中考數(shù)學復習：一元二次方程專項易錯題（含答案）

一、一元二次方程真題與模擬題分類匯編(難題易錯題)

1.如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A和點B(1,0),與y軸交于點C(0,3),

其對稱軸I為x=-1.

(1)求拋物線的解析式并寫出其頂點坐標；

(2)若動點P在第二象限內的拋物線上，動點N在對稱軸I上.

①當PA_LNA,且PA=NA時，求此時點P的坐標；

②當四邊形PABC的面積最大時，求四邊形PABC面積的最大值及此時點P的坐標.

【答案】(1)y=-(x+1)2+4,頂點坐標為(-1,4)；(2)①點P(-72-1-

2)；②P(-g,y)

【解析】

試題分析：(1)將B、C的坐標代入已知的拋物線的解析式，由對稱軸為1=-1即可得到

拋物線的解析式；

(2)①首先求得拋物線與X軸的交點坐標，然后根據(jù)已知條件得到PD=OA,從而得到方

程求得x的值即可求得點P的坐標；

②S四邊形ABCP=SAOBC+SAAPD+S梯形PDOC，表示出來得到二次函數(shù)，求得最值即可.

試題解析：(1),?,拋物線y=。%2與X軸交于點A和點B(1,0),與y軸交于

a+b+c-Q

a=-1

1c=3

點C(0,3),其對稱軸I為x=—1,，\,解得:{0=—2,.?.二次函數(shù)的

上=—1c=3

2a

解析式為y=—Y—2x+3=—(x+iy+4,.?.頂點坐標為(-1,4);

(2)令=—x1—2x+3=0,解得x=—3或x=l,點A(-3,0),B(1,0),作

PD^x軸于點D,,??點P在丫=一%2一2%+3上，.?.設點P(x,-X2-2X+3)，

①...PA_LNA,且PA=NA,二△PADV△AND,，OA=PD,即y=—f—2x+3=2,解得

x=V2-l(舍去)^x=-72-1>二點P(-V2-1-2)；

②設P(x,y),則y=—廠―2x+3,：S四邊形ABCP=SAOBC+SAAPD+S梯形0c

二—OB?OC+—AD?PD+—(PD+0C)?0D=-x3xl+—x(3+x)y+—(y+3)(-x)=

333/2c、39匚3/3、275

=-------XH—(-x-2x+3)=—X2—X+6=—(XH—)H------,

22222228

???當時，S四邊形ABCP最大值二整，當x二一■1?時，y=-X2-2x+3=,此時P

2o24

I號

考點：L二次函數(shù)綜合題；2.二次函數(shù)的最值；3.最值問題；4.壓軸題.

2.計算題

2

%1

(1)先化簡，再求值：----+(1+——),其中x=2017.

x-1X2-1

(2)已知方程x2-2x+m-3=0有兩個相等的實數(shù)根，求m的值.

【答案】(1)2018；(2)m=4

【解析】

分析：(1)根據(jù)分式的運算法則和運算順序，先算括號里面的，再算除法，注意因式分解

的作用；

(2)根據(jù)一元二次方程的根的判別式求解即可.

21

詳解：(1)—%—(l+r—)

X-1X2-1

_尤2%2—1+1

x-1X2-1

_X2(x+l)(x-l)

x-1X2

=x+l,

當x=200時，原式=2017+1=2018

(2)解：?.?方程x2-2x+m-3=0有兩個相等的實數(shù)根，

△=(-2)2-4xlx(m-3)=0,

解得，m=4

點睛：此題主要考查了分式的混合運算和一元二次方程的根的判別式，關鍵是熟記分式方

程的運算順序和法則，注意通分約分的作用.

3.解方程：（1-2X）2=X2-6X+9

4

【答案】X]=§,x2=-2

【解析】試題分析：先對方程的右邊因式分解，直接開平方或移項之后再因式分解法求解

即可.

試題解析：因式分解，得

（1-2x>=（x-3>

開平方，得

l-2x=x-3,或l-2x=-（x-3）

4

解得X]=§,x2=—2

4.（問題）如圖①，在axbxc（長x寬x高，其中a,b,c為正整數(shù)）個小立方塊組成的長

方體中，長方體的個數(shù)是多少？

（探究）

（1）如圖②，在2x1x1個小立方塊組成的長方體中，棱AB上共有1+2=三一=3條線段,

棱AC,AD上分別只有1條線段，則圖中長方體的個數(shù)為3xlxl=3.

3x4

（2）如圖③，在3x1x1個小立方塊組成的長方體中，棱AB上共有1+2+3=；—=6條線

段，棱AC,AD上分別只有1條線段，則圖中長方體的個數(shù)為6xlxl=6.

（3）依此類推，如圖④，在axlxl個小立方塊組成的長方體中，棱AB上共有

1+2+..-=++1）線段,棱AC,AD上分別只有1條線段，則圖中長方體的個數(shù)為

2

探究二:

(4)如圖⑤，在ax2xl個小立方塊組成的長方體中，棱AB上有乂9D條線段，棱AC

2x3

上有1+2===3條線段，棱AD上只有1條線段，則圖中長方體的個數(shù)為

2

a(a+l)3a(a+l)

-------入DK-L----------.

22

(5)如圖⑥，在ax3xl個小立方塊組成的長方體中，棱AB上有豌；1條線段,棱AC

3x4

上有1+2+3=——二6條線段，棱AD上只有1條線段，則圖中長方體的個數(shù)為_____.

2

(6)依此類推，如圖⑦，在axbxl個小立方塊組成的長方體中，長方體的個數(shù)為

(7)如圖⑧，在以axbx2個小立方塊組成的長方體中，棱AB上有空卻條線段，棱

2

AC上有他由

2

2x3

條線段，棱AD上有1+2二——二3條線段，則圖中長方體的個數(shù)為

2

3a(a+l)b(b+l)3ab(a+l)(b+l)

--------x--------x3=----------------.

224

(8)如圖⑨，在axbx3個小立方塊組成的長方體中，棱AB上有幽土D條線段，棱AC

2

上有Mb+D條線段,棱AD上有1+2+3=辿=6條線段，則圖中長方體的個數(shù)為

22

BA

圖⑤圖⑦

（結論）如圖①，在axbxc個小立方塊組成的長方體中，長方體的個數(shù)為

（應用）在2x3x4個小立方塊組成的長方體中，長方體的個數(shù)為.

（拓展）

如果在若干個小立方塊組成的正方體中共有1000個長方體，那么組成這個正方體的小立方

塊的個數(shù)是多少？請通過計算說明你的結論.

【答案】探究一：⑶與11；探究二⑸3a（a+1）；⑹皿a+：）（b+D；

探究三：（8）3ab（a+D（b+l）；【結論】：①abc（a+l）（b+l）（c+l）；【應用】：

28

180；【拓展】：組成這個正方體的小立方塊的個數(shù)是64,見解析.

【解析】

【分析】

（3）根據(jù)規(guī)律，求出棱AB,AC,AD上的線段條數(shù)，即可得出結論;

（5）根據(jù)規(guī)律，求出棱AB,AC,AD上的線段條數(shù)，即可得出結論;

（6）根據(jù)規(guī)律，求出棱AB,AC,AD上的線段條數(shù)，即可得出結論;

（8）根據(jù)規(guī)律，求出棱AB,AC,AD上的線段條數(shù)，即可得出結論;

（結論）根據(jù)規(guī)律，求出棱AB,AC,AD上的線段條數(shù),即可得出結論;

（應用）a=2,b=3,c=4代入（結論）中得出的結果，即可得出結論；

（拓展）根據(jù)（結論）中得出的結果，建立方程求解，即可得出結論.

【詳解】

喧線段,

解：探究一、（3）棱AB上共有棱AC,AD上分別只有1條線段,

則圖中長方體的個數(shù)為a（a+Dxixi=a（a+l）,

22

a(a+l)

故答案為

2

探究二：探）棱AB上有+條線段,棱AC上有6條線段，棱AD上只有1條線

2

段,

則圖中長方體的個數(shù)為a(a+1)x6xi=3a(a+1),

2

故答案為3a(a+1)；

(6)棱AB上有a(a+l)條線段,棱AC上有b(b+D條線段,棱AD上只有1條線段，

22

則圖中長方體的個數(shù)為業(yè)Dxb(b±l)xi=ab(a+l)(b+l)>

224

“乃士生ab(a+l)(b+l)

故答案為一——八——；

4

探究三：(8)棱AB上有a(a+1條線段,棱AC上有b.+l)條線段,棱AD上有6條

22

線段，

…、小.人皿Ai_a(a+1)b(b+l)3ab(a+l)(b+l)

則圖中長萬體的個數(shù)為」——X」---->-X6=——i----八----,

222

M公厘士3ab(a+l)(b+l)

2

(結論)棱AB上有a(a+D條線段,棱AC上有！(b+1)條線段,棱AD上有C(C+1)條線

222

段，

r.g…/、江3人皿Ai_a(a+1)b(b+l)c(c+l)abc(a+l)(b+l)(c+l)

則圖中長萬體的個數(shù)為△----X△-----1X-3----L=——V----八----八----L,

2228

川田田.abc(a+l)(b+l)(c+l)

8

,m.,4、“jabc(a+l)(b+l)(c+l)

(應用)由(結論)知，一——————

8

在2x3x4個小立方塊組成的長方體中，長方體的個數(shù)為

2x3x4x(2+l)x(3+l)x(4+l)_

------------------------------=180,

8

故答案為為180；

拓展：設正方體的每條棱上都有x個小立方體，即a=b=c=x,

由題意得

%3(%+1)3

-------—=1000,

8

[x(x+1)]3=203,

x(x+1)=20,

.xi=4,X2=-5(不合題意，舍去)

4x4x4=64

所以組成這個正方體的小立方塊的個數(shù)是64.

【點睛】

解此題的關鍵在于根據(jù)已知得出規(guī)律，題目較好，但有一定的難度，是一道比較容易出錯

的題目.

5.若關于x的一元二次方程x2-3x+a-2=0有實數(shù)根.

（1）求a的取值范圍；

（2）當a為符合條件的最大整數(shù)，求此時方程的解.

17

【答案】（1）a<—:（2）x=l或x=2

4

【解析】

【分析】（1）由一元二次方程有實數(shù)根，則根的判別式△=b2-4ac20,建立關于a的不等

式，即可求出a的取值范圍；

（2）根據(jù)（1）確定出a的最大整數(shù)值，代入原方程后解方程即可得.

【詳解】（1）r關于x的一元二次方程x2-3x+a-2=0有實數(shù)根，

..,17

A>0,即（-3）2-4（a-2）20,解得a<—；

4

（2）由（1）可知。W—，

4

a的最大整數(shù)值為4,

此時方程為x2-3x+2=0,

解得x=l或x=2.

【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情

況與判別式△的關系：（1）△>0訪程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）4=0訪程有兩個相

等的實數(shù)根；（3）A<0歷程沒有實數(shù)根.

6.已知關于x的方程X2—（m+2）x+（2m—1）=0。

（1）求證：方程恒有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）若此方程的一個根是1,請求出方程的另一個根，并求以此兩根為邊長的直角三角形

的周長。

【答案】（1）見詳解；（2）4+JIU或4+2收.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)關于X的方程x2—（m+2）x+（2m—1）=0的根的判別式的符號來證明結論.

（2）根據(jù)一元二次方程的解的定義求得m值，然后由根與系數(shù)的關系求得方程的另一根.

分類討論：①當該直角三角形的兩直角邊是2、3時，②當該直角三角形的直角邊和斜邊

分別是2、3時，由勾股定理求出得該直角三角形的另一邊，再根據(jù)三角形的周長公式進行

計算.

【詳解】

解：（1）證明：△=（m+2）2-4（2m-l）=（m—2）2+4,

.,.在實數(shù)范圍內，m無論取何值，(m—2)2+4“>0,即△>0.

；?關于x的方程x2—(m+2)x+(2m-l)=0恒有兩個不相等的實數(shù)根.

(2)?.?此方程的一個根是1,

I2—lx(m+2)+(2m——1)=0,解得，m=2,

則方程的另一根為：m+2-l=2+l=3.

①當該直角三角形的兩直角邊是1、3時，由勾股定理得斜邊的長度為加，該直角三角

形的周長為1+3+710=4+710.

②當該直角三角形的直角邊和斜邊分別是1、3時，由勾股定理得該直角三角形的另一直

角邊為2夜；則該直角三角形的周長為1+3+2夜=4+2夜.

7.已知：關于x的一'兀二次方程/+(祖+l)xH—-2=0.

4

(1)若此方程有兩個實數(shù)根，求沒加的最小整數(shù)值；

(2)若此方程的兩個實數(shù)根為者，x2,且滿足x；+x/2=18-石，求加的值.

【答案】(1)4(2)m=3

【解析】

【分析】

(1)利用根的判別式的意義得到△20,然后解不等式得到m的范圍，再在此范圍內找出

最小整數(shù)值即可；

10

(2)利用根與系數(shù)的關系得到玉+九2=一(根+1)，為％二一根一2,然后解關于m的一

一4

元二次方程，即可確定m的值.

【詳解】

解：(1);f+(〃z+l)x+Lw2-2=0有兩個實數(shù)根，

4

A=(/n+l)2-4x1x(-m2-2)>0,

4

:2m+9>0,

9

/.m>——；

2

m的最小整數(shù)值為：zn=T；

2

(2)由根與系數(shù)的關系得：%1+x2=-(m+l),xlx2=^-m-2,

由%;+%2+%~18——利之得.

1

=18——m29

4

m2+2m—15=0,

解得：加=3或爪=一5；

9

m>—，

2

m=3.

【點睛】

本題考查了根與系數(shù)的關系：若xi,X2是一元二次方程ax2+bx+c=0(axO)的兩根時，則

hC

X+X=—,=-.也考查了根的判別式.解題的關鍵是熟練掌握根與系數(shù)的關系

x2aa

和根的判別式.

8.如圖，在AABC中，Z8=90°,AB=6cm,BC=8cm,若點P從點A沿AB邊向B點以

lcm/s的速度移動，點Q從B點沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，兩點同時出發(fā).

⑴問幾秒后，△P8Q的面積為8cmz?

⑵出發(fā)幾秒后，線段PQ的長為4ecm?

⑶△PBQ的面積能否為10cm2?若能，求出時間；若不能，請說明理由.

【答案】⑴2或4秒;(2)4夜cm；⑶見解析.

【解析】

【分析】

(1)由題意，可設P、Q經(jīng)過t秒，使△PBQ的面積為8cm2,則PB=6-t,BQ=2t,根據(jù)三

角形面積的計算公式，SAPBQ=-BPxBQ,列出表達式，解答出即可；

2

(2)設經(jīng)過x秒后線段PQ的長為40cm,依題意得AP=x,BP=6-x,BQ=2x,利用勾股

定理列方程求解；

(3)將APBQ的面積表示出來，根據(jù)A=b2-4ac來判斷.

【詳解】

(1)設P,Q經(jīng)過t秒時，△PBQ的面積為8cm2,

則PB=6-t,BQ=2t,

ZB=90°,

1

/.—(6—t)x2t=8,

解得ti=2,t2=4,

???當P,Q經(jīng)過2或4秒時，△PBQ的面積為8cm2；

(2)設x秒后，PQ=40cm,

由題意，得(6-X)2+4X?=32,

解得Xi=g,X2=2,

2

故經(jīng)過二秒或2秒后，線段PQ的長為40cm；

⑶設經(jīng)過y秒，△PBQ的面積等于10cm2,

1

SAPBQ=—x（6—y）x2y=10,

2

即y2-6y+10=0,

A=b2—4ac=36—4x10=—4<0,

:&PBQ的面積不會等于10cm2.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的應用，熟練的掌握一元二次方程的應用是本題解題的