平面幾何解決解析幾何問題-2024屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義

微專題平面幾何解決解析幾何問題

一.前后

在高中數(shù)學(xué)，平幾知識的滲透無處不在，特別是在立體幾何和解

析幾何，平幾知識以這兩個題型為載體進(jìn)行滲透，同樣更為隱蔽，更為

靈活地進(jìn)行了考查.

不難發(fā)現(xiàn)，近幾年解析幾何試題的解題廣度，難度發(fā)生很大的變

化，除了解析幾何具備的轉(zhuǎn)化和計算難度外，還有一個最根本的原因

就是平面幾何的滲透和參與.平幾知識急欲尋找搭載考查的平臺，在

解析幾何題目中涉及平面幾何知識甚多，可見命題人用心良苦.

二.舉例

例1.已知雙曲線C：1->2=1,。為坐標(biāo)原點，口為。的右焦點，過歹的直

線與C的兩條漸近線的交點分別為M,N.若MJMN為直角三角形，則

\MN\=

解析：如圖⑴所示，由于漸近線ON方程為y=Rx,NOMN=90,所以

NNOF=NMOF=/MNO=30,因此|而|=c,〔MFI=(,故而=|c=3.

簡析：結(jié)合圖形運用平幾知識求解，充分挖掘題目隱含的角度關(guān)系和

線段長度關(guān)系.解題過程十分簡潔流暢，充分體現(xiàn)了平幾的重要作用.

例2.已知F],居，是橢圓C：《+?=l(a>/?>0)的左右焦點，A是C的左

ab

頂點，點P在過A且斜率為3的直線上，APF^為等腰三角

6

形,ZF^P=120,則C的離心率為

圖⑵

解析:如圖⑵所示，由已知可得N”x=60，冏|=2c,所以P（2c,gc）.

因此即A=百幺=且，解得e=L.

2c+a62

簡析：結(jié)合圖形運用平幾知識求解，抓住AP耳心為等腰三角

形，ZF1F2P=120這個條件，得至Ijp（2c,gc）,結(jié)合斜率公式求解.

例3.已知小B是雙曲線=1（。>6>。）的左右焦點，。是坐標(biāo)

原點.過工作C的一條漸近線的垂線，垂足為P-若|尸制="|。尸|,則C

的離心率為

圖⑶

解析:如圖⑶所示，由已知有歸閭=仇?&a=c,po|=

a

耳（-c,0）.由|「耳|=盾得--\-c

化簡得/=3a2,e—g.

簡析：由平幾知識易知雙曲線的焦點到漸近線的距離為。，且垂足P落

2（2i\

在準(zhǔn)線X=幺上.因此容易得到點P幺，弛，結(jié)合距離公式求解.與本

CC

題十分類似的有以下兩道高考試題：

22

題1:已知曲線C:J-三=1（a>03>0）的離心率為2,過右焦點且垂直

于x的直線與雙曲線交于兩點.設(shè)A,B到雙曲線的同一條漸近線的

距離分另4為4和且4+a=6,則雙曲線的方程為

解析：如圖(4)所示，作抨垂直于漸近線y=3,則\FP\^b且

a

匕=出三=3.結(jié)合￡=2得雙曲線的方程為反-反=1.

2a39

22

題2:在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線二-二=1(a>03>0)的右焦

crb

點F(c,0)到一條漸近線的距離為日c,則離心率的值是

解析：由已知有b=c,則e=2

例4.已知點加(-1,1)和拋物線C:V=4%,過C的焦點且斜率為左的直線

與C交于兩點.若ZAMB=90，則左=

圖⑸

解析：如圖⑸所示，由已知有直線M4,MB是拋物線的切線，AB為切

點弦.由于點M(-U),拋物線C:=4x,故直線AB方程為y-l=4-^,

即y—2x-2,所以左=2.

簡析：由平幾知識結(jié)合拋物線的性質(zhì)可知若直線AB過焦點，點M在準(zhǔn)

線上且ZAMB=90,則直線MA,MB是拋物線的切線.

例5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A為直線/:y-2x上再等一■象限內(nèi)的

點，8(5,0),以A3為直徑的圓C與直線/交于另一點D.若48。=0,則

解析：如圖⑹所示，由已知可得/胡。=工.設(shè)直線/的傾斜角為6,則

4

tan6=2且NABx=?+9,故心B==-3,因而直線A3方程為

y=-3x+15,與直線/:y=2x聯(lián)立得點A的橫坐標(biāo)為3.

簡析：結(jié)合圖形運用平幾知識可知AABD為等腰直角三角形.觀察圖形

發(fā)現(xiàn)直線AB的傾斜角與直線/的傾斜角滿足關(guān)系式ZABx=工+，，從而

4

巧妙求出直線A3方程.本題充分運用平幾知識，解題思路十分簡潔，

大道至簡.

例6.已知橢圓+A=l（。＞6＞。），雙曲線N:￡-工=1.若雙曲線

a2b1nrn2

N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個

正六邊形的頂點，則橢圓M的離心率為;雙曲線N的離心率為

圖⑺

解析：如圖⑺所示，由已知可得？=tan60=73,故雙曲線N的離心率

a

為2.連接BF,易知NFBC=90.由6c+c=2a得橢圓M的離心率為

73-1.

簡析：充分借助正六邊形的幾何性質(zhì)，結(jié)合雙曲線和橢圓的性質(zhì)求解，

大大提高解題速度，減少運算量.

例7.已知雙曲線。：￡-占=1的右頂點為A,以A為圓心，Z?為半徑作圓

CT6

A,圓A與雙曲線。的一條漸近線交于兩點.若NMAN=60。，則C

的離心率為.

解析:如圖（8）所示，AP±MN,因為圓A與雙曲線C的一條漸近線

交于兩點，則為雙曲線的漸近線y=上的點，且A（a,O）,

a

\AM\=\AN\^b,^AP±MN,所以NPAN=30，點A(a,O)到直線的

a

距離IAP|=J。.在RtAPAN中，cosNPAN=^8,代入計算得"=3)2,

Ib2Ml

即a=/b,由/=a?+b?得c=2Z?,所以e=￡=?=3叵

ay/3b3.

簡析:在圖形的基礎(chǔ)上，結(jié)合平幾知識，不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到所要的結(jié)

論，充分挖掘圖形中隱含的信息是解題的關(guān)鍵.

例8.已知尸是拋物線C:/=8%的焦點，M是C上一點，F(xiàn)7W的延長線

交y軸于點N.若M為FN的中裊,則|可|=

解析:如圖（9）所示，不妨設(shè)點M位于第一象限，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x

軸交于點尸，作MBL1與點、B,神，/與點4,由拋物線的解析式可得

準(zhǔn)線方程為％=-2,則⑷V=2,尸尸=4,在直角梯形4VFP中，中位線

BM=AN+FF=3,由拋物線的定義有MF=MB=3,結(jié)合題意有

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MN=MF=3,故|叩=即|+3|=3+3=6.

簡析:借助中位線的性質(zhì)，充分運用平幾知識，結(jié)合拋物線性質(zhì)求解.

三.教學(xué)啟示

學(xué)好平面幾何對學(xué)生的邏輯推理能力，圖形圖像的分析能力等有

重大幫助，而這種能力是學(xué)好后續(xù)課程的必要條件.高中數(shù)學(xué)關(guān)于幾

何的內(nèi)容主要是