2025年高考數(shù)學復習題型突破訓練：直線與方程（原卷版）

第01講直線與方程

目錄

題型一：直線的傾斜角與斜率..........................................1

題型二：求直線的方程................................................2

題型三：直線過定點問題.............................................4

題型四：與直線方程有關(guān)的最值問題...................................5

題型五：由兩直線的位置關(guān)系（平行或垂直）求參數(shù).....................6

題型六：與距離有關(guān)的問題............................................7

題型七：點關(guān)于直線對稱..............................................8

題型八：直線關(guān)于直線對稱...........................................9

題型一：直線的傾斜角與斜率

典型例題

例題1.（2023秋?江西南昌?高二校考階段練習）若直線/的傾斜角為且45。總04135。，則直線/斜率的

取值范圍為（）

A.[l,+oo）B.（-oo,-l]C.[-1,1]D.[l,+oo）u（-oo,-l]

例題2.（2023秋?四川廣安?高二?？茧A段練習）設(shè)點尸（X/）是曲線》=-小口7317上的任意一點，則三

的最小值是（）

212

A.2B.—C.—D.0

55

例題3.（2023秋?遼寧葫蘆島?高二校考階段練習）若直線，"的斜率上e（-叱則直線〃，的傾斜

角的取值范圍是.

精練核心考點

1.（2023秋?湖北宜昌?高二枝江市第一高級中學?？茧A段練習）已知直線/:（加+3）x+（加-2萬-加-2=0,

點/（-2,-1）,5（2,-2）,若直線/與線段48相交，則〃2的取值范圍為（）

A.（-s,-4]U[2,4]B.[-2,2]

~3-|

C.——>8D.（4,+8）

2.（2023秋?貴州?高二校聯(lián)考開學考試）一束光射向》軸，與％軸相交于點尸經(jīng)％軸反射，與以連

接/（0,百）、8（1,2）兩點的線段總有公共點，這束光所在直線的斜率取值范圍為.

3.（2023秋?黑龍江雙鴨山?高二雙鴨山一中校考階段練習）已知實數(shù)x,y滿足方程（x-2y+/=3,則?

的取值范圍_____________

題型二：求直線的方程

典型例題

例題1.（2023秋,廣東陽江?高二廣東兩陽中學?？茧A段練習）已知直線/：（2a-l）x+（a+l）y+a-5=0.

⑴若直線/與直線/'：x+2y-l=0平行，求。的值并求這兩條直線間的距離；

（2）若直線/在兩坐標軸上的截距相等，求直線/的方程.

例題2.（2023秋?福建福州?高二閩侯縣第一中學?？茧A段練習）已知直線/的橫截距為〃?，且在x軸，夕軸

上的截距之和為4.

⑴若直線/的斜率為2,求實數(shù)小的值；

（2）若直線/分別與x軸、/軸的正半軸分別交于8兩點，。是坐標原點，求。面積的最大值及此時直

線/的方程.

例題3.(2023秋?河北?高二統(tǒng)考階段練習)已知直線4經(jīng)過/(-I,-5),8(3,3)兩點，直線人在x軸上的截

距為-1,且人，/?.

⑴求直線4和直線4的方程；

(2)已知直線。經(jīng)過直線4與直線4的交點，且在x軸上的截距是在y軸上的截距的3倍，求直線4的方程.

精練核心考點

1.(2023秋?江蘇連云港■高二連云港高中?？茧A段練習)已知直線/過點(2,-3)

⑴若/與直線2x+y-5=0平行，求直線/的方程；

(2)若原點到直線/的距離為2,求直線/的方程.

2.(2023秋?北京順義?高二牛欄山一中校考階段練習)(1)直線/過點尸(1,2)且在兩坐標軸上的截距相等,

求直線/的方程;

(2)直線加過點尸(1,2)且與x/軸正半軸分別交于兩點，。為坐標原點，求三角形。血W面積取最小

值時直線加的方程.

3.(2023秋?江西上饒?高二江西省廣豐中學?？茧A段練習)已知直線/經(jīng)過兩條直線x+2y-5=0和

3x-y-l=0的交點.

⑴若直線/與直線x-2y-1=0平行，求直線/的方程；

(2)若直線/與x+2y-5=0夾角為：TT，求直線/的方程.

題型三：直線過定點問題

典型例題

例題1.(2023秋?江蘇徐州?高二?？茧A段練習)設(shè)直線/的方程為(a+l)x+y-5-2a=0(aeR)

⑴求證：不論。為何值，直線/必過一定點P；

⑵若直線h過點P且與直線2x+y-5=。平行，求直線4的方程；

⑶若直線12過點?且與直線2x+>-5=0垂直，求直線12的方程；

例題2.(2023秋?上海長寧?高二上海市延安中學?？计谀?已知直線/1：ax+y-a=0和直線

l21x-ay+6a-3=0.

⑴求證：對任意實數(shù)直線4和4各經(jīng)過一個定點(依次設(shè)為A和3),并求A,8的坐標;

(2)設(shè)直線4和4交于點尸，求證：點尸的軌跡是一個圓，并求其標準方程.

精練核心考點

1.(2023秋?浙江嘉興?高二嘉興高級中學?？茧A段練習)已知圓C:/+y2=l,直線/:x+y+2=0,P為

直線/上的動點，過點尸作圓。的兩條切線，切點分別為4,B.則直線48過定點()

A.W]B.(-1,-1)C.D.

2.(2023秋?四川眉山?高二校考階段練習)設(shè)直線/的方程為(a+l)x+y-5-2a=0(aeR).

(1)求證：不論。為何值，直線/必過一定點P；

(2)若直線/分別與x軸正半軸，了軸正半軸交于點/(乙⑼，8(0,%),求。03面積的最小值.

題型四：與直線方程有關(guān)的最值問題

典型例題

例題1.（2023秋?安徽淮南?高二校考階段練習）若直線/:辰-y-2=0與曲線c：jl-（y_l）2=x_l有兩個

交點，則實數(shù)左的取值范圍是（）

A2

-[r]B.

。,卜山HD.3]

例題2.（2023秋?安徽亳州?高二?？茧A段練習）已知直線4〃4,其方程分別為小x+2y+2=0,12：

12

加x+（l-〃）＞+1=0,其中機＞0,77＞0,貝!I—+—的最小值為（）

mn

A.2B.2-V2C.4-V2D.8

例題3.（2023秋?遼寧大連?高二大連市金州高級中學?？茧A段練習）設(shè)直線/的方程為

（a+l）^x+y+2-a=0（aeR）

⑴求證：不論。為何值，直線必過定點M；

（2）若I在兩坐標軸上的截距相等，求直線/的方程.

⑶若直線/交x軸正半軸于點4交y軸負半軸于點3,小03的面積為S,求S的最小值.

精練核心考點

1.（2023秋?江蘇蘇州?高二常熟中學?？茧A段練習）設(shè)；leR,動直線4：西-了+4=0過定點A,動直線

4：x+辦-3-2彳=0過定點8,若P為4與4的交點，則|尸葉|尸目的最大值為（）

A.10B.20C.VH）D.275

2.（2023秋?四川廣安?高二?？茧A段練習）設(shè)點尸（x/）是曲線y=上的任意一點，則三的

最小值是（）

212

A.2B.—C.—D.0

55

3.（2023?全國?高三專題練習）若點P在曲線C：/+/_2工-6丫+1=0上運動，則上的最大值

x+3

為.

題型五：由兩直線的位置關(guān)系（平行或垂直）求參數(shù)

典型例題

例題1.（2023秋■江西上饒?高二江西省廣豐中學校考階段練習）兩條直線3ax+（l+a）y=3,12：

（。+1）工+（3—2。）了=2互相垂直，貝I]a的值是（）

A.0B.-1C.—1或3D.0或一1

例題2.（2023秋?山東青島■高二?？茧A段練習）己知直線4:加x-2y+1=0,4：x-+l）y+1=0,分別求

加的取值范圍，使得：

M/；

（2）/）14.

例題3.（2023秋?貴州?高二校聯(lián)考開學考試）已知直線4經(jīng)過8（-4,-加+3）,直線經(jīng)過點

C（-l,2）,JD（-4,m+2）.

（1）若/[〃，2，求加的值；

（2）若4,乙，求加的值.

精練核心考點

1.（2023秋?河南焦作?高二?？茧A段練習）已知直線4：y=x+^4：y=（a2-3）x+l,若〃4，則a的

值為.

2.（2023秋?安徽合肥?高二校聯(lián)考階段練習）過直線2x-y+4=0與3x-2y+9=0的交點，且垂直于直線

x-2y+l=0的直線方程是.

3.（2023秋?江蘇無錫?高二輔仁高中?？茧A段練習）已知直線4：6x+（—l萬-8=0,直線

/2：Q+4）X+（/+6力-16=0,根據(jù)下列條件分別求實數(shù)/的值：

（1）4與，2相交;

（2）4與4平行.

題型六：與距離有關(guān)的問題

典型例題

例題L（2023秋?廣東深圳?高二深圳外國語學校?？茧A段練習）已知直線2尤+y-3=0與直線4x-町-3=0

平行，則它們之間的距離是（）

A3A/5DV5r3^5nV5

510105

例題2.（2023秋?湖北?高二湖北省羅田縣第一中學校聯(lián)考階段練習）若非零實數(shù)對6）滿足關(guān)系式

|tz+6+l|=|7a-7Z>+l|=5^a2+b~,貝耳=.

例題3.（2023秋?遼寧?高二沈陽市法庫縣高級中學校聯(lián)考階段練習）已知直線/：x-2y+4=0,點/（0,4）,

點8（-2,-4）,點尸（見"）在直線/上移動,

⑴求加2+H2—2m+2n的最小值：

（2）求歸卻-|尸川的最大值，以及最大值時點尸的坐標

精練核心考點

1.（2023秋?廣東深圳?高二?？茧A段練習）點尸（-2,-1）到直線/:（1+3為尤+（l+2）y-2-4X=0QeR）的距

離最大時，直線/的方程為（）

A.3x+2y—5—0B.3x+2y+8=0C.2x—3y—2—0D.2x—3y+1=0

2.（2023?全國?高三專題練習）已知兩條平行直線3x-2y+l=0,12；辦-〉+6=0間的距離為遙，則

\a~b\-.

3.（2023?全國?高二隨堂練習）已知兩條平行直線分別過點/（6,2）和并且各自繞點A,B旋轉(zhuǎn),

探索這兩條平行線之間的距離的變化范圍，是否有最大距離？若有，求出距離最大時兩直線的方程.

題型七：點關(guān)于直線對稱

典型例題

例題1.（2023秋?廣東深圳?高二?？茧A段練習）己知實數(shù)X/滿足x+〉+l=0,則

y1x2+y2-2y+l+y/x2-2x+y2-4y+5的最小值為（）

A.V10B.372C.275D.5

例題2.（2023秋?寧夏銀川?高二銀川二中?？茧A段練習）已知圓G：（x-2『+（尸3『=1,圓

G：（x-3Y+（y-4）2=9,N分別是圓￡,C?的動點，尸為x軸上的動點，則廬圖+|尸時的最小值為（）

A.572-4B.V17-2C.6-272D.布

例題3.（2023秋?河北?高二統(tǒng)考階段練習）已知“3C的頂點8的坐標為（112）,邊上的中線CM所

在的直線方程為2x-y+1=0,ZBAC的平分線所在的直線方程為x+7y-12=0.

⑴求點4的坐標；

⑵求直線/C的方程

精練核心考點

1.（2023秋?貴州?高二校聯(lián)考階段練習）已知（加,〃）為直線x+了-1=0上的一點，則J/+/+7（m+2）2+?2

的最小值為（）

A.V10B.273C.4D.372

2.（多選）（2023秋?山東?高二濟南市歷城第二中學校聯(lián)考階段練習）已知點N與3（3,3）關(guān)于直線

4:x-y+l=0對稱，過點A的直線4在兩坐標軸上的截距之和為。，則直線4的方程為（）

A.2x+y=0B.2x-y=0

C.x+y-6=0D.x-y+2=0

3.（2023秋?高二課時練習）一束光線從原點。（0,0）出發(fā)，經(jīng)過直線/：8工+6^=25反射后通過點尸（-4,3）,

求反射光線的方程及光線從。點到達尸點所走過的路程.

題型八：直線關(guān)于直線對稱

典型例題

例題1.（2023秋?高二單元測試）已知從點（-5,3）發(fā)出的一束光線，經(jīng)x軸反射后，反射光線恰好平分圓:

（x-l『+（y-l）2=5的圓周，則反射光線所在的直線方程為（