北京市師大二附中2024-2025學年高三第八次練考數學試題含解析

北京市師大二附中2024-2025學年高三第八次練考數學試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知是圓心為坐標原點，半徑為1的圓上的任意一點，將射線繞點逆時針旋轉到交圓于點，則的最大值為（）A．3 B．2 C． D．2．△ABC中，AB＝3，，AC＝4，則△ABC的面積是（）A． B． C．3 D．3．設為等差數列的前項和，若，，則的最小值為（）A． B． C． D．4．下圖是來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊、直角邊，已知以直角邊為直徑的半圓的面積之比為，記，則（）A． B． C．1 D．5．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4}，B＝{3，4}，則＝（）A．{3，5，6} B．{1，5，6} C．{2，3，4} D．{1，2，3，5，6}6．一個頻率分布表（樣本容量為）不小心被損壞了一部分，只記得樣本中數據在上的頻率為，則估計樣本在、內的數據個數共有（）A． B． C． D．7．已知、是雙曲線的左右焦點，過點與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點，若點在以線段為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．8．若雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則該雙曲線的離心率為（）A．2 B． C． D．9．已知m，n是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，給出四個命題：①若，，，則；②若，，則；③若，，，則；④若，，，則其中正確的是（）A．①② B．③④ C．①④ D．②④10．已知隨機變量滿足，，.若，則（）A．， B．，C．， D．，11．已知實數滿足則的最大值為（）A．2 B． C．1 D．012．正三棱柱中，，是的中點，則異面直線與所成的角為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設滿足約束條件，則的取值范圍是______.14．已知半徑為的圓周上有一定點，在圓周上等可能地任意取一點與點連接，則所得弦長介于與之間的概率為__________．15．已知，在方向上的投影為，則與的夾角為_________.16．已知函數有兩個極值點、，則的取值范圍為_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）若曲線的切線方程為，求實數的值；（2）若函數在區(qū)間上有兩個零點，求實數的取值范圍.18．（12分）已知橢圓：的離心率為，直線：與以原點為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.為左頂點，過點的直線交橢圓于，兩點，直線，分別交直線于，兩點.（1）求橢圓的方程；（2）以線段為直徑的圓是否過定點？若是，寫出所有定點的坐標；若不是，請說明理由.19．（12分）已知在中，角、、的對邊分別為，，，，.（1）若，求的值；（2）若，求的面積.20．（12分）某百貨商店今年春節(jié)期間舉行促銷活動，規(guī)定消費達到一定標準的顧客可進行一次抽獎活動，隨著抽獎活動的有效開展，參與抽獎活動的人數越來越多，該商店經理對春節(jié)前天參加抽獎活動的人數進行統(tǒng)計，表示第天參加抽獎活動的人數，得到統(tǒng)計表格如下：123456758810141517（1）經過進一步統(tǒng)計分析，發(fā)現與具有線性相關關系．請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出關于的線性回歸方程；（2）該商店規(guī)定：若抽中“一等獎”，可領取600元購物券；抽中“二等獎”可領取300元購物券；抽中“謝謝惠顧”，則沒有購物券．已知一次抽獎活動獲得“一等獎”的概率為，獲得“二等獎”的概率為．現有張、王兩位先生參與了本次活動，且他們是否中獎相互獨立，求此二人所獲購物券總金額的分布列及數學期望．參考公式：，，，．21．（12分）在平面直角坐標系中，已知拋物線的焦點為，準線為，是拋物線上上一點，且點的橫坐標為，.（1）求拋物線的方程；（2）過點的直線與拋物線交于、兩點，過點且與直線垂直的直線與準線交于點，設的中點為，若、、四點共圓，求直線的方程.22．（10分）已知矩形紙片中，，將矩形紙片的右下角沿線段折疊，使矩形的頂點B落在矩形的邊上，記該點為E，且折痕的兩端點M，N分別在邊上.設，的面積為S.（1）將l表示成θ的函數，并確定θ的取值范圍；（2）求l的最小值及此時的值；（3）問當θ為何值時，的面積S取得最小值？并求出這個最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

設射線OA與x軸正向所成的角為，由三角函數的定義得，，，利用輔助角公式計算即可.【詳解】設射線OA與x軸正向所成的角為，由已知，，，所以，當時，取得等號.故選：C.本題考查正弦型函數的最值問題，涉及到三角函數的定義、輔助角公式等知識，是一道容易題.2．A【解析】

由余弦定理求出角，再由三角形面積公式計算即可.【詳解】由余弦定理得：，又，所以得，故△ABC的面積.故選：A本題主要考查了余弦定理的應用，三角形的面積公式，考查了學生的運算求解能力.3．C【解析】

根據已知條件求得等差數列的通項公式，判斷出最小時的值，由此求得的最小值.【詳解】依題意，解得，所以.由解得，所以前項和中，前項的和最小，且.故選：C本小題主要考查等差數列通項公式和前項和公式的基本量計算，考查等差數列前項和最值的求法，屬于基礎題.4．D【解析】

根據以直角邊為直徑的半圓的面積之比求得，即的值，由此求得和的值，進而求得所求表達式的值.【詳解】由于直角邊為直徑的半圓的面積之比為，所以，即，所以，所以.故選：D本小題主要考查同角三角函數的基本關系式，考查二倍角公式，屬于基礎題.5．B【解析】

按補集、交集定義，即可求解.【詳解】＝{1，3，5，6}，＝{1，2，5，6}，所以＝{1，5，6}.故選：B.本題考查集合間的運算，屬于基礎題.6．B【解析】

計算出樣本在的數據個數，再減去樣本在的數據個數即可得出結果.【詳解】由題意可知，樣本在的數據個數為，樣本在的數據個數為，因此，樣本在、內的數據個數為.故選：B.本題考查利用頻數分布表計算頻數，要理解頻數、樣本容量與頻率三者之間的關系，考查計算能力，屬于基礎題.7．A【解析】雙曲線﹣=1的漸近線方程為y=x，不妨設過點F1與雙曲線的一條漸過線平行的直線方程為y=（x﹣c），與y=﹣x聯立，可得交點M（，﹣），∵點M在以線段F1F1為直徑的圓外，∴|OM|＞|OF1|，即有+＞c1，∴＞3，即b1＞3a1，∴c1﹣a1＞3a1，即c＞1a．則e=＞1．∴雙曲線離心率的取值范圍是（1，+∞）．故選：A．點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于a，b，c的方程或不等式，再根據a，b，c的關系消掉b得到a，c的關系式，建立關于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.8．B【解析】

由題中垂直關系，可得漸近線的方程，結合，構造齊次關系即得解【詳解】雙曲線的一條漸近線與直線垂直．∴雙曲線的漸近線方程為．，得．則離心率．故選：B本題考查了雙曲線的漸近線和離心率，考查了學生綜合分析，概念理解，數學運算的能力，屬于中檔題.9．D【解析】

根據面面垂直的判定定理可判斷①；根據空間面面平行的判定定理可判斷②；根據線面平行的判定定理可判斷③；根據面面垂直的判定定理可判斷④.【詳解】對于①，若，，，，兩平面相交，但不一定垂直，故①錯誤；對于②，若，，則，故②正確；對于③，若，，，當，則與不平行，故③錯誤；對于④，若，，，則，故④正確；故選：D本題考查了線面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，屬于基礎題.10．B【解析】

根據二項分布的性質可得：，再根據和二次函數的性質求解.【詳解】因為隨機變量滿足，，.所以服從二項分布，由二項分布的性質可得：，因為，所以，由二次函數的性質可得：，在上單調遞減，所以.故選：B本題主要考查二項分布的性質及二次函數的性質的應用，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.11．B【解析】

作出可行域，平移目標直線即可求解.【詳解】解：作出可行域：由得，由圖形知，經過點時，其截距最大，此時最大得，當時，故選：B考查線性規(guī)劃，是基礎題.12．C【解析】

取中點，連接，，根據正棱柱的結構性質，得出//，則即為異面直線與所成角，求出，即可得出結果.【詳解】解：如圖，取中點，連接，，由于正三棱柱，則底面，而底面，所以，由正三棱柱的性質可知，為等邊三角形，所以，且,所以平面，而平面，則，則//，，∴即為異面直線與所成角，設，則，，，則，∴.故選：C.本題考查通過幾何法求異面直線的夾角，考查計算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

作出可行域，將目標函數整理為可視為可行解與的斜率，則由圖可知或，分別計算出與，再由不等式的簡單性質即可求得答案.【詳解】作出滿足約束條件的可行域，顯然當時，z=0；當時將目標函數整理為可視為可行解與的斜率，則由圖可知或顯然，聯立，所以則或，故或綜上所述，故答案為：本題考查分式型目標函數的線性規(guī)劃問題，屬于簡單題.14．【解析】在圓上其他位置任取一點B，設圓半徑為R，其中滿足條件AB弦長介于與之間的弧長為?2πR，則AB弦的長度大于等于半徑長度的概率P==；故答案為：．15．【解析】

由向量投影的定義可求得兩向量夾角的余弦值，從而得角的大小．【詳解】在方向上的投影為，即夾角為.故答案為：．本題考查求向量的夾角，掌握向量投影的定義是解題關鍵．16．【解析】

確定函數的定義域，求導函數，利用極值的定義，建立方程，結合韋達定理，即可求的取值范圍．【詳解】函數的定義域為，，依題意，方程有兩個不等的正根、（其中），則，由韋達定理得，，所以，令，則，，當時，，則函數在上單調遞減，則，所以，函數在上單調遞減，所以，.因此，的取值范圍是.故答案為：.本題考查了函數極值點問題，考查了函數的單調性、最值，將的取值范圍轉化為以為自變量的函數的值域問題是解答的關鍵，考查計算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）或【解析】

（1）根據解析式求得導函數，設切點坐標為，結合導數的幾何意義可得方程，構造函數，并求得，由導函數求得有最小值，進而可知由唯一零點，即可代入求得的值；（2）將解析式代入，結合零點定義化簡并分離參數得，構造函數，根據題意可知直線與曲線有兩個交點；求得并令求得極值點，列出表格判斷的單調性與極值，即可確定與有兩個交點時的取值范圍.【詳解】（1）依題意，，，設切點為，，故，故，則；令，，故當時，，當時，，故當時，函數有最小值，由于，故有唯一實數根0，即，則；（2）由，得.所以“在區(qū)間上有兩個零點”等價于“直線與曲線在有兩個交點”；由于.由，解得，.當變化時，與的變化情況如下表所示：30+0極小值極大值所以在，上單調遞減，在上單調遞增.又因為，，，，故當或時，直線與曲線在上有兩個交點，即當或時，函數在區(qū)間上有兩個零點.本題考查了導數的幾何意義應用，由切線方程求參數值，構造函數法求參數的取值范圍，函數零點的意義及綜合應用，屬于難題.18．（1）；（2）是，定點坐標為或【解析】

（1）根據相切得到，根據離心率得到，得到橢圓方程.（2）設直線的方程為，點、的坐標分別為，，聯立方程得到，，計算點的坐標為，點的坐標為，圓的方程可化為，得到答案.【詳解】（1）根據題意：，因為，所以，所以橢圓的方程為.（2）設直線的方程為，點、的坐標分別為，，把直線的方程代入橢圓方程化簡得到，所以，，所以，，因為直線的斜率，所以直線的方程，所以點的坐標為，同理，點的坐標為，故以為直徑的圓的方程為，又因為，，所以圓的方程可化為，令，則有，所以定點坐標為或.本題考查了橢圓方程，圓過定點問題，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.19．（1）7（2）14【解析】

（1）在中，，可得，結合正弦定理，即可求得答案；（2）根據余弦定理和三角形面積公式，即可求得答案.【詳解】（1）在中，，，，，，.（2），，，解得，.本題主要考查了正弦定理和余弦定理解三角形，解題關鍵是掌握正弦定理邊化角，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.20．（1）；（2）見解析【解析】試題分析：（I）由題意可得，，則，，關于的線性回歸方程為．（II）由題意可知二人所獲購物券總金額的可能取值有、、、、元，它們所對應的概率分別為：，，，．據此可得分布列，計算相應的數學期望為元．試題解析：（I）依題意：，，，，，，則關于的線性回歸方程為．（II）二人所獲購物券總金額的可能取值有、、、、元，它們所對應的概率分別為：，，，，．所以，總金額的分布列如下表：03006009001200總金額的數學期望為元．21．（1）（2）【解析