上海市16區(qū)高三年級(jí)數(shù)學(xué)第二次模擬考試匯編：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)（含答案與解析）

上海市20222023學(xué)年16區(qū)高三二模試卷知識(shí)點(diǎn)匯編函數(shù)與

導(dǎo)數(shù)⑴

?1.(2023年下上海寶山區(qū)高三二模)21.(本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2

小題滿分6分，第3小題滿分8分)

直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體.如：方程

y=kx+l中，當(dāng)k取給定的實(shí)數(shù)時(shí)，表示一條直線；當(dāng)k在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)變化

時(shí)，表示過點(diǎn)(0,1)的直線族(不含y軸).

記直線族2(a-2)x+4y-4a+a2=0(其中aWR)為甲，直線族y=3t2x-

2t3(其中t>0)為Q.

(1)分別判斷點(diǎn)A(0,l),B(l,2)是否在P的某條直線上，并說明理由；

(2)對(duì)于給定的正實(shí)數(shù)X。，點(diǎn)P(xo,yo)不在Q的任意一條直線上，求yo的取值

范圍(用Xo表示)；

(3)直線族的包絡(luò)被定義為這樣一條曲線：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點(diǎn)

處的切線，且該曲線上每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線.求Q的包絡(luò)

和甲的包絡(luò)。

解析：(1)把點(diǎn)A(0,1)代入直線族V的方程2(a—2)x+4y—4a+a2=0中，

得4-4a+a2=0.

?.?△=164X4=0,.?.方程4—4a+a?=0有實(shí)數(shù)根，

...點(diǎn)A(0,1)在W的某條直線上.

把點(diǎn)B(l,2)代入直線族中的方程2(a2)x+4y-4a+a2=0,

得a?-2a+4=0.

?.?△=44X4〈0,.?.方程a?-2a+4=0無實(shí)數(shù)根，

...點(diǎn)B(l,2)不在中的某條直線上.

(2):點(diǎn).P(x(/yo)不在Q的任意一條直線上，，方程y()=3t2x()-2t3在te(0,+8)

上無實(shí)數(shù)解，即方程2t3-3x°t2+y。=0在te(0,+8)上無實(shí)數(shù)解.

322

令h(t)=2t—3x0t+y0,tG(0+8)則h(t)=6t—6x0t=6t(t—x0).

Vxo為正實(shí)數(shù)，當(dāng)h'(t)>0時(shí)，解得t>xo；當(dāng)h'(t)<0時(shí)，解得0<t<xo；

.?上?)在(0,刈)上嚴(yán)格減，在((x(/+8)上嚴(yán)格增,

一Xo)=2x；-3x0-x：+yo>0,

解得y0>x；

?*.yo的取值范圍為(x1+8),

(3)由⑵的結(jié)論猜測(cè)Q的包絡(luò)是曲線y=x3(x)0).

(x3),=3x2,解3x2=3t2,得x=t、

在曲線y=x3(x>0)上任取一點(diǎn)(t，ts)(t〉O),則過該點(diǎn)的切線方程是y-t3=3t2(x-

t),即尸3t2x-2t3.

而對(duì)任意的t>0,y=3t?x-2t3的確為曲線y=X，(x>0)的切線.

故。的包絡(luò)是曲線、y=x3(x)O).

將2(a—2)x+4y-4a+a?=0整理為關(guān)于a的方程a2+2(x—2)a+4(—x+

y)=0.

若該方程無解，貝！)△=4(x-2)2—16(-x+y)<0,整理得y>1+l.

猜測(cè)中的包絡(luò)是拋物線y=￡+i.

4

停+1)=短解I=一等乙得x=2a,在拋物線

y=5+1上任取一點(diǎn)(2-a?券+1),則過該點(diǎn)的切線方程是2(a-2)x+4y—

4a+a?=0,而對(duì)任意的a€R,2(a-2)x+4y-4a+a?=0的確為拋物線y=

Y+1的切線.

4

故I的包絡(luò)是拋物線y=j+1.

，X3

?2.(2023年下上海崇明區(qū)高三二模)12.若函數(shù)2°的圖像上點(diǎn)A與點(diǎn)

,GIX2,X<0

B、點(diǎn)C與點(diǎn)D分別關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，除此之外，不存在函數(shù)圖像上的其他兩點(diǎn)關(guān)于原

點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案【解析】若函數(shù)f(x)的圖像上有兩組點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則f(x)在(8,

0)上的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后與(0,+8)上的圖像有兩個(gè)交點(diǎn).由x〈0時(shí)，y=ax2,

3

得其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后的解析式為y=-ax2,問題轉(zhuǎn)化為y=3v與y=-ax2在(0,+

8)上有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程?=-ax2有兩根，化簡(jiǎn)得-a=※，即y=a與y=^在

(o,+8)上有兩個(gè)交點(diǎn).對(duì)于丫=卷,其導(dǎo)函數(shù)/=掾，令y'=W>。,解得x<l,

即當(dāng)xG(0,1)時(shí)，丫=會(huì)嚴(yán)格增；令y'=*<0,解得x〉l,即當(dāng)：xW(l,+8)時(shí),

y=/嚴(yán)格減，，X=1為其極大值點(diǎn)，ymax=^Xf+8時(shí)，y-O；畫出其大致圖

欲使y=a與y=※在X>0時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，則-ae(。9)，即ae(-：o)

?3.(2023年下上海崇明區(qū)高三二模)21.(本題滿分18分，本題共有3個(gè)小題，第(1)

小題滿分4分，第(2)小題滿分6分，第(3)小題滿分8分)

己知定義域?yàn)镈的函數(shù)y=f(x),其導(dǎo)函數(shù)為y'=F(x),滿足對(duì)任意的xGD都有|F(x)|<l.

(1)若f(x)=ax+lnx,xe[1,2],求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)證明:方程f(x)x=0至多只有一個(gè)實(shí)根；

(3)若y=f(x),xdR是周期為2的周期函數(shù),證明:對(duì)任意的實(shí)數(shù):、x2，都有|f(%)-

f(x2)|<1.

(1)解:,；f(x)=ax+lnx,xe[1,2],f'(x)=a+：

由題意知,|f(x)|<l在xd[1,2]上恒成立，即|a+||<1在xd[1,2]上恒成立，

.,.-l<a+-<l,BP-l-i<a<1-i^xd[1,2]上恒成立.

XXX

令yi=1-：，丫2=-1-：,易知在x￡[1,2]上涵數(shù)yi=1-(和V?1-(均嚴(yán)格增，

3

⑵證明:令g(x)=f(x)x,故g'(x)=f(x)T<0,...函數(shù)g(x)是嚴(yán)格減函數(shù)，假設(shè)Xi、x2

是方程f(x)x=0的兩個(gè)不同的根,不妨設(shè).Xi<xz,則g(xi)=g(x2)=0,與y=g

(x)是嚴(yán)格減函數(shù)矛盾，所以假設(shè)錯(cuò)誤，所以方程f(x)x=0至多只有一個(gè)實(shí)根.

(3),/y=f(x),xeR是周期為2的周期函數(shù),f(x+2)=f(x).

任取Xi、x2GR,且Xi<x2.由(2)設(shè)m(x)=f(x)—x,n(x)=f(x)+x,

則m(x)=f(x)T,n'(x)=f(x)+1.

由|F(x)|<l可知,m'(x)=f(x)-1<0,n(x)=f(x)+l>0,

，m(x)為R上的嚴(yán)格減函數(shù)，n(x)為R上的嚴(yán)格增函數(shù)，

m(xi)>m(x2),n(xi)<n(x2),

即f(x。-Xi>f(x2)-x2,f(x1)+Xj<f(x2)+xz,

即X2-Xi>f(x2)-f(xi),且x2-X,>-[f(x2)

一f(Xl)],

|f(X2)-f(Xi)|<|Xz-xJ

設(shè)函數(shù)y=f(x)在一個(gè)周期內(nèi)的最大值為M,最小值為m.

：f(x)是R上的周期為2的周期函數(shù)，

存在a、be[0,2]且f(a)=M,f(b)=m，貝!J|f(xi)-f(x2)|WM-m=f(a)-f(b)<

|a-b|

若|ab|Wl,則|f(x,)-f(x2)|<1成立；

若|ab|>l,不妨設(shè)a>b,則ab>l,此時(shí)有l(wèi)<ab2Wa2W0,即l<a(b+2)W0,

|f(xi)-f(x2)|WM-m=f(a)-f(b+2)<|a—(b+2)|<l成立.

綜上，對(duì)任意的實(shí)數(shù)Xi、X2,都有1/(5)一『(工2)1<1.

?4.(2023年下上海奉賢區(qū)高三二模)12.已知y=f(x)為R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x20時(shí)，

f(x)=:+^ln(x+1)+—cos^x+a廁y=f(x)的駐點(diǎn)為____

247T3

答案士|【解析】f'(x)=x+￡*-4sin?x(xN0),令g(x)=x+年||五(x2。),則

g(x)=1-品=*浮，當(dāng)g'(x)>0時(shí)，xeG+8)；當(dāng)g(x)<0時(shí)，

X￡(O，|).則函數(shù)g(X)在(0，|)上嚴(yán)格減，在G+8)上嚴(yán)格增，???g(X)min=

g停)=%則f(x)=x+4sin^x24-4=0,即函數(shù)f(x)在(0,+8)上嚴(yán)格增,

\Z/4x+43

且f〈|)=4-4sin/=4-4=0.:函數(shù)y=f(x)為R上的奇函數(shù)，，y=f(x)的駐

點(diǎn)是兄

?5.(2023年下上海崇明區(qū)高三二模)19.(本題滿分14分，第1小題滿分7分，第2

小題滿分7分)

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域是R,它的導(dǎo)數(shù)是./'(x).若存在常數(shù)m(mGR),使得

/(X+m)=-/'(x)對(duì)一切x恒成立,那么稱函數(shù)y=f(x)具有性質(zhì)P(m).

(1)求證：函數(shù)y=ex(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))不具有性質(zhì)P(m);

(2)判別函數(shù)丫=5］曲是否具有性質(zhì)P(m).若具有，求出m的取值集合；若不具有，請(qǐng)

說明理由。

解析.(1)證明：假設(shè)y=ex具有性質(zhì)P(m),即存在實(shí)數(shù)m,使e*+m=一心乂)，對(duì)一切x

恒成立，化簡(jiǎn)ex+m=—得到ev=—1,

顯然不存在實(shí)數(shù)m,使得em=-1成立，

假設(shè)錯(cuò)誤、原命題成立.

因此函數(shù)丫=?*不具有性質(zhì)P(m),

(2)解：函數(shù)y=sinx具有性質(zhì)P(m).理由如下：

假設(shè)y=sinx具有性質(zhì)P(m),即存在實(shí)數(shù)m,使

sin(x+m)=—(sinx)'對(duì)一切x恒成立，

即sin(x+m)=cosx對(duì)一切x恒成立，

則sinxcosm+(sinm+1)cosx=0對(duì)一切x恒成立，二1.c°sm二°八，當(dāng)m=2kn—

y,ke7時(shí)，y=sinx具有性質(zhì)P(m),

y=sinx具有性質(zhì)P(m),m的取值集合為｛m|m=2kn-eZ

?6.(2023年下上海虹口區(qū)高三二模)21.(本題滿分18分，第1小題4分，第2小題

6分,第3小題8分)設(shè)f(x)=ex,g(x)=lnx,h(x)=sinx+cosx.

(1)求函數(shù)y=黑,%G(-加3力的單調(diào)區(qū)間和極值；

j\x)

(2)若關(guān)于x的不等式.f(x)+h(x)》ax+2在區(qū)間［0,+8)上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值

范圍；

(3)若存在直線y=t,其與曲線y=和y=幽共有3個(gè)不同交點(diǎn)

<%2V］3),求證：X1、X2、X3成等比數(shù)列.

解析.(1)解：由題設(shè)，有丫=黑=則等，可得，=處且吟^±￡^竺=_空萼.

Jf(x)exJ(ex)zex

令y'>0,可得sinx<0,

(2kl)JT<x<2kn(keZ),

函數(shù)丫=翳在區(qū)間((2口)口，21^)上嚴(yán)格增；令y'<0,,可得sinx〉0,解得2kz<x<

(2k+l)JI(kez),

...函數(shù)y=翳在區(qū)間(2kn,(2k+l)n)上嚴(yán)格減；令y'=0,可得sinx=0,.'.x=kJt(ke

f(x)

Z),

；?函數(shù)y=翳在(一n,3m)上的單調(diào)增區(qū)間為(一n,0)與(~2口)；單調(diào)減區(qū)

f(x)

間為(0,")與(2”,3B).

當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)y=翳取極大值，極大值為1,當(dāng)x=n時(shí)，函數(shù)y=翳取極小值，極小

f(x)f(x)

值為-之,當(dāng)x=2加時(shí)，函數(shù)y=翳取極大值，極大值為義,

exf(x)e"K

(2)解：關(guān)于x的不等式f(x)+h(x)2ax+2在區(qū)間［0,+-)上恒成立，

即ex+sinx+cosx—ax—2>0）在區(qū)間［0,+°°）上恒成立.

令F(x)=ex+sinx+cosx—ax—2,

貝！JF(x)=ex+cosx—sinx—a.

令G(x)=F(x)=ex+cosx—sinx—a,

貝！JG(x)=ex—sinx—cosx.

由⑴知：翳=卓等在［o,+8)上的極大值為強(qiáng)(keN).

又需=1>去(kCN>

從而翳在［0,+8)上的最大值為1,

f(x)

即sinx+cosaWl在［0,+8)上恒成立.

于是G(x)=ex-sinx—cosxN0在［0,+°°)上恒成立，

??.y=F'(x)在［0,+8)上嚴(yán)格增；

從而F'(x)>F'(0)=2-a,

當(dāng)aW2時(shí),F'(x)20,,當(dāng)且僅當(dāng)a=2,x=0時(shí)等號(hào)成立，

???y二F(x)在［0,+8)上嚴(yán)格增；

從而F(x)NF(0)=0在［0,+8)上恒成立.

即當(dāng)aW2時(shí),F(x)20在［0,+8)上恒成立.

當(dāng)a>2時(shí)，則由F(0)=2—a<0,F(ln(2a))=ehCza)+cos(ln(2a))—sin(ln(2a))—a=

a-V^sin(ln(2a)-cp)>2-魚>0及零點(diǎn)存在定理知：存在xo￡(0、In(2a)),使

得F'(x0)=0,

即當(dāng)x￡(0,x。)時(shí),F'(x)<0,函數(shù)尸F(xiàn)(x)在(0,x。)上嚴(yán)格減，故F(x0)VF(0)=0,即在

(0,xo)±F(x)〈0.這不符合F(x)>0在［0,+8)上恒成立的條件、

故當(dāng)且僅當(dāng)aW2時(shí),F(x)20在［0,+8)上恒成立.

綜上所述，a的取值范圍是(8,2］.

⑶證明：對(duì)于函數(shù)丫=焉=意令尸16)=,則F；(x)=m，

從而當(dāng)x￡(8,1)時(shí)，F(xiàn)；而)>0,函數(shù)y=Fi(x)在(8,1)上嚴(yán)格增；

當(dāng)xe(1,+8)|時(shí)，F(xiàn)i'(x)<0,函數(shù)y=F1(x)在(1,+8)上嚴(yán)格減;

故當(dāng)x=l時(shí)，F(xiàn)i(x)取最大值，最大值為Fi(l)=1

對(duì)于函數(shù)y=#=吟令GI(X)=3,則G；x=3譬.

從而當(dāng)x€((Pe)時(shí)，Gi'(x)>0,函數(shù)y=Gi(x)在(0,e)上嚴(yán)格增；

當(dāng)x€(e，+8)時(shí),G2'(X)<0,函數(shù)y=Gi(x)在3+8)上嚴(yán)格減;

故當(dāng)x=e時(shí)，Gi(x)取最大值，最大值為Gi(e)=：.因此，函數(shù)y=Fi(x)與y=Gi(x)

下面先證明：曲線y=Fi(x)與y=Gi(x)有唯一交點(diǎn).又Fi(l)=：Fi(e)=5V

3Gl(1)=0,Gi(e)=，F(xiàn)i(l),?，?曲線yi=F：L(X)與y=G1(x)在

(l,e)上有且僅有1個(gè)交點(diǎn)?,?,由也儀)=60，得/=竽(x>0),要證明上述兩曲線有

交點(diǎn)即證明方程4-lnx=0有實(shí)數(shù)根.

ex

令隼(X)=7-lnx(x)0)JIJ(p'(x)=-|=，女了.

:當(dāng)xe(0,1］時(shí)，1Fx(x)>O,Gi(x)<0,

；?曲線丫=儲(chǔ)&)與丫=61(x)在區(qū)間91］上沒有交點(diǎn).

...在區(qū)間(l,e)上，函數(shù)y=R(x)嚴(yán)格減，函數(shù)y=G1(x)嚴(yán)格增，

2

???當(dāng)x￡［e,+8)時(shí)，(|)'(x)<0,又<p(e)=K一1<0,巾(x)在［e,+8)上恒小于0,則曲

線.y=Fl(x)與y=Gi(與在［e,+8)上沒有交點(diǎn),從而曲線y1=%(x)與y二(x)

有唯一交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)x2e(Le).

由于直線y二t與曲線.y=Fi(x)>y=Gi(x)共有3個(gè)不同交點(diǎn)，

故直線y=t必過點(diǎn)B(x2,t),

且Fi(xi)=F］(X2)=GI(X2)=GI(X3)=t,0<Xi<1<x2<e<x3/0<t<1.

由Fi(xi)=Gi(x2),得竟=詈=攜，即F1M)=Fi(lnx2),

而函數(shù)y=Fi(x)在(一8,1)上嚴(yán)格增,xiG(0,l),lnx2e(0,1),

故Xi=lnx2.①由Fi(x)=Gig,得.=—=嚶，

即GI(X3)=GI(eX2),

JX2

而函數(shù)y二Gi(x)在(e,+8)上嚴(yán)格減,X3￡(e+oo)feE(e,+oo),

故X3=eX2,?

由①、②得XiX3=ex21nx2,③

由Fite)=G1G2),得普=詈■,

X2

故有X：=elnx2.circleQ?

因此，由③、④得Xg=Xi，X3,即X［、X2、X3.成等比數(shù)列.

?7.(2023年下上海黃浦區(qū)高三二模)21.(本題滿分18分)本題共有3個(gè)小題，第1

小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.

三個(gè)互不相同的函數(shù)尸f(x)、尸g(x)與尸h(x)在區(qū)間D上恒有f(x)2h(x)

2g(x)或恒有f(x)Wh(x)Wg(x),則稱y=h(x)為尸f(x)與尸g(x)在區(qū)間D上的

“分割函數(shù)”、

(1)設(shè)七(%)=4%"(%)=%+1,試分別判斷y=/ii(%)、y=%2(%)是否是y=

2%2+2與y=-%2+4x在區(qū)間(8,+oo)上的“分割函數(shù)”，請(qǐng)說明理由；

(2)求所有的二次函數(shù)，使得該函數(shù)是y=2%2+2與y=4%在區(qū)間(8,+8)上的

“分割函數(shù)”；

2

(3)若[m,n]￡[2,2],且存在實(shí)數(shù)k、b,使得y=kx+b為y=/一4%?與y=4%-

16在區(qū)間[m,n]上的“分割函數(shù)”，求run的最大值

22

解析：(1)2x2+2-4x=2(x-1)220恒成立，且4x-i(-x+4x)=x>0

恒成立，

，當(dāng)x￡(8,+oo)時(shí),2x2+2>4x>—x2+4x恒成立，

故y=hi(x)是y=2x?+2與y=-x?+4x在(8,+8)上的“分割函數(shù)”.

又x+1-(-x2+4x)=x2-3x+1,當(dāng)x=0與1時(shí)，其值分別為1與1,

??.h2(x)>-x?+4x與h2(x)<-x:+4x在(°°,+°°)上都不恒成立，

故y=九2(x)不是y=2x2+2與丫__x2+4x在(一8,十8)上的“分割函數(shù)”.

⑵設(shè)y=ax2+ex+d(aW0)是y=2x2+2與y=4x在(8,+8)上的“分割函

數(shù)"

則2x2_|_2>ax2+ex+d>4x對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立.

由(2x2+2)1=4x,

當(dāng)x=l時(shí)，它的值為4,可知y=2x2+2的圖像在x=i處的切線為直線y=4x,

它也是y=ax2+ex+d的圖像在x=l處的切線，

...[2a+c=4可得(c=4-2a

la+c+d=4''Id=a

???2x2+2>ax2+(4—2a)x+a>4x對(duì)一切實(shí)數(shù)x

恒成立，

即(2-a)(x一I)?之0且a(x-I)2>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，

可得2-a20且a>0,即(0Va<2.

又a=2時(shí)，y=ax2+(4-2a)x+a與y=2x2+2為相同函數(shù)，不合題意，

故所求的函數(shù)為y=ax2+(4—2a)x+a(0<a<2).

⑶關(guān)于函數(shù)y=x4—4x2,令y'_4x3—8x?0,可得x=0或士V2.

當(dāng)xC(—8，-V2)U(0，夜)時(shí),y1<0;當(dāng)x￡(—V2*0)U(a，+8)時(shí)，

y'>0.

可知乂=±魚是函數(shù)y=x，-4x2的極小值點(diǎn)，x=o是極大值點(diǎn)，

同時(shí)x4—4x2—(4x2—16)=a4—8x2+16=(x2—4)220,該函數(shù)與y=4x2—

16的圖像如圖所示.

-16.

由y=kx+b為y=x4-4x?與y=4x2-16在區(qū)間［叫n］上的“分割函數(shù)”，

故存在b。，使得b4尻且直線y=kx+bo與y=x4

?8.(2023年下上海嘉定區(qū)高三二模)12.若關(guān)于x的函數(shù)y=爭(zhēng)在R上存在極小值(e

為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

答案(0,4)【解析】；y=；?y'=-x3+3x2-a令/i(x)-x3+8x2-

a,則A(x)=-3x2+6x=—3x(x—2),4.當(dāng)x<0或x>2時(shí),h(x)<0,當(dāng)0<x<2時(shí),

h'(x)>0,???h(x)在(—8,0)u(2，+8))上嚴(yán)格減，在(o,2)上嚴(yán)格增.又

%(0)=…④%⑵=4??a,當(dāng)a>0,即a<0時(shí)，h(x)與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，不

妨設(shè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為Xo,則當(dāng)X<xo時(shí),h(x)>0,即y'>0,當(dāng)X>xo時(shí),k(x)<0,即

y'<0,即丫=三3在(8,*。)上嚴(yán)格增，在(xo,+8)上嚴(yán)格減，此時(shí)函數(shù)在x=

X。處取得極大值，無極小值，不符合題意；當(dāng)4a<0,即a>4時(shí),h(x)與x軸有且只

有個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為X4,則當(dāng)X〈X4時(shí)，h(x)>0,即y'>0,當(dāng)x>x

4時(shí),h(x)〈O,即.y<0,即y=在(一8,)上嚴(yán)格增，在(x1，+8)

上嚴(yán)格減，此時(shí)函數(shù)在x=X4處取得極大值，無極小值，不符合題意；當(dāng)

時(shí)，當(dāng)xW3時(shí),h(x)20,即y'20,當(dāng)x>3時(shí),h(x)<0,即y'<0,y=在

(一8,3)上嚴(yán)格增，在(3,+8)上嚴(yán)格減，此時(shí)函數(shù)在x=3處取得極大值，無極

小值，不符合題意；當(dāng)a=4時(shí)，當(dāng)xNl時(shí),h(x)W0,即y'W0,當(dāng)x〈l時(shí),h(x)>

0,即y'>0,.?.y=要在(一8,—1)上嚴(yán)格增，在(1,+8)上嚴(yán)格減，此時(shí)函數(shù)

在x=l處取得極大值，無極小值，不符合題意；當(dāng)a〈0〈4a,即0<a<4時(shí),h(x)

的圖像如下圖所示：

即h(x)與x軸有3個(gè)交點(diǎn)，不妨依次設(shè)為.Xi>x2>X3,則當(dāng).x<Xi或x2<

x<X3時(shí),h(x)>0,即y'>0,當(dāng)x>X3或Xi<x<X2時(shí),h(x)<0,即y'<0,?,.y=

要在x=X2處取得極小值，符合題意.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,4).

?9.(2023年下上海嘉定區(qū)高三二模)21.(本題滿分18分)本題共有3個(gè)小題，第1個(gè)

小題4分，第2個(gè)小題6分，第3個(gè)小題8分.

已知f(x)=x+2sinx,等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,記Tn=

i=l

⑴求證：函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(?n)中心對(duì)稱；

(2)若小、a?、a3是某三角形的三個(gè)內(nèi)角，求T3的取值范圍;

⑶若Si。。=100區(qū)求證：Tioo=1。。k,反之是否成立？

并請(qǐng)說明理由.

⑴證明：,?,/(%)=x+2sinx,

f(2n—X)=(2TT—x)+2sinC2n—x)=2TI—x2sinx,

???/(%)+f(2兀一%)=%+2sinx+2TT—%—2sinx=2TT,故函數(shù).y=/(%)的圖

像關(guān)于點(diǎn)(兀，兀)中心對(duì)稱.

(2)解：:。為等差數(shù)列，.,?%+即+。3=3?.又a1>a2>

Qi、。2、的是某三角形的三個(gè)內(nèi)角，

??-日J(rèn)i.27r

CL±+Q.2?。3=TTJrT。2=]以1'。3=

73=+2sinar+。2+2sina24-a3+2sina3=幾+

2sincti+2sin|+2sin管+的）,

化簡(jiǎn)得了3=兀+B+3sinai+VScos^=TT+V3+2V3sin+，).

以、?、。3是某三角形的三個(gè)內(nèi)角，且。2=鋁C(嗎)，

即。】+旨(雷,sin+2)CG1])可得，3E(兀+2^/3f7i+3V3].

(3)證明：若Sioo=1。。為根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得50(a4-a101.)=IOOTT/I<

?i450n為正整數(shù))，由此可得a+(I101-=271^101-=2TT—a,sina101-

=sin(2n—a)=—sina,

BPsina+sina101-=0.

100100100100

TIOO=E/(%)=Z(%+2sina。%+2±sinaz=S100+2x

z=lz=li=li=l

50(sina+sina101-),

解得T'IOO=Si。。=IOOTT,證畢、

100100

反之，若7\oo=100區(qū)即Tioo=￡/(%)=Si。。+2工sinai=IOOTT.

i=lz=l

考慮存在等差數(shù)列a，滿足a5o=a1+49d=n,則S99=99五,若反之不成立，此

時(shí)an與aa,00-n關(guān)于n對(duì)稱rTs9=99n,此時(shí)只需存在d使得

f(aioo)=n且a1ooW”即可.

假設(shè)d>0,a,+49d=n,

Hi00=Qi+99d=Ji+50dW兀.

則f(ai00)-JI=50d-2sin(50d).

對(duì)于函數(shù)g(x)=x-2sinx,x>0,

其中g(shù)(；)=+&<°，g(")=11>0，

則存在x0G使得g(xo)=0,

存在de(嬴J使得f(ai??)=n,此時(shí)T,00

=100",但Si。o100Ji,

二反之，不成立，證畢.

注：反例不唯一.

?10.(2023年下上海金山區(qū)高三二模)11.已知函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的表達(dá)式分別為.

22

f(x)=V-%-4x,g(x)=x\x-a|,若對(duì)任意e總存在x2e[-3,0],使得

g3)</3),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案(2-&，3)【解析】：對(duì)任意XiG[1，立],總存在x2e[-3,o],使得g(x,)<

f(X2),g(x)max<f(x)max當(dāng)X@[3,0]時(shí),f(X)=J-X?-4x=J-(X+2)2+4,；.f(X)在

[3,2]上嚴(yán)格增，在[[-2,0]上嚴(yán)格減，；.f(x)max=f(2)=2..?.問題轉(zhuǎn)化為g(x)<2在xe

[1，正]上恒成立，即x|x2-a|<2,得|x?-a|<<x2-ax2--<a<xz+2在

XXXXX

X￡[1或]上恒成立，即fx2--)<a<(X2+2min，設(shè)y=X?在x￡口傳上嚴(yán)格

增，(X2-f)max=(&)2-專=2-JIY=X2+：、則勺=2x-1=岑3三0在

xe[1，近]上恒成立，，y=x2+白在Xe口碼上嚴(yán)格增，+-=l2+-=

X,min1

3,/.2-V2<a<3,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2-V2-3).

?11.(2023年下上海金山區(qū)高三二模)21.(本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2

小題滿分6分，第3小題滿分8分)

若函數(shù)y=f(x)在.％=均處取得極值，且f(xo)=&o(常數(shù)AGR),則稱X。是

函數(shù)y=f(x)的“入相關(guān)點(diǎn)”.

(1)若函數(shù)y=d+2久+2存在“人相關(guān)點(diǎn)”，求人的值；

⑵若函數(shù)y=k3—2)x(常數(shù)kGR)存在“1相關(guān)點(diǎn)”，求k的值;

⑶設(shè)函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式為/'(%)=ad+/2+u(常數(shù)b、cGR且aWO),若函

數(shù)y=f(x)有兩個(gè)不相等且均不為零的“2相關(guān)點(diǎn)”，過點(diǎn)P(l,2)存在3條直線

與曲線y=f(x)相切，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：(1)函數(shù)y=x2+2x+2的對(duì)稱軸為x=l,且函數(shù)y=X?+2x+2在(8,1)上嚴(yán)

格減，在(1,+8)上嚴(yán)格增，

函數(shù)y=X?+2x+2在x=l處取得極值.

?.?函數(shù)y=x?+2x+2存在“人相關(guān)點(diǎn)”，

由題意可得，((一I)?+2x(-1)+2=-入，解得X=1.

⑵由y=kx2-21nx,(x>0)，則y'=2kx---式處~.

(kx?—1=0

由題意可得k2m，即l-21nxo=Xo,即x0+21nx0-1=0.

(kxj-21nx0=x0

設(shè)。(x)=x+21nx—1,(x>0),則(p(x)=1+|>0,???函數(shù)6(x)=x+21nxl在(0,+°°)_t

嚴(yán)格增，且巾(1)=0,

J方程.xo+21nx0—1=0存在唯一實(shí)數(shù)根1,即xo=1,貝【Jk=l,

此時(shí)y=x2-21nx,(x>0)貝!Jy'=2x--=2x~2.

XX

令y'>0,即x>l;令y'<0,即0<x<l,

即函數(shù)y=x2-21nx在(0,1)上嚴(yán)格減，在(1,+8)上嚴(yán)格增,

二?函數(shù)y=x2-21nx在x=l處取得極小值，1?1是函數(shù)y=kx2-21nx的“1相關(guān)

點(diǎn)”，

k=1

(3)由f(x)=2x,得ax3+bx2+(c—2)x=0,又xWO,貝!Jax2+bx+c—2=0

設(shè)

X[、X2為函數(shù)f(x)的“2相關(guān)點(diǎn)”，則

A=b2—4a(c—2)>0

b

X1+x2=--

c-2

X】X2=K

另一方面，f'(x)=3ax2+2bx+c,

{△=4b2-12ac>0

Xi+X2=-ya

*弋

-=—F且――=『，解得b=0,c=3,a<0.

a3aa3a

故f(x)=ax3+3x,則f(x)=3ax2+3(a<0),

??,過點(diǎn)P(l,2)存在3條直線與曲線尸f(x)相切，設(shè)其中一個(gè)切點(diǎn)為(m>am3+3m),則

q，/、3

f(m)=3namz2+In3=-a-m---+-3--m---2-

m—1

整理，得2am3—3am2—1=0.

設(shè)p(x)=2ax3-3ax?-l(a<0),且函數(shù)p(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn),

則中(x)=6ax2—6ax=6ax(x—1).

令p'(x)>0,貝ij0<x<l;

令p(x)<0,貝!]x<0或x>l.

???函數(shù)p(x)在(8,0)和(1,+8)上嚴(yán)格減,在(0,1)上嚴(yán)格增.

Vp(O)=l,p(l)=al,

又注意到p(-高)=2>°,p(2)=4a—l〈0,

根據(jù)單調(diào)性可知，函數(shù)y=P(X)在區(qū)間

(-81-和(2,+8)上都沒有零點(diǎn)，在區(qū)間(-，片0)上恰有一■個(gè)零點(diǎn),

?12.(2023年下上海靜安區(qū)高三二模)16.函數(shù)y=xlnx

A.是嚴(yán)格增函數(shù)

B.在(09)上是嚴(yán)格增函數(shù)，在G+8)上是嚴(yán)格減函數(shù)

C.是嚴(yán)格減函數(shù)