2024年中考數學復習：似三角形的性質與判定

相似三角形的性質與判定

1.比例線段的相關概念:

⑴在四條線段a,b,c,d中，如果a和b的比等于c和d的比，那么這四條線段a,b,c,d叫作成比例線段,簡稱比例線段.

注意：在求線段比時，線段單位要統(tǒng)一.

⑵比例的性質(注意性質里的條件：分母不能為0)

a:b=c:d=ad=be;ab=c/ao^^=

ba

(3)比例線段的有關定理

平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所截得的對應線段成比例.

2.相似三角形：

⑴概念：三個角分別相等，三條邊成比例的三角形，叫作相似三角形.

相似比:相似三角形對應邊的比叫作相似比.

⑵相似三角形的性質：

相似三角形對應角相等，對應邊成比例.

相似三角形對應高的比，對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比.

相似三角形周長的比等于相似比.

相似三角形面積的比等于相似比的平方.

注意：相似三角形性質可用來證明線段成比例、角相等，也可用來計算周長、邊長等.

(3)三角形相似的判定：

①平行法：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構成的三角形與原三角形相似.

②只看角法(AA)：兩角分別相等的兩個三角形相似.

③只看邊法：

SSS:三邊對應成比例的兩個三角形相似.

HL：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相

似.

④邊角組合法(SAS):兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似.

3.射影定理：在直角三角形中，斜邊上的高的平方是兩直角邊在斜邊上射影的乘積.每一條直角邊的平方是這條直角邊在斜邊上的

射影和斜邊的乘積.

如圖,RtAABC中,ZB4C=90°,AD是斜邊BC上的高,貝UAD2=BD-DC.AB2=BD-BC,AC2=CDBC.

直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似.

4.相似三角形判定的基本模型

(1)“A”形及其變形

(3)雙垂直型

如圖1,ACAPOAPBD.

如圖2、圖3,有以下結論：(①△CAPO△PBD;;②連接CD,當點P為AB的中點時，△CAPO△PBDACPD.

圖3

圖4結論:△ABN<^AMAN^AMCA.

圖5結論:△ABD^ACAE^ACBA.

K一例題精講

例i閱讀與計算，請閱讀以下材料，并完成相應的問題.

角平分線分線段成比例定理，如圖1,在^ABC中，AD平分立B4C,則桀=器.下面是這個定理的部分證明過程.

證明:如圖2,過點C作CE〃DA,交BA的延長線于點E

任務：

⑴請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；

⑵填空:如圖3,已知RtAABC中,AB=3,BC=4,乙48c=90°?AD平分NBAC,則△ABD的周長是___.

圖1圖2圖3

圖1圖2

⑴圖1中共有______對相似三角形，分別為(不需證明)；

(2)已知.AB=10,AC=8,,求出CD的長;

(3)在⑵的情況下，以AB為x軸、CD為y軸、點D為坐標原點O建立直角坐標系(如圖2),若點P從C點出發(fā)，以每秒I個單

位的速度沿線段CB運動，點Q從B點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿線段BA運動，其中一點最先到達線段的端點時，兩點即刻同

時停止運動；設運動時間為t秒，是否存在點P,使以點B,P,Q為頂點的三角形與△相似?若存在，請求出點P的坐標；若不

存在，請說明理由.

舉一反三3已知如圖.在RtAACB中,NC=9(T,AC=4cm,BC=3cm,點P由B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動,速度為1cm/s;點Q由

A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，速度為2cm/s；連接PQ.若設運動的時間為t(單位:s)(0<t<2),當t為何值時，以A,P,Q為頂點的三角

形與△ABC相似？

例3從三角形(不是等腰三角形)一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形,

如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫作這個三角形的完美分割線.

圖1圖2

⑴如圖1,在4ABC中,CD為角平分線/A=4(r,/B=60。,求證:CD是AABC的完美分割線；

(2)如圖2,在八ABC中,AC=2,BC=V2.CD是八ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD

的長.

【思路點撥】(1)根據三角形內角和定理求出NACB=80。,根據角平分線的定義得到NACD=40。,證明ABCDs^BAC,證明結論；

⑵根據△BCDs/XBAG得到器=需設BD=x,解方程求出x,再根據相似三角形的性質定理列式計算即可.

舉一反三4兩對相似的直角三角形按如圖所示的方式擺成矩形ABCD,其中△ADHCo△BAE,AADH三&CBFAABE三&CDG.

若EF:FG=1:2,4B:BC=2:3,則矩形EFGH與矩形ABCD的面積之比為（）

A..4—8

85

6唁

例4如圖，四邊形ABCD是正方形，點E在邊BC上，在CD邊上取一點F使AEAF=45°,AE與BD交于點H.AF與BD交于點

⑴求證:加=BG-DH;

⑵求證:CE=V2DG;

(3)求證:EF=V2WG.

備用圖

舉一反三5已知:正方形ABCD,點E在邊CD上，點F在線段BE的延長線上，且乙FCE=乙CBE.

⑴如圖1,當點E為CD邊的中點時，求證:（CF=2EF-,

⑵如圖2,當點F位于線段AD的延長線上時，求證：If=器

BEDF

例5【問題情境】如圖1,R3ABC中,NACB=9(T,CD_LAB我們可以利用△ABC與4ACD相似證明.AC2=AD-AB,,這個結論

我們稱之為射影定理，試證明這個定理.

【結論運用】如圖2,正方形ABCD的邊長為6,點0是對角線AC,BD的交點.點E在CD上，過點C作CF_LBE,垂足為F.連接

⑴試利用射影定理證明△BOF^ABED;

⑵若DE=2CE,求OF的長.

舉一反三6一直角三角形的兩直角邊之比為2：3,若斜邊上的高分斜邊為兩線段，則較小的一段與較大的一段之比是—.

舉一反三7如圖，矩形ABCD過點A作AE±BD于點E,AB=4,ZBAE=30°,]!!!]△DEC的面積是

(1)如圖1,如果四周的小路的寬均相等，那么小路四周所圍成的矩形4?CD和矩形ABCD相似嗎?請說明理由.

(2攻口圖2,如果相對著的兩條小路的寬均相等，試問小路的寬x與y的比值為多少時，能使小路四周所圍成的矩形.

矩形ABCD?請說明理由.

【思路點撥】⑴首先設四周的小路的寬為x,易得甯力誓，則可判定：小路四周所圍成的矩形.4ECD和矩形ABCD不相

似;⑵由相似多邊形的性質可得：當誓=甯時，小路四周所圍成的矩形.4?C'D'和矩形ABCD相似，繼而求得答案.

舉一反三8善于學習的小敏查資料知道：對應角相等，對應邊成比例的兩個梯形，叫作相似梯形.他想到“平行于三角形一邊的直

線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似”，提出如下兩個問題，你能幫助解決嗎？

問題一：平行于梯形底邊的直線截兩腰所得的小梯形和原梯形是否相似？

（1）從特殊情形入手探究.如圖1,假設梯形ABCD中，AD\\BC,AB=6,BC=8,CD=4,AD=2,MN是中位線.根據相似梯形的定義，請你

說明梯形AMND與梯形ABCD是否相似.

⑵一般結論：平行于梯形底邊的直線截兩腰所得的梯形與原梯形—（填“相似”“不相似”或“相似性無法確定”，不要求證明）.

問題二：平行于梯形底邊的直線截兩腰所得的兩個小梯形是否相似？

（3）從特殊平行線入手探究梯形的中位線截兩腰所得的兩個小梯形—（填“相似”“不相似”或“相似性無法確定”，不要求證明）.

（4）從特殊梯形入手探究.同上假設，如圖2,梯形ABCD中，4D||BC,AB=6,BC=8,CD=4,AD=2,你能找到與梯形底邊平行的直線P

Q（點P,Q在梯形的兩腰上）,使得梯形APQD與梯形PBCQ相似嗎?請根據相似梯形的定義說明理由.

⑸一般結論：對于任意梯形（如圖3）,一定一（填“存在”或“不存在”）平行于梯形底邊的直線PQ，使截得的兩個小梯形相似.若存

在，則確定這條平行線位置的條件是蕓=一.（不妨設.AD=a,BC=b,AB=c,CD=d.不要求證明）

過關檢測

基礎夯實

1.如圖，在△ABC中，點D在AB邊上，若BC=3.BD=2.且NBCD=NA,則線段AD的長為（）

2.在正方形網格中，每個小正方形的頂點稱為格點，以格點為頂點的三角形叫作格點三角形.如圖ABC是格點三角形，在圖中

的6x6正方形網格中作出格點三角形^ADE（不含△ABC）,使得△ADEs^ABC（同一位置的格點三角形△ADE只算一個）,這樣的格

點三角形一共有（）

A.4個B.5個

C.6個D.7個

C

3如圖，在口ABCD中,AC是一條對角線,EF〃:BC.且EF與AB相交于點E,與AC相交于點F,3AE=2EB,連接DF若SAAEF=1,則

SAADF的值為.

4.如圖，在^ABC中,D.E為邊AB的三等分點,EF〃DG〃AC,H為AF與DG的交點若AC=6,則DH=

5.如圖，點Pl,Pzp3,P4均在坐標軸上，且PlPzXPzP3P2P3-LP3P4，右點Pl,Pz的坐標分別為(0,1),(—2,0),則點P4的坐

7.如圖,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,動點P從B點出發(fā)沿著BC向C點移動，速度為每秒2個單位，動點Q從C點出發(fā)沿CD向

D點移動，速度為每秒1個單位，幾秒后由C,P,Q三點組成的三角形與△ABC相似？這時線段PQ與AC的位置關系如何?請說明

理由.

8。)某學?！爸腔鄯綀@”數學社團遇到這樣一個題目：

如圖1,在AABC中，點O在線段BC±,ZBAO=30°,ZOAC=75°,AO=3V5,BO:CO=1:3,求AB的長.

經過社團成員討論發(fā)現，過點B作BD〃AC,交AO的延長線于點D,通過構造八ABD就可以解決問題(如圖2).

A

4

請回答:NADB=—°,AB=____

⑵請參考以上解決思路，解決問題：

如圖3,在四邊形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,AC±AD,AO=3V3,ZABC=ZACB=75°,BO:OD=1:3,SDC的長.

能力拓展

10如圖,在RtAABC中,NACB=90。，分別以其三邊為邊向外作正方形，過點C作CR1FG于點R,再過點C作PQ1CR分別交

邊DE,BH于點P,Q.若QH=2PE,PQ=15,則CR的長為()

A.14B.15

C.8V3P.6V5

11.如圖,AB〃CD,AD〃CE,F,G分別是AC和FD的中點，過點G的直線依次交AB,AD,CD,CE于