2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習專項訓(xùn)練：空間向量的應(yīng)用

專練39空間向量的應(yīng)用

［基礎(chǔ)強化］

一、選擇題

1.若兩不重合直線/i和L的方向向量分別為%=(1，0,-1),V2=(-3,0,3),則/i和L的位置關(guān)

系是()

A.平行B,相交

C.垂直D.不確定

答案：A

解析：：％=一：V2,：.h//l2.

2.若a=(2,-2,-2),5=(2,0,4),則。與》的夾角的余弦值為()

嫗遍

85u-85

C.一隼D.0

答案：C

解析：：|a|=d22+(—2)2+(—2)2=2A/3,|fe|=^/22+02+42=2小,

a-b=2X2+(—2)X0+(—2)X4——4,

.,,V__q±_______—4_V15

..cos〈a,b)-麗-24X2小一—15?

3.若直線/的一個方向向量a=(2,2,-2),平面a的一個法向量Z>=(1,1,-1),貝|()

A.l.LaB.I//a

C.luaD.A,C都有可能

答案：A

解析：：a=25,與5共線，，/_La.

4.在空間四邊形ABC。中，ABCD+ACDB+ADBC=()

A.-1B.0

C.1D.不確定

答案：B

解析：

BC

如圖，令A(yù)3=a,AC=b,AD=c,

則贏CD+ACUB+ADBC

=a"(c—Z>)+/>?(<1-c)+c-(Z>—a)

=a-c—a-b+b-a—b-c-\-c-b-c-a=O.

故選B.

5.若平面a,4的法向量分別為m=(2,-3,5),"=(—3,1,—4),貝!!()

A.a//PB.

C.a,/相交，但不垂直D.以上均不正確

答案：C

解析：?機與“不共線，且—6—3—20W0,

與P相交但不垂直.

6.

如圖所示，已知B4_L平面48C,ZABC=120°,PA=AB=BC=6,貝UPC=()

A.6y[2B.6

C.12D.144

答案：C

解析：'：AB=BC=6,ZABC=120°,：.AC=6y[3,

建立如圖所示的空間直角坐標系，其中。為AC的中點，

A

則P(0,—3小,6),C(0,34,0)

A\PC\=yj(0-0)2+(3^3+3^3)2+62

=12.

7.

4

如圖，在空間直角坐標系中有直三棱柱ABC—A/Ci,CA=CG=2CB,則直線5G與AS夾角的余弦

值為()

A.日B.冷

C.羋D.|

答案：A

解析：設(shè)BC=1,則8(0,0,1),Ci(0,2,0),A(2,0,0),&(0,2,1),

BC1=(O,2,-1),ABl=(-2,2,1),

BCl-ABl=0X(-2)+2X2+(-l)Xl=3.

|BC1|=巾,|AB1|=3,

./in—；IAn”RBC1AB13——亞

..cos(IBC1I，IAB1R-=^-^x3-5.

8.在直三棱柱ABC—Ci中，AB=1,AC=2,8C=/,D,E分別是AG和36的中點，則直線

DE與平面BBiGC所成的角為()

A.30°B.45°

C.60°D.90°

答案：A

解析：

'：AB=1,AC=2,BC=y[3,：.AB2+BC2=AC2,

：.AB±BC,

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A(l,0,0),Ci(0,小，h),Bi(0,0,h),8(0,0,0)

1A命■

份V23-

.D2o,2

.*.5E=(—3，~2，0)，顯然面B81GC的法向量為機=(1,0,0),

：.DE與平面881cle所成角a滿足

1

DEm21

sinot—1X1=2

A\m\

又a￡[0。，90°],

：.a=30°.

9.過正方形ABC。的頂點A作線段陰，面ABC。，若A8=B4,則平面A。尸與平面C。尸所成的二面

角為()

A.30°B.45°

C.60°D.90°

答案：D

解析：

建立如圖所示的空間直角坐標系，

設(shè)A5=l,則A(0,0,0),5(1,0,0),￡)(0,1,0),C(l,1,0),P(0,0,1),

顯然面A￡)尸的法向量帆=(1,0,0),

設(shè)平面CZ)尸的法向量〃=(x,y,z),

CD=(—1,0,0),&=(-1,-1,1),

[-x=0,

?*-1.八令y=l,貝!jz=l,

[-x-y十z=0,

???〃=(0,1,1),

mn=lX0+0X1+OX1=0,

???平面AZ)尸與平面CDP所成的角為90。.

二、填空題

10.已知四邊形A8CD為平行四邊形，且A(4,1,3),8(2,—5,1),C(3,7,—5),則頂點。的坐

標為.

答案：(5,13,-3)

解析：設(shè)。(X,y,z),由題意得Ab=BC,

(x—4,y—1,z-3)=(1,12,—6)

x=5,

??."=13,AD(5,13,-3).

、z=—3,

11.已知空間三點A(0,2,3),8(—2,1,6),C(l,-1,5),則以贏，AC為鄰邊的平行四邊形的

面積為.

答案：7^3

解析：AB=(—2,—1,3),AC=(1,-3,2),

AABAC=-2+3+6=7,\AB|=5,\ACl=g.

r7ABAC71

又……x=嬴>后而=，’

/.sin<AB,AC)=乎，

平行四邊形的面積S=|還|X|AC|Xsin<AB,AC）=75.

12.設(shè)正方體ABCD-A/iGDi的棱長為2,則口點到平面42。的距離為

宏1=案1.■3

解析：建立如圖所示的空間直角坐標系，

則Z)i(0,0,2),Ai(2,0,2),。(0,0,

.?.D1A1=(2,0,0),DA1=(2,0,2),DB=(2,2,0).

設(shè)平面45。的法向量為〃=(%,y,z),

n-DAI=2x+2z=0

則［

(n-Dfe=2x+2y=0

令x=l,貝!］〃=(1,—1,—1),

???點Di到平面AxBD的距離是

IDM1-n|_2_273

D

H□jfr-［能力提升］

13.

如圖所示，在正方體ABCD-AiBiCiDi中，棱長為a,M,N分別為A{B和AC上的點,AiM=AN=^,

則MN與平面331cle的位置關(guān)系是（）

A.斜交

B.平行

C.垂直

D.MN在平面BBiGC內(nèi)

答案：B

解析：建立如圖所示

的空間直角坐標系，由于,

/2ad\(2a2a\

貝MUl州〃，T93)9^\~3~9a)9

MN=(一$0,竽).又Ci。」平面BBiGC,所以CQi=(0,a,0)為平面88cle的一個法向量.因

為就NC1D1」。,所以加_LC1D1',所以MN〃平面B31GC.

14.直三棱柱ABC—A1B1G中，若N8AC=90。，AB=AC=A4i，則異面直線8小與AG所成的角等于

)

A.30°B.45°

C.60°D.90°

答案：C

解析：

如圖所示，以4為坐標原點，All所在直線為x軸，4修為單位長度，4G所在直線為y軸，4欣所

在直線為z軸,建立空間直角坐標系4一肛z.則可得4(0,0,0),Bi(l,0,0,),Ci(0,1,0),A(0,0,

1),5(1,0,1).所以48=(1,0,1),AQ=(0,1,-1).

則|cos<A\6,AC\〉

I砧“AC/

L=A所以異面直線BA】與AC.所成

"X"2

角為60°.故選C.

15.若平面a的一個法向量”=（2,1,1）,直線/的一個方向向量為a=（l,2,3）,則a與/所成角的

正弦值為.

宏案.

口木.6

解析：設(shè)直線/與平面a所成的角為0,

則?,sin。=|I麗na|I=

12X1+1X2+1X315

A/22+12+12-VT2+22+32=6-

16.

5

如圖所示，四棱錐S—A8C。中，底面ABC。為平行四邊形，側(cè)面SBC,底面42C，已知/A8C=45。，

BC=2y[2,AB=2,SA=SB=yf3.求直線SO與平面SAB所成角的正弦值為.

答案：喑

解析：如圖所示，

SO1BC,垂足為。，連接A。，由側(cè)面SBC,底面ABCD,得S。，底面