2024年中考數學基礎考點背誦大過關

2024中考數學基礎考點背誦大過關

第一章數與式

第一節(jié)實數及其運算

考點一實數及其分類

i.實數:有理數和無理數統(tǒng)稱為實數.

2.有理數:整數和①分數統(tǒng)稱為有理數.

3.無理數:無限不循環(huán)小數叫做無理數.

易錯警示

無理數的識別誤區(qū)

識別正誤（正確的畫“J”，錯誤的畫“X”）.

1.四和我都是無理數.（X）

2.sin60°和cos45°都是無理數.（V）

3.n,0-1）°和3.1415926都是無理數.（X）

41和3都是無理數.（X）

5.0.01001000100001和0.02002000200002…（相鄰兩個2之間依次多一個0）都是

無理數.（X）

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Q名師點撥識別一個數是不是無理數的關鍵在于這個數用不同形式表示的最終結果是不

是無限不循環(huán)小數.

A溫馨提示(1)常見的幾種無理數類型：

(i)開方開不盡的數,如VX通等(注意痣、4等是有理數)；

(ii)大多數三角函數，如sin45°,tan30°等(注意cos60°,tan45°等是有理數);

(iii)化至最簡后含有n的數,如今2n+1等；

(iv)有規(guī)律但不循環(huán)的無限小數，如0.3030030003…(相鄰兩個3之間依次多一個0).

(2)所有的分數都是有理數.

4.正負數

(1)正負數的概念：

(i)大于0的數叫做正數；

(ii)在正數前加上符號“-”(負號)的數叫做負數.

A溫馨提示0既不是正數也不是負數.

(2)正負數的意義:正負數可用來表示具有相反意義的量.

一般地，常用來表示具有相反意義的量的詞有:收入與支出、升高與降低、前進與后退、海

平面以上與海平面以下等.

5.實數的分類

(1)按定義分:

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'正整數

整數零i-1-f

有理數＜、負整數

實

數，正分數）有限小數或

分數負分數j②

無限循環(huán)小數

‘正無理數

無理數’③負無理數無限不循環(huán)小數

（2）按性質分：

正實數卜二

（正無理數

⑤0

（名右鈿將f負整數

負實數卜里數I負分數

（負無理數

考點二實數的相關概念

1.數軸:規(guī)定了原點、正方向和⑥單位長度的直線.⑦實數和數軸上的點是一一對

應的.

2.相反數:如果兩個數只有符號不同,那么我們稱其中的一個數是另一個數的相反數,也稱

這兩個數互為相反數.0的相反數為0.若實數a,b互為相反數,則a+b=⑧0.

A溫馨提示相反數的幾何意義:在數軸上分別位于原點的兩旁,且到原點的距離相等的兩

個點所表示的兩個數互為相反數.

3.倒數:乘積為1的兩個數互為倒數.若實數a,b互為倒數,則ab^（9）1.

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A溫馨提示(1)非零實數a的倒數是'0沒有倒數.

a

(2)倒數等于它本身的數是±1.

4.絕對值

(1)定義:在數軸上,表示數a的點到原點的距離,叫做數a的絕對值,記作|a|.

(2)性質：一個正數的絕對值是它本身,一個負數的絕對值是它的⑩相反數，0的絕對值

是0.

a,a>0;

|a|=■0,a=0;

-d,Q,<0.

A溫馨提示因為一個數的絕對值是數軸上表示該數的點到原點的距離,所以一個數的絕

對值不可能為負數，即1a|N0.

5.平方根、算術平方根、立方根

名稱定義性質

如果x2=a(a^0),那么

平方正數的平方根有兩個,它們互為?相反數；?負數沒有

x就叫做a的平方根，

根平方根;0的平方根是?0

記作士“

如果

算術

x-a(x^O,aNO),那么

平0的算術平方根是0

x就叫做a的算術平方

方根

根,記作“

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立方若x3=a,則x就叫做a正數有一個?正的立方根:0的立方根是0;負數有一個

根的立方根,記作,?負的立方根

易錯警示

平方根與算術平方根的概念混淆

填空：

1.4的算術平方根是2.

2.2的平方根是土好.

3.(-3)-的平方根是±3.

dg師點撥(1)一個正數的平方根有兩個,且互為相反數,其中正的平方根就是這個正數

的算術平方根；

(2)只有非負數才有平方根和算術平方根；

(3)注意第3題中包含了兩次運算.

A溫馨提示(1)在應用x2=a(aNO)時,一定不要忘記a=0的情況；

(2)正數的立方根是正數,負數的立方根是負數,0的立方根是0:

(3)平方根等于它本身的數是0,算術平方根等于它本身的數是0和1,立方根等于它本身的

數是。和±1.

6.非負數

⑴常見的非負數(三種類型):

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(i)任意一實數a的絕對值是非負數,即|a|20;

(ii)任意一實數a的平方是非負數,即a2^0;

(iii)若a是非負數,則日也是非負數，即8與0520).

(2)非負數的性質：

(i)非負數有最小值,最小值是0；

(ii)若干個非負數之和仍是非負數；

(iii)幾個非負數的和等于0,則每個非負數都等于0.

考點三實數大小的比較

1.數軸比較法:數軸上右邊的數總比左邊的數?大.

2.類別比較法:正數大于0和一切負數,0大于一切負數.

3.絕對值比較法:兩個負數比較大小,絕對值大的反而?小.

4.差值比較法:設a,b是任意兩個實數,則a-b>0<?a?>b;a-b<0<^a<b;a-b-O^a?=

b.

5.根式比較法：a〉b〉00、歷?〉VF.

6.平方數比較法:a2〉b?且a>0,b>0Ca〉b〉0.

7.商值比較法：設a〉0,b〉0,61=a〉b;0〈2〈lCa<b;JlQa=b.

bbb

考點四實數的運算

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1.運算法則

(1)加法：

(i)同號兩數相加,取相同的符號,并把?絕對值相加;

(ii)絕對值不相等的異號兩數相加,取絕對值較大的加數的符號,并用較大的數的絕對值?一

減去較小的數的絕對侑,互為相反數的兩個數相加得0;

(iii)一個數同0相加,仍得這個數.

(2)減法:減去一個數等于?加上這個數的相反數.

(3)乘法:兩數相乘，同號得正,異號得負,再將兩個數的絕對值相乘.任何數與0相乘仍為0.

(4)除法:除以一個不為0的數等于乘這個數的倒數，即a+b=a?4(bWO).

b

(5)乘方:求幾個相同因數的積的運算.

2.運算律

有理數的運算律在實數范圍內都適用，其中常用的運算律有加法交換律、?加法結合

律、乘法交換律、乘法結合律、?乘法分配律.

3.混合運算順序

先算?乘方、開方，再算乘除,最后算加減;有括號的,先算括號里的；同一級運算要

?從左到右依次進行.

4.幕運算

(1)零次幕:任何非零實數的零次幕都為?1,即a°=?1次W0).

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(2)負整數次幕:a三?—密—心力。,n為正整數).

(3)-1的奇偶次幕:-1的偶次幕為?11的奇次幕為@-1.

考點五科學記數法、近似數、精確度

1.科學記數法

(1)大數的科學記數法:一個大于10的數可以表示成aX10。的形式，其中l(wèi)Wa〈10,n是正整

數,n等于原數的整數位數減去國1.

(2)小數的科學記數法:一個大于0小于1的數可以用科學記數法表示成aX10"的形式,其

中l(wèi)Wa〈10,n為黝負整數，n的絕對值等于原數左起第一個非零數前所有零的個數(包括小

數點前的零).

2.近似數:把一個數四舍五入以后得到的數.

3.精確度:近似數與準確數的接近程度.一個近似數四舍五入到哪一位就說這個近似數精確

到哪一位.

第二節(jié)代數式與整式

考點一代數式及其求值

1.代數式:用基本運算符號(基本運算包括加、減、乘、除、乘方和開方)把數和表示數的

字母連接起來的式子叫做代數式,代數式不含等號和不等號,單獨的一個數或一個字母①一鼠

(填“是”或“不是”)代數式.

2.列代數式:把問題中與數量有關的詞語,用含有②字母和運算符號的式子表示出來,

這就是列代數式.

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A溫馨提示(1)列代數式的關鍵是正確分析數量關系，掌握文字語言和、差、積、商、倍、

分、大、小、多、少等在數學語言中的含義；

(2)注意書寫規(guī)則:aXb通常寫作a?b或ab;l^a(a^O)通常寫作工(aWO);數字通常寫在

a

字母前面,如a義3通常寫作3a;帶分數一般寫成假分數,如由通常寫作家

3.代數式的值:一般地,用數值代替③代數式里的字母，按照代數式中的運算關系計算

得出的結果,叫做代數式的值.

考點二整式及其相關概念

1.單項式：用數或字母的⑷積表示的式子叫做單項式.單獨的一個數或一個字母也是單

項式.

⑴單項式中的⑤數字因式叫做這個單項式的系數.

(2)一個單項式中，所有字母的⑥指數和叫做這個單項式的次數.

2.多項式：幾個單項式的⑦和叫做多項式.其中,每個單項式叫做多項式的項,不含字母

的項叫做⑧常數項.多項式里,次數最高的項的次數,叫做這個多項式的次數.

3.整式:單項式和多項式統(tǒng)稱為整式.

考點三整式的運算

1.整式的加減法運算

⑴同類項：所含字母相同，并且相同字母的⑨指數也相同的項叫做同類項.常數項也是

同類項.

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(2)合并同類項:把多項式中的同類項合并成一項,叫做合并同類項.合并同類項后,所得項

的系數是合并前各同類項的系數的⑩和，字母連同它的指數?不變.

(3)去括號法則：a+(b-c)=?a+b-c:a-(b-c)=?a-b+c.(口訣:“+”不變，

變)

(4)整式加減運算法則：整式加減運算的實質是?合并同類項.

2.嘉的運算

同底數幕相乘am?a*a-（m.n為整數，aWO）

同底數塞相除a.^an=?（m,n為整數,aWO）

幕的乘方（a>/a-（m,n為整數,aWO）

積的乘方（ab），?a"b"（n為整數,abWO）

商的乘方（-）=?_鼻_（n為整數,abWO）

\a/a

零指數幕a°=?1（aW0）

負指數幕a"4=GYgwo,n為正整數）

an\a/

易錯警示

運用幕的運算法則時常見的錯誤

1.“同底數幕相乘”和“幕的乘方”運算法則混淆:

/-t\a2.a3-_a2+3_—a5.

(2)(a2)3=a2X3=a6.

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2.忽略“同底數幕相乘”法則的運用條件:

(1)a2,(-a)3,a4=a2+3+4=a9.(X)

(2)a2?(-a)3-a4=-a2+3+4=-a9.(V)

3.計算積的乘方時,漏掉積(底數)中的某一因式的乘方:

(-3a2b)J(-3)—(a?)Lb，=-27ab.

3.整式的乘法運算

單項式乘把系數、同底數幕分別相乘,作為積的因式,對于只在一個單項式里出現的字母,則

單項式連同它的指數作為積的一個因式

單項式乘用單項式分別去乘多項式的每一項,再把所得的積相加,如

多項式m(a+b+c)=?ma+mb+mc

多項式乘用一個多項式的每一項分別乘另一個多項式的每一項,再把所得的積相加,如

多項式(m+n)(a+b)二?Ria+mb+na+nb

乘法公式：

(1)平方差公式：(a+b)色力「?公一b，.

(2)完全平方公式：(a士9三?a2±2ab+b2.

4.整式的除法運算

把系數、同底數幕分別相除,作為商的因式,對于只在被除式中出現的字母,則連同

單項式除

它的指數作為商的因式,對于只在除式中出現的字母,取其倒數,作為商的因式

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以單項式

多項式除

用多項式的每一項除以這個單項式,再把所得的商相加

以單項式

5.整式的混合運算:先乘方,后乘除,最后算加減,如果有括號,那么要先算括號內的.

考點四因式分解

1.因式分解的概念

把一個多項式化成幾個整式的?積的形式,叫做把這個多項式因式分解(或者分解因

式).

2.因式分解的基本方法

(1)提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c).

。名師點撥提公因式法的關鍵是確定公因式.

(系數:取各項系數的最大公約數.

公因式的確定1字母:取各項相同的字母.

(指數:取各相同字母的最低次幕.

它們的積即為這個多項式的公因式.

(2)公式法：

a2-b2=(a+b)(a-b);a2+2ab+b2=?(a+b)2.

3.分解因式的一般步驟

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分解因式時,首先考慮是否有公因式,如果有公因式,那么?先提公因式，然后考慮?—

公式法(當多項式為兩項時,考慮用平方差公式;當多項式為三項時,考慮用完全平方公式).分

解因式要分解到每個因式?不能再分解為止.以上步驟可總結為“一提二套三檢查”.

A溫馨提示因式分解與整式的乘法是兩個互逆的過程,是互為相反方向的變形.如：

整式乘法.

(a+b)(a-b)因式分解a2-b2.

一般地，用整式的乘法可以檢驗分解因式是不是正確.

易錯警示

因式分解時的易忽略點

1.用提公因式法分解因式時,易漏掉幕為“1”的項：

分解因式：12a?b-24ab、6ab=6ab(2a-4b+l).

2.運用完全平方公式時漏解：

若y2+ay+4是完全平方式,則a=±4.

第三節(jié)分式

考點一分式的概念

1.分式的概念:如果A,B表示兩個整式,且B中含有①字母，那么式子搭叫做分式.在分

D

式捺中,A叫做分子,B叫做分母.

2.分式有意義、無意義、值為0的條件

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⑴當BWO時有意義.

⑵當B=0時,3無意義.

D

⑶當A=0,且B②W0時,耕.

考點二分式的基本性質

1.基本性質：分式的分子、分母都乘（或除以）③同一個不等于零的整式,分式的值不變.

用符號表示為［=頭/=^（M為不等于0的整式）.

BB?MB

2.分式的基本性質的應用

（1）分式的約分:根據分式的基本性質,把一個分式的分子與分母的⑷公因式約去,叫做

約分.

（2）分式的通分:根據分式的基本性質，把幾個異分母的分式分別化為與原來的分式相等的

同分母的分式.

⑶分式的符號規(guī)則:分式的分子、分母及分式本身的符號中，改變其中任意兩個，分式的值

⑤不變.用式子表示為g=令=Y，—《=一3T=久BWO）.

D-DDD-D-DD

3.最簡分式:一個分式的分子與分母沒有公因式時，這個分式叫做最簡分式.

考點三分式的運算（高頻考點）

1.分式的加減

a.bzrxa+ba.cad,bead+bc

-+-=（6J——,-+-=—+—=（7）^^.

c-cJ-c-b-dbd-bdbd—

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2.分式的乘除

士?￡=⑥竺一?！?38=⑨”,

bdJ-bd-bdbcbe——

A溫馨提示對于分式的乘除混合運算,應先將除法運算轉化為乘法運算.

3.分式的乘方

(獷=⑩—今_(n為正整數).

A溫馨提示運算法則中，“分子、分母各自乘方”指的是分子、分母的整體分別乘方.

4.分式的混合運算

(1)先乘方,再乘除,最后加減,有括號時,先算括號內的.

(2)同級運算,按從左到右的順序進行.

⑶運算過程中，要靈活運用交換律、結合律、分配律.

⑷運算的結果化為?最簡分式或整式.

第四節(jié)二次根式

考點一二次根式的有關概念

1.二次根式:一般地，我們把形如口(aNO)的式子叫做二次根式，“廠”叫做二次根號,a

叫做被開方數.

2.二次根式有意義的條件:被開方數①大于或等于零.

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3.最簡二次根式:同時滿足兩個條件：(1)被開方數不含②分母；(2)被開方數中不含能

開得盡方的因數或因式.

4.同類二次根式:把幾個二次根式化為最簡二次根式以后,它們的③被開方數相同.

考點二二次根式的性質

1.口5>0)是一個非負數.

2.(V^)2=@a(a0).

⑤a(a>0),

0(a=0),

{@-a(a<0).

4.Vab=(7)\[a?VF(a0,b20).

5.1_(aN0,b〉0).

考點三二次根式的運算

1.二次根式的乘除

(1)若a20,b>0,則有日,VF=(9)y[ab;

(2)若a20,b>0,則有*=⑩—E.

A溫馨提示逆用公式?=V^(aN0,bN0)和塔=Jj(aN0,b〉0),可以進行二次根

式的化簡.

2.二次根式的加減運算

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一般地,在進行二次根式的加減運算時,可以先將二次根式分別化成?最簡二次根式，

再將被開方數?相同的二次根式進行合并.

3.二次根式的混合運算

二次根式的混合運算順序與實數的混合運算順序相同,有理數的加法交換律、加法結合律、

乘法交換律、乘法結合律、乘法分配律，以及多項式的乘法公式,都適用于二次根式的運算.

A溫馨提示二次根式的化簡或運算的最終結果都要求化成最簡二次根式或整式.

考點四二次根式的估值

二次根式的估算，一般采用“夾逼法”確定其值所在范圍.具體地說，先對二次根式平方，找

出與平方后所得的數字?相鄰的兩個能開得盡方的整數,對其進行?開方，即可確定這

個二次根式在哪兩個整數之間.例如，估算位在哪兩個整數之間,一般步驟：

(1)先對根式平方；

(2)找出與平方后所得數字相鄰的兩個能開得盡方的整數；

(3)對以上兩個整數開方；

(4)確定這個根式的值在這兩個整數之間.

RV7p7

確定4和9

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V4P21V9g

因v麴

A溫馨提示要熟記常見的二次根式的估計值,如魚心1.414,73^1.732,75^2.236.

第二章方程（組）與不等式（組）

第一節(jié)一次方程（組）

考點一方程的相關概念及等式的性質

1.含有未知數的①等式叫做方程;使方程左右兩邊的值相等的②未知數的值叫做

方程的解；求方程的解的過程叫做解方程；只含有一個未知數的方程的解也叫做方程的③—

根.

2.等式的基本性質

基本性質1：等式兩邊同時加上（或減去）同一個數（或式子），所得結果仍是等式.

基本性質2:等式兩邊同時乘同一個數（或除以同一個不為零的數），所得結果仍是等式.

注意:等式的基本性質是解方程的依據.

考點二一元一次方程及其解法

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1.一元一次方程：只含有⑷一個未知數（元），并且未知數的次數都是⑸1,等號兩邊

都是整式,這樣的方程叫做一元一次方程.任何一個一元一次方程都可以化成ax+b=O（a,b是常

數，且aWO）的形式.

A溫馨提示形如ax+b=O（其中a,b為常數,且aWO）的方程為一元一次方程,判斷時應抓

住以下兩點：（1）原方程必是整式方程；（2）化成一般形式后只含有一個未知數,且未知數的次數

為L

2.一元一次方程的解題步驟

具體做法

方程中未知數的系數有分母時,方程兩邊都乘各分母的⑥最小公倍數（注意不要

去分母

漏乘不含分母的項）

去括號方程中有括號時,先去括號（若括號外的符號是負號,則要注意變號）

把含有未知數的項都移到方程的一邊,其他項都移到方程的另一邊（記住移項要⑦—

移項

改變符號）

合并同類

把方程化成ax=b（aWO）的形式

項

系數化為

方程兩邊都除以未知數的⑧系數，得到方程的解

1

考點三二元一次方程（組）及其解法

1.二元一次方程:含有⑨兩個未知數,并且所含未知數的項的次數都是1的方程叫做二

元一次方程.

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2.二元一次方程組:把具有相同未知數的兩個二元一次方程合在一起就組成了一個二元一

次方程組.

3.二元一次方程的解:使二元一次方程兩邊的值⑩相等的兩個未知數的侑叫做二元一

次方程的解.

4.二元一次方程組的解:一般地,二元一次方程組的兩個方程的?公共解叫做二元一次

方程組的解.

5.二元一次方程組的解法

解二元一次方程組的基本思想是?消元，即將二元一次方程組轉化為一元一次方程來

求解.

⑴?代入消元法:將一個方程中的一個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來,

并代入另一個方程中，消去一個未知數,化二元一次方程組為一元一次方程.

(2)?加減消元法:兩個二元一次方程中同一個未知數的系數相反或相等(或通過適當

變形后可以使同一個未知數的系數相反或相等)時，把這兩個方程的兩邊分別相加或相減,消去

這個未知數，化二元一次方程組為一元一次方程.

A溫馨提示一般地,當二元一次方程組中的一個方程的某個未知數的系數是1或-1時,選

擇代入消元法較簡單.

當二元一次方程組中兩個方程的某個未知數的系數的絕對值相等或成倍數關系時,選擇加

減消元法較簡單.

考點四*三元一次方程組

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1.三元一次方程組:一個方程組中含有三個未知數,每個方程中含未知數的項的次數都是1,

并且一共有三個方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組.

2.解三元一次方程組的基本思路

消元（代入或加減）消元（代人或加減）

三元一次方程組二元一次方程組一元一次方程

考點五一次方程（組）的應用

1.列方程（組）解應用題的一般步驟

①審：審清題意,分清題中的已知量、未知量；

②設:設關鍵未知數；

③列:找出適當等量關系，列方程（組）；

④解:解方程（組）；

⑤驗:檢驗所解答案是否正確或是否符合題意;

⑥答:規(guī)范作答，注意單位名稱.

2.幾種常見的應用題型

常見題型重要的關系式

打折銷銷售單價=標價X?折數；銷售額=?銷售單價義銷量;利潤=售價-成本；

利潤率一X100%

售問題成本

儲蓄利利息=本金X利率X期數；

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息問題本息和=本金+利息=本金X（1+利率乂期數）

工程問題工作量=工作效率X工作時間

相遇問題:全路程=甲走的路程+乙走的路程.

追及問題：

a.同地不同時出發(fā)：

前者走的路程=追者走的路程；

行程問題

b.同時不同地出發(fā)：

前者走的路程+兩地間的距離=追者走的路程.

水中航行問題:順水船速=靜水船速+水速；

逆水船速=靜水船速-水速

兩位數

表達式：10a+b

數字問題

三位數

M

表達式：100a+10b+c

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第二節(jié)一元二次方程

考點一一元二次方程及一般形式

1.一元二次方程：只含有①一個未知數,并且未知數的最高次數是②2的整式方程

叫做一元二次方程.

2.一般形式:ax4bx+c=0(a,b,c為常數且a③W0),其中二次項為ax2,一次項為bx,常

數項為c,a和b分別稱為二次項系數和一次項系數.

A溫馨提示(l)aWO是一元二次方程成立的先決條件，但b,c可以為0.(2)任何一個一元

二次方程經整理后都能轉化為一般形式.(3)一元二次方程應滿足的三個條件：(i)是整式方

程；(ii)只含有一個未知數；(iii)未知數的最高次數為2,且該項系數不能為0.

考點二一元二次方程根的判別式

1.關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(aT^O)的根的判別式為A=b2-4ac.

(l)b°-4ac>0Q一元二次方程有兩個⑷不相等的實數根.

(2)b2-4ac=0。一元二次方程有兩個⑤相等的實數根.

(3)b'TacVOo一元二次方程⑥無實數根.

2.一元二次方程根與系數的關系

2

若關于x的方程ax+bx+c=0(aT^O)的兩根分別為xnx2,則Xi+x?=?_z

1_,xlx2=

易錯警示

23/46

忽視整式方程中字母系數的取值范圍而致錯

(1)若關于x的一元二次方程ax2-3x+3=o有實數根,則a的取侑范圍是.aW：且a二0.

(2)若關于x的方程ax2-3x+3=0有實數根,則a的取值范圍是aW|.

◎名師點撥1.在確定一元二次方程中的二次項系數a的取值范圍時，不能忽略“aWO”.

如易錯警示⑴中，需同時滿足“aWO”和“A50”.

2.審題要全面.如易錯警示(2)中，“關于x的方程ax2-3x+3=O有實數根”，包含方程是一元

一次方程和一元二次方程兩種情況,應分類討論來確定a的取值范圍.

考點三一元二次方程的解法

一元二次方程的解法主要有四種,其基本思想是⑨降次.解方程時可根據方程的特點靈

活地選用.

解法類型適用題型具體方法或步驟

形如1.觀察方程是否符合x2=m(mN0)或(x±m(xù))2=n(nNO)的形式；

直接開xJm(m>0)或

2.直接開平方,得兩個一元一次方程；

2

平方法(x±m(xù))-n(n

20)的方程3.解這兩個一元一次方程,得原方程的兩個根

形如(1)移項,使方程左邊為二次項和一次項,右邊為常數項；

ax2+bx+c=0(a

(2)二次項系數化為1,即當aWl時,方程兩邊同時除以⑩二次項系

配方法wo)的所有

數a;

一元二次方

程(3)配方，即方程兩邊都加上?一次項系數一半的平方;

(4)化為(x+m)3=n的形式；

(5)若nNO,則用直接開平方法求解;若n〈0,則原方程?無實數

__

1.把方程化成ax2+bx+c=O(aWO)的形式；

2.確定a,b,c的值；

2

所有一元二3.計算b-4ac的值：

公式法

次方程(1)若b2-4ac^0,則把a,b,c的值代入一元二次方程

ax2+bx+c=0(aWO)的求根公式?x="Jb2-4ac中求解；

2a

(2)若b2-4ac〈0,則原方程無實數根

可化為兩個⑴將方程的右邊整理為?0;

一次因式的

因式分(2)將方程的左邊化成兩個?一次因式的乘積的形式;

乘積等于零

解法

的形式的方(3)令每個因式都等于0,得到兩個一元一次方程,解這兩個一元一次

程方程,它們的解就是原一元二次方程的解

易錯警示

解一元二次方程時的“丟根”現象

方程X(X-1)=2(X-1)2的根為(C)

A.1B.2

C.1和2D.1和-2

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。名師點撥對于左、右兩邊含有相同未知數的因式的一元二次方程，應將方程化為一般

式后再求解(或將方程變?yōu)榈忍栆贿厼?,另一邊含未知數的式子,利用因式分解法求解)，切勿因

直接約去含有相同未知數的項而丟根.

考點四一元二次方程的實際應用

列一元二次方程解應用題的步驟和列一元一次方程解應用題的步驟一樣，即審、設、歹U、

解、驗、答六步.

在列一元二次方程解應用題時,經濟類和面積類問題是?？純热?

(1)增長率：

增長率瞿舅X100%.

設a為基礎量,當m為平均增長率,n為增長次數,b為增長后的量時,有aQ+m)。(；當m為

平均下降率,n為下降次數,b為下降后的量時,有?a(bm”=b.

⑵利潤：

利潤=售價-成本；

利潤率筆XI00%.

成本

(3)面積類問題：

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ADAD

8H--------b---------HC8H--------b---------"C

圖3圖4

如圖1所示的矩形ABCD的長為b,寬為a,陰影部分的寬均為x,則空白部分的面積為

(a-2x)(b-2x).

如圖2所示的矩形ABCD的長為b,寬為a,陰影部分的寬均為x,則空白部分的面積為(a-

x)(b-x).

如圖3,圖4所示的矩形ABCD的長為b,寬為a,陰影部分的寬均為x,則4塊空白部分面積

的和為(a-x)(b-x).

A溫馨提示1.在解決應用題時需驗根，即檢查求得的根是否符合實際意義.

2.對于帶有單位的應用題,在設未知數、作答中要帶單位.

第三節(jié)分式方程

考點一分式方程的概念及其解法

1.分式方程的概念

①分母中含有未知數的方程叫做分式方程.

2.分式方程的解法

(1)解分式方程的步驟：

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△名師點撥解分式方程的基本思想是將分式方程化成整式方程，具體做法是“去分母”，

即方程兩邊同乘最簡公分母.

(2)分式方程的增根:使得原分式方程的分母為⑷零的根.

A溫馨提示分式方程的增根與無解并非同一個概念,分式方程無解,可能是解為增根,也

可能是去分母后的整式方程無解,分式方程的增根是去分母后的整式方程的根,也是使分式方程

的分母為零的根.

易錯警示

解分式方程時的常見錯誤

識別正誤(正確的畫“，錯誤的畫“X”).

1.解方程胃=J--2,去分母得l-x=l-2.(X)

x-22—x

2.解方程上一咨「2,去分母得x+2T-2x=2x(x+2).(X)

3.方程==丁-2的解是x=2.(X)

x-22-x

考點二分式方程的實際應用

1.?？碱愋图瓣P系式

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(1)行程問題:

①基本數量關系:需時間.

②常見應用題中的相等關系:

同一路程同一路程一

時間差,

甲的速度乙的速度

同一路程同一路程—

時間差.

慢速快速~

⑵工程問題:

①基本數量關系:"工作時間.

②常見應用題中的相等關系：

工作總量______工作總量-時*間差

工作效率改善后的工作效率JIJ'

甲的工作總量_乙的工作總量_葉間差

甲的工作效率一乙的工作效率叫”4.

特別地，有時工作總量可以看作整體“1”，這時，丁磊寸工作效率.

工作時間

⑶購買(盈利)問題：

①基本數量關系:箸數量，箸單價.

②常見應用題中的相等關系:

商品總售價商品總售價.

二數量差.

變化后商品單價商品單價

2.列分式方程解應用題的一般步驟

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與列整式方程解應用題類似,有以下六個步驟:

⑴審；

⑵設（未知數）;

（3）歹U（分式方程）；

（4）解（分式方程）；

⑸驗（一驗所得解是不是所列⑤方程的根,二驗是否符合問題的⑥實際意義）;

⑹答.

第四節(jié)一元一次不等式（組）

考點一不等式的概念及其性質

定義I用①」連接而成的式子叫做不等式

解及使不等式成立的②未知數的值叫做不等式的解;

解集一個含有未知數的不等式的所有的解,組成這個不等式的③解集

基解不

本

概求不等式的⑷解集的過程叫做解不等式

念等式

解集X⑤〈a:6a

在數x⑥〉a:

軸上x⑦Na

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的

表示

x⑧Wa:6a

1.不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個式子,不等號的方向不變,如

a>b=>a±c⑨>b±c

基2.不等式的兩邊都乘（或除以）同一個正數,不等號的方向不變,如a〉b,c〉Onac⑩〉

本

性

質be（或:>3）

3.不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負數,不等號的方向改變,如a>b,c〈Onac?〈

be（或

易錯警示

應用“不等式的基本性質3”時的常見錯誤

不等式兩邊同乘“負數”時，忽視“不等號方向要改變”.

一元一次不等式-京〈-1的解集是.小明和小亮的答案誰正確?正確的畫“，

錯誤的畫“X”.

小明：x〈3.（X）小亮：x〉3.（V）

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考點二一元一次不等式(組)及其解法

1.一元一次不等式

⑴一元一次不等式:不等式的左右兩邊都是?整式，只含有一個未知數,并且未知數的

次數是1,這樣的不等式叫做一元一次不等式.

(2)解一元一次不等式的一般步驟:去分母、?去括號、移項、?合并同類項、系

數化為1(注意不等號方向是否改變).

2.一元一次不等式組

(1)定義:類似于方程組,把幾個含有相同未知數的?一元一次不等式合起來,就組成了

一個一元一次不等式組.

⑵解集：幾個不等式的解集的?公共部分叫做由它們組成的不等式組的解集.

(3)解法:先求出各個不等式的解集,然后借助數軸或口訣確定它們的公共部分.

(4)幾種常見的不等式組的解集:設a〈b,a,b是常數,關于x的不等式組的解集的四種情況

如下表.

不等式

組圖示解集口訣

(a<b)

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X>a,?_

同大取大

Lx>bxNb

「x<a,

xWa同小取小

Lx<b

?__

大小、小大

「x>a,

ft-aWxWb

Lx<b

中間找

大大、小小

「x<a,

無解集

Lx>b

找不到

A溫馨提示在數軸上表示解集時，要注意“空心圓圈”和“實心圓點”的區(qū)別.

考點三一元一次不等式的應用

1.解題步驟：（1）審清題意，找出不等關系；（2）設未知數；（3）列不等式；（4）解不等式；（5）寫

出答案.

2.常見題型:經濟型;調運貨物型;工程型;采購型等.

3.解決不等式的實際應用問題時,常見的關鍵詞與不等號的對比表:

常見關鍵詞不等號

大于，多于，超過,高于>

小于,少于,不足，低于<

至少,不低于,不小于,不少于?一

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至多,不高于,不大于,不超過?W

第三章函數

第一節(jié)平面直角坐標系與函數

考點一有序實數對與平面直角坐標系

1.有序實數對:有順序的兩個實數a和b組成的實數對叫做①有序實數對，利用有序實

數對可以準確地表示一個點的②位置.

A溫馨提示有序實數對和平面直角坐標系中的點是一一對應的.

2.平面直角坐標系:在平面內畫兩條互相垂直、原點③重合的數軸,就組成了平面直角

坐標系.水平的數軸稱為x軸或橫軸,豎直的數軸稱為y軸或縱軸,兩條坐標軸的交點為平面直

角坐標系的原點.

考點二平面直角坐標系中點的坐標特征

1.坐標平面內點的坐標特征

（1）各象限中點

的坐標的

'點P（K,y）在第一象限o%>0,y>0

點PQ,y）在第二象限。④x<0,y>0

符號特征4---------------------

點PQ,y）在第三象限ox<0,y<0

點PQ,y）在第四象限=⑤x>0,y<0

k---------------------

如圖所示:

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第二象限第象限

(一,+)(+?+)

0,、x

(-?-)」+,-)

第三象限第四象限

代軸上的點的縱坐標為⑥0

⑵坐標軸上的點的坐標特征｛y軸上的點的橫坐標為⑦

(原點的坐標為(0,0)

第一、三象限角平分線上的點

的橫、縱坐標相等

(3)象限角平分線上的點的坐標特征《

第二、四象限角平分線上的點

的橫、縱坐標互為⑧相反數

2.坐標平面內對稱點的坐標特征

y

0

Pc?―

P_⑨(品-y)

口訣速記:關于誰對稱誰不變,關于原點對稱全都變.

3.坐標平面內平移的點的坐標特征

P「?(%,y+a)

/

務

q