2019-2020學年新教材高中數(shù)學第三章函數(shù)概念與性質(zhì)3.4函數(shù)的應(yīng)用一應(yīng)用案鞏固提升新人教A版必修第一冊

PAGE1-3.4函數(shù)的應(yīng)用（一）[A基礎(chǔ)達標]1．某商場以每件30元的價格購進一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)，這種商品每天的銷量m(件)與售價x(元/件)之間的關(guān)系滿足一次函數(shù)：m＝162－3x.若要使每天獲得最大的銷售利潤，則該商品的售價應(yīng)定為()A．40元/件B．42元/件C．54元/件D．60元/件解析：選B.設(shè)每天獲得的銷售利潤為y元，則y＝(x－30)(162－3x)＝－3(x－42)2＋432，所以當x＝42時，獲得的銷售利潤最大，故該商品的售價應(yīng)定為42元/件．2．把長為12cm的細鐵絲截成兩段，各自圍成一個正三角形，那么這兩個正三角形面積之和的最小值是()A.eq\f(\r(3),2)cm2 B．4cm2C．3eq\r(2)cm2 D．2eq\r(3)cm2解析：選D.設(shè)一段長為xcm，則另一段長為(12－x)cm，兩個正三角形的面積之和為Scm2.分析知0＜x＜12.則S＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(x,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(\r(3),18)(x－6)2＋2eq\r(3)，當x＝6時，Smin＝2eq\r(3).3．某小區(qū)物業(yè)管理中心制訂了一項節(jié)約用水措施，作出如下規(guī)定：如果某戶月用水量不超過10立方米，按每立方米m元收費；月用水量超過10立方米，則超出部分按每立方米2m元收費．已知某戶某月繳水費16m元，則該戶這個月的實際用水量為()A．13立方米 B．14立方米C．18立方米 D．26立方米解析：選A.由已知得，該戶每月繳費y元與實際用水量x立方米滿足的關(guān)系式為y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(mx，0≤x≤10，,2mx－10m，x>10.))由y＝16m，得x>10，所以2mx－10m＝16m.解得x＝13.故選A.4．一家報刊推銷員從報社買進報紙的價格是每份2元，賣出的價格是每份3元，賣不完的還可以以每份0.8元的價格退回報社．在一個月(以30天計算)內(nèi)有20天每天可賣出400份，其余10天每天只能賣出250份，且每天從報社買進報紙的份數(shù)都相同，要使推銷員每月所獲得的利潤最大，則應(yīng)該每天從報社買進報紙()A．215份B．350份C．400份 D．520份解析：選C.設(shè)每天從報社買進x(250≤x≤400，x∈N)份報紙時，每月所獲利潤為y元，具體情況如下表．數(shù)量/份單價/元金額/元買進30x260x賣出20x＋10×250360x＋7500退回10(x－250)0.88x－2000y＝[(60x＋7500)＋(8x－2000)]－60x＝8x＋5500(250≤x≤400，x∈N)．因為y＝8x＋5500在[250，400]上是增函數(shù)，所以當x＝400時，y取得最大值8700.即每天從報社買進400份報紙時，每月獲得的利潤最大，最大利潤為8700元．故選C.5.某工廠8年來的產(chǎn)品年產(chǎn)量y與時間t(單位：年)的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則下面四個結(jié)論，正確的是________(填序號)．①前3年的年產(chǎn)量增長速度越來越快；②前3年的年產(chǎn)量增長速度越來越慢；③3年后，這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)；④3年后，這種產(chǎn)品年產(chǎn)量保持不變．解析：由圖象可知，前3年中，年產(chǎn)量的增長速度越來越快．后5年的年產(chǎn)量是不變的，所以①④正確．答案：①④6．統(tǒng)計某種水果在一年中四個季度的市場價格及銷售情況如下表．季度1234每千克售價(單位：元)19.5520.0520.4519.95某公司計劃按這一年各季度“最佳近似值m”收購這種水果，其中的最佳近似值m這樣確定，即m與上表中各售價差的平方和最小時的近似值，那么m的值為________．解析：設(shè)y＝(m－19.55)2＋(m－20.05)2＋(m－20.45)2＋(m－19.95)2＝4m2－2×(19.55＋20.05＋20.45＋19.95)m＋19.552＋20.052＋20.452＋19.952，則當m＝eq\f(19.55＋20.05＋20.45＋19.95,4)＝20時，y取最小值．答案：207.如圖，一動點P從邊長為1的正方形ABCD的頂點A出發(fā)，沿正方形的邊界逆時針運動一周，再回到點A.若點P經(jīng)過的路程為x，點P到頂點A的距離為y，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是________．解析：①當0≤x≤1時，AP＝x，也就是y＝x.②當1<x≤2時，AB＝1，AB＋BP＝x，BP＝x－1，根據(jù)勾股定理，得AP2＝AB2＋BP2，所以y＝AP＝eq\r(1＋（x－1）2)＝eq\r(x2－2x＋2).③當2<x≤3時，AD＝1，DP＝3－x，根據(jù)勾股定理，得AP2＝AD2＋DP2，所以y＝AP＝eq\r(1＋（3－x）2)＝eq\r(x2－6x＋10).④當3<x≤4時，有y＝AP＝4－x.所以所求的函數(shù)關(guān)系式為y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，0≤x≤1，,\r(x2－2x＋2)，1<x≤2，,\r(x2－6x＋10)，2<x≤3，,4－x，3<x≤4.))答案：y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，0≤x≤1，,\r(x2－2x＋2)，1<x≤2，,\r(x2－6x＋10)，2<x≤3，,4－x，3<x≤4))8．某地上年度電價為0.8元/度，年用電量為1億度．本年度計劃將電價調(diào)至0.55～0.75元/度之間(包含0.55元/度和0.75元/度)，經(jīng)測算，若電價調(diào)至x元/度，則本年度新增用電量y(億度)與(x－0.4)(元/度)成反比，且當x＝0.65時，y＝0.8.(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若每度電的成本為0.3元，則電價調(diào)至多少時，電力部門本年度的收益將比上一年增加20%?[收益＝用電量×(實際電價－成本價)]解：(1)因為y與(x－0.4)成反比，所以可設(shè)y＝eq\f(k,x－0.4)(k≠0)，把x＝0.65，y＝0.8代入上式，得0.8＝eq\f(k,0.65－0.4)，解得k＝0.2，所以y＝eq\f(0.2,x－0.4)＝eq\f(1,5x－2)，所以y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝eq\f(1,5x－2)(0.55≤x≤0.75)．(2)根據(jù)題意，得(1＋eq\f(1,5x－2))(x－0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)，整理得x2－1.1x＋0.3＝0，解得x1＝0.5(舍去)或x2＝0.6，所以當電價調(diào)至0.6元/度時，電力部門本年度的收益將比上一年增加20%.9．已知A，B兩城市相距100km，在兩地之間距離A城市xkm的D處修建一垃圾處理廠來解決A，B兩城市的生活垃圾和工業(yè)垃圾，且垃圾處理廠與城市的距離不得少于10km.已知城市的垃圾處理費用和該城市到垃圾處理廠距離的平方與垃圾量之積成正比，比例系數(shù)為0.25.若A城市每天產(chǎn)生的垃圾量為20t，B城市每天產(chǎn)生的垃圾量為10t.(1)求x的取值范圍；(2)把每天的垃圾處理費用y表示成x的函數(shù)；(3)垃圾處理廠建在距離A城市多遠處，才能使每天的垃圾處理費用最少？解：(1)x的取值范圍為[10，90]．(2)由題意，得y＝0.25[20x2＋10(100－x)2]，即y＝eq\f(15,2)x2－500x＋25000(10≤x≤90)．(3)y＝eq\f(15,2)x2－500x＋25000＝eq\f(15,2)(x－eq\f(100,3))2＋eq\f(50000,3)(10≤x≤90)，則當x＝eq\f(100,3)時，y最小．即當垃圾處理廠建在距離A城市eq\f(100,3)km處時，才能使每天的垃圾處理費用最少．[B能力提升]10．某電腦公司2017年的各項經(jīng)營收入中，經(jīng)營電腦配件的收入為400萬元，占全年經(jīng)營總收入的40%，該公司預(yù)計2019年經(jīng)營總收入要達到1690萬元，且計劃從2017年到2019年，每年經(jīng)營總收入的年增長率相同，則2018年預(yù)計經(jīng)營總收入為______萬元．解析：設(shè)年增長率為x(x>0)，則eq\f(400,40%)×(1＋x)2＝1690，所以1＋x＝eq\f(13,10)，因此2018年預(yù)計經(jīng)營總收入為eq\f(400,40%)×eq\f(13,10)＝1300(萬元)．答案：130011．某市居民生活用水收費標準如下：用水量x/t每噸收費標準/元不超過2t部分m超過2t不超過4t部分3超過4t部分n已知某用戶1月份用水量為8t，繳納的水費為33元；2月份用水量為6t，繳納的水費為21元．設(shè)用戶每月繳納的水費為y元．(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)若某用戶3月份用水量為3.5t，則該用戶需繳納的水費為多少元？(3)若某用戶希望4月份繳納的水費不超過24元，求該用戶最多可以用多少噸水．解：(1)由題設(shè)可得y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(mx，0≤x≤2，,2m＋3（x－2），2<x≤4，,2m＋6＋n（x－4），x>4.))當x＝8時，y＝33；當x＝6時，y＝21，代入得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m＋6＋4n＝33，,2m＋6＋2n＝21，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝1.5，,n＝6.))所以y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1.5x，0≤x≤2，,3x－3，2＜x≤4，,6x－15，x＞4.))(2)當x＝3.5時，y＝3×3.5－3＝7.5.故該用戶3月份需繳納的水費為7.5元．(3)令6x－15≤24，解得x≤6.5.故該用戶最多可以用6.5t水.12．某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從2月1日起的300天內(nèi)，西紅柿市場售價P(單位：元/102kg)與上市時間t(單位：天)的關(guān)系符合圖1中的折線表示的函數(shù)關(guān)系，西紅柿種植成本Q(單位：元/102kg)與上市時間t(單位：天)的關(guān)系符合圖2中的拋物線表示的函數(shù)關(guān)系．(1)寫出圖1表示的市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系式P＝f(t)，圖2表示的種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系式Q＝g(t)；(2)若市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的純收益最大？解：(1)由圖1可得市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系式為f(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(300－t，0<t≤200,2t－300，200<t≤300)).由圖2可得種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系式為g(t)＝eq\f(1,200)(t－150)2＋100，0<t≤300.(2)設(shè)上市時間為t時的純收益為h(t)，則由題意，得h(t)＝f(t)－g(t)，即h(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,200)t2＋\f(1,2)t＋\f(175,2)，0<t≤200,－\f(1,200)t2＋\f(7,2)t－\f(1025,2)，200<t≤300)).當0<t≤200時，整理，得h(t)＝－eq\f(1,200)(t－50)2＋100，當t＝50時，h(t)取得最大值100；當200<t≤300時，整理，得h(t)＝－eq\f(1,200)(t－350)2＋100，當t＝300時，h(t)取得最大值87.5.綜上，當t＝50，即從2月1日開始的第50天上市的西紅柿的純收益最大．[C拓展探究]13．某地發(fā)生地質(zhì)災(zāi)害，使當?shù)氐淖詠硭艿搅宋廴?，某部門對水質(zhì)檢測后，決定在水中投放一種藥劑來凈化水質(zhì)．已知每投放質(zhì)量為m(mg)的藥劑后，經(jīng)過x天該藥劑在水中釋放的濃度y(mg·L－1)滿足y＝mf(x)，其中f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,16)＋2，0<x≤4,\f(x＋14,2x－2)，x>4)).當藥劑在水中釋放的濃度不低于4mg·L－1時稱為有效凈化；當藥劑在水中釋放的濃度不低于4mg·L－1且不高于10mg·L－1時稱為最佳凈化．(1)如果投放的藥劑質(zhì)量為4mg，問自來水達到有效凈化一共可持續(xù)幾天？(2)為了使在7天(從投放藥劑算起)之內(nèi)的自來水達到最佳凈化，試確定應(yīng)該投放的藥劑質(zhì)量m的最小值．解：(1)由題意，得當藥劑質(zhì)量m＝4時，y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋8，0<x≤4,\f(2x＋28,x－1)，x＞4)).當0<x≤4時，eq\f(x2,4)＋8≥4顯然成立；當x>4時，由eq\f(2x＋28,x－1)≥4，得2x＋28≥4(x－1)，得4<x≤16.綜上，0<x≤16.所以自來水達到有效凈化一共可持續(xù)16天．(2)由題意，知0<x≤7，y＝mf(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(m