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文檔簡介
專練18高考大題專練(一)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
X
1.[2024?新課標I卷]已知函數(shù)段)=ln+ax+b(x-l)i.
(1)若b=0,且力:尤)20,求。的最小值;
(2)證明:曲線>=/(尤)是中心對稱圖形;
(3)若兀0>—2當且僅當求b的取值范圍.
V
解析:(1)當8=0時,f(x)=\n"7^+ax9x£(0,2),
M12—xx,2~x2~x—(—1)x,2
則/㈤=丁?(二)'+〃=丁'-(2-x)2+a=r(i--+“.
2
?.了(無)20,.??吟屋_2)在(°,2)上恒成立.
當XG(O,2)時,x(x-2)e[-l,0),
-x(x-2)8,-2]
—2,+°°),即〃的最小值為-2.
Y
(2)證明:方法一\'J(x)=ln2—x+〃x+b(x—1)二工£(0,2),
]~\~x
?\/(x+l)=ln[二%+ax+a+bxi,%£(—1,1).
人]+x11aci1—%14-X
令g(x)=/(x+l)-a=ln+ax+bx3,%£(—1,1),則g(-x)=ln~ax~^q=—ln—ax
一加=—g(x),「.ga)是定義域為(一1,1)的奇函數(shù),其圖象關(guān)于坐標原點。對稱.
又??7U)的圖象可由g(x)的圖象向右平移1個單位長度,再向上平移,個單位長度得到,,曲線y=/(x)
是中心對稱圖形.
方法二危)的定義域為(0,2),11)=〃.
]~Hx1-x
當x£(—1,1)時,/(l+x)=ln]_%+〃(1+工)+加?,/(I—x)=ln1十.+〃(1—%)—bx\
1X1—X
.*./1+^)+/1—X)=\n不彳+ln+2〃=2〃,,曲線y=/(x)關(guān)于點(1,〃)中心對稱,即曲線y=?x)
是中心對稱圖形.
⑶?.?於)>—2當且僅當Kx<2,
:.fil)=-2=^a=-2,
Y11
32
??fix)—In_x—2x+b(x—1)>—2對任意(1,2)怛成立,/(x)=~_x—2+3Z?(x—I)=
2(X—1)22
+3b(x—1)2=(x—1)2-(2—x)+3處
x(2—x)
22
令機(x)=-z9_x+3/?,???必有機(1)=2+3。三0=82—彳.
2
否則若從一W,則存在次14<2)使得當x£(l,3)時,
/(x)<0,危)在(1,3)上單調(diào)遞減,,人①勺(1)=-2.
2r2
3
當—1時,對任意x£(l,2),於)NInx-2x一(x—1),
Y22(x—1)2]
—2%——22
令成x)=ln嘮73(%—1>,則h'(x)=J(2—x)2(x—1)=2(x-1)[^.(2—%)11]>°,對任
意x£(l,2)恒成立,
Z./z(x)>/i(l)=-2,符合條件.
2
綜上可得b的取值范圍是[―彳,+8).
2.[2023?新課標I卷]已知函數(shù)段)=〃(e*+〃)一x.
(1)討論/(x)的單調(diào)性;
3
(2)證明:當a>0時,f(x)>2\n.
解析:(l)f(x)=aex—l,
當aWO時,/(%)W0,
所以函數(shù)欠工)在(一8,+8)上單調(diào)遞減;
當〃>0時,令/(x)>0,得令/(x)<0,得%
所以函數(shù)?x)在(-8,—ln〃)上單調(diào)遞減,在(一ln〃,+8)上單調(diào)遞增.
綜上可得:當時,函數(shù)/(X)在(一8,十8)上單調(diào)遞減;
當〃>0時,函數(shù)/(x)在(一8,—ln〃)上單調(diào)遞減,在(一Ino,+8)上單調(diào)遞增.
(2)方法一由(1)得當〃>0時,函數(shù)y(x)=Q(e,+a)—x的最小值為八-Ina)=a(e—in"+")+ln〃=1+/+
Ina,
31
令g(Q)=l+〃2+lna-21n〃一]=層一Ina—1,〃£(0,+°°),
所以/⑷=2〃一(,令/⑷>0,得。,乎;令夕⑷<0,得0<〃<乎.
所以函數(shù)g(。)在(0,坐)上單調(diào)遞減,在(乎,+8)上單調(diào)遞增,
所以函數(shù)g(。)的最小值為g(乎)=(乎In乎—=lny/2>0,
3
所以當a>0時,/(x)>21n〃+2成立.
方法二當〃>0時,由(1)得,y(x)min=/(—lnq)=l+/+ln〃,
3
故欲證/(x)>21n成立,
3
只需證1+層+in〃>21n〃+5,
即證層一]>lna.
構(gòu)造函數(shù)u(d)=ln〃一(〃一1)(〃>0),
11—(2
貝Iu\a)=--1=-^—,所以當〃>1時,/(a)<0;當0<a<l時,>⑷>0.
所以函數(shù)"(4)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+8)上單調(diào)遞減,
所以〃(a)W〃(l)=0,即lnaW〃一1,
故只需證/一;>a~l,即證〃2—Q+T>0,
因為a2~a+^=(〃-3)2+4>0恒成立,
3
所以當。>0時,J(x)>21n成立.
3.[2024?新課標II卷]已知函數(shù)/(x)=e"一以―步.
(1)當〃=1時,求曲線>=/")在點(1,人1))處的切線方程;
(2)若1x)有極小值,且極小值小于0,求。的取值范圍.
解析:(1)當〃=1時,/(%)=——x—l,則/(x)=e*—l,所以/(l)=e—l.
又因為火l)=e—2,所以曲線y=y(%)在點(1,-1))處的切線方程為y—(e—2)=(e—1)(%—1),即y=(e—
l)x—1.
(2yO)=e%一以一蘇,則/(%)=e%—〃,當aWO時,/(x)=e%—Q>0,則八工)在R上單調(diào)遞增,無極值點,
所以a>0.
令了(%)<。,得x<lna,令/(x)>0,得x>lna,
所以?x)在(-8,Ino)上單調(diào)遞減,在(ln〃,+8)上單調(diào)遞增,
所以x=lna是4x)的極小值點,極小值為/(In〃)=*"—〃In〃一/=〃一〃Ina—a5,則問題轉(zhuǎn)化為解不
等式a~aIn〃一〃3<()
又因為Q>0,所以不等式可化為〃2+in〃一1>0.
令g(Q)=〃2+ln〃-1,貝|g(〃)=2〃+:>0恒成立,
所以g(〃)在(0,+8)上單調(diào)遞增.又g(l)=o,所以不等式a—"In。一〃3<0的解集為(1,+8),所以。
的取值范圍是(1,+°°).
4.[2024?全國甲卷(理月已知函數(shù)段)=(1—aOln(l+x)-x
(1)當〃=—2,求/(x)的極值;
(2)當%20時,犬工)20,求〃的取值范圍.
解析:(1)當〃=—2時,fix)=(l+2x)ln(1+x)—x,x>—1,
Y
/(x)=21n(l+x)+yq^.
當x>0時,f(x)>0,當一l<r<0時,無)<0,
所以八x)在(一1,0)上單調(diào)遞減,在(0,+8)上單調(diào)遞增,
故兀0的極小值為八0)=0,無極大值.
,,(a+1)x
(2)/(x)=(l—依)ln(l+x)—x,f(x)=—aIn(H-x)一1+尤.
令g(x)=/(x),貝”g,a)=一1—2.
因為當x20時,危)20,且式0)=0,f(0)=0,
所以g'(0)=—1—2。20,得aW—;.
111V
當2時,g3>2(1+x)—2(1+x)2=2(1+x)2》°,且等號不恒成立,所以g(x)在[0,
+8)上單調(diào)遞增,
所以/a)=g(x)》g(o)=o,且等號不恒成立,
故於:)在[0,+8)上單調(diào)遞增,
所以八工)//(0)=0恒成立,
故〃的取值范圍為(一8,—1].
5.[2022?新高考I卷]已知函數(shù)/(x)=e%—QX和g(x)=QX—Inx有相同的最小值.
⑴求。;
(2)證明:存在直線y=。,其與兩條曲線>=/口)和〉=且。)共有三個不同的交點,并且從左到右的三個交
點的橫坐標成等差數(shù)列.
解析:(1)由人工)=匕九一“X,得/(x)=e"一
由于/(x)存在最小值,則方程了(%)=0有解,故〃>0,解得x=ln〃.
所以“x)在(-8,ma)上單調(diào)遞減,在(Ino,+8)上單調(diào)遞增,
所以min=#ln〃)="一aIna.
同理,得g(X)min=g(1)=l+ln〃.
因為函數(shù)/(x),g(x)的最小值相等,
所以a-alna=l+lna,即(〃+l)lni+l—〃=0.
令人(jr)=(x+l)lnx+l—%,%>0,則/(x)=lnx+:.
令根(x)=lnx+:,x>0,則/(x)=:—/x—1
%—1x—1
令q->0,則%>1;令q-<0,則0<x<l.
所以加(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+8)上單調(diào)遞增,即勿(X)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+8)上單
調(diào)遞增,所以砥X)min=l(l)=l>0,
所以/i(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.
又用(1)=0,所以1是/z(x)唯一零點,所以4=1.
(2)證明:由(1)知本)=e%—x,g(x)=x—lnx,且?x)在(-8,0)上單調(diào)遞減,在(0,十8)上單調(diào)遞增,
g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+8)上單調(diào)遞增,且加;)min=g(x)min=l.
①當Z?<1時,?X)min=ga)min=l>b,顯然直線>=匕與兩條曲線>=/(%)和>=g(£)無交點,不符合題意.
②當/?=1時,/(X)min=g(X)min=l=。,則直線>=匕與兩條曲線>=黃工)和丁=g(x)共有2個交點,不符合
題意.
③當b>\時,首先證明直線y=b與曲線'=段)有2個交點,即證F(x)=f(x)~b有2個零點.
因為尸(x)=/(x)=ex—1,
所以5(X)在(-8,0)上單調(diào)遞減,在(0,+8)上單調(diào)遞增.
F(-b)=e~b>0,F(Q)=l-b<0,F(b)=a—2b.
令一份=廿一26,b>l,貝)|/S)=e。-2>0,
所以/3)>*l)=e—2>0,所以尸(Z?)>0.
所以由零點存在定理,知尸(x)=/(x)—Z?在(一8,0)上存在且只存在1個零點,設(shè)為xi,在(0,+°°)±
存在且只存在1個零點,設(shè)為X2.
其次證明直線y=b與曲線g(x)有2個交點,
即證G(x)=g(x)—Z?有2個零點.
因為GXr)=gXx)=l—:,所以G(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+8)上單調(diào)遞增.
G(e~b)=e~b>0,G(l)=l-/?<0,G(2b)=b~ln2b.
x11
-
令〃(%)=2—Inx,X>29則/(%)=2->0,
所以〃(x)>〃(2)=1-In2>0,即G(2/?)>0.
所以由零點存在定理,得G(x)=g(x)—b在(0,1)上存在且只存在1個零點,設(shè)為口,在(1,+8)上存
在且只存在1個零點,設(shè)為必.
再次證明存在b使得X2=X3.
因為/(%2)=G(X3)=O,所以b=ex2—X2=X3—Inx3.
若%2=工3,則ex2—X2=X2—InX2,即e%2—2%2+lnx2=。,所以只需證明方程e*—2x+lnx=0在(0,1)上
有解即可,
即證明9a)=e“一2x+lnx在(0,1)上有零點.
因為9d)=e"一1—3<0,9(l)=e-2>0,
所以9(x)=e*—2x+ln%在(0,1)上存在零點,取一零點為出,令愈=冗3=&即可,此時b=exo—必,則
此時存在直線y=b與兩條曲線)=黃元)和y=g(x)共有三個不同的交點.
最后證明即+必=2即,即從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列.
因為F(X1)=F(X2)=F(XO)=G(X3)=G(XO)=G(X4)=O,所以F(xi)=G(xo)=F(lnxo).
又因為b(x)在(一8,0)上單調(diào)遞減,xi<0,0<X0<l,即lnxo<O,所以xi=lnxo.
因為/ao)=G(exo)=G(%4),又因為G(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增,x0>0,即exo>l,如>1,所以%4=e%o.
又因為e%o—2xo+ln%o=O,所以xi+x4=lnxo+exo=2xo,
即存在直線與兩條曲線丁=人工)和)=8a)從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列.
6.[2024?九省聯(lián)考]已知函數(shù)/(x)=lnx+/+辦+2在點(2,犬2))處的切線與直線2x+3y=0垂直.
⑴求〃;
(2)求兀X)的單調(diào)區(qū)間和極值.
一11Q
解析:(1?(%)=噎+2x+a,則/(2)=]+2X2+〃=]+a,
,92
由題意可得(]+?)X(——)=-1,解得〃=—3.
(2)由。=—3,故?x)=ln%+/—3x+2,
.1?22—3x+l(2x—1)(x—1)
則M/(%)=1+2x—3=-------------=-------------------------,x>0,
故當0<x<|時,/(x)>0,當;<x<l時,/(x)<0,當X>1時,/(x)>0,
故危)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,?),(1,+8),%)的單調(diào)遞減區(qū)間為七,1),
故五》)有極大值/^)=ln;+(^>—3x]+2=土一In2,
有極小值式l)=ln1+12-3X1+2=O.
7.[2023?新課標II卷]⑴證明:當0<%<1時,x—f<sinx<x;
(2)已知函數(shù)y(x)=cosOX—In(1—X2),若%=0是?r)的極大值點,求〃的取值范圍.
解析:(1)令/z(x)=x—x2—sin%,
貝Ihf(x)=1—2x—cosx,
令p(x)=1~2x—cosx,則pr(x)=-2+sinx<0,
所以p(x)即砥x)單調(diào)遞減,又砥0)=0,
所以當0<x<l時,h\x)<hr(0)=0,以功單調(diào)遞減,
所以當0<%<1時,/z(x)</z(0)=0,即%——<sinx.
令g(x)=sinx-x,
貝Ig'(%)=cos九一1W。,
所以g(x)單調(diào)遞減,又g(0)=0,
所以當0<x<1時,g(x)<g(0)=0,
即sinx<x.
綜上,當0<x<l時,A:—x2<sinx<x
(2)方法一因為/(x)=cosax—In(1—f)(—1<X<1),
所以?x)=/(—x),所以次x)為偶函數(shù).
.2x_
f(x)=—asinax+_^2(1<x<1),
2%
令?)=—〃sin4%+]_(2(_1<X<1),
2
rtl9,2(1+x)
貝Uf(x)=—acosax+—^2)2(一
22
人,2(1+x)eQ,4x(3+x)
9r23
令n(x)=—acos(〔_爐戶,貝Un(x)=asinax+—?—x)
當a=0時,
當04V1時,/(x)>0,?x)單調(diào)遞增,當一1<%<0時,/(%)<0,1%)單調(diào)遞減,
所以x=0是八%)的極小值點,不符合題意.
JT
當Q>0時,取五與1中的較小者,為m,
則當04V根時,易知川(%)>0,
所以〃(x)即r(x)在(0,附上單調(diào)遞增,所以?x)>?0)=2—次.
①當2—〃220,即0<a^y[2時,f(x)>0(0<x<m).
所以?)在(0,逝上單調(diào)遞增,所以?)>*0)=0,sp/(x)>0.
那么大x)在(0,刈上單調(diào)遞增,
由偶函數(shù)性質(zhì)知五幻在(一根,0)上單調(diào)遞減.
故x=0是?x)的極小值點,不符合題意.
②當2—次<0,即a>yf2時,
當會<晨即說時,
因為底0)<0」/)
>0,
所以「(%)在(0,㈤上存在唯一零點%i,
且當0<x<xi時,f(x)<0,t(x)單調(diào)遞減,
因為*0)=0,所以當0<%<為時,心)<0,
即/(x)<0,
所以/(x)在(0,xi)上單調(diào)遞減,
因為1工)為偶函數(shù),所以yu)在(一㈤,0)上單調(diào)遞增,
故可得X=0是“X)的極大值點,符合題意.
當日>晨即也<tz<2時,
因為/(0)<0,=—a2cos1+岑>0,
所以「(X)在(0,⑼上存在唯一零點X2,
且當0<X<X2時,?%)<0,心)單調(diào)遞減.
因為*0)=0,所以當0<x<X2時,/(x)<0,
即了(%)<0,
所以“X)在(0,X2)上單調(diào)遞減.
因為人X)為偶函數(shù),所以人工)在(一X2,0)上單調(diào)遞增,
故可得x=0是人期的極大值點,符號題意.
當〃<0時,由偶函數(shù)圖象的對稱性可得〃<一也.
綜上所述,。的取值范圍是(一8,-^2)U(^2,+8).
方法二由?x)=cosax~\n(1—x2),
得了(%)=-"sin(_l<r<l),
2x
令[x)=—〃sinax+yT彳(—1<X<1),
2(1+x2)
則/(%)=—Heosox4(-1<X<1).
(1-x2)2
由%=0是式x)的極大值點,易得/(0)=0,
f(0)<0,
所以2—6Z2<0,
解得〃〈一也或〃g/5.
所以〃的取值范圍是(一8,-y[2)U(色,+oo).
QinYIT
8.[2023?全國甲卷
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