2024屆北師大版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 基本不等式 教案

§1.4基本不等式

【考試要求】1.了解基本不等式的推導(dǎo)過程2會用基本不等式解決簡單的最值問題3理解基

本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用.

?落實(shí)主干知識

【知識梳理】

,—a+b

1.基本不等式：，益W—2一

(1)基本不等式成立的條件：介0,620.

(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)〃之時，等號成立.

a+b,_

(3)其中？^為a,b的算術(shù)平均值，/而稱為a,b的幾何平均值.

2.幾個重要的不等式

(l)a2+b2^2ab(a,Z?￡R).

(2)§+"2(。,b同號).

(3)加^^25,》GR).

a2+b2(a+b\

(4)-丁飛了卜。，OCR).

以上不等式等號成立的條件均為a=b.

3.利用基本不等式求最值

⑴若x+y=s(s為定值)，則當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，町取得最大值》；

⑵若xy=p(p為定值),則當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，x+y取得最小值2g.

注意：利用不等式求最值應(yīng)滿足三個條件“一正、二定、三相等”.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉癑”或“X”)

(1)不等式abW停芋)與J石wg”等號成立的條件是相同的.(X)

(2)y=x+p勺最小值是2.(X)

(3)若x>0,y>0且無+>=孫，則孫的最小值為4.(V)

(4)函數(shù)產(chǎn)sinx+7^—,xe(0,與)的最小值為4.(X)

SillX\乙)

【教材改編題】

1.若正實(shí)數(shù)a,b滿足〃+4。=，則次?的最小值為()

A.16B.8C.4D.2

答案A

解析因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a,b滿足q+4b=〃/?,

所以ab=a+4b^2\[4ab=4y[ab,

所以M216,

當(dāng)且僅當(dāng)a=4b,即〃=8,8=2時等號成立.

2.函數(shù)y=x+」一(x2O)的最小值為.

x+1

答案1

解析因?yàn)閤20,所以x+l>0,—TT>0,

x十1

利用基本不等式得y=x+~^7=x+1+七一1(x+l)--7-l=l,

J%十1X十1\17x+1

當(dāng)且僅當(dāng)x+l=戰(zhàn)，即x=0時，等號成立.

所以函數(shù)y=x+*Y(xLO)的最小值為1.

3.若把總長為20m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是_______nA

答案25

解析設(shè)矩形的一邊為xm,面積為yn?,

則另一邊為3*(20—2x)=(10—x)m,

其中0<x<10,

x+(10—x)

???y=x(10—x)W—------29=25,

當(dāng)且僅當(dāng)x=10—x,即x=5時，等號成立，

,,'max-25,

即矩形場地的最大面積是25n?.

■探究核心題型

題型一利用基本不等式求最值

命題點(diǎn)1配湊法

例1⑴已知x>2,則函數(shù)y=x+-的最小值是()

2(%-2)

A.2小B.2^2+2

C.2D.A/2+2

答案D

解析由題意可知，x-2>0,

：.y—(x—2)+.+2^2-\I(X—2)-ZT^7；+2=V2+2,當(dāng)且僅當(dāng)x=2+號時，等號成立,

；?函數(shù)y=x+需與(x>2)的最小值為也+2.

3

⑵設(shè)?！ü?則函數(shù)y=4x(3-2x)的最大值為.

9

宏案-

u木2

3

解析V0<x<2，A3-2x>0,

>2x+(3—2x),

y=4x(3—2x)=2[2x(3—2x)]W2————--

3

當(dāng)且僅當(dāng)2x=3—2x,即x=a時，等號成立.

，函數(shù)y=4x(3—2x)(0<x<|')的最大值為

命題點(diǎn)2常數(shù)代換法

例2已知x>0,y>0,且4x+2y-孫=0,則2%+y的最小值為()

A.16B.8+4A/2

C.12D.6+4/

答案A

解析由題意可知彳2+4三=1,

xy

2+尸口+)0停+$*+?+短2坐|+8=16,

當(dāng)且僅當(dāng)牛=?,即尤=4,y=8時，等號成立，

yx

則2x+y的最小值為16.

命題點(diǎn)3消元法

例3(2023?煙臺模擬)已知x>0,j>0,x+3y+xy=9,則x+3y的最小值為.

答案6

解析方法一(換元消元法)

由已知得9—(x+3y)=xy=；?3yW；?當(dāng)且僅當(dāng)x=3y,即x=3,y=l時取等號.

即(x+3y)2+12(尤+3y)—10820,

令x+3y=f,則>0且產(chǎn)+12f-108N0,

得f>6,即x+3y的最小值為6.

方法二(代人消元法)

由x+3y+xy=9,得x=[十；‘

斯"9—3y9—3y+3y(1+y)

所以x+3y-]+y+3y-引

9+3y23(l+y)2-6(l+y)+12

=]+y=r+^

12/12~

=3(1+y)+干—622V3(1+y)?干—6

=12—6=6,

12

當(dāng)且僅當(dāng)3(1+丁)=冷，即y=l,x=3時取等號，

所以x+3y的最小值為6.

延伸探究本例條件不變，求孫的最大值.

角星9—xy=x+3y^2\[3xy,

.，?9一孫22寸3孫,

；?9-p'2小t,

即?+2^-9^0,

解得OvW小，

小,???孫W3,

當(dāng)且僅當(dāng)x=3y,即x=3,y=l時取等號，

???孫的最大值為3.

思維升華（1）前提：“一正”“二定”“三相等”.

（2）要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式.

（3）條件最值的求解通常有三種方法：一是配湊法；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)“1”代

換的方法；三是消元法.

跟蹤訓(xùn)練1（1）（多選）若正實(shí)數(shù)。，6滿足。+6=1,則下列說法錯誤的是（）

A.ab有最小值（

B.8g+8班有最大值8^2

C.常有最小值4

D./+加有最小值坐

答案AD

解析由1=。+力22^^（當(dāng)且僅當(dāng)。=6=3時等號成立），

得abW；,故次?有最大值;，故A錯誤；

（、2+或）2=〃+人+2、局=1+2、/^^1+2\^=2（當(dāng)且僅當(dāng)。=/?=；時等號成立）,

則出+班W也，則隊(duì)「+8也有最大值8y[2,故B正確；

工+[=婦*=工24（當(dāng)且僅當(dāng)。=》=；時等號成立），

ababab\27

故土+應(yīng)有最小值明故C正確;

/+廬=（〃+力2—2而=1—2。心莖當(dāng)且僅當(dāng)〃=人=3時等號成立）,

所以層+加有最小值;，故D錯誤.

x~

⑵已知.，則"中最大值為——

答案I

解析令t=X—1,.\x=t+1,

*.*x>l,

._t_/_1<1」

，y22

,~(t+l)+3~t+2t+4-t+4+2^2y[4+2~6'

4

當(dāng)且僅當(dāng)f=7，，=2,即x=3時，等號成立，

.,.當(dāng)X=3時，Jmax=1.

題型二基本不等式的常見變形應(yīng)用

例4（1）若0<a<b,則下列不等式一定成立的是（）

a+b-

A.b>-2-

a+b

B.b>y[ab>~~>ci

a+b_

C.b>2>y]ab>a

a+b-

D.b>a>2Xab

答案c

解析\'0<a<b,：.2b>a+b,

.ci-I-bI—

/.b>~2->7ab.

2

\*b>a>09ab>a,?\y[ab>a.

..a+bI—

故b>2Xab>a.

⑵（2023.寧波模擬）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方

數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證

明也稱之為無字證明現(xiàn)有如圖所示圖形點(diǎn)尸在半圓0上點(diǎn)C在直徑上且OFLAB,

設(shè)AC=a,BC=6,則該圖形可以完成的無字證明為（）

a+b—

A.-2-ab(a>0,b>0)

B.a2+b2^2\[ab(a>0,b>0)

C.2~a^b~^：y[ab(a>0,b>0)

a+b

a+ba2+b2

D.~2~~2-3>0,b>0)

答案D

解析由圖形可知，。尸=；AB=3(〃+份,

℃=；(〃+/?)—Z?=T(〃i),

在RtZiOC/中，由勾股定理可得，

qj/+u)+份(〃>0,z?>o).

思維升華基本不等式的常見變形

跟蹤訓(xùn)練2(2022.漳州質(zhì)檢)已知a,b為互不相等的正實(shí)數(shù)，則下列四個式子中最大的是

()

2「11

A.------B-+T

a+bab

2/2

'y[ab/+bi

答案B

解析,?Z,匕為互不相等的正實(shí)數(shù)，

11

-

-十I

〃P

2212

2\[aby[aby[ab9

I2l~T__12_

a2+b2\2aby^abyfab"

??.最大的是5+5

題型三基本不等式的實(shí)際應(yīng)用

例5中華人民共和國第十四屆運(yùn)動會在陜西省舉辦，某公益團(tuán)隊(duì)聯(lián)系全運(yùn)會組委會舉辦一

場紀(jì)念品展銷會，并將所獲利潤全部用于社區(qū)體育設(shè)施建設(shè).據(jù)市場調(diào)查，當(dāng)每套紀(jì)念品（一

個會徽和一個吉祥物）售價定為尤元時，銷售量可達(dá)到（15-0.1尤）萬套.為配合這個活動，生

產(chǎn)紀(jì)念品的廠家將每套紀(jì)念品的供貨價格分為固定價格和浮動價格兩部分，其中固定價格為

50元，浮動價格（單位：元）與銷售量（單位：萬套）成反比，比例系數(shù)為10.約定不計(jì)其他成本,

即銷售每套紀(jì)念品的利潤=售價-供貨價格.

中國陜西2021

SHAANXICHINA

（1）每套會徽及吉祥物售價為100元時，能獲得的總利潤是多少萬元？

⑵每套會徽及吉祥物售價為多少元時，單套的利潤最大？最大值是多少元？

解（1）每套會徽及吉祥物售價為100元時，銷售量為15—0.1X100=5（萬套），

供貨單價為50+當(dāng)=52（元），

總利潤為5X（100—52）=240（萬元）.

（2）設(shè)售價為x元，則銷售量為（15—O.lx）萬套，供貨單價為元,

單套利潤為x—50—］x=（x—50—］黑，）元,因?yàn)?5—0.1x>0,所以0<x<150.

所以單套利潤為

尸L50一9=—［（150—尤）+居］+1。z10?！?,（150—x）?高=80,

當(dāng)且僅當(dāng)150—％=10,即x=140時取等號，

所以每套會徽及吉祥物售價為140元時，單套的利潤最大，最大值是80元.

思維升華利用基本不等式求解實(shí)際問題時，要根據(jù)實(shí)際問題，設(shè)出變量，注意變量應(yīng)滿足

實(shí)際意義，抽象出目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式，建立數(shù)學(xué)模型，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值.

跟蹤訓(xùn)練3某公益廣告公司擬在一張矩形海報(bào)紙（記為矩形ABCD，如圖）上設(shè)計(jì)三個等高的

宣傳欄（欄面分別為一個等腰三角形和兩個全等的直角梯形），宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之

和為1440cn?.為了美觀，要求海報(bào)上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為2cm.當(dāng)直角

梯形的高為cm時，用紙量最少（即矩形ABCD的面積最?。?

答案12事

解析設(shè)直角梯形的高為xcm,

?..宣傳欄(圖中陰影部分)的面積之和為1440cm2,

且海報(bào)上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為2cm,

1440

???海報(bào)寬AZ)=x+4,海報(bào)長DC=-^+8,

故S矩形A3GD=AZ>QC=a+4)(^^+8)=8x+^^+]472>2yJ

1472=192小+

1472,

I，ejI，c5760

當(dāng)且僅當(dāng)8犬=一工一，

即x=12小時，等號成立.

，當(dāng)直角梯形的高為124cm時，用紙量最少.

課時精練

《基礎(chǔ)保分練

1,下列函數(shù)中，最小值為2的是()

A./+2

7X

f+3

B-y~\[771

C.y=ex+e-x

兀

D.y二sinx+<x<2

答案C

2

解析當(dāng)x<0時，y=x+~<0,故A錯誤;

爐+3I-1

尸而K79無+平壽2，

當(dāng)且僅當(dāng)人人+2=1==^,即r=—1時取等號,

又dw—1,故B錯誤；

y=ex+e~x^2yle士一=2,

當(dāng)且僅當(dāng)ex=e~x,

即x=0時取等號，故C正確；

當(dāng)xe（0,習(xí)時，sinxe（0,1）,

丫二五11尤+系三2,

當(dāng)且僅當(dāng)sinx=^?

即sinx=l時取等號，

因?yàn)閟inx￡（0,l），故D錯誤.

2.已知a>0,b>0,a+b=2,則1g〃+1g/7的最大值為（）

A.0B.gC.^D.1

答案A

解析?.?〃>（）,b>0,a+b=2,

**.lg〃+lgb=lg?Z?<lg（^y^j2=0,

當(dāng)且僅當(dāng)〃=b=l時，取等號.

???lgQ+lgb的最大值為0.

3（2021?新高考全國I）已知R尸2是橢圓C1的兩個焦點(diǎn)點(diǎn)M在C上則

的最大值為（）

A.13B.12C.9D.6

答案C

解析由橢圓C：卷+[=1，得g+|g|=2><3=6,則叱產(chǎn)迫與蛆｝=32

=9,當(dāng)且僅當(dāng)|MB|=|MB|=3時等號成立.

所以IMF1HM&I的最大值為9.

4.（2023?太原模擬）已知a,b為正實(shí)數(shù)，a+6=3，則'的最小值為（）

a+16+2

A.|B.jC.1D.4

答案A

解析因?yàn)閍+6=3,

所以力1+訐12=%1（穴1+1訐、1+/?+2）=61\0a~+\~21+匕a-\+-21、

_2

=y

當(dāng)且僅當(dāng)小=W，即4=2,6=1時，等號成立.

a-r1。十2

所以士1+占1的最小值為9《

a+1b+23

4

5.（多選）（2022?衡陽模擬）設(shè)〃=log23,b=log2Q,則下列關(guān)系正確的是（）

a+ba+b

A.ab>~2-B.ab<-2-

a+bbC7b

C.c>一D.ab>~

2aa

答案BCD

角窣析易知〃>0,z?>o,q」=i,（〃+/?）'bi小i、、

ab<——=1,ab>^^a>1,顯然成立.

a-\~bb

所以一廠

6.（多選）（2023?黃岡模擬）若〃>0,，且a+6=4,則下列不等式恒成立的是（）

111

Aw-+

4-b-

〃

11

aw-

28

+PT

答條BD

解析因?yàn)閍>0,b>0,所以"《"”小,當(dāng)且僅當(dāng)。=b=2時等號成立,

則或侍,當(dāng)且僅當(dāng)。=b=2時等號成立，

則表斗次+啟8,懸廬4

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時等號成立，

則10g2〃+10g28=10g24b《10g24=2,

當(dāng)且僅當(dāng)〃=b=2時等號成立，故A,C不恒成立，D恒成立;

對于B選項(xiàng)，1+：="￥=W14X]=1,

ababab4

當(dāng)且僅當(dāng)a=6=2時等號成立，故B恒成立.

7.函數(shù)k-)的最小值為——

答案0

——]+J11

解析因?yàn)閥=1=x-1+I=x~\~1+I—2(x>-1),

Jx+1x十1%十1

所以丁2山―2=0,

當(dāng)且僅當(dāng)尤=0時，等號成立.

x2

所以y=TP7(Q—i)的最小值為0-

8.(2023.婁底質(zhì)檢)已知a"為正實(shí)數(shù)，且2a+b=1,貝吟+冬的最小值為

答案6

解析由已知條件得，|+齊嗎四+齊號+型+4N2\^^+4=6,

當(dāng)且僅當(dāng)?=條即a=|,時，取等號.

所以|+為的最小值為6.

9.⑴當(dāng)x<|時，求函數(shù)y=x+士的最大值；

乙2x-3

(2)已知0<x<2,求函數(shù)y=國4-公的最大值.

8++

解(l)J=1(2^-3)+2jt,_3+|=23-2x)i

當(dāng)x<|時，有3—2尤>0,

所以三8、~l3-2x8“

3-2x^2\2'3-2x~4,

3—ooi

當(dāng)且僅當(dāng)丁r=&,即X=T時,取等號?

于是戶一4+尹3一家s故函數(shù)的最大值為一宗5

(2)因?yàn)?4<2,

所以4一通>0,

則y=x\/4—x2=ylx2-(4—x2)~—=2,

當(dāng)且僅當(dāng)dnd—%2,即工=也時，取等號，

所以二乒的最大值為2.

10.某企業(yè)為了進(jìn)一步增加市場競爭力，計(jì)劃利用新技術(shù)生產(chǎn)某款新手機(jī).通過市場分析，

生產(chǎn)此款手機(jī)全年需投入固定成本300萬元，每生產(chǎn)尤（干部）手機(jī)，需另投入成本7?（無）萬元,

lOx2+100.x,0cx<40,

且R（x）=<10000通過市場調(diào)研知，每部手機(jī)售價0.7萬元，且全

705+上生-9450,龍240,

〔無

年內(nèi)生產(chǎn)的手機(jī)當(dāng)年能全部銷售完.

⑴求出今年的利潤W（元）（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（干部）的函數(shù)關(guān)系式（利潤=銷售額-成本）；

⑵今年產(chǎn)量為多少（干部）時，企業(yè)所獲利潤最大？最大利潤是多少？

解⑴當(dāng)0a<40時，W(x)=700x-(lOx2+100x)-300=-1O^2+600x-300,

當(dāng)x240時，W(x)=700x—(701x+@詈-9450)—300=一口+地詈)+9150,

—1Ox1+600x—300,0<x<40,

???W(x)=<卜10000)

+9150,%240.

（2）若0<xv40,W（x）=-10（x-30）2+8700,

當(dāng)冗=30時，W（X）max=8700（萬元）.

若尤240,W（x）=-[x+10^00^+9150W9150-2^/10000=8950,

當(dāng)且僅當(dāng)苫=彗更時，即x=100時，取等號.

???W（X）max=8950（萬元）.

今年產(chǎn)量為100千部時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤是8950萬元.

維綜合提升練

11.（2023?湘潭模擬）已知a,P為銳角，且tana-tan4+2tanatan2s=0,則tana的最大值為

（）

A.乎B.*C當(dāng)D巾

答案A

解析因?yàn)榱殇J角，所以tan￡>0,

由題意可得tana?；黑廠;~當(dāng),

2taW訴、

當(dāng)且僅當(dāng)tanQ=半時取等號，

故tana的最大值為乎.

12.(2022?天津模擬)若〃>0,b>0,貝[|(〃+8)2+匕的最小值為.

答案4

解析若。>0,b>09則(〃+/?)2+￡》(2^^)2+￡=4"+/24,

a='b,

當(dāng)且僅當(dāng)I1

[4曲=防，

即a=6=坐時取等號，

故所求的最小值為4.

維堯展沖刺