2023-2024學(xué)年人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難點(diǎn)題型突破訓(xùn)練：定弦定角

專題4.7定弦定角

國(guó)模型方弦

解題技巧：構(gòu)造隱圓

定弦定角解決問題的步驟：

(1)讓動(dòng)點(diǎn)動(dòng)一下，觀察另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，發(fā)現(xiàn)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡

為一段弧。

(2)找不變的張角(這個(gè)時(shí)候一般是找出張角的補(bǔ)角)，(這個(gè)補(bǔ)角一般為

。O

60、45)

(3)找張角所對(duì)的定弦，根據(jù)三點(diǎn)確定隱形圓，確定圓心位置

(4)計(jì)算隱形圓的半徑

(5)圓心與所求線段上定點(diǎn)的距離可以求出來

(6)最小值等于圓心到定點(diǎn)之間的距離減去半徑

_匡超至人生_________________________________

【典例1］如圖，已知矩形48CD.

(1)如圖①，請(qǐng)?jiān)诰匦?88的內(nèi)部或邊上畫出使N4P5=45°的點(diǎn)尸的軌

跡；

(2)如圖②，請(qǐng)?jiān)诰匦?88的內(nèi)部或邊上畫出使N4P5=90°的點(diǎn)尸的軌

跡；

(3)如圖③，請(qǐng)?jiān)诰匦?58的內(nèi)部或邊上畫出使N4P5=120°的點(diǎn)尸的

軌跡.

圖①圖②圖③

【變式1-1】(秋?潛山市期末)如圖，在矩形N5CD中，48=8,BC=6,點(diǎn)尸

在矩形的內(nèi)部，連接上4,PB,PC,若/PBC=NPAB,則尸。的最小值是

C.2V13-4D.4V13-4

【變式1-2］如圖，正方形48CD中，48=2,動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)幺出發(fā)向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng),

同時(shí)動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)。出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)￡、尸運(yùn)動(dòng)的速度相同，當(dāng)它們到達(dá)

各自終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中線段幺尸、BE相交于點(diǎn)尸，則線段Z）尸的最

【變式1-3］（廣西模擬）如圖，ZC為邊長(zhǎng)為3的菱形48CZ）的對(duì)角線，Z

ABC=60°,點(diǎn)N分別從點(diǎn)B,。同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿5C,。向

終點(diǎn)。和/運(yùn)動(dòng)，連接和求△⑷有面積的最大值是（）

C.1+V3D.V3

【變式1-4］（宜興市期末）如圖，在△48C中，ZABC=90°,BC=4,AB=

8,尸為4C邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，D為尸3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接40,當(dāng)NCBP=/

加。時(shí)，線段CD的最小值是（）

A

A.V2B.2C.2V2-1D.4V2-4

【變式1-5］如圖，4B為。O的直徑，。為。。上一點(diǎn),其中48=4,AAOC=

120°,尸為。0上的動(dòng)點(diǎn)，連接4P,取4P中點(diǎn)0,連接C0,則線段C0

的最大值為（）

C.1+3&D.1+V7

【典伊|」2】如圖，在A45C中，AC=3,BC=4近,NZC5=45°,AM//BC,

點(diǎn)尸在射線4M上運(yùn)動(dòng)，連5尸交△4PC的外接圓于。，則40的最小值為

C.&D.472-3

【變式2-1］如圖，在等腰RtA45C中，N84c=90°,AB=AC,BC=啦,

點(diǎn)。是ZC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接助，以40為直徑的圓交助于點(diǎn)￡,則線段

CE長(zhǎng)度的最小值為一

E

BC

【變式2-1］如圖，在矩形中，AD=5,45=3歷，點(diǎn)石在Z8上，處=

EB

』，在矩形內(nèi)找一點(diǎn)尸，使得N5PE=60°,則線段尸刀的最小值為（）

A.2V7-2B.25/13-4C.4D.2y

【變式2-2】（柳南區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在邊長(zhǎng)為畬的等邊△Z3C中，動(dòng)點(diǎn)、D,

￡分別在3。，ZC邊上，且保持ZE=CZ）,連接成，AD,相交于點(diǎn)尸，則

CP的最小值為.

【變式2-3】【問題原型】如圖①，在。。中，弦6c所對(duì)的圓心角N3OC=

90°,點(diǎn)/在優(yōu)弧5c上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)N不與點(diǎn)5、。重合），連結(jié)AC.

（1）在點(diǎn)/運(yùn)動(dòng)過程中，N4的度數(shù)是否發(fā)生變化？請(qǐng)通過計(jì)算說明理

由.

（2）若BC=2,求弦NC的最大值.

【問題拓展】如圖②，在△ZBC中，BC=4,ZA=60°.若“、N分別是

48、的中點(diǎn)，則線段的最大值為.

圖①圖②

【變式2-4】(灌南縣校級(jí)月考)我們?cè)趯W(xué)習(xí)圓的知識(shí)時(shí)，常常碰到題目中明明

沒有圓，但解決問題時(shí)要用到，這就是所謂的“隱圓”問題：

下面讓我們一起嘗試去解決：

(1)如圖，RtZ\48C中，ABLBC,AB=6,8c=4,尸是△48。內(nèi)部的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，且滿足則線段CP長(zhǎng)的最小值為.

(2)如圖，在正方形4BCD中，動(dòng)點(diǎn)、E、尸分別從。、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以

相同的速度在邊刀C、C3上移動(dòng)，連接/石和。尸交于點(diǎn)尸，由于點(diǎn)E、尸的

移動(dòng)，使得點(diǎn)尸也隨之運(yùn)動(dòng).若40=2,則線段CP的最小值是.

(3)如圖，矩形/5CD中，45=2,幺。=3,點(diǎn)E、尸分別為40、DC邊上

的點(diǎn)，且上尸=2,點(diǎn)G為石產(chǎn)的中點(diǎn)，點(diǎn)P為BC上一動(dòng)點(diǎn),則PN+PG的最

小值為多少？

【變式2-5](2022秋?定海區(qū)期中)如圖，△4BC中，NC=3,BC=4近,Z

4cB=45°,D為AABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),。。為的外接圓，直線交。O

于尸點(diǎn)，交BC于E點(diǎn)、,AE=CP,則40的最小值為

【典例3】如圖，QO半徑為6,弦48=6,點(diǎn)尸為優(yōu)弧48上一動(dòng)點(diǎn)，ACVAP

交直線PB于點(diǎn)C,則ZkABC的最大面積是()

A.65/5B.9V3C.672D.9

【變式3-1】如圖，。。的半徑為1,弦48=1,點(diǎn)尸為優(yōu)弧總上一動(dòng)點(diǎn)，AC±

4P交直線尸3于點(diǎn)。，則ZUBC的最大面積是()

A.工B.亞C.近D.正

2224

【變式3-2］如圖，在AISC中，BC=6,NA4c=45°,則△4BC面積的最大

值為.

【變式3-31問題提出

(1)如圖①，已知AlgC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則△48C的面積為；

問題探究

(2)如圖②，在A45C中，已知NA4c=120°,50=673,求△HffC的最

大面積；

問題解決

(3)如圖③，某校學(xué)生禮堂的平面示意為矩形N5CD,其寬48=20米，長(zhǎng)

5C=24米，為了能夠監(jiān)控到禮堂內(nèi)部情況，現(xiàn)需要在禮堂最尾端墻面CZ)上

安裝一臺(tái)攝像頭〃進(jìn)行觀測(cè)，并且要求能觀測(cè)到禮堂前端墻面力6區(qū)域，同

時(shí)為了觀測(cè)效果達(dá)到最佳，還需要從點(diǎn)〃出發(fā)的觀測(cè)角NNM3=45°,請(qǐng)你

通過所學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析，在墻面CD區(qū)域上是否存在點(diǎn)“滿足要求？若存在,

求出MC的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由.

D

圖①圖②圖③

【變式3-4［（1）如圖1,線段為5的長(zhǎng)為4,請(qǐng)你作出一個(gè)以45為斜邊且面積

最大的直角三角形48C.

（2）如圖2,在四邊形43CZ）中，AD=CD,N43c=120°,NADC=

60°,48=4,BC=2,請(qǐng)你求出四邊形458的面積.

問題解決：

（3）小明爸爸所在的工廠需要裁取某種四邊形的材料板，這種材料板的形狀

如圖3所示，并且滿足在四邊形45CD中，AD=CD,N48C=75°,/ADC

=60°,DB=4,你能求出這種四邊形面積的最小值嗎？如果能，請(qǐng)求出此時(shí)

四邊形48CD面積的最小值；如果不能，請(qǐng)說明理由.

【變式3-5】已知直線4s交x軸于點(diǎn)Z（。，0）,交y軸下點(diǎn)5（0,b）,且

a、Z>滿足|a+"+(o+4)2=0.

(1)如圖，若點(diǎn)。在第一象限，且于點(diǎn)E,延長(zhǎng)線交x軸于點(diǎn)

G,連OE,求證：EO平分N/￡G.

(2)如圖，若點(diǎn)C在第一象限，且BEL4c丁點(diǎn)E,延長(zhǎng)到。，使AD=

專題4.7定弦定角

國(guó)模型方弦

解題技巧：構(gòu)造隱圓

定弦定角解決問題的步驟：

(1)讓動(dòng)點(diǎn)動(dòng)一下，觀察另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，發(fā)現(xiàn)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡

為一段弧。

(2)找不變的張角(這個(gè)時(shí)候一般是找出張角的補(bǔ)角)，(這個(gè)補(bǔ)角一般為

60\45°)

(3)找張角所對(duì)的定弦，根據(jù)三點(diǎn)確定隱形圓，確定圓心位置

(4)計(jì)算隱形圓的半徑

(5)圓心與所求線段上定點(diǎn)的距離可以求出來

(6)最小值等于圓心到定點(diǎn)之間的距離減去半徑

_匡超至人生_________________________________

【典例1］如圖，已知矩形48CD.

(1)如圖①，請(qǐng)?jiān)诰匦?88的內(nèi)部或邊上畫出使N4P5=45°的點(diǎn)尸的軌

跡；

(2)如圖②，請(qǐng)?jiān)诰匦?88的內(nèi)部或邊上畫出使N4P5=90°的點(diǎn)尸的軌

跡；

(3)如圖③，請(qǐng)?jiān)诰匦?58的內(nèi)部或邊上畫出使N4P5=120°的點(diǎn)尸的

軌跡.

圖①圖②圖③

【解答】解：(1)如圖，作等腰直角三角形NO8,使乙405=90°,以。為

圓心，為半徑畫圓，

則PP'即為所求;

（2）如圖，以45為直徑作圓，則忘即為所求（不與/、5重合）；

圖②

（3）如圖，作等腰△205,使N/OB=120°,以。為圓心，為半徑畫圓,

則⑥即為所求（不與/、5重合）；.

【變式1-1】（秋?潛山市期末）如圖，在矩形/3CD中，48=8,BC=6,點(diǎn)尸

在矩形的內(nèi)部，連接P4,PB,PC,若NPBC=/PAB,則尸。的最小值是

A.6B.773-3C.2^/13-4D.4Vl§-4

【答案】C

【解答】解：?.?四邊形488是矩形，

/.ZABC=9Q°,

ZABP+ZPBC=90°,

?:/PBC=NPAB,

；./PAB+NPBA=90°,

：./APB=90°,

.,.點(diǎn)尸在以48為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)圓心為O,連接OC交。0于尸，此時(shí)

尸C最小，

；OC^QB^BC2=3+62=2后,

:.PC的最小值為2后-4,

故選：C.

【變式1-2］如圖，正方形48co中，48=2,動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)Z出發(fā)向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng),

同時(shí)動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)。出發(fā)向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)七、產(chǎn)運(yùn)動(dòng)的速度相同，當(dāng)它們到達(dá)

各自終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中線段幺尸、相交于點(diǎn)尸，則線段。尸的最

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：如圖：

；動(dòng)點(diǎn)尸,E的速度相同，

：.DF=AE,

又,正方形45CD中，AB=2,

??AD=AB9

在2BE和/中，

rAB=AD

'ZBAE=ZADF，

,AE=DF

^XABE^/XDAF,

：.ZABE=NDAF.

?：NABE+NBEA=90°,

ZFAmZBEA=90°,

：./APB=90°,

?.?點(diǎn)尸在運(yùn)動(dòng)中保持N4P5=90°,

...點(diǎn)尸的路徑是一段以48為直徑的弧，

設(shè)4s的中點(diǎn)為G,連接。G交弧于點(diǎn)尸，此時(shí)。尸的長(zhǎng)度最小，

AG—BG=—AB=\.

2

在一RtZkSCG中，DG=R卜62+皿2={]2+22=<^^,

'：PG=AG=\,

：.DP=DG-PG=45~1

即線段DP的最小值為遙-1,

故答案為：V5-1.

【變式1-3]（廣西模擬）如圖，ZC為邊長(zhǎng)為的菱形Z3S的對(duì)角線，Z

ABC=60°,點(diǎn)M,N分別從點(diǎn)3,。同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿5C,。向

終點(diǎn)。和力運(yùn)動(dòng)，連接和5N,求△4P3面積的最大值是（）

AD

BM

A.2V3B.4+2V3C.1W3D.M

【答案】D

【解答】解：???四邊形48co是菱形，

AB—CB—CD=40,

VZABC=60°,

...△48C是等邊三角形，

：.4ACB=4ABM=60",

?.?點(diǎn)N分別從點(diǎn)5,。同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿3C,C4向終點(diǎn)。和Z

運(yùn)動(dòng)，

：.BM=CN,

在和△3CN中，

'BA=BC

<ZABM=ZBCN?

,BM=CN

:./\ABMqABCN(SAS),

ABAM=/CBN,

：.ZABP+ZCBN=60°,

：.ZABP+ZBAM=60°,

AZJP5=180°-60°=120°,

...點(diǎn)尸在弧45上運(yùn)動(dòng),

，當(dāng)位=奇時(shí)，△尸48的面積最大，最大值=2X2“X1=“,

2

故選：D.

BM

【變式1-4］（宜興市期末）如圖，在△NBC中，ZABC=9Q°,BC=4,AB=

8,尸為ZC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，。為尸5上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接Z。，當(dāng)/CBP=/

BAD時(shí)，線段CD的最小值是（）

A

BC

A.V2B.2C.2V2-1D.4V2-4

【答案】D

【解答】M：'：ZABC=9Q°,

：.ZABP+ZCBP=90°,

"：ZCBP=ZBAD,

：.ZABD+ZBAD=90°,

：.ZADB=90°,

取48的中點(diǎn)E,連接。E,CE,

:.DE=~LAB=4,

2

：.0C=?0B=4近,

■:CD2CE-DE,

:.CD的最小值為4V2-4,

故選：D

【變式1-5］如圖，45為O。的直徑，C為O。上一點(diǎn)，其中48=4,ZAOC=

120°,尸為。。上的動(dòng)點(diǎn)，連接4P,取4P中點(diǎn)0,連接C0,則線段C0

的最大值為（）

C.1+372D.1+V7

【答案】D

【解答】解：如圖，連接。。，作于巴

：幺。=。尸，

OQ±PA,

ZAQO=90°,

點(diǎn)0的運(yùn)動(dòng)軌跡為以幺。為直徑的OK,連接CK,

當(dāng)點(diǎn)。在CK的延長(zhǎng)線上時(shí)，CQ的值最大（也可以通過CQWQK+CK求解）

在RtZXOCH中，"：ZCOH=6Q°,OC=2,

：.OH=LOC=\,CH=M，

2

在RtZXCK"中，次=在鬲2亍=近，

：.CQ的最大值為1+V7，

故選：D.

【典例2］如圖，在△Z8C中，AC=3,BC=4近,/ACB=45°,AM//BC,

點(diǎn)尸在射線上運(yùn)動(dòng)，連AP交△4PC的外接圓于。，則的最小值為

（）

.w

【答案】A

【解答】解：連接C。，則NPQC=NP4C=NNCB=45°,NBDC=135°

.?.點(diǎn)。在以5c為弦的一段圓弧上運(yùn)動(dòng)，圓心角為90°,

設(shè)圓心為。，連接5。、CO、DO,

則△BC。為等腰直角三角形,

.?.CO=4,ZBCO=45°,

VZACB=45°,

AZACO=90°,

幺°=VAC2-K：O2=V32+42=5'

.,.ZQNN。-￡>0=5-4=1（當(dāng)且僅當(dāng)。是4F與圓弧的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)），

線段幺。的長(zhǎng)的最小值為1,

故選：A.

【變式2-1］如圖，在等腰中，NA4c=90°,AB=AC,BC=啦,

點(diǎn)。是ZC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接8。，以為直徑的圓交5。于點(diǎn)E,則線段

CE長(zhǎng)度的最小值為.

【答案】275^2

【解答】解：連接4E,如圖1,

VZBAC=90°,AB=AC,BC=啦,

.\AB=AC=49

■:AD為直徑，

；.NAED=90°,

AZAEB=90°,

點(diǎn)E在以48為直徑的O。上，

：O。的半徑為2,

當(dāng)點(diǎn)。、E、C共線時(shí)，CE最小,如圖2,

在Rt^ZOC中，'：OA=2,AC=4,

"'-℃=VOA2+AC2=2A/5，

：.CE=OC-OE=245-2,

即線段CE長(zhǎng)度的最小值為2遙-2.

故答案為2遙-2.

圖2

【變式2-1］如圖，在矩形48CQ中，AD=5,AB=3,R,點(diǎn)、E在AB上,坦=

EB

1,在矩形內(nèi)找一點(diǎn)P,使得N8PE=60°,則線段尸。的最小值為（)

2A/13-4C.4D.2V3

【答案】A

【解答】解：如圖，在BE的上方，作AOEB,使得OE=OB,NEOB=

120°,連接。。，過點(diǎn)。作。QL5E于。，0J2AD于J.

DK______________,C

ZBPE=1ZEOB,

2

二點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)軌跡是以。為圓心，OE為半徑的OO,

.?.當(dāng)點(diǎn)尸落在線段0。上時(shí)，。產(chǎn)的值最小，

;四邊形4SCD是矩形,

AZA=90°,

,:AB=3^,AE：EB=\：2,

:.BE=2M，

?：OE=OB,ZEOB=120°,OQLEB,

：.EQ=BQ=43,ZEOQ=ZBOQ=60°,

。。=1,OE=2,

'：OJLAD,OQ±AB,

：.ZA=ZAJO=ZAQO=90°,

???四邊形N。。/是矩形，

.?.ZJ=OQ=1,

J0=AQ=2如,

"：AD=5,

:.DJ=AD-AJ=4,

：'0D=VjD2K)J2=3+(2禽戶=2V7，

：.PD的最小值=0。-。P=2巾-2,

故選：A.

【變式2-2】(柳南區(qū)校級(jí)模擬)如圖，在邊長(zhǎng)為通的等邊△48C中，動(dòng)點(diǎn)。,

E分別在8C,NC邊上，且保持2￡=。＞,連接BE,AD,相交于點(diǎn)P,則

CP的最小值為.

【答案】1

【解答】解：

:.BD=CE,

在△48。和△BCE中，

rAB=BC

，ZABD=ZBCE>

tBD=CE

.'.△ABD當(dāng)LBCE(SAS),

故NBAD=/CBE,

VZAPE=ZABE+ZBAD,/APE=/BPD,ZABE+ZCBE=6Q°,

ZBPD=ZAPE=ZABC=60°,

ZAPB^=120°,

?,?點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)軌跡是源，ZAOB=120°,連接CO,

?：OA=OB,CA=CB,OC=OC,

:.△AOgABOCCSSS),

：.ZOAC=ZOBC,ZACO=ZBCO=30°,

VZAOB+ZACB=^180°,

：.ZOAC+ZOBC^1SO°,

：.ZOAC=ZOBC=90°,

.?.OC-cos30°=2,OA=1JOC=1,

2

：.OP=1,

,:PC?OC-OP,

1.pen,

.?.PC的最小值為1.

【變式2-3】【問題原型】如圖①，在OO中，弦8c所對(duì)的圓心角N80C=

90°,點(diǎn)Z在優(yōu)弧8c上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)幺不與點(diǎn)8、C重合)，連結(jié)45、AC.

(1)在點(diǎn)Z運(yùn)動(dòng)過程中，NZ的度數(shù)是否發(fā)生變化？請(qǐng)通過計(jì)算說明理

由.

(2)若BC=2,求弦ZC的最大值.

【問題拓展】如圖②，在△48C中，BC=4,ZA=60°.若M、N分別是

AB、8c的中點(diǎn)，則線段跖V的最大值為—生巨

AA

【答案】【問題原型】（1）NZ的度數(shù)不發(fā)生變化，理由見解析;(2)

2加；【問題拓展】史應(yīng).

3

【解答】解：【問題原型】（1）NN的度數(shù)不發(fā)生變化，理由如下:

：NA^NBOC，/"go。，

ZA-j-X90°=45。；

（2）當(dāng)NC為O。的直徑時(shí)，ZC最大,

在RtZ^ffOC中，ZBOC=90°,

根據(jù)勾股定理，得082+00=83,

?：OB=OC,

OC=^y-BC=2y-X2=V2>

???AC=2OC=2點(diǎn)，

即AC的最大值為力；

【問題拓展】如圖，畫△48C的外接圓O。，連接。氏OC,ON,

24A/3

：.OB=BN

sin600=近=3

2

VM,N分別是48、5C的中點(diǎn),

：.MN是AABC的中位線,

:.MN=1AC,

2

...NC為直徑時(shí)，NC最大，止匕時(shí)幺。=2。5=對(duì)1_,

3

.,.MN最大值為生應(yīng)，

3

故答案為：迎

3

【變式2-4】(灌南縣校級(jí)月考)我們?cè)趯W(xué)習(xí)圓的知識(shí)時(shí)，常常碰到題目中明明

沒有圓，但解決問題時(shí)要用到，這就是所謂的“隱圓”問題：

下面讓我們一起嘗試去解決：

動(dòng)點(diǎn)，且滿足NP48=NP8C,則線段CP長(zhǎng)的最小值為.

(2)如圖，在正方形48CD中，動(dòng)點(diǎn)E、F分別從D、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以

相同的速度在邊。C、C8上移動(dòng)，連接ZE和。尸交于點(diǎn)P,由于點(diǎn)￡、尸的

移動(dòng)，使得點(diǎn)尸也隨之運(yùn)動(dòng).若2。=2,則線段C尸的最小值是.

(3)如圖，矩形Z8CD中，AB=2,AD=3,點(diǎn)￡、E分別為。。邊上

的點(diǎn)，且所=2,點(diǎn)G為跖的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為8c上一動(dòng)點(diǎn)，則尸Z+PG的最

小值為多少？

【解答】解：(1)如圖1中，

圖I

VZABC=90°,

AZABP+ZPBC^90°,

ZPAB=ZPBC,

：.ZBAP+ZABP=90°,

AZAPB=90°,

.?.點(diǎn)尸在以48為直徑的O。上，連接OC交O。于點(diǎn)尸，此時(shí)尸C最小,

在RtZ^ffC。中，'：ZOBC=90°,5c=4,05=3,

?'-℃=7OB2+BC2=732+42=5，

：.PC=OC-0P=5-3=2.

...PC最小值為2.

故答案為2；

(2)如圖2中,

圖2

：動(dòng)點(diǎn)E,尸分別從。，。兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度在邊。C,C5上移動(dòng),

:.DE=CF,

在△4DE和△DCF中，

'AD=CD

<ZADE=ZBCD=90°，

tDE=CF

:.△ADE/XDCF(SAS),

/./DAE=/CDF,

,：ZCDF+/ADF=N4DC=90°,

AZADF+ZDAE=90°,

：.ZAPD=90°,

取NO的中點(diǎn)。，連接。尸，貝！J。尸=山。=工><2=1(不變)，

22

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得C、P、。三點(diǎn)共線時(shí)線段C尸的值最小，

在RtaCO。中，根據(jù)勾股定理得，C0=JcD24c口2=62+]2=遍,

所以，CP=CO-OP=4s-1.

故答案為：V5-1;

(3)如圖3中,

,:EF=2,點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，

：.DG^1,

???G是以。為圓心，以1為半徑的圓弧上的點(diǎn)，

作/關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn),連接D,交BC于P,交以。為圓心，以1

為半徑的圓于G,

此時(shí)尸N+PG的值最小，最小值為Z'G的長(zhǎng)；

,:AB=2,40=3,

J.AA'=4,

.".A'D=5,

：.A'G=A'D-DG=5-1=4,

：.PA+PG的最小值為4,

【變式2-5]（2022秋?定海區(qū)期中）如圖，△4BC中，AC=3,BC=4五,Z

4cB=45°,D為△48C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，。。為AACD的外接圓，直線BD交。。

于尸點(diǎn)，交8C于E點(diǎn)，定=薜，則AD的最小值為.

【答案】1

【解答】解：：窟=薜,

ZACB^ZCDP.

VZACB=45°,

：.ZCDP=A5°,

AZJ5Z）C=180°-45°=135°,

...點(diǎn)。在以3c為弦，ZBDC=135°的圓弧上運(yùn)動(dòng)，

如圖，設(shè)。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的圓弧圓心為河，取優(yōu)弧8C上一點(diǎn)N,

連接Affi,MC,NB,NC,AM,MD,

則NBNC=180°-ZBDC=45°,

AZBMC=90°,

,:BM=CM,

...ABMC為等腰直角三角形，

AZMCB=45°，MC=^-BC=4,

2

VZACB=45°,

/.ZACM=9Q°,

AM=VAC2+MC2=V32+42=5，

.?.當(dāng)2、D、M三點(diǎn)共線時(shí)，幺。最小，

止匕時(shí)，AD=AM-MD^5-4=1.

故答案為：1.

【典例3】如圖，O。半徑為6,弦48=6,點(diǎn)尸為優(yōu)弧48上一動(dòng)點(diǎn)，ACLAP

交直線尸8于點(diǎn)C,則△48C的最大面積是（）

A.6&B.9A/3C.672D.9

【答案】B

【解答】解：連接CM、0B,作△48C的外接圓O。，如圖1,

：./\0AB為等邊三角形，

AZAOB=60°,

ZAPB^1ZAOB=30°,

2

"：ACLAP,

AZC=60°,

'：AB=6,要使△48C的最大面積，則點(diǎn)C到48的距離最大,

VZACB=60°,點(diǎn)C在O。上,

AZADB=120°,

如圖2,

當(dāng)點(diǎn)C優(yōu)弧48的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)。到48的距離最大，此時(shí)△48C為等邊三角形,

且面積為近452=9仃，

4

AABC的最大面積為9我.

故選：B.

【變式3-1】如圖，O。的半徑為1,弦45=1,點(diǎn)尸為優(yōu)弧定上一動(dòng)點(diǎn)，ACL

AP交直線PB于點(diǎn)C,則△48C的最大面積是（)

C.亨D.冷

【答案】D

【解答】解：連接。4、OB,如圖1,

C

圖1

'：OA^OB=\,AB=1,

.?.△048為等邊三角形，

:./A0B=60°,

：.ZAPB=1ZAOB=30°,

2

\'AC±AP,

：.ZC=6Q°,

；ZB=1,要使△48C的面積最大，則點(diǎn)。到48的距離最大,

VZACB=60°,點(diǎn)。在。。上，

AZADB=120°,

當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧48的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)C到AB的距離最大，此時(shí)△ABC為等邊三角

形，且面積為國(guó)爐=通_,

44

AABC的最大面積為1.

4

故選：D

【變式3-2］如圖，在△45C中，BC=6,ZBAC=45°,則△48C面積的最大

值為.

【答案］9+9后

【解答】解：如圖，作△48C的外接圓O。，連接。8、0C,過點(diǎn)。作

BC于■H,

則BH=HC,

由圓周角定理得：ZBOC=2ZA=9Q°,

：.0B=0C=^BC=3?,OH=1BC=3,

22

當(dāng)BC邊上的高最大時(shí)，△4BC的面積最大，

由題意可知，8c邊上的高的最大值為：3+3^2，

...△48C面積的最大值為：1X6X(3+3V2)=9+9近,

2

故答案為：9+9

【變式3-3】問題提出

(1)如圖①，已知△45C為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則△48C的面積為

V3_；

問題探究

(2)如圖②，在△NBC中，已知N5NC=120°,5c=6、笈，求△NBC的最

大面積；

問題解決

(3)如圖③，某校學(xué)生禮堂的平面示意為矩形Z5CQ,其寬28=20米，長(zhǎng)

5。=24米，為了能夠監(jiān)控到禮堂內(nèi)部情況，現(xiàn)需要在禮堂最尾端墻面CO上

安裝一臺(tái)攝像頭河進(jìn)行觀測(cè)，并且要求能觀測(cè)到禮堂前端墻面Z5區(qū)域，同

時(shí)為了觀測(cè)效果達(dá)到最佳，還需要從點(diǎn)〃出發(fā)的觀測(cè)角NZM3=45°,請(qǐng)你

通過所學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析，在墻面CD區(qū)域上是否存在點(diǎn)河滿足要求？若存在,

求出MC的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)Vs；(2)9V3；(3)存在，/C的長(zhǎng)度為8米或12米.

【解答】解：(1)作/QL8C于。,

???△Z8C是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,

：.BD=1,

?*-AD=VAB2-BD2=V3，

△48C的面積為?|X2X%=JE，

故答案為：A/3；

(2)作△48C的外接圓OO,

VZBAC=nO°,BC=643,

點(diǎn)/在前上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)4OLBC時(shí)，△48C的面積最大，

.,./8。4=60°,BH=CH=3M，

：.OH=3,OB—6,

：.A'H=OA'-OH=6-3=3,

△48C的最大面積為工X6百X3=9加；

2

(3)存在，以Z5為邊，在矩形N5CD的內(nèi)部作一個(gè)等腰直角三角形Z05,

且//。8=90°,

過。作于X,交CD于G,

圖③

：48=20米，

.,.Z//=OH=10米，CM=10企米，

\'BC=24米，

，OG=14米，

V10V2>14,

.?.以。為圓心，CM為半徑的圓與CD相交，

.??O。上存在點(diǎn)滿足NN〃B=45°,此時(shí)滿足條件的有兩個(gè)點(diǎn)河,

過跖作48于尸，作E。，跖尸于E,連接OE,

.?.斯=。〃=10米，（Wi=10企米，

.?.E跖=14米，

.?.0￡=\%2_1評(píng)2=2米，

:.CMi=BF=8米，

同理。跖=8"+?！?10+2=12（米），

：.MC的長(zhǎng)度為8米或12米.

【變式3-4］（1）如圖1,線段N8的長(zhǎng)為4,請(qǐng)你作出一個(gè)以Z8為斜邊且面積

最大的直角三角形48c.

（2）如圖2,在四邊形48CQ中，AD=CD,ZABC=120°,ZADC=

60°,48=4,BC=2,請(qǐng)你求出四邊形48CQ的面積.

問題解決：

(3)小明爸爸所在的工廠需要裁取某種四邊形的材料板，這種材料板的形狀

如圖3所示，并且滿足在四邊形Z5CD中，AD=CD,ZABC=75°,ZADC

=60°,DB=4,你能求出這種四邊形面積的最小值嗎？如果能，請(qǐng)求出此時(shí)

四邊形48CQ面積的最小值；如果不能，請(qǐng)說明理由.

【答案】見試題解答內(nèi)容

畫法：以48為直徑畫圓。，當(dāng)點(diǎn)C位于半圓的中點(diǎn)時(shí)，直角△4