結(jié)構(gòu)力學(xué)數(shù)值方法：積分法：結(jié)構(gòu)力學(xué)軟件應(yīng)用

結(jié)構(gòu)力學(xué)數(shù)值方法：積分法：結(jié)構(gòu)力學(xué)軟件應(yīng)用1緒論1.1結(jié)構(gòu)力學(xué)數(shù)值方法概述結(jié)構(gòu)力學(xué)數(shù)值方法是解決復(fù)雜結(jié)構(gòu)力學(xué)問題的有效工具，它通過將連續(xù)的物理問題離散化，轉(zhuǎn)化為一系列的數(shù)學(xué)方程，再利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行求解。這種方法特別適用于那些無法通過解析解或傳統(tǒng)工程方法解決的問題。常見的結(jié)構(gòu)力學(xué)數(shù)值方法包括有限元法(FEM)、邊界元法(BEM)、有限差分法(FDM)和積分法等。1.1.1有限元法示例有限元法是結(jié)構(gòu)力學(xué)中最常用的數(shù)值方法之一，它將結(jié)構(gòu)分解為許多小的單元，每個(gè)單元的力學(xué)行為可以用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型描述。然后，通過組合所有單元的模型，形成整個(gè)結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型，從而求解結(jié)構(gòu)的應(yīng)力、應(yīng)變和位移。示例代碼#導(dǎo)入必要的庫

importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)和單元

nodes=np.array([[0,0],[1,0],[1,1],[0,1]])

elements=np.array([[0,1],[1,2],[2,3],[3,0]])

#定義材料屬性和截面屬性

E=210e9#彈性模量

nu=0.3#泊松比

t=0.001#厚度

#創(chuàng)建剛度矩陣

K=lil_matrix((nodes.shape[0]*2,nodes.shape[0]*2))

#循環(huán)遍歷每個(gè)單元，計(jì)算并添加單元?jiǎng)偠染仃嚨秸w剛度矩陣

forelinelements:

x=nodes[el,0]

y=nodes[el,1]

#計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃?/p>

Ke=np.array([[1,0,-1,0],

[0,0,0,0],

[-1,0,1,0],

[0,0,0,0]])*E*t/2

#將單元?jiǎng)偠染仃囂砑拥秸w剛度矩陣

foriinrange(4):

forjinrange(4):

K[2*el[i],2*el[j]]+=Ke[i,j]

K[2*el[i]+1,2*el[j]+1]+=Ke[i+2,j+2]

K[2*el[i],2*el[j]+1]+=Ke[i,j+2]

K[2*el[i]+1,2*el[j]]+=Ke[i+2,j]

#定義邊界條件

bc=np.zeros(K.shape[0])

bc[0]=1#固定第一個(gè)節(jié)點(diǎn)的x方向位移

bc[1]=1#固定第一個(gè)節(jié)點(diǎn)的y方向位移

#定義外力

F=np.zeros(K.shape[0])

F[2]=-1000#在第二個(gè)節(jié)點(diǎn)的x方向施加1000N的力

#求解位移

u=spsolve(K.tocsr(),F)

#輸出位移結(jié)果

print(u.reshape(-1,2))1.1.2代碼解釋上述代碼展示了如何使用有限元法求解一個(gè)簡(jiǎn)單的平面四邊形結(jié)構(gòu)的位移。首先，定義了結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)和單元，然后計(jì)算了每個(gè)單元的剛度矩陣，并將其添加到整體剛度矩陣中。接著，定義了邊界條件和外力，最后使用scipy.sparse.linalg.spsolve函數(shù)求解位移。1.2積分法在結(jié)構(gòu)力學(xué)中的應(yīng)用積分法在結(jié)構(gòu)力學(xué)中主要用于求解結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形。它通過將結(jié)構(gòu)的微分方程轉(zhuǎn)化為積分方程，然后利用數(shù)值積分技術(shù)求解。這種方法在處理某些特定問題時(shí)，如彈性地基上的結(jié)構(gòu)、非線性問題等，具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。1.2.1積分法示例考慮一個(gè)彈性地基上的梁，其微分方程可以轉(zhuǎn)化為積分方程，然后使用數(shù)值積分求解梁的撓度。示例代碼importnumpyasnp

fromegrateimportquad

#定義彈性地基的剛度函數(shù)

defk(x):

return10000*np.exp(-x**2/100)

#定義外力函數(shù)

deff(x):

return-1000*np.sin(x)

#定義積分方程

defintegral_equation(w,x):

returnquad(lambdaxi:k(xi)*(w(xi)-w(x))**2,-np.inf,np.inf)[0]-f(x)

#使用數(shù)值積分求解撓度

x=np.linspace(-10,10,100)

w=np.zeros_like(x)

#迭代求解

foriinrange(len(x)):

w[i]=quad(lambdaxi:integral_equation(w,xi),-10,10)[0]

#輸出撓度結(jié)果

print(w)1.2.2代碼解釋這段代碼展示了如何使用積分法求解彈性地基上的梁的撓度。首先，定義了彈性地基的剛度函數(shù)和外力函數(shù)，然后定義了積分方程。通過迭代使用egrate.quad函數(shù)求解積分方程，最終得到梁的撓度。1.3結(jié)構(gòu)力學(xué)軟件簡(jiǎn)介結(jié)構(gòu)力學(xué)軟件是基于數(shù)值方法的計(jì)算機(jī)程序，用于分析和設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)。這些軟件可以處理復(fù)雜的幾何形狀、材料屬性和載荷條件，提供應(yīng)力、應(yīng)變、位移和模態(tài)分析等結(jié)果。常見的結(jié)構(gòu)力學(xué)軟件包括ANSYS、ABAQUS、NASTRAN和SAP2000等。1.3.1軟件功能有限元分析：可以進(jìn)行線性和非線性分析，包括靜力、動(dòng)力和熱分析。模態(tài)分析：用于研究結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，如固有頻率和振型。優(yōu)化設(shè)計(jì)：通過迭代計(jì)算，尋找結(jié)構(gòu)的最佳設(shè)計(jì)參數(shù)，以滿足特定的性能指標(biāo)。后處理：提供可視化工具，幫助用戶理解分析結(jié)果，如應(yīng)力云圖、位移矢量圖等。1.3.2使用示例在ABAQUS中，可以使用Python腳本來定義和求解結(jié)構(gòu)力學(xué)問題。示例代碼#導(dǎo)入ABAQUS模塊

fromabaqusimport*

fromabaqusConstantsimport*

fromcaeModulesimport*

fromdriverUtilsimportexecuteOnCaeStartup

#創(chuàng)建模型

model=mdb.Model(name='BeamModel')

#創(chuàng)建節(jié)點(diǎn)

nodes=model.ConstrainedSketch(name='__profile__',sheetSize=20.0)

nodes.rectangle(point1=(0.0,0.0),point2=(10.0,1.0))

model.Part(name='Beam',dimensionality=TWO_D_PLANAR,type=DEFORMABLE_BODY)

model.PartInstance(name='Beam-1',part=model.parts['Beam'],dependent=ON)

#創(chuàng)建材料

model.Material(name='Steel')

model.materials['Steel'].Elastic(table=((210e9,0.3),))

#創(chuàng)建截面

model.Section(name='BeamSection',material='Steel',thicknessType=UNIFORM,thickness=0.001)

#創(chuàng)建載荷

model.ConcentratedForce(name='Force',region=model.rootAssembly.instances['Beam-1'].nodes[1],cf1=-1000)

#創(chuàng)建邊界條件

model.DisplacementBC(name='Fixed',createStepName='Initial',region=model.rootAssembly.instances['Beam-1'].nodes[0],u1=0.0,u2=0.0,amplitude=UNSET)

#創(chuàng)建分析步

model.StaticStep(name='Step-1',previous='Initial')

#提交分析

['BeamModel'].submit()

['BeamModel'].waitForCompletion()1.3.3代碼解釋這段代碼展示了如何在ABAQUS中使用Python腳本定義一個(gè)平面梁的結(jié)構(gòu)力學(xué)問題，并提交分析。首先，創(chuàng)建了一個(gè)模型和節(jié)點(diǎn)，然后定義了材料屬性、截面屬性、載荷和邊界條件。最后，創(chuàng)建了分析步并提交了分析。注意，實(shí)際使用時(shí)需要在ABAQUS環(huán)境中運(yùn)行此腳本，且可能需要更詳細(xì)的模型定義和結(jié)果提取代碼。2第一章：有限元法基礎(chǔ)2.11有限元法的基本概念有限元法（FiniteElementMethod,FEM）是一種數(shù)值計(jì)算方法，用于求解復(fù)雜的工程結(jié)構(gòu)力學(xué)問題。它將連續(xù)的結(jié)構(gòu)體離散成有限數(shù)量的單元，每個(gè)單元用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型來近似描述，然后通過組合這些單元的模型來模擬整個(gè)結(jié)構(gòu)的行為。這種方法特別適用于處理具有復(fù)雜幾何形狀、材料性質(zhì)和載荷條件的結(jié)構(gòu)。2.1.1原理有限元法基于變分原理和加權(quán)殘值法。在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，通常使用最小勢(shì)能原理或哈密頓原理作為變分原理的基礎(chǔ)。通過將結(jié)構(gòu)離散化，可以將連續(xù)的微分方程轉(zhuǎn)化為離散的代數(shù)方程組，從而便于數(shù)值求解。2.1.2應(yīng)用有限元法廣泛應(yīng)用于汽車、航空航天、土木工程、機(jī)械設(shè)計(jì)等領(lǐng)域，用于結(jié)構(gòu)分析、熱傳導(dǎo)分析、流體動(dòng)力學(xué)分析等。2.22有限元法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有限元法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)包括線性代數(shù)、微分方程、變分原理和數(shù)值積分等。2.2.1線性代數(shù)在有限元分析中，結(jié)構(gòu)的離散化導(dǎo)致了大量線性方程的產(chǎn)生，這些方程通常以矩陣形式表示。例如，結(jié)構(gòu)的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和載荷向量等。2.2.2微分方程結(jié)構(gòu)力學(xué)問題通常由微分方程描述，有限元法通過將這些微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組來求解。例如，彈性力學(xué)中的平衡方程、幾何方程和物理方程等。2.2.3變分原理變分原理是有限元法的核心，它提供了一種將微分方程轉(zhuǎn)化為泛函極值問題的方法。在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，最小勢(shì)能原理是最常用的變分原理之一。2.2.4數(shù)值積分在有限元法中，需要對(duì)單元的剛度矩陣和載荷向量進(jìn)行積分計(jì)算。數(shù)值積分方法，如高斯積分，被廣泛應(yīng)用于這些計(jì)算中。2.33有限元法的步驟與流程有限元分析通常遵循以下步驟：結(jié)構(gòu)離散化：將結(jié)構(gòu)體劃分為有限數(shù)量的單元。選擇位移模式：為每個(gè)單元選擇適當(dāng)?shù)奈灰坪瘮?shù)。建立單元方程：根據(jù)變分原理，建立每個(gè)單元的微分方程，并轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程。組裝整體方程：將所有單元的方程組裝成整體結(jié)構(gòu)的方程組。施加邊界條件：根據(jù)問題的物理特性，施加適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件。求解方程組：使用線性代數(shù)方法求解整體方程組，得到結(jié)構(gòu)的位移、應(yīng)力和應(yīng)變等。后處理：分析和可視化求解結(jié)果，如繪制應(yīng)力分布圖、變形圖等。2.3.1示例：使用Python進(jìn)行簡(jiǎn)單梁的有限元分析importnumpyasnp

#定義單元?jiǎng)偠染仃?/p>

defelement_stiffness_matrix(E,I,L):

"""

計(jì)算梁?jiǎn)卧膭偠染仃?/p>

:paramE:彈性模量

:paramI:慣性矩

:paramL:單元長(zhǎng)度

:return:4x4的剛度矩陣

"""

k=E*I/L**3*np.array([[12,6*L,-12,6*L],

[6*L,4*L**2,-6*L,2*L**2],

[-12,-6*L,12,-6*L],

[6*L,2*L**2,-6*L,4*L**2]])

returnk

#定義整體剛度矩陣

defglobal_stiffness_matrix(elements):

"""

組裝所有單元的剛度矩陣為整體剛度矩陣

:paramelements:單元列表，每個(gè)單元包含剛度矩陣和節(jié)點(diǎn)信息

:return:整體剛度矩陣

"""

n_nodes=max([max(element[1])forelementinelements])+1

n_dofs=2*n_nodes

K=np.zeros((n_dofs,n_dofs))

forelementinelements:

k,nodes=element

foriinrange(4):

forjinrange(4):

K[2*nodes[i//2]+i%2,2*nodes[j//2]+j%2]+=k[i,j]

returnK

#示例數(shù)據(jù)

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

I=0.05#慣性矩，單位：m^4

L=1.0#單元長(zhǎng)度，單位：m

elements=[(element_stiffness_matrix(E,I,L),[0,1]),(element_stiffness_matrix(E,I,L),[1,2])]

#組裝整體剛度矩陣

K=global_stiffness_matrix(elements)

print("整體剛度矩陣:\n",K)在這個(gè)示例中，我們定義了計(jì)算梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚨暮瘮?shù)element_stiffness_matrix，以及組裝整體剛度矩陣的函數(shù)global_stiffness_matrix。通過給定的彈性模量E、慣性矩I和單元長(zhǎng)度L，我們計(jì)算了兩個(gè)梁?jiǎn)卧膭偠染仃嚕⑺鼈兘M裝成整體剛度矩陣K。這個(gè)簡(jiǎn)單的例子展示了有限元法的基本步驟，即單元分析和整體組裝。3第二章：積分法原理3.11積分法的基本原理積分法在結(jié)構(gòu)力學(xué)中主要用于求解連續(xù)體的應(yīng)力、應(yīng)變和位移。它基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的基本方程，如平衡方程、幾何方程和物理方程，通過積分運(yùn)算來求解這些方程。在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，積分法通常涉及對(duì)結(jié)構(gòu)的內(nèi)力、外力、位移或應(yīng)變進(jìn)行積分，以獲得結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。3.1.1例：梁的撓度計(jì)算考慮一個(gè)簡(jiǎn)支梁，受均布荷載作用。梁的微分方程為：d其中，v是梁的撓度，q是荷載強(qiáng)度，E是彈性模量，I是截面慣性矩。通過積分法，我們可以求解梁的撓度：dv邊界條件用于確定積分常數(shù)C1和C3.22積分法的數(shù)值實(shí)現(xiàn)在實(shí)際工程應(yīng)用中，結(jié)構(gòu)的幾何形狀和載荷分布往往非常復(fù)雜，使得解析積分難以實(shí)現(xiàn)。因此，數(shù)值積分方法，如辛普森法則、梯形法則和高斯積分，被廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)的數(shù)值分析中。3.2.1例：使用Python實(shí)現(xiàn)梯形法則假設(shè)我們需要對(duì)函數(shù)fx=ximportnumpyasnp

deff(x):

"""定義積分函數(shù)"""

returnx**2

deftrapezoidal_rule(f,a,b,n):

"""梯形法則數(shù)值積分"""

h=(b-a)/n

x=np.linspace(a,b,n+1)

y=f(x)

integral=h*(0.5*y[0]+0.5*y[-1]+np.sum(y[1:-1]))

returnintegral

#設(shè)置積分區(qū)間和分割數(shù)量

a=0

b=2

n=100

#計(jì)算積分

integral=trapezoidal_rule(f,a,b,n)

print("積分結(jié)果:",integral)3.33積分法在有限元分析中的應(yīng)用有限元分析（FEA）中，積分法用于計(jì)算結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和載荷向量。在有限元方法中，結(jié)構(gòu)被離散成多個(gè)小的單元，每個(gè)單元的響應(yīng)通過積分法求解，然后組合成整個(gè)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。3.3.1例：使用Python和NumPy計(jì)算梁?jiǎn)卧膭偠染仃嚰僭O(shè)我們有一個(gè)簡(jiǎn)單的梁?jiǎn)卧L(zhǎng)度為L(zhǎng)，彈性模量為E，截面慣性矩為I。梁?jiǎn)卧膭偠染仃嚳梢酝ㄟ^以下積分計(jì)算：k由于積分結(jié)果與x無關(guān)，上述積分可以直接計(jì)算為矩陣乘以L。在Python中，我們可以使用NumPy來實(shí)現(xiàn)：importnumpyasnp

defbeam_stiffness_matrix(E,I,L):

"""計(jì)算梁?jiǎn)卧膭偠染仃?""

k=(E*I/(L**3))*np.array([[12,6*L,-12,6*L],

[6*L,4*L**2,-6*L,2*L**2],

[-12,-6*L,12,-6*L],

[6*L,2*L**2,-6*L,4*L**2]])

returnk

#設(shè)置材料和幾何參數(shù)

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

I=0.05#截面慣性矩，單位：m^4

L=1.0#單元長(zhǎng)度，單位：m

#計(jì)算剛度矩陣

k=beam_stiffness_matrix(E,I,L)

print("梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃?\n",k)以上示例展示了如何使用Python和NumPy來實(shí)現(xiàn)梯形法則的數(shù)值積分和梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚨挠?jì)算，這些都是結(jié)構(gòu)力學(xué)數(shù)值方法中積分法應(yīng)用的具體實(shí)例。4第三章：結(jié)構(gòu)力學(xué)軟件操作4.11常用結(jié)構(gòu)力學(xué)軟件介紹在結(jié)構(gòu)力學(xué)領(lǐng)域，數(shù)值方法的運(yùn)用極大地提高了分析復(fù)雜結(jié)構(gòu)的能力。其中，積分法是解決連續(xù)介質(zhì)力學(xué)問題的關(guān)鍵技術(shù)之一。本節(jié)將介紹幾款廣泛使用的結(jié)構(gòu)力學(xué)軟件，它們?cè)诠こ淘O(shè)計(jì)和分析中扮演著重要角色。ANSYS：一款綜合性的工程仿真軟件，廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)、流體、電磁、熱力學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域。其強(qiáng)大的積分法設(shè)置，能夠處理復(fù)雜的非線性問題。ABAQUS：特別擅長(zhǎng)于非線性分析，包括大變形、接觸、斷裂力學(xué)等。ABAQUS的積分法應(yīng)用深入，能夠精確模擬材料的非線性行為。NASTRAN：最初由NASA開發(fā)，主要用于航空航天結(jié)構(gòu)的分析。NASTRAN在積分法的應(yīng)用上，特別注重精度和效率，適合大規(guī)模結(jié)構(gòu)的仿真。SAP2000：專注于建筑結(jié)構(gòu)的分析與設(shè)計(jì)，其用戶界面友好，積分法的設(shè)置直觀，適合初學(xué)者快速上手。4.22軟件界面與基本操作4.2.1ANSYS界面與操作界面介紹Preprocessor：用于建立模型，包括幾何、網(wǎng)格、材料屬性和載荷的定義。Solution：進(jìn)行求解，設(shè)置積分法參數(shù)，如積分點(diǎn)數(shù)量、積分類型等。Postprocessor：查看結(jié)果，包括應(yīng)力、應(yīng)變、位移等?；静僮鹘⒛Ｐ停涸赑reprocessor中，使用/INPUT命令讀取幾何模型，或直接在圖形界面中繪制。定義材料：使用MPDATA命令定義材料屬性，如彈性模量、泊松比等。網(wǎng)格劃分：使用MESH命令進(jìn)行網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格質(zhì)量直接影響積分法的準(zhǔn)確性。設(shè)置載荷：在Preprocessor中，通過APPLY命令施加載荷。求解設(shè)置：在Solution中，使用SOLVE命令開始求解，通過INTG命令設(shè)置積分法參數(shù)。查看結(jié)果：在Postprocessor中，使用PRNSOL命令打印結(jié)果，或在圖形界面中查看。4.2.2ABAQUS界面與操作界面介紹Input：定義模型、材料、載荷和邊界條件。Mesh：進(jìn)行網(wǎng)格劃分，設(shè)置積分點(diǎn)。Job：定義求解作業(yè)，包括積分法的類型和參數(shù)。Visualization：查看和分析結(jié)果?；静僮鹘⒛Ｐ停涸贗nput模塊中，使用*PART命令定義模型的幾何形狀。定義材料：使用*MATERIAL命令，如*ELASTIC定義彈性材料。網(wǎng)格劃分：在Mesh模塊中，使用*ELEMENT命令進(jìn)行網(wǎng)格劃分，*INTEGRATIONPOINTS設(shè)置積分點(diǎn)數(shù)量。設(shè)置載荷：使用*BOUNDARY和*DLOAD命令施加載荷和邊界條件。求解設(shè)置：在Job模塊中，使用*STEP命令定義求解步驟，*INTEGRATIONRULE設(shè)置積分規(guī)則。查看結(jié)果：在Visualization模塊中，使用*NODEPRINT和*ELEMENTPRINT命令輸出結(jié)果，或直接在圖形界面中查看。4.33軟件中積分法的設(shè)置與應(yīng)用4.3.1ANSYS中的積分法設(shè)置在ANSYS中，積分法的設(shè)置主要在Solution模塊進(jìn)行。以二維平面應(yīng)變問題為例，使用四邊形單元，我們可以設(shè)置高斯積分點(diǎn)的數(shù)量來提高求解精度。#ANSYSPythonAPI示例

fromansys.mapdl.coreimportlaunch_mapdl

mapdl=launch_mapdl()

mapdl.prep7()

mapdl.et(1,'PLANE182')#選擇平面應(yīng)變單元

mapdl.r(1,1)#設(shè)置單元厚度

mapdl.mp('EX',1,200e3)#設(shè)置彈性模量

mapdl.mp('PRXY',1,0.3)#設(shè)置泊松比

mapdl.rectng(0,1,0,1)#創(chuàng)建矩形模型

mapdl.esize(0.1)#設(shè)置網(wǎng)格尺寸

mapdl.amesh('ALL')#自動(dòng)網(wǎng)格劃分

mapdl.nsel('S','LOC','X',0)#選擇X=0的節(jié)點(diǎn)

mapdl.d('ALL','UX')#施加X方向的位移約束

mapdl.nsel('S','LOC','X',1)#選擇X=1的節(jié)點(diǎn)

mapdl.f('ALL','FX',100)#施加X方向的力

mapdl.allsel('ALL')#選擇所有元素

mapdl.type(1)#設(shè)置單元類型

mapdl.slashcom('/SOLU')#進(jìn)入求解模式

mapdl.antype('STATIC')#設(shè)置分析類型為靜態(tài)

mapdl.solve()#開始求解

mapdl.post1()#進(jìn)入后處理模式

mapdl.prnsol('U')#打印位移結(jié)果4.3.2ABAQUS中的積分法設(shè)置在ABAQUS中，積分法的設(shè)置通常在輸入文件中進(jìn)行。以下是一個(gè)使用高斯積分的簡(jiǎn)單示例，用于二維平面應(yīng)變問題。#ABAQUSPythonAPI示例

fromabaqusimport*

fromabaqusConstantsimport*

fromcaeModulesimport*

fromdriverUtilsimportexecuteOnCaeStartup

executeOnCaeStartup()

#創(chuàng)建模型

mdb.models['Model-1'].ConstrainedSketch(name='__profile__',sheetSize=2.0)

mdb.models['Model-1'].sketches['__profile__'].rectangle(point1=(0.0,0.0),point2=(1.0,1.0))

mdb.models['Model-1'].Part(dimensionality=TWO_D_PLANAR,name='Part-1',type=DEFORMABLE_BODY)

mdb.models['Model-1'].parts['Part-1'].BaseShell(sketch=mdb.models['Model-1'].sketches['__profile__'])

#定義材料

mdb.models['Model-1'].Material(name='Material-1')

mdb.models['Model-1'].materials['Material-1'].Elastic(table=((200e3,0.3),))

#網(wǎng)格劃分

mdb.models['Model-1'].parts['Part-1'].seedPart(size=0.1,deviationFactor=0.1,minSizeFactor=0.1)

mdb.models['Model-1'].parts['Part-1'].generateMesh()

#設(shè)置積分點(diǎn)

mdb.models['Model-1'].parts['Part-1'].setElementType(regions=(mdb.models['Model-1'].parts['Part-1'].sets['Set-1'],),elemTypes=(ElemType(elemCode=S4R,elemLibrary=STANDARD,secondOrderAccuracy=OFF,hourglassControl=DEFAULT,integrationRule=SIMP,numIntPts=4),))

#施加載荷和邊界條件

mdb.models['Model-1'].parts['Part-1'].Set(name='Set-2',edges=mdb.models['Model-1'].parts['Part-1'].edges.findAt(((1.0,0.5,0.0),),))

mdb.models['Model-1'].loads['Load-1']=mdb.models['Model-1'].parts['Part-1'].loads['Load-1']

mdb.models['Model-1'].loads['Load-1'].setValues(magnitude=100.0)

mdb.models['Model-1'].boundaryConditions['BC-1']=mdb.models['Model-1'].parts['Part-1'].boundaryConditions['BC-1']

mdb.models['Model-1'].boundaryConditions['BC-1'].setValues(magnitude=0.0)

#求解

mdb.models['Model-1'].Job(name='Job-1',model='Model-1',description='',type=ANALYSIS,atTime=None,waitMinutes=0,waitHours=0,queue=None,memory=90,memoryUnits=PERCENTAGE,getMemoryFromAnalysis=True,explicitPrecision=SINGLE,nodalOutputPrecision=SINGLE,echoPrint=OFF,modelPrint=OFF,contactPrint=OFF,historyPrint=OFF)

['Job-1'].submit(consistencyChecking=OFF)

['Job-1'].waitForCompletion()

#查看結(jié)果

session.viewports['Viewport:1'].setValues(displayedObject=mdb.models['Model-1'].parts['Part-1'])

session.viewports['Viewport:1'].odbDisplay.display.setValues(plotState=(DEFORMED,))

session.viewports['Viewport:1'].odbDisplay.setFrame(step=0,frame=1)在上述示例中，我們使用了SIMP（簡(jiǎn)化）積分規(guī)則，并設(shè)置了4個(gè)積分點(diǎn)，以提高求解的精度。通過調(diào)整積分點(diǎn)的數(shù)量，可以平衡求解速度和精度。4.3.3結(jié)論在結(jié)構(gòu)力學(xué)軟件中，積分法的設(shè)置是確保分析結(jié)果準(zhǔn)確性的關(guān)鍵步驟。通過上述示例，我們可以看到，不同的軟件提供了不同的設(shè)置方法，但核心原理相似。掌握這些軟件的積分法設(shè)置，對(duì)于進(jìn)行精確的結(jié)構(gòu)分析至關(guān)重要。5第四章：案例分析與實(shí)踐5.11簡(jiǎn)單梁的有限元分析在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，梁是常見的結(jié)構(gòu)形式，其分析可以通過有限元方法進(jìn)行。有限元分析是一種數(shù)值方法，用于求解復(fù)雜的工程問題，如結(jié)構(gòu)的應(yīng)力、應(yīng)變和位移。下面，我們將通過一個(gè)簡(jiǎn)單的梁的有限元分析案例，來展示如何使用Python中的SciPy庫進(jìn)行計(jì)算。5.1.1案例描述考慮一個(gè)簡(jiǎn)支梁，長(zhǎng)度為4米，兩端固定，中間承受一個(gè)集中力。梁的截面為矩形，寬度為0.2米，高度為0.1米。材料為鋼，彈性模量為200GPa，泊松比為0.3。集中力為10kN，作用在梁的中點(diǎn)。我們的目標(biāo)是計(jì)算梁的位移和應(yīng)力。5.1.2分析步驟定義梁的幾何和材料屬性建立有限元模型施加邊界條件和載荷求解并分析結(jié)果5.1.3代碼示例importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportdiags

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義梁的幾何和材料屬性

length=4.0#梁的長(zhǎng)度

width=0.2#梁的寬度

height=0.1#梁的高度

E=200e9#彈性模量

nu=0.3#泊松比

force=10e3#集中力

n_elements=10#元素?cái)?shù)量

#建立有限元模型

#計(jì)算截面慣性矩

I=(width*height**3)/12

#計(jì)算每個(gè)元素的剛度矩陣

k=(E*I)/(length/n_elements)

#構(gòu)建全局剛度矩陣

K=diags([2*k,-k,-k],[0,-1,1],shape=(n_elements+1,n_elements+1)).toarray()

K[0,0]=K[-1,-1]=1e10#固定兩端

#施加邊界條件和載荷

#定義載荷向量

F=np.zeros(n_elements+1)

F[int(n_elements/2)]=-force

#求解位移

U=spsolve(diags(K.diagonal()),F)

#計(jì)算應(yīng)力

#假設(shè)我們只關(guān)心中點(diǎn)的應(yīng)力

stress=(force*length/(2*n_elements*I))*height/2

#輸出結(jié)果

print("位移向量:",U)

print("中點(diǎn)應(yīng)力:",stress)5.1.4解釋定義梁的幾何和材料屬性：我們首先定義了梁的長(zhǎng)度、寬度、高度、彈性模量和泊松比。建立有限元模型：通過計(jì)算截面慣性矩和每個(gè)元素的剛度矩陣，我們構(gòu)建了全局剛度矩陣。為了模擬兩端固定，我們?cè)诰仃嚨膬啥颂砑恿朔浅４蟮闹?。施加邊界條件和載荷：我們定義了載荷向量，只在梁的中點(diǎn)施加集中力。求解并分析結(jié)果：使用scipy.sparse.linalg.spsolve函數(shù)求解位移向量，并計(jì)算中點(diǎn)的應(yīng)力。5.22復(fù)雜結(jié)構(gòu)的積分法應(yīng)用對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，如三維框架或不規(guī)則形狀的結(jié)構(gòu)，積分法可以與有限元方法結(jié)合使用，以更精確地模擬結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。積分法通常用于計(jì)算結(jié)構(gòu)的內(nèi)力，如彎矩、剪力和軸力。5.2.1案例描述考慮一個(gè)三維框架結(jié)構(gòu)，由多個(gè)梁和柱組成。我們的目標(biāo)是計(jì)算在特定載荷作用下，框架的內(nèi)力分布。5.2.2分析步驟定義結(jié)構(gòu)的幾何和材料屬性建立有限元模型使用積分法計(jì)算內(nèi)力分析結(jié)果5.2.3代碼示例由于三維框架的分析涉及到更復(fù)雜的數(shù)學(xué)和編程，這里將提供一個(gè)簡(jiǎn)化版的框架分析代碼，使用Python和SciPy庫。importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportdiags

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義結(jié)構(gòu)的幾何和材料屬性

#假設(shè)我們有一個(gè)由4個(gè)梁組成的簡(jiǎn)單框架

n_elements=4

E=200e9#彈性模量

A=0.01#截面面積

I=0.001#截面慣性矩

#建立有限元模型

#構(gòu)建全局剛度矩陣

K=np.zeros((2*n_elements,2*n_elements))

foriinrange(n_elements):

#每個(gè)梁的局部剛度矩陣

k_local=np.array([[E*A,0],[0,E*I]])

#將局部剛度矩陣添加到全局剛度矩陣中

K[2*i:2*i+2,2*i:2*i+2]+=k_local

#使用積分法計(jì)算內(nèi)力

#假設(shè)我們已經(jīng)求解了位移向量U

U=np.array([0,-0.001,0,0,0,0.002,0,0])

#計(jì)算內(nèi)力向量

F=K@U

#分析結(jié)果

print("內(nèi)力向量:",F)5.2.4解釋定義結(jié)構(gòu)的幾何和材料屬性：我們定義了結(jié)構(gòu)的元素?cái)?shù)量、彈性模量、截面面積和截面慣性矩。建立有限元模型：構(gòu)建全局剛度矩陣，每個(gè)梁的局部剛度矩陣被添加到全局矩陣中。使用積分法計(jì)算內(nèi)力：通過將全局剛度矩陣與位移向量相乘，我們計(jì)算了內(nèi)力向量。分析結(jié)果：輸出內(nèi)力向量，這將幫助我們理解框架在載荷作用下的響應(yīng)。5.33實(shí)踐操作與結(jié)果驗(yàn)證在實(shí)際操作中，驗(yàn)證有限元分析的結(jié)果至關(guān)重要。這通常通過與理論解或?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較來完成。5.3.1實(shí)踐操作使用商業(yè)軟件進(jìn)行分析：如ANSYS、ABAQUS等，以獲得更精確的計(jì)算結(jié)果。實(shí)驗(yàn)測(cè)試：在實(shí)驗(yàn)室中對(duì)實(shí)際結(jié)構(gòu)進(jìn)行測(cè)試，收集數(shù)據(jù)。結(jié)果比較：將有限元分析的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或理論解進(jìn)行比較。5.3.2結(jié)果驗(yàn)證假設(shè)我們已經(jīng)使用商業(yè)軟件和實(shí)驗(yàn)測(cè)試獲得了數(shù)據(jù)，現(xiàn)在我們將比較這些數(shù)據(jù)與我們Python代碼的計(jì)算結(jié)果。#假設(shè)我們有從商業(yè)軟件和實(shí)驗(yàn)測(cè)試中獲得的位移和內(nèi)力數(shù)據(jù)

U_commercial=np.array([0,-0.0012,0,0,0,0.0021,0,0])

F_commercial=np.array([0,-12000,0,0,0,21000,0,0])

U_experiment=np.array([0,-0.0011,0,0,0,0.0022,0,0])

#比較結(jié)果

print("位移誤差（與商業(yè)軟件）:",np.linalg.norm(U-U_commercial))

print("內(nèi)力誤差（與商業(yè)軟件）:",np.linalg.norm(F-F_commercial))

print("位移誤差（與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)）:",np.linalg.norm(U-U_experiment))5.3.3解釋使用商業(yè)軟件進(jìn)行分析：商業(yè)軟件提供了更高級(jí)的有限元分析功能，可以用于驗(yàn)證自定義代碼的準(zhǔn)確性。實(shí)驗(yàn)測(cè)試：實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)提供了實(shí)際結(jié)構(gòu)響應(yīng)的直接測(cè)量，是驗(yàn)證計(jì)算模型的黃金標(biāo)準(zhǔn)。結(jié)果比較：通過計(jì)算位移和內(nèi)力的誤差，我們可以評(píng)估我們的模型與商業(yè)軟件和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的吻合程度。通過這些步驟，我們可以確保我們的有限元模型和積分法應(yīng)用是準(zhǔn)確和可靠的，這對(duì)于工程設(shè)計(jì)和分析至關(guān)重要。6第五章：高級(jí)主題與研究6.11非線性分析中的積分法在非線性分析中，積分法是解決結(jié)構(gòu)力學(xué)問題的關(guān)鍵技術(shù)之一，尤其是在處理材料非線性、幾何非線性以及接觸非線性等問題時(shí)。非線性分析中的積分法通常涉及將復(fù)雜的非線性方程組通過數(shù)值積分技術(shù)離散化，以便于計(jì)算機(jī)求解。6.1.1原理非線性分析中的積分法主要基于增量迭代法，其中最常用的是Newton-Raphson方法。該方法通過在當(dāng)前點(diǎn)處對(duì)非線性方程進(jìn)行線性化，然后求解線性化后的方程，以逐步逼近真實(shí)解。在每一步迭代中，都需要計(jì)算結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和剛度矩陣，這通常通過數(shù)值積分來實(shí)現(xiàn)。6.1.2內(nèi)容材料非線性在材料非線性分析中，積分法用于處理應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的非線性。例如，對(duì)于塑性材料，應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可能遵循vonMises屈服準(zhǔn)則。在有限元分析中，這種關(guān)系需要在每個(gè)積分點(diǎn)上進(jìn)行積分，以更新應(yīng)力狀態(tài)。幾何非線性幾何非線性分析中，積分法用于處理大變形和大位移問題。當(dāng)結(jié)構(gòu)的位移足夠大時(shí)，結(jié)構(gòu)的幾何形狀會(huì)顯著改變，從而影響其剛度。積分法通過在每個(gè)時(shí)間步或載荷步中重新計(jì)算剛度矩陣，來捕捉這種變化。接觸非線性接觸非線性分析中，積分法用于處理兩個(gè)或多個(gè)物體之間的接觸力。接觸力的計(jì)算通常基于接觸面的幾何形狀和材料屬性，需要在接觸面上進(jìn)行積分，以確定接觸區(qū)域的總力和力矩。6.1.3示例假設(shè)我們正在分析一個(gè)簡(jiǎn)單的非線性彈簧系統(tǒng)，其非線性關(guān)系由以下方程描述：F其中，F(xiàn)是力，x是位移，k是線性剛度系數(shù)，c是非線性剛度系數(shù)。我們使用Python和SciPy庫來求解這個(gè)非線性方程。importnumpyasnp

fromscipy.optimizeimportfsolve

#定義非線性方程

defnonlinear_equation(x,F,k,c):

returnk*x+c*x**3-F

#參數(shù)設(shè)置

k=100#線性剛度

c=1#非線性剛度

F=1000#應(yīng)用的力

#初始猜測(cè)

x_guess=1

#使用fsolve求解非線性方程

x_solution=fsolve(nonlinear_equation,x_guess,args=(F,k,c))

print("位移解：",x_solution)在這個(gè)例子中，我們使用了fsolve函數(shù)來求解非線性方程。fsolve函數(shù)通過迭代方法找到使方程等于零的x值，從而求解非線性問題。6.22動(dòng)態(tài)分析與積分法動(dòng)態(tài)分析是結(jié)構(gòu)力學(xué)中的另一個(gè)重要領(lǐng)域，它關(guān)注結(jié)構(gòu)在時(shí)間變化載荷下的響應(yīng)。積分法在動(dòng)態(tài)分析中用于求解運(yùn)動(dòng)方程，特別是當(dāng)載荷或結(jié)構(gòu)響應(yīng)隨時(shí)間變化時(shí)。6.2.1原理動(dòng)態(tài)分析中的積分法通?；跁r(shí)間積分方案，如Newmark方法、Wilson-θ方法或HHT-α方法。這些方法將運(yùn)動(dòng)方程離散化，允許在一系列時(shí)間步中逐步求解結(jié)構(gòu)的位移、速度和加速度。6.2.2內(nèi)容Newmark方法Newmark方法是一種廣泛使用的時(shí)間積分方法，它通過在每個(gè)時(shí)間步中求解線性方程組來更新結(jié)構(gòu)的狀態(tài)。Newmark方法的參數(shù)選擇（如β和γ）可以影響分析的穩(wěn)定性和精度。Wilson-θ方法Wilson-θ方法是一種改進(jìn)的時(shí)間積分方法，它通過引入一個(gè)額外的參數(shù)θ來提高分析的精度和穩(wěn)定性。θ的值可以調(diào)整，以優(yōu)化算法的性能。HHT-α方法HHT-α方法是一種高精度的時(shí)間積分方法，它通過引入一個(gè)α參數(shù)來控制算法的阻尼特性，從而提高動(dòng)態(tài)分析的穩(wěn)定性。6.2.3示例假設(shè)我們有一個(gè)單自由度系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)方程為：m其中，m是質(zhì)量，c是阻尼系數(shù)，k是剛度系數(shù)，F(xiàn)timportnumpyasnp

#定義Newmark方法參數(shù)

beta=0.25

gamma=0.5

#定義系統(tǒng)參數(shù)

m=1.0

c=0.1

k=10.0

#定義外力函數(shù)

defF(t):

returnnp.sin(t)

#定義時(shí)間步和總時(shí)間

dt=0.01

total_time=10.0

#初始化狀態(tài)

x=0.0

v=0.0

a=0.0

#時(shí)間積分

fortinnp.arange(0,total_time,dt):

#計(jì)算外力

F_t=F(t)

#更新加速度

a_new=(1.0/(m*beta*dt**2))*(x-x-dt*v)+((1.0/(m*beta*dt))-(c/(m*beta)))*v+((1.0/(m*beta))-(c/(m*beta*dt))+(k/m))*x-(F_t/m)

#更新速度

v_new=v+dt*(1.0-gamma)*a+dt*gamma*a_new

#更新位移

x_new=x+dt*v+0.5*beta*dt**2*a_new

#更新狀態(tài)

x,v,a=x_new,v_new,a_new

#打印結(jié)果

print("時(shí)間：",t,"位移：",x,"速度：",v,"加速度：",a)在這個(gè)例子中，我們使用Newmark方法來求解單自由度系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。通過在每個(gè)時(shí)間步中更新位移、速度和加速度，我們可以得到系統(tǒng)隨時(shí)間變化的響應(yīng)。6.33積分法在優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用積分法在優(yōu)化設(shè)計(jì)中用于評(píng)估結(jié)構(gòu)的性能，特別是在計(jì)算結(jié)構(gòu)的總能量或總成本時(shí)。通過數(shù)值積分，可以將復(fù)雜的性能指標(biāo)轉(zhuǎn)化為可優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)。6.3.1原理在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，積分法用于計(jì)算結(jié)構(gòu)在不同載荷或不同設(shè)計(jì)參數(shù)下的響應(yīng)。這些響應(yīng)可以是應(yīng)力、位移、應(yīng)變能或其他性能指標(biāo)。積分法通過在結(jié)構(gòu)的整個(gè)域上進(jìn)行積分，來獲得這些響應(yīng)的總和或平均值，從而形成優(yōu)化目標(biāo)。6.3.2內(nèi)容應(yīng)變能最小化在結(jié)構(gòu)優(yōu)化中，一個(gè)常見的目標(biāo)是使結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能最小化。應(yīng)變能可以通過在結(jié)構(gòu)的每個(gè)單元上進(jìn)行積分來計(jì)算，然后將所有單元的應(yīng)變能相加以得到總應(yīng)變能。成本優(yōu)化積分法也可以用于成本優(yōu)化，特別是在考慮材料消耗或制造成本時(shí)。通過在結(jié)構(gòu)的整個(gè)域上積分材料密度或成本函數(shù)，可以得到結(jié)構(gòu)的總成本，然后將其作為優(yōu)化目標(biāo)。6.3.3示例假設(shè)我們正在優(yōu)化一個(gè)簡(jiǎn)單梁的設(shè)計(jì)，目標(biāo)是最小化其在給定載荷下的應(yīng)變能。我們使用Python和SciPy庫來實(shí)現(xiàn)這個(gè)優(yōu)化問題。importnumpyasnp

fromscipy.optimizeimportminimize

#定義梁的長(zhǎng)度和寬度

length=1.0

width=0.1

#定義載荷函數(shù)

defload(x):

return100.0*x

#定義應(yīng)變能函數(shù)

defstrain_energy(x):

#假設(shè)梁的截面為矩形，材料為線彈性

E=200e9#彈性模量

I=width**3/12#慣性矩

dx=0.01#積分步長(zhǎng)

x=np.arange(0,length,dx)

y=load(x)

energy=0.0

foriinrange(len(x)-1):

#計(jì)算彎矩

M=y[i]*x[i]**2/2

#計(jì)算應(yīng)變能

energy+=M**2/(2*E*I)*dx

returnenergy

#定義優(yōu)化目標(biāo)

defobjective(x):

returnstrain_energy(x)

#初始設(shè)計(jì)參數(shù)

x0=0.5

#使用minimize求解優(yōu)化問題

result=minimize(objective,x0,method='BFGS')

print("優(yōu)化后的設(shè)計(jì)參數(shù)：",result.x)

print("最小化后的應(yīng)變