兩條直線的位置關(guān)系-2025年高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)

第八章平面解析幾何

第2講兩條直線的位置關(guān)系

課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)

1.能根據(jù)斜率判定兩兩條直線

該講知識(shí)是平面解析幾何

條直線平行或垂直.的位置關(guān)

部分的基礎(chǔ)，命題熱點(diǎn)為

2.能用解方程組的方系

兩點(diǎn)間與點(diǎn)到直線的距離

法求兩條相交直線的2021新高考卷mi；

公式的應(yīng)用，判斷兩直線

交點(diǎn)坐標(biāo).交點(diǎn)與距2021新高考卷IIT3；

的位置關(guān)系及求解有關(guān)對(duì)

3.探索并掌握平面上離問題2020全國(guó)卷HT5；

稱問題，一般以選擇題和

兩點(diǎn)間及點(diǎn)到直線的2020全國(guó)卷HIT8

填空題的形式出現(xiàn)，難度

距離公式，會(huì)求兩條

對(duì)稱問題2022新高考卷IIT15中等偏易.

平行直線間的距離.

。學(xué)生用書P172

1.兩條直線的位置關(guān)系

斜截式一般式

Zix+5iy+Ci=0（房+蛻WO）,A2X~hB^y+Ci

方程y~~k\xH-Z?1,>=左2^+岳.

=0（超+虎WO）.

垂直k\k=~\②4也+352=0.

（A^B—&B]=0,或pi%—

（3）左i=且biNbz.2

平行?1名。2一鳥2。1。0—42cl。0-

重合左1=左2且bi=bz.A1B2—A^Bx—BxCi—B2Cy—AxCi—42cl=0.

注意兩條直線平行時(shí)，不要忘記它們的斜率都不存在的情況；兩條直線垂直時(shí)，不要忘

記一條直線的斜率不存在、另一條直線的斜率為零的情況.

2.兩條直線的交點(diǎn)

對(duì)于直線/i：Aa+Biy+C^O,Z2：Avc+B2y+C2=Q,它們的交點(diǎn)坐標(biāo)與方程組

MIX+BIV+CI=0,,,.

1171的解一_對(duì)應(yīng).

{_A2x+B2y+C2=0

3.三種距離公式

距離類型公式

兩點(diǎn)Pl（xi,yi）,Pl（x2，歹2）間的距1p#21=④—

離1尸1尸21.上2口1）2±￡^n工）2一.

點(diǎn)Po（xo，次）到直線/：Ax-VBy-\-C=0

d=@.

的距離d.

兩條平行直線4r+5y+Ci=0與Ax-\~By

人⑥.

―J42包2—

+。2=0間的距離d.

注意點(diǎn)到直線、兩平行線間的距離公式的使用條件：（1）求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，應(yīng)先

將直線方程化為一般式；（2）求兩平行線間的距離時(shí)，應(yīng)先將方程化為一般式且x,y的

系數(shù)對(duì)應(yīng)相等.

1.下列說法正確的是（A）

A.若兩直線的方程組成的方程組有解，則兩直線不一定相交

B.點(diǎn)尸（枇，70）到直線>=履+6的距離為專騫

C.當(dāng)直線/1和直線/2的斜率都存在時(shí)，一定有質(zhì)=后=/1〃/2

D.若兩條直線垂直，則他們的斜率之積一定等于一1

2.設(shè)直線東y=klX+\,Z2：y=k&-1,其中實(shí)數(shù)后i,依滿足上水2+2=0,則/i與心的位置

關(guān)系是（B）

A.平行B.相交C.重合D.不確定

解析假設(shè)/i與心平行或重合，有左尸后，代入人心2+2=0,得好+2=0,與質(zhì)為實(shí)數(shù)的

事實(shí)相矛盾，從而依W后，即/i與b相交.故選B.

3.己知直線/i：3x—y~1=0,h：x+2y—5=0,h：x~ay—3=0不能圍成三角形，則實(shí)數(shù)

。的取值不可能為（A）

1

A.lB.-C.-2D.-1

3

解析由題意可得，若三條直線不能圍成三角形，則其中有兩條直線平行或三條直線經(jīng)過

同一點(diǎn).若其中有兩條直線平行，當(dāng)/1〃/3時(shí)，可得。當(dāng)，2〃/3時(shí)，可得。=—2；若三

條直線經(jīng)過同一點(diǎn)，由1'可得直線/i與心的交點(diǎn)為（1,2）,則（1,2）在/3

1%+2y=5,

上，故可得1—2a—3=0,解得。=—1.綜上，實(shí)數(shù)。的值可能為右-2,—1.故選A.

4.［易錯(cuò)題］直線2x+2y+l=0與x+y+2=0之間的距離是—乎一

解析先將2x+2y+l=0化為x+y+,=0,則兩平行線間的距離d=121=乎.（注意

應(yīng)用公式時(shí)X,y的系數(shù)分別對(duì)應(yīng)相等）

5.［教材改編］已知點(diǎn)4（2,1）,5（3,4）,C（-2,-1）,則△，材。的面積為5.

解析解法一設(shè)邊上的高為兒則刀就是點(diǎn)。到所在直線的距離.

IABI=J(3-2)2+(4-1)2="正由兩點(diǎn)式可得邊所在直線的方程為口=

N4—1

E，即3x-y-5=0.點(diǎn)C(一2,—1)到直線3x-y—5=0的距離〃=網(wǎng)提言滬!=

V10,所以品4Bc=gx|ABIX/z=ixV10XV10=5.

解法二易知方=(1,3),AC=(-4,-2),

所以△NBC的面積為［x|IX(-2)-3X(-4)I=5.(二級(jí)結(jié)論：若荏=(x,y~),

AC=(.11,/),則S^ABC=~Ixi/^yuI)

6學(xué)生用書P173

命題點(diǎn)1兩條直線的位置關(guān)系

例1(1)［2023四川涼山州二模］已知直線/i：mx-y+l=O,直線自4x—陽+2=0,若

li//h,貝!J"?=一2.

解析因?yàn)樗?一62——4,(注意排除直線重合情況)

12mW4,

解得m=-2.

(2)經(jīng)過點(diǎn)/(2,I)且與直線2x+y—10=0垂直的直線方程為上論:2_.

解析因?yàn)樗笾本€與直線2x+y—10=0垂直，所以設(shè)該直線方程為x—2y+c=0,又直

線過點(diǎn)/(2,1),所以有2—2Xl+c=0,解得c=0,故所求直線方程為x—2y=0.

方法技巧

1.判斷兩條直線位置關(guān)系的注意點(diǎn)

(1)斜率不存在的特殊情況；

(2)可直接利用直線方程系數(shù)間的關(guān)系得結(jié)論.

2.與直線/x+3y+Ci=0垂直的直線系方程為Bx—/7+。2=0,與直線^x+Sy+Ci=0平

行的直線系方程為/x+S>+C2=0(C1WC2),過直線/1：/ix+8iy+G=0和/2：4%+

&7+。2=0的交點(diǎn)的直線系方程為4x+_8iy+Ci+入(4加+32夕+。2)=0(A.WR)(該直

線系不含/2).

訓(xùn)練1(1)［2023南昌市模擬］直線/i：ax+(a+1)y~}=0,/2：(a+1)x-2y+3=

0,則“a=2”是，山2"的(A)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析若則a(a+1)+(a+1)X(—2)=0,解得a=—1或a=2,所以"a=

2"是的充分不必要條件，故選A.

(2)過點(diǎn)/(1,-4)且與直線2x+3v+5=0平行的直線方程為2x+3y+10=°.

解析設(shè)所求直線方程為2x+3y+c=0(cW5),由題意知，2X1+3X(—4)+c=0,

解得c=10,故所求直線方程為2x+3y+10=0.

命題點(diǎn)2交點(diǎn)與距離問題

例2(1)［全國(guó)卷ni］點(diǎn)(0,-1)到直線y=攵(x+l)距離的最大值為(B)

A.lB.V2C.V3D.2

解析解法一由點(diǎn)到直線的距離公式知點(diǎn)(0,—1)到直線＞=左(x+l)的距離d=

fc2+2fc+l

?.當(dāng)左=0時(shí)，d=l;當(dāng)左W0時(shí)，d=7,要

fc2+i

使d最大，需左＞0且左+；最小，由基本不等式知，左十；三2,當(dāng)且僅當(dāng)左=1時(shí)，等號(hào)成

kk

立，所以當(dāng)左=1時(shí)，t/max=V2,故選B.

解法二記點(diǎn)4(0,-1),直線丁=左G+1)恒過點(diǎn)5(-1,0),當(dāng)45垂直于直線》

=k(x+l)時(shí)，點(diǎn)4(0,—1)到直線)=左(x+l)的距離最大，且最大值為\AB\=

V2,故選B.

(2)［2023合肥市期末］若直線＞=%與直線歹=$-5的交點(diǎn)在直線＞=區(qū)+3上，則左的值

解析由題易得左W1,由5'得x=＞=當(dāng)，將(當(dāng)，2L)代入了=h+3,得

/__1k1k1k

方法技巧

1.求解距離問題的策略

(1)點(diǎn)到直線的距離問題可直接利用距離公式求解，但要注意方程必須為一般式.

(2)兩平行線間的距離：①利用兩平行線間的距離公式求解；②將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)

化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離.

2.遇到含有平方和、絕對(duì)值等形式的代數(shù)式時(shí)，注意利用距離公式的幾何意義求解.

訓(xùn)練2(1)直線/過點(diǎn)尸(1,2),且點(diǎn)/(2,3),B(4,一5)至I"的距離相等，則直

線/的方程是(C)

A.4x+y—6=0

B.x+4y—6=0

C.3x+2y—7=0或4x+y—6=0

D.3x+2y—7=0或x+4y—6=0

解析顯然直線/的斜率存在，故設(shè)直線/:y—2=k(x—1),即左x—y—左+2=0,則

I2k總‘2I=14fcgm+2I今左一I=3上+7或k~1+3上+7=0臺(tái)4=-4或k=所以/的

方程為了一2=—4(x-1),即4x+y—6=0或了一2=一￡(x-1),即力+2/—7=0.故選

C.

(2)函數(shù)/(x)=+2+丘2+2=+2的最小值為2近.

解析f(x)=Jx2—2x+2+Vx2+2x+2=J(%—1)2+1+J(x+1)2+l,所以函

數(shù)/(x)的幾何意義為點(diǎn)尸(x,0)與點(diǎn)/(1,1),點(diǎn)、B(-1,1)的距離之和，易知點(diǎn)

P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，且當(dāng)點(diǎn)尸在原點(diǎn)時(shí)，I尸/I+I尸2I取得最小值2夜.

命題點(diǎn)3對(duì)稱問題

例3已知直線/：2x—3y+l=0,點(diǎn)/(—1,—2).求：

(1)點(diǎn)/關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)/的坐標(biāo)；

(2)直線"2：3x—2y—6=0關(guān)于直線/的對(duì)稱直線"，的方程；

(3)直線/關(guān)于點(diǎn)力對(duì)稱的直線的方程.

嚴(yán)x-l,

解析(1)設(shè)⑷(x,y),則。+13

2x3—3義匚+1=0,

122

(%=—史，

13

解得14即，(一亮白).

y=一，2iJ

V13

(2)在直線機(jī)上任取一點(diǎn)，如M(2,0),則M(2,0)關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)必在加'上.

設(shè)M關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)為W(a,b),

僅x竽—3x岑+1=0,(a=~,

則｛.02_解得｛_30即M'哈，/).設(shè)加與/的交點(diǎn)為N,則由

(hE=f"二運(yùn)，’

2x—3y+1=0,

得N(4,3).

?3比一2y-6=0

又僅'經(jīng)過點(diǎn)N(4,3),

所以由兩點(diǎn)式得直線”的方程為9x-46y+102=0.

(3)解法一在/:2x-3y+l=0上任取兩點(diǎn)，如P(1,1),N(4,3),則尸，N關(guān)于

點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)P',V均在直線「上.

易知P(—3,-5),N'(-6,-7),由兩點(diǎn)式可得/'的方程為2x—3y—9=0.

解法二設(shè)。(x,y)為廠上任意一點(diǎn)，則0(x,y)關(guān)于點(diǎn)/(-1,-2)的對(duì)稱點(diǎn)為

Q'(―2—x,—4一了)

因?yàn)辄c(diǎn)。在直線/上,所以2(—2-x)-3(-4-y)+1=0,即2x—3了一9=0.

方法技巧

對(duì)稱問題的解題策略

若點(diǎn)M(X1,Ji)和點(diǎn)N(x,y)關(guān)于點(diǎn)尸(a,b)對(duì)稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得

點(diǎn)關(guān)于

(x—2a—Xi,“一,、小

點(diǎn)對(duì)稱1進(jìn)而求解.

ly=2b~y1,

直線關(guān)于

直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的問題可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的問題.

點(diǎn)對(duì)稱

若兩點(diǎn)Pi(xi,yi)與P2(X2,歹2)(xiWi2)關(guān)于直線/：Ax-\-By-\-C=Q

點(diǎn)關(guān)于

(pp的中占在/上，(4審+B?守+C=0,

直線

30)對(duì)稱，則有12打乜吊上，gp)22

對(duì)稱"止2，1，(―2)=—1.

1%2一B

直線關(guān)于

直線關(guān)于直線的對(duì)稱問題可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題.

直線對(duì)稱

訓(xùn)練3(1)［多選/2023江西撫州南城二中模擬］一束光線沿著直線y=-3X+3Q2一船一2

射到直線x+y=O上，經(jīng)反射后沿著直線>=—%一,射出，則實(shí)數(shù)?？梢詾?AD)

A.2B.-2C.(2D.-<2

33

解析由題知，直線y=—3X+3〃2—4Q—2與直線y=一｝一|關(guān)于直線1+歹=0對(duì)稱.在直

線^=——；上任意取一點(diǎn)、A(xo,次)，其關(guān)于直線x+y=O對(duì)稱的點(diǎn)為(-次，-xo),

(_12

Vn————％?！?，9

則｛33整理得3a2—4a—4=0,解得。=一±或a=2,故選AD.

、一=3y°+3a2—4a—2,

(2)過點(diǎn)尸(0,1)作直線/,使它被直線東2x+y—8=0和⑸x—3y+10=0截得的線

段被點(diǎn)P平分，則直線I的方程為x+>—4=0.

解析設(shè)/i與/的交點(diǎn)為/(。，8—2。)，由題意知，點(diǎn)N關(guān)于點(diǎn)尸的對(duì)稱點(diǎn)B(—

a,2a—6)在心上，把點(diǎn)8的坐標(biāo)代入心的方程得一a—3(2a-6)+10=0,解得a=4.因

為點(diǎn)、A(4,0),P(0,1)在直線/上，所以直線/的方程為x+4y—4=0.

1.［命題點(diǎn)1］已知點(diǎn)N(一〃?-3,2),B(~2m—4,4),C(~m,m),D(3,3w+

2),若直線/8_LCr>,則加的值為1或-1.

解析解法一'：A,3兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)不相等，.,./B與x軸不平行，

又4B_LCD,與x軸不垂直，即〃7。一3.

當(dāng)48與x軸垂直時(shí)，一根一3=一2機(jī)一4,解得%=—1,而當(dāng)加=一1時(shí)，點(diǎn)、C,。的縱坐

標(biāo)均為一1,則CO〃x軸，此時(shí)48_LCD,滿足題意.

當(dāng)AB與x軸不垂直，即mW—1時(shí)，

4-22

—2m—4—(—m—3)—(m+1)

,_3m+2~m_2(m+1)

CD~3~(-m)m+3-'

*.*AB_LCD,kAB,kcD=-1,

即,22(m+l)=一解得機(jī)=1.

綜上，m的值為1或一1.

解法二由題意可得9?而=0,所以(一加一1,2)?(3+加，2m+2)=0,解得加=

±1.

2.［命題點(diǎn)2/2023武漢市部分學(xué)校質(zhì)檢］在平面直角坐標(biāo)系中，某菱形的一組對(duì)邊所在的直

線方程分別為x+2j+l=0和％+2》+3=0,另一組對(duì)邊所在的直線方程分別為3x—4y+ci

=0和3x—4y+c2=0,則Ia—C2I=（B）

A.2V3B.2V5C.2D.4

解析直線x+2y+l=0與x+2y+3=0間的距離力=?:11=咨

Ji

直線3x~4y+ci—0與3x—4y+c2=0間的距離心=甘生1?,=」"5c?L由菱形的性質(zhì)知

M+（-4）2'

由=心，所以??=言,所以|以一02I=2瓶.

3.［命題點(diǎn)2］I3x+4y-12I+I3x+4y+lI的最小值為13.

解析設(shè)點(diǎn)尸（x,y）,/i：3x+4y—12=0,/2：3x+4y+l=0,則點(diǎn)P到6的距離力=

13x++11

I我+?-12I,點(diǎn)p到心的距離d2=^,則|3x+4y—12I+I3x+4y+lI=5（力

+辦），易得直線所以當(dāng)點(diǎn)P位于直線

/1與心之間時(shí)，I3x+4y—12I+I3x+4y+1I最小，最小值為直線八與b之間的距離的

5倍，即4=匕音工X5=13.

4.［命題點(diǎn)2,3A024江西景德鎮(zhèn)一中模擬］在平面直角坐標(biāo)系中，△45C的頂點(diǎn)/的

坐標(biāo)為（-4,2）,邊上的中線CN所在的直線方程為x—y+l=0,N2的角平分線所

在的直線方程為2x+y-2=0,則直線BC的方程為限一廠38=0.

解析設(shè)點(diǎn)8坐標(biāo)為（a,b）,因?yàn)辄c(diǎn)/的坐標(biāo)為（一4,2）,所以N8的中點(diǎn)M（等,

等），所以等一等

1=0,即Q—6—4=0.

因?yàn)辄c(diǎn)5在直線2x+y—2=0上，所以2a+b—2=0.

,(a—b-4=0,.^{a=2,“/、

由)解得|所以8(2,-2).

(2a+b—2=0,1b=—2,

設(shè)點(diǎn)4（-4,2）關(guān)于直線2%+?—2=0的對(duì)稱點(diǎn)為/（冽，〃）,

(2x—十四一2=0,12

則,22解得.

26

—X(-2)=-1,

、7n+4

至+2

所以，黨,,所以直線3c的方程為y+2=j1—G—2)即18x-y—38=0.

T-2

5.［命題點(diǎn)3］已知直線/：x-y-1=0.若直線/上存在一點(diǎn)尸，使尸到N(4,1)與8(0,

4)的距離之差的絕對(duì)值最大，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為」亭

若直線/上存在一點(diǎn)。，使。到/(4,1)與C(3,0)的距離之和最小，則點(diǎn)0的坐標(biāo)

為二翡」

解析如圖1,設(shè)點(diǎn)B關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)皮的坐標(biāo)為(a,b),連接

BBr,PB,PB\

(h—A.

----X1=-1,(CL=S,

易得《。八”解得I；.點(diǎn)夕的坐標(biāo)為(5,-1).

士一出一1=0,U=—l,

\22

易知II尸3I—I尸/II=I\PB'\~\PA\IWI48'I,當(dāng)

P,B',/三點(diǎn)共線時(shí)，IIP8'I—I尸/II最大.

于是直線/皮的方程為。言=會(huì)，即2x+y—9=0.圖1

f=10

聯(lián)立直線/與48,的方程，解得「

即點(diǎn)尸的坐標(biāo)為號(hào)，!).

如圖2,設(shè)點(diǎn)C關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)。的坐標(biāo)為(加，〃)，連接C。,

QC,QC,QA,

"ny

-----X14=—1,

m—31,

易得解得圖2

一一J=o,(n=2,

.22

.?.點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,2),

直線/。的方程為公=會(huì)，即x+3y—7=0.

易知I04I+IQCI=I0/I+I0C'INII,當(dāng)。，/,。三點(diǎn)共線時(shí)，IQAI

+\QC'\最小.

(%=|,

聯(lián)立直線/。與/的方程，解得《:

即點(diǎn)。的坐標(biāo)為(*|).

(--------------------:練習(xí)幫:練透好題精準(zhǔn)分層----------------------------

b學(xué)生用書?練習(xí)幫P349

?礎(chǔ)排61識(shí)■關(guān)I

1.[2024山東郢城第一中學(xué)?？糫若直線y=x+2k+1與直線y=-|x+2的交點(diǎn)在第一象

限，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是(A)

C.J|,苫D,[-|)|]

解析將兩直線方程聯(lián)立得y一久1'得['―即交點(diǎn)坐標(biāo)為(三竺，胃).

33

\y=--x+2,[產(chǎn)等，

0,51

因?yàn)榻稽c(diǎn)在第一象限，所以解得一段〈后＜5.故選A.

2.[2024天津耀華中學(xué)?？糫己知/(-2,4),B(-4,6)兩點(diǎn)到直線/：ax+y+1^0

的距離相等，則a的值為(A)

A.1或2B.3或4C.3D.4

解析由題意得Lj"4+"=I—：a：6+W,整理得|2a—5I=I4a—7|,則2a—5=

Va2+1Va2+1

±(4a-7),解得q=1或q=2.故選A.

3.已知直線/i：xsina+y—1=0,直線，2：x~3j^cosa+l=0,若/」/2,則sin2a=

(A)

解析因?yàn)樗詓ina—3cosa=0,所以tana=3,所以sin2a=2sinacosa=

2sinacosa_2tana_3,,,3.

sin2a+cos2al+tan2a5,°，

4.[2024河北衡水模擬]已知點(diǎn)(a,b)在線段3x+4y—10=0(-2WxW6)上，則/+

加一2的取值范圍是(B)

A.[2,18]B.[2,38]

C.[0,38]D.[0,2V10-2]

解析畫出3x+4y—10=0(—2W%W6)的圖象如圖.(Q,b)是圖中

線段上任意一點(diǎn)，層+扶表示原點(diǎn)到點(diǎn)(%b)的距離的平方，易知圖..,,,?

中線段的端點(diǎn)分別為(一2,4),(6,—2),到原點(diǎn)距離的平方分別.1

為20,40,由原點(diǎn)到線段的距離理==2,可得d2=4,綜上，

J32+42

層+扶￡[4,40],故層+抉一2￡[2,38].故選B.

5.已知點(diǎn)4(3,-1),B(5,-2),且點(diǎn)尸在直線%+?=0上，若使I尸4I+I尸5I

取得最小值，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是(C)

A.(1,—1)B.(-1,1)

C.（y,譚）D.（-2,2）

解析點(diǎn)、A（3,—1）關(guān)于直線x+y=O的對(duì)稱點(diǎn)為，（1,—3）,直線與直線x+y

=0的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，直線4夕的方程為T言=91,即y=［x—宇，與x+y=0聯(lián)立,

_13

X-T,

解得《

13

y=一不

即點(diǎn)P坐標(biāo)為《，-y）時(shí)，I4I+I必|取得最小值.

6.冽是實(shí)數(shù)，直線/i：x—沖-2=0與直線，2：冽x+y+2=0交于點(diǎn)。，。為坐標(biāo)原點(diǎn),

則I。。I的最大值是（B）

A.2B.2V2C.2V3D.4

2~2m

x—my—2=0,彳？

解析解法一由

mx+y+2=0,2m+2

/m2+l

即點(diǎn)。篇?2m+2x

癥+則

因?yàn)樾∈菍?shí)數(shù),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以I。0I=8(1)=2/

(?n2+l)2y/m2+l9

當(dāng)加=0時(shí)，I。。Imax=2V2,所以I。0|的最大值是2V1

解法二易知直線/i恒過定點(diǎn)/（2,0）,直線b恒過定點(diǎn)8（0,-

2）,且/I_L/2.連接數(shù)形結(jié)合（如圖所示）可知，點(diǎn)。，0均在以

N3為直徑的圓上，故可得IOQImax=IABI=2A/2.

7.［多選/2023青島檢測(cè)］已知直線小4x~3y+4=0,Z2：（w+2）x-

(m+1)y+2m+5=0(TMGR),貝！](ACD)

A.直線，2過定點(diǎn)（—3,—1）

B.當(dāng)機(jī)=1時(shí)，h±l2

C當(dāng)加=2時(shí),h//12

D.當(dāng)人〃/2時(shí)，兩直線/1,/2之間的距離為1

解析對(duì)于A,解法一直線，2的方程可化為2x—y+5+m（x—y+2）=0,由

2”—y+5=o,解得x=—3,

即直線/2過定點(diǎn)（一3,-1）,故A正確.

x~y+2=0,

解法二在直線，2的方程中分別令冽=—1與加=—2,得x+3=0,>+1=0,即％=—3,

y=-1,所以直線，2過定點(diǎn)（一3,一1）,故A正確.

對(duì)于B,若則有4(m+2)+(—3),[—(m+1)]=0,解得加=―故B不

正確.

對(duì)于C,若乙〃卷則有4，[一(加+1)]—(—3),(加+2)=0,解得〃?=2,當(dāng)m=2

時(shí)，/i與b不重合，故C正確.

對(duì)于D,當(dāng)/1〃七時(shí)，由對(duì)選項(xiàng)C的分析可得此時(shí)直線/2的方程為4x—3y+9=0,則/i,辦

之間的距離為“-9I。=],故D正確.故選ACD.

^42+(-3)2

8.[2024安徽合肥聯(lián)考]過直線2x—y+4=0與3x—2y+9=0的交點(diǎn)，且垂直于直線X-

2y+l=0的直線方程是2x+y-8=°.

解析由戶”—2丫+9=0,解得5=1,即交點(diǎn)坐標(biāo)為(],6).因?yàn)樗笾本€與直線x—

\2x~y+4=0,(y=6,

2歹+1=0垂直，所以所求直線的斜率為一當(dāng)=—2,所以所求的直線方程是y—6=—2(%—

2

1),即2x+y-8=0.

9.已知△Z8C的一個(gè)頂點(diǎn)/(4,-1),兩條角平分線所在直線的方程分別為

Z1：久一y—1=0和/2：X—1=0,則BC邊所在直線的方程為2x—y+3=°.

解析由題知，A(4,-1)不在這兩條角平分線上，因此/i,/2是角3,角。的角平分線

所在直線.設(shè)點(diǎn)4關(guān)于直線/1的對(duì)稱點(diǎn)為4(X1,歹1),關(guān)于直線/2的對(duì)稱點(diǎn)為也(%2,

(^77X1=—1,(X=0

H),則小，山均在邊5c所在的直線上.由得1一’所以

——廠1—1=0,1月=3,

I22

4(0,3).因?yàn)?2：x=1,所以易得；V2=—1,由上/=1,得X2=—2,所以42(—2,—1).

所以5C邊所在直線的方程為上二二=士匕，即2x~y+3=0.

—1—3—2—0

能力練二1

10.過點(diǎn)/(0,,B(7,0)的直線/1與過點(diǎn)(2,1),(3,左+1)的直線/2和兩坐標(biāo)

軸圍成的四邊形內(nèi)接于一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)無=(B)

A.13B.3C.—6D.6

解析若/1和/2與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形內(nèi)接于一個(gè)圓，則(圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角

互補(bǔ))

7

易知直線/1的斜率備=告=一;，直線，2的斜率左2="11=左,由左1左2=—1,得左=3.

11.在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)尸(cos仇sin。)到直線x—叼-2=0的距離.當(dāng)am

變化時(shí)，d的最大值為(C)

A.lB.2C.3D.4

cos6—msin0—2msin0—cos0+2I

解析解法一由題意可得4=

V?n2+1V?n24-1

Iy/rn7+l(,msinO—,1cosO)+2

Vm2+lsin(6—W)+2I/甘4m.

------(其中cos0=3,sm9=

y/m2+l

,V-l^sin(e—(p)Wl,1Z11+^=,，當(dāng)機(jī)=0

7m2+lY^VmE2E+1^Vm2+1Vm2+1

時(shí)，d取得最大值3,故選C.

解法二易知點(diǎn)P(cosd,sinO')在單位圓N+y2=i上，直線

%一771y—2=o恒過定點(diǎn)/(2,0).如圖所示，作05垂直該直線，垂

足為2,則由圖可知dWIOBI+rWIOAI+r=2+l=3(其中r是

單位圓的半徑)，所以dmax=3,此時(shí)4,3重合，直線方程為X=2.

12.［多選/2024山西呂梁統(tǒng)考］己知點(diǎn)/(-2,1),B(1,1),且點(diǎn)尸在直線Z:x+y+

3=0上，則(ACD)

A.存在點(diǎn)尸，使得IP/I=2

B.存在點(diǎn)P,使得P4,尸3

C.存在點(diǎn)P,使得2\PA\=\PB\

V).\PA\+\PB\的最小值為回

解析設(shè)P(。，-a—3).對(duì)于A,若IP4I=2,則J(a+2)2+(—