCD是菱形.

【分析】（1）由全等三角形的判定定理ASA證得結論;

（2）由“鄰邊相等的平行四邊形為菱形”證得結論.

【解答】（1）證明：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

/.ZA=ZC.

在4AED與4CFD中，

rZA=ZC

，AE=CF

ZAED=ZCFE

.,.△AED^ACFD（ASA）；

（2）由（1）知，AAED^ACFD,則AD=CD.

又四邊形ABCD是平行四邊形，

???四邊形ABCD是菱形.

17.（泰安）如圖，ZVkBC中，D是AB上一點，DELAC于點E,F是AD的中點,

FGLBC于點G,與DE交于點H,若FG=AF,AG平分NCAB,連接GE,CD.

(1)求證：4ECG等△GHD；

(2)小亮同學經過探究發(fā)現(xiàn)：AD=AC+EC.請你幫助小亮同學證明這一結論.

(3)若NB=30。，判定四邊形AEGF是否為菱形，并說明理由.

【分析】(1)依據(jù)條件得出NC=NDHG=90。，ZCGE=ZGED,依據(jù)F是AD的中

點，F(xiàn)G〃AE,即可得到FG是線段ED的垂直平分線，進而得到GE=GD,ZCGE=

ZGDE,利用AAS即可判定△ECGgZ^GHD；

(2)過點G作GPLAB于P,判定△CAG^^PAG,可得AC=AP,由(1)可得

EG=DG,即可得至URtAECG^RtAGPD,依據(jù)EC=PD,即可得出AD=AP+PD=AC+EC；

(3)依據(jù)NB=30。，可得NADE=30。，進而得到AE=』AD,故AE=AF=FG,再根據(jù)

2

四邊形AECF是平行四邊形，即可得到四邊形AEGF是菱形.

【解答】解：(1)VAF=FG,

/.ZFAG=ZFGA,

VAG平分NCAB,

/.ZCAG=ZFGA,

/.ZCAG=ZFGA,

.?.AC〃FG,

VDEXAC,

FG±DE,

VFG±BC,

...DE〃BC,

/.AC±BC,

/.ZC=ZDHG=90°,ZCGE=ZGED,

OF是AD的中點,FG〃AE,

AH是ED的中點，

，F(xiàn)G是線段ED的垂直平分線，

，GE=GD,ZGDE=ZGED,

AZCGE=ZGDE,

.,.△ECG^AGHD；

(2)證明：過點G作GPLAB于P,

，GC=GP,而AG=AG,

/.△CAG^APAG,

，AC=AP,

由(1)可得EG=DG,

RtAECG^RtAGPD,

.,.EC=PD,

，AD=AP+PD=AC+EC；

(3)四邊形AEGF是菱形，

證明：VZB=30°,

，NADE=30°,

,\AE=—AD,

2

.?.AE=AF=FG,

由(1)得AE〃FG,

???四邊形AECF是平行四邊形，

，四邊形AEGF是菱形.

18.(廣西)如圖，在口ABCD中，AE±BC,AF±CD,垂足分別為E,F,且BE=DF.

(1)求證：口ABCD是菱形；

(2)若AB=5,AC=6,求口ABCD的面積.

【分析】（1）利用全等三角形的性質證明AB=AD即可解決問題；

（2）連接BD交AC于0,利用勾股定理求出對角線的長即可解決問題;

【解答】（1）證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

I.NB=ND,

VAEXBC,AF±CD,

ZAEB=ZAFD=90°,

VBE=DF,

.,.△AEB^AAFD

/.AB=AD,

???四邊形ABCD是平行四邊形.

(2)連接BD交AC于0.

?四邊形ABCD是菱形，AC=6,

.\AC±BD,

AO=OC=AAC=—X6=3,

22

VAB=5,A0=3,

???B0=VAB2-AO5=V52-32=4)

，BD=2BO=8,

19.（揚州）如圖，在平行四邊形ABCD中，DB=DA,點F是AB的中點，連接

DF并