人教版初中八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講義-最短路徑（原卷版）

第05講最短路徑

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握最短路徑的基本原理，即兩點(diǎn)之間線段最短，

①最短路徑的基本原理點(diǎn)到直線的距離最短。

②最短路徑的基本模型2.掌握最短路徑的幾種模型，能夠熟練的運(yùn)用軸對(duì)稱，

垂直平分線的性質(zhì)解決相應(yīng)題目。

思維導(dǎo)圖

知識(shí)點(diǎn)01最短路徑的基本原理

i.最短路徑的基本原理:

號(hào)線最短

最短。

p

③垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離o如圖，九W是垂直平分線，C4=

知識(shí)點(diǎn)02最短路徑的基本類型1——直線上一點(diǎn)到同側(cè)兩點(diǎn)的距離之和最短

1.如圖，存在直線/以及直線外的點(diǎn)P和點(diǎn)。，直線/上存在一點(diǎn)使得的值最?。?/p>

方法點(diǎn)撥：作其中一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)，線段與直線,

的交點(diǎn)即為要找的點(diǎn)二_____________1

解：如圖，作點(diǎn)P關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)連接尸’0,P。與直線/交于點(diǎn)則此時(shí)MP+M0最小。

證明：?.?尸與P關(guān)于直線/對(duì)稱

直線I是PP的________________

：.MPMP'

：.MP+MQ=+MQ=o

此時(shí)有最小值，為的長(zhǎng)度

題型考點(diǎn)：①基本作圖。②求值計(jì)算。

【即學(xué)即練11

1.如圖，在正方形網(wǎng)格中有M,N兩點(diǎn)，在直線/上求一點(diǎn)尸使PM+PN最短，則點(diǎn)P應(yīng)選在（）

C.C點(diǎn)D.。點(diǎn)

【即學(xué)即練21

2.如圖，在等邊△A8C中，3c邊上的高AD=6,E是高4D上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，尸是邊的中點(diǎn)，在點(diǎn)E運(yùn)

動(dòng)的過程中，匹+￡尸存在最小值，則這個(gè)最小值是（）

A.5B.6C.7D.8

知識(shí)點(diǎn)03最短路徑基本類型一一角內(nèi)一點(diǎn)與角兩邊構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)最短

1.如圖，已知以及角內(nèi)一點(diǎn)尸，角的兩邊?！迸c。N上存在點(diǎn)/與點(diǎn)3,使得△E42的周長(zhǎng)最小:

方法點(diǎn)撥：分別作點(diǎn)P關(guān)于OM與ON的對(duì)稱點(diǎn)P與P'連接PP'。P'P"

與OM、ON的交點(diǎn)A與B即為要找到的點(diǎn)。

解:如圖，分別作點(diǎn)尸關(guān)于與ON的對(duì)稱點(diǎn)P與P連接PP"。P'P"http://

0--------------M

與（W、ON的分別交于點(diǎn)/與點(diǎn)2,連接以、PB以及AB,此時(shí)的周長(zhǎng)最

小。

,4rN

證明：與P關(guān)于（W對(duì)稱，尸與尸〃關(guān)于ON對(duì)稱

是PP的___________,ON是刊”的______

APAP',BPBPn

?！骺邙B=E4+AB+PB=______-\-AB-\-=0

t1

:.△R4B的周長(zhǎng)最小。p,

題型考點(diǎn)：①基本作圖。②求值計(jì)算。

【即學(xué)即練1】

3.如圖，已知/。，點(diǎn)P為其內(nèi)一定點(diǎn)，分別在N。的兩邊上找點(diǎn)/、B,使△為5周長(zhǎng)最小的是（）

-B.X

/f。

C.。/一BD./）匕

【即學(xué)即練21

4.如圖，已知的大小為a,P是N/O3內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn)，且。P=5,點(diǎn)E、尸分別是04、08上的

動(dòng)點(diǎn)，若△尸跖周長(zhǎng)的最小值等于5,則（1=（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

知識(shí)點(diǎn)04最短路徑基本類型一一角內(nèi)兩點(diǎn)與角兩邊構(gòu)成的四邊形周長(zhǎng)最短

1.如圖：已知//O5以及角內(nèi)兩點(diǎn)點(diǎn)尸與點(diǎn)。,角的兩邊上分別存在M、N使得四邊形PQMN的周長(zhǎng)最小:

方法點(diǎn)撥：分別作點(diǎn)關(guān)于較近直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的線段與邊

CU與08相交與點(diǎn)河與點(diǎn)N,此時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)N即為要找的點(diǎn)。

解：如圖，作點(diǎn)。關(guān)于04的對(duì)稱點(diǎn)。，點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)C,連接DC,o<[

DC與OA交于點(diǎn)M,與OB交于點(diǎn)N,連接QM,MN,PN,PQ.此時(shí)四邊形PQMN

的周長(zhǎng)最下。S

證明：與。關(guān)于CM對(duì)稱，尸與C關(guān)于對(duì)稱

D

???。4是。。的,05是尸。的o

MDMQ,NPNCo乂

C四邊形PQMN=PQ+QM+MN+PNQ

—PQ~\~-\-MN-\~

=PQ+。

...四邊形PQMN的周長(zhǎng)最小。

題型考點(diǎn)：①基本作圖。

【即學(xué)即練1】

5.已知：點(diǎn)"和點(diǎn)N,試在。4、03上分別找點(diǎn)P、Q,使四邊形尸的周長(zhǎng)最短.（尺規(guī)作

圖，不需寫作法，保留作圖痕跡）

知識(shí)點(diǎn)05最短路徑基本類型一一造橋選址問題

1.如圖：平行河岸兩側(cè)各有一村莊P、Q,現(xiàn)在河上修建一座垂直于河岸的橋，使得村莊P到村莊Q的路程

最短：?P

方法點(diǎn)撥：在其中一個(gè)村莊作垂直于河岸的直線，使其長(zhǎng)度等于橋的長(zhǎng)度，

連接端點(diǎn)與另一村莊，直線與另一村莊岸邊的交點(diǎn)即為選址地點(diǎn)。如下圖：一

題型考點(diǎn)：①基本作圖。

【即學(xué)即練11

6.如圖，/和8兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋使從4到8的路徑4WS最短的是（假

定河的兩岸是平行直線，橋要與河岸垂直）（）

題型精講

題型01最短路徑的作圖

【典例1】

小王準(zhǔn)備在紅旗街道旁建一個(gè)送奶站，向居民區(qū)/,8提供牛奶，要使/,8兩小區(qū)到送奶站的距離之和最

小，則送奶站C的位置應(yīng)該在（）

居民區(qū)A居民區(qū)A/

\以炎心居民區(qū)

居民區(qū)BB

A.街道---------街道——

B.:C

居民區(qū)A

I居民區(qū)B居民區(qū)A

街道,/\居民區(qū)B

街道—^

C.A'D.C

【典例2】

如圖，河道/的同側(cè)有"，N兩個(gè)村莊計(jì)劃鋪設(shè)管道將河水引至M,N兩村，下面四個(gè)方案中，管道總長(zhǎng)

度最短的是（）

/N

：/Q1

A.Q1?

B./

二N

c.Q\D.Q

【典例3】

如圖，直線/1，/2表示一條河的兩岸，且/1〃/2現(xiàn)要在這條河上建一座橋（橋與河的兩岸相互垂直），使

得從村莊P經(jīng)橋過河到村莊。的路程最短，應(yīng)該選擇路線（）

C

111

E’2--

A.路線：PF^FQPB.路線：PE-EQP

C.路線：PE—EF—FQPD.路線：PE—EF—FQ

【典例4】

將軍要檢閱一隊(duì)士兵，要求（如圖所示）；隊(duì)伍長(zhǎng)為°,沿河。2排開（從點(diǎn)尸到點(diǎn)。）；將軍從馬棚M

出發(fā)到達(dá)隊(duì)頭尸，從P至。檢閱隊(duì)伍后再趕到校場(chǎng)M請(qǐng)問：在什么位置列隊(duì)（即選擇點(diǎn)P和。），可

以使得將軍走的總路程MP+P0+QN最短？

【典例5】

如圖，山娃星期天從/處趕了幾只羊到草地/1放羊，然后趕羊到小河/2飲水，之后再回到2處的家，假設(shè)

山娃趕羊走的都是直路，請(qǐng)你為它設(shè)計(jì)一條最短的路線，標(biāo)明放羊與飲水的位置.

草地

【典例6】

如圖：要求在人、/2上找出M,N兩點(diǎn).使四邊形尸QW的周長(zhǎng)最小，在圖上畫出M,N的位置.（不寫

畫法，保留作圖痕跡）

h

題型02最短路徑的計(jì)算

【典例1】

如圖，等邊△4BC中，。為/C中點(diǎn)，點(diǎn)尸、。分別為48、4D上的點(diǎn)，且2尸=/。=4,QD=3,在上

有一動(dòng)點(diǎn)E,則PE+QE的最小值為（）

【典例2】

如圖，CO是△/2C的角平分線，△N2C的面積為12,2C長(zhǎng)為6,點(diǎn)E,尸分別是CD,/C上的動(dòng)點(diǎn)，則

/￡+斯的最小值是（）

C.3D.2

【典例3】

如圖，四邊形488中，/BAD=a,NB=/D=9Q°,在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N,當(dāng)△/的周長(zhǎng)

最小時(shí)，則NM4N的度數(shù)為（）

c

A.工。B.2a-180°C.180°-aD.a-90°

2

【典例4】

如圖，ZAOB=3Q°,點(diǎn)。是它內(nèi)部一點(diǎn)，OD=m.點(diǎn)、E,尸分別是。2上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△￡>￡下周

A.0.5mB.mC.1.5mD.2m

【典例5】