2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練：復(fù)數(shù)

專練28復(fù)數(shù)

[基礎(chǔ)強化]

一、選擇題

z

1.[2024?新課標(biāo)I卷]若口=l+i,則z=()

A.-1-iB.-1+i

C.1-iD.1+i

答案：C

7Z—1-I-1111

解析：由----=l+i,可得-------=l+i,即1+-----=l+i,所以----=i,所以z—1=了=-i,

Z—1Z—1Z—1Z—11

所以Z=l—i,故選C.

2.[2024?新課標(biāo)II卷]已知z=—1—i,則|z|=()

A.0B.1

C.y[2D.2

答案：C

解析：由z=-1—i,得|z|=y(—1)2+(—1)2=^2做選C.

3.[2023?新課標(biāo)H卷]在復(fù)平面內(nèi)，(l+3i)(3—i)對應(yīng)的點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案：A

解析：因為(l+3i)(3—i)=3—i+9i—3i?=6+8i,所以該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(6,8),位于第一

象限，故選A.

1——i—

4.[2023?新課標(biāo)I卷]已知z=狂天，則z—z=()

A.-iB.i

C.0D.1

答案：A

解析：因為z=；+：=2(1+i)i)=-2"所以z=Ti，所以z—Z=—1i—1i=-i.故

選A.

5.|2+i2+2i3|=()

A.1B.2

C.y[5D.5

答案：c

解析:|2+i2+2i3|=|2-l-2i|=|l-2i|=V5.故選C.

2+i一

6.設(shè)Z=]+j2+j5，貝Iz=（）

A.l-2iB.l+2i

C.2-iD.2+i

答案：B

解析：z=]；2j5=；；；j=—=1—2i,所以z=l+2i.故選B.

7.[2022?全國甲卷（理），1]若z=—1+小i,則Y—=（）

zz—1

A.-1+73iB.-1-^3i

厄

J3丁31331

答案:C

,z=___________1+小___________—1+V3i=_13/3.

解析：因為z=—i,

z]_]（—1+小i）（—1—^31）—11+3—133

故選C.

人lb?、5（1+i3）

8.[2023?全國甲卷（滅）]（2+i）（2—i）=（）

A.-1B.1

C.1-iD.1+i

答案：C

…j5（1+i3）5（1-i）5（1-i）,,、.

解析：由通思知，（2+j）（2j）=2~i2-=5=1——i,故L選C.

9.（多選）[2024.山東菊澤期中]已知復(fù)數(shù)2=3小5也。（甘＜局（其中i為虛數(shù)單位），下列說法正確

的是（）

A.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點可能落在第二象限

B.|z|=cos6

C.z，z=1

D.z+1為實數(shù)

答案：CD

解析：復(fù)數(shù)z=cos0+isino（一全:仇百（其中i為虛數(shù)單位）,

復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面上對應(yīng)的點（cos。，sin。）不可能落在第二象限，所以A不正確;

\z\=yjcos20+six^0=1,所以B不正確；

z-z=(cos8+isin0)(cos夕一isin6)=cos20+sin2^=1,所以C正確；

z+-=cos0+isin3+-----.~~=cos6+isin夕+cos。-isin6=2cos6為實數(shù)，所以D正確.

zcos"十isin"

二、填空題

10.若匕2(a,bGR)與(2—i)2互為共輾復(fù)數(shù)，則。一>=.

答案：一7

解析："‘歷=b-a\,(2—i)2=3—4i,因為這兩個復(fù)數(shù)互為共軻復(fù)數(shù)，所以b=3,a=

—4,所以〃-b=-4—3=-7.

11.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)常=.

答案：4-i

6+7i(6+7i)(1—2i)

角牛析：l+2i=(l+2i)(1—2i)

6-12i+7i+1420-5i

=5=4一1.

12.設(shè)復(fù)數(shù)Z1，Z2滿足閡=。|=2,zi+z2=yfi+i,則區(qū)一z?|=.

答案：2小

解析：設(shè)復(fù)數(shù)zi=〃+歷，Z2=c+di(a,b,c,d￡R),則那+廬二*c2+^=4,又zi+z2=(〃+c)+(b

+i,?*?a-\~c=yf3,b~\~d=1,則(。+。)2+3+602=〃2+，+廬+解+2〃。+2/?1=4,.?.8+2〃c+2bd

=4,即2ac+2bd——4,|zi-Z2I=—c)2+(Z7—J)2=>>Jd!2+Z?2+c2+6?2—(2ac~\-2bd)=

^8-(-4)=2y[3.

[能力提升]

13.(多選)[2024?九省聯(lián)考]已知復(fù)數(shù)z,口均不為0,貝lj()

C772

A.z2=fzl2B.-=732

臼

z

--------——rZ|z|

C,z-w=z-WD.-=麗

答案：BCD

解析：設(shè)z=a+/?i(〃，Z?￡R),w=c+di(cfd^R)；

對A：z2=(a+bi)2=a2+2abi—b2=a2—b2+2abi,\z\2=(y]a2+b2)2=a2+b2,故A錯誤；

Z—7z2

對B:—=-----,又z2=|z|2,即有一=前,故B正確；

———z

zz?zz

對C：z一如=〃+歷一c-di=a—c+(。一①i,則z~w=a—c—(b—d)i,z=a—bi,w=c—di,貝Iz

-w=a—bi—c~\~di—a—c—(b—J)i,

即有z~w=z—w,故C正確;

z_〃+bi(。+為)(c-di)

對D：

w-c+di(c+di)(c—di)

ac+bd—(ad—be)i

?+解

ac+bdx9?ad-bcx2

,7w)+(7+^)

Ia2(^+labcd+b2d2+ci1—labcd+Z?2(?

、S+-)2

/層〃+廬於+居法+b2c2

V（、+心）2

yj42c2+b1#+〃2心+62c2

c2+J2

\z\ylc^+b2「〃2+62+/2+12

I訓(xùn)—[(?+/—C2+^

N(層+廬)(。2+解)

廿+/

、02c2+匕2c2+42d2+匕2d2

c2+d2'

z\z\

故w=骨，故D正確?故選BCD.

14.[2022?全國乙卷（理），2]己知z=l—2i,且z+az+6=0,其中a,b為實數(shù)，則（）

A.〃=1,h~~2B.〃=1,Z?—'2

C.a=l,Z?=2D.〃=1,b~~—2

宏享.A

I=I?ts：■r

解析：由z=l—2i可知z=l+2i.由z+az+/?=0,得1—2i+a(l+2i)+b=l+〃+/?+(2a—2)i=0.

1+〃+/?=0,a=l,

根據(jù)復(fù)數(shù)相等，得解得，故選A.

2a—2—0,b=—2.

15.[2023?全國甲卷(理)]設(shè)a￡R,(a+i)(l—ai)=2,則。=()

A.12B.—1

C.1D.2

答案：C

解析：〃i)=〃+i—/j—出2=2。+(1—/)j=2,.?.2〃=2且1—〃2=0,解得