湖南省永州市2024屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

湖南省永州市2024屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：___________姓名：班級：考號：

一'選擇題

1.已知集合4={乂,=皿尤—3)},3={%川爐-4%-12<0卜則AB=()

A.{4,5}B.[3,6)C.{3,4,5,6}D.(3,6)

2.樣本數(shù)據(jù)16,24,14,10,20,15,12,14的上四分位數(shù)為()

A.14B.15C.16D.18

3.已知非零數(shù)列｛4｝滿足2"4+「2計(jì)24=0,則詠=（）

“2021

A.8B.16C.32D.64

4.（xtan。-工］的展開式中第四項(xiàng)的系數(shù)為540,則cos26的值為（）

A.~—B.—C.--D.二

373755

5.為迎接2024年在永州舉行的中國龍舟公開賽，一位熱情好客的永州市民準(zhǔn)備將9

份一樣的永州特產(chǎn)分給甲、乙、丙三名幸運(yùn)觀眾，若每人至少分得一份，且甲、乙兩

人分得的份數(shù)不相同，則不同的分法總數(shù)為（）

A.26B.25C.24D.23

6.在△ABC中，NAC3=120，,,q=4,℃￡>8=0，則+的最

小值為（）

A-673-2B.2719-4C.36—1D，719-2

7.已知函數(shù)/（x）=e，—e-'+sinx—x+2,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).若

flog/+/（3）>4,則實(shí)數(shù)/的取值范圍是（）

\2）

?片B.化+oo

AC.(O,8)D.(8,+co)

2

8.已知與，工分別是雙曲線土=l（a〉0,6〉0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)。為坐標(biāo)原

a2

點(diǎn)，過耳的直線分別交雙曲線左、右兩支A,3兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，CB=3F2A^BF2

平分N￡3C,其中一條漸近線與線段A5交于點(diǎn)P，則sin/PO￡=（）

A屈B.這C.叵D2汨

7

9.下列說法正確的是（）

A.已知隨機(jī)變量x?N（2,4），若尸（0<X<2）=04,則P（X>4）=0.1

B.設(shè)0>0，b>0,則“10gz^^（^^”成立的充要條件是?！?,〉：!”

C.已知尸（3A）=g,P（AB）=|-則「（4）=得

D.若p（AB）=g，P（A）=|,P（B）=g，則事件A與3相互獨(dú)立

二、多項(xiàng)選擇題

10.已知拋物線0：必=2丁的焦點(diǎn)為死過點(diǎn)R且傾斜角為銳角的直線/與拋物線C相

交于A,3兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），過點(diǎn)A作拋物線C的準(zhǔn)線的垂線，垂足為

直線/與拋物線C的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N,則（）

A.|”|+忸同的最小值為2

B.當(dāng)直線/的斜率為由時，|AB|=8

C.設(shè)直線BMMF的斜率分別為41，k2,則m=；

D.過點(diǎn)5作直線AM的垂線，垂足為0,3Q交直線歸于點(diǎn)P,則忸外=|尸0|

11.在平面四邊形ABCD中，AB=AD=①，AB^AD^△BCD為等邊三角形，將

△ABZ）沿5。折起，得到三棱錐設(shè)二面角的大小為c.則下列

說法正確的是（）

A.當(dāng)々=150。時，M,N分別為線段§￡），A。上的動點(diǎn)，則|加用的最小值為H

B.當(dāng)a=i20。時，三棱錐A-BCD外接球的直徑為正

3

C.當(dāng)=90。時，以A。為直徑的球面與底面的交線長為在兀

3

D.當(dāng)々=60。時，A。繞。點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至4。所形成的曲面面積為變兀

3

三、填空題

12.已知復(fù)數(shù)Z1=病--5m+6)i,Z2=10--3瓶)i，若za2?(1為z的共輾

復(fù)數(shù))，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為.

13.已知在△ABC中,角A,氏C,所對的邊分別為a,b,c,且acos5+/?cosA=-2ccosC,

7,

sin12A+《—,則cos(A-5)=

14.已知函數(shù)/(力的定義域?yàn)镽,/(%)+/(1)=1,〃％)=2陪)且對于

0＜%＜々＜1，恒有/(王)4/(9)，則/1+；］=---------

四、解答題

15.綠化祖國要擴(kuò)綠、興綠、護(hù)綠并舉.某校植樹節(jié)分別在甲，乙兩塊不同的土地上栽

種某品種樹苗各500株.甲地土質(zhì)含有M元素，乙地土質(zhì)不含有M元素，其它土質(zhì)情

況均相同，一段時間后，為了弄清楚該品種樹苗的成活情況與〃元素含量是否有關(guān)

聯(lián)，分別在甲，乙兩塊土地上隨機(jī)抽取樹苗各50株作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，

甲地成活45株，乙地成活40株.

⑴根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表(單位：株)，并判斷依據(jù)小概率值

a=0.10的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該品種樹苗成活與〃元素含量有關(guān)聯(lián)？

2x2列聯(lián)表

樹苗成活情況

類別合計(jì)

成活不成活

含M元素

不含M元素

合計(jì)

(2)從樣本中不成活的樹苗中隨機(jī)抽取3株，其中取自甲地的株數(shù)為X,求X的分布列

及方差

參考公式：爐—,n=a+b+c+d

(a+b)(c"+ad)"(*a?+c)(—b+d)

參考數(shù)據(jù):

a0.100.050.0100.005

Xa2.7063.8416.6357.879

16.如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD為直角梯形，ABHCD-ABLBC^

EC，平面ABCD，CD=2BC=4AB=4-

Q)若EC=2BF，BFHEC且多面體ABCDEF的體積為工，求直線AC與平面AEF

3

所成角的正弦值.

17.已知函數(shù)〃x)=|3x—1|—3b—31nx.

⑴當(dāng)萬=1時，求小)在g+oo］的單調(diào)區(qū)間及極值.

⑵若/(X)20恒成立，求6的取值范圍.

18.已知數(shù)列｛〃〃｝為等比數(shù)列，｛2｝為等差數(shù)列，且〃1=々=2,小=眺，。4="8.

⑴求｛叫，也｝的通項(xiàng)公式；

(2)數(shù)列b］也21的前〃項(xiàng)和為s集合A=卜邑*母型,〃eN*!共有

IJI…+2J

5個元素，求實(shí)數(shù)/的取值范圍；

logA(.

(3)若數(shù)列｛%｝中，q=l,lb2_^人求證：

q+q,Q+q?Q，，3++Cj?c2?c3?cn<2.

2

19.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)M在橢圓C：'+y2=1上，動點(diǎn)N滿足ON=GoM，

記點(diǎn)N的軌跡為E

(1)求軌跡E的方程；

⑵在軌跡E上是否存在點(diǎn)T,使得過點(diǎn)T作橢圓C的兩條切線互相垂直？若存在，求

點(diǎn)T的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由：

⑶過點(diǎn)時的直線丁=履+加(加。0)交軌跡E于A,3兩點(diǎn)，射線交軌跡E于點(diǎn)

P,射線M0交橢圓C于點(diǎn)。，求四邊形APBQ面積的最大值.

參考答案

1.答案：A

解析：因?yàn)锳={x1y=ln(x-3)}={x|x>3}，

B={xeN*一4尤-12<0}={xe用-2<x<6}={0,1,2,3,4,5},

所以A8={4,5}.

故選：A

2.答案：D

解析：將數(shù)據(jù)從小到大排序可得10,12,14,14,15,16,20,24共8個樣本數(shù)據(jù),

則上四分位數(shù)即第75百分位數(shù)為8x0.75=6,即為更土型=18.

2

故選：D

3.答案：D

解析：由27.-2"+24=0可得a,,M=4a"，則-=七*紅=64.

zZ-rlfl“十1ft入

U2021U2021

故選：D

4.答案：C

解析：因?yàn)椋踴tand-的展開式中第四項(xiàng)為7；=C：(xtane)31-工)=-20tan36＞，

所以—20tan*=540，

解得tan。=-3，

2

福I、I八八2八.2八cos0—sin"01—tan-01-94

所以cos26=cos-0-sm2e=—；----------=-------廠=——

cos26>+sin2^l+tan201+95

故選：C.

5.答案：C

解析：將9份一樣的永州特產(chǎn)分給甲、乙、丙三名幸運(yùn)觀眾，每人至少分得一份，有

C；=等＞=28種分法，

而甲、乙兩人分得的份數(shù)相同，可以都是1份，2份，3份，4份共4種分法，

所以每人至少分得一份，且甲、乙兩人分得的份數(shù)不相同，則不同的分法總數(shù)為

28—4=24種.

故選：C

6.答案：A

解析：由題意，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB所在直線為X軸，過C垂直CB的直線為y軸建

立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則A(_*言)，3(4,0),由℃.￡>8=0，可得。是以為直徑的圓,

所以。的軌跡方程為(x-2)2+/=4，

取瓦)的中點(diǎn)為“，設(shè)M(x,y),,

x=%+4

所以儼=21,所以②―6)2+(24=4,

可得」2

%+。〔為=2y

y=

2

所以點(diǎn)M的軌跡方程為(x-3)2+V=I，圓心為“(3,0),半徑為1,

由AB+AD=2AM，所以IA3+A。|=21AM|，所以|AB+A￡>|1Tli-2|4W京，

所以1=J(-3)2+(乎-°)2-1=36-「

所以|AB+A01rabi=68-2.

故選：A.

7.答案：C

解析：f'(x)=ex+ex+cosx-l>2^Jex-e-x+cos%-1=1+cos%>0，

「./(%)在R上單調(diào)遞增.

令g(x)=/(%)-2,/.g(x)在R上單調(diào)遞增，/(x)=g(x)+2.

因?yàn)間(—%)=?一九-e"+sin(-x)+x=-g(x),所以g(x)為奇函數(shù)，

(、

貝”(logJ)+/(3)>4化為glog]t+2+g(3)+2>4,

'\2/

所以g(logJ)>—g(3)Og(logJ)>g(—3)ologJ>—3,解得oV/V8，

222

/.?G（0,8）.

故選：C

8.答案：B

解析：

如圖CB=3月A,.??△耳~△片BC,|6月|=2c,||=4c,

設(shè)|=f，則|34|=3t,|AB|=2/,

e八|BC||RC|0

3月平分N4——L=_!^_L=2,

21

\BFX\\F^\

：\5C|=21BF,|=6t,\AF2\=1|5C|=2t,

由雙曲線定義可知IAF2\-\A昂=/=2a,\BF\-\BF^=2a,

:.\BF2\=\AF2\=\AB\^4a,即/43片=60。，

在△耳3耳中，由余弦定理知

/Ada|耳8「+|工-14工「(6a)2+(4a)2-(2c)2

J

cosZEBF?=--------p——r-；-----：---------=----------------------------

12〃

2\FXB[\F2B\2.6入4

化簡得c=?a，由儲+/=02得2=座，

c7

不妨令一條漸近線與線段.的交點(diǎn)P在第一象限，則

bhx/42

tan/PO8sinZPOF,，二止.

ac7

故選：B

9.答案：A

解析：對于A,隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且對稱軸為％=2，

因?yàn)槭?0<X<2)=04,所以P(2<X<4)=04,

故P(X>4)=P(X>2)—P(2<X<4)=0.1,故A正確；

對于B,當(dāng)6>1時，logfe3>logfc1=0.當(dāng)0<。<1時，loga3<log〃l=0,

此時log&3>log“3成立,但人>1>。>0,故B錯誤；

3

對于C，p⑵A)/(AB)8J，故P(A)=3,故C錯誤;

(1)P(A)P(A)24

對于D,=故D錯誤.

故選:A

10.答案：BCD

解析：設(shè)直線/的方程為y=

對于A,把y=區(qū)+（代入/=2y得彳2一26一1=（）,

設(shè)4（石，弘），磯龍2，％），則芭+%=2左，X]%=T，

所以|AF|+忸耳=y+%+1=左（七+%2）+2=2左?+2>2,A錯;

對于B,當(dāng)直線/的斜率為由時，

2

\AB\=\AF\+\BF\=yi+y2+l=k(x1+x2)+2^2k+2=S>B對;

對于C,由題意知；

1xf111

+1

則匕=%+5=5+萬_，+]，k2=22=>

x2-xxx2-x}2(X2-xj0—玉x1

所以2=2伍%)_%環(huán)2+尤1_

—%2+%]1C對;

左2_J_2(%-再)2(%2-％1)2

(2、(2A

對于D,由5x?a有。不三

<2)\2)

因?yàn)镸F的方程為丫=一Lx+!，令y=E得=百丁”,

石2-222

所以點(diǎn)尸為50的中點(diǎn),即忸尸|=|PQ|,D對.

故選：BCD.

解析:對于A,

如圖,取中點(diǎn)，連接4E，EC則AELBD,CE_LBD，

所以N^EC為二面角A-5。-C的平面角，角NAEC=e,

由題意可得BD=2，AE=1，CE=6，

當(dāng)a=150。時，根據(jù)余弦定理可得4。=近，

當(dāng)M為3。中點(diǎn)且時，長度最短，

由等面積法可得工xl義6XL=LXV7X(MN)，求得最小值為Y型故A對.

對于B,如圖，△A5D,Z^BCD的外接圓的圓心分別為Eg，三棱錐臺。。外接球

的球心為。，連接。E,OO］，OC，則EO=1_CE=41，CO=2。后=3叵，

133133

BC

當(dāng)々=120。時，則NOEO]=30。，所以O(shè)OL當(dāng)EOL；,

所以球的半徑OC=也。2+。。2=半.故B錯.

對于C,當(dāng)々=90。時，如圖，過球心。作Oq^EC

則。]為EC的中點(diǎn)，且。。1=g,又球半徑為1,球與△BCD的一交點(diǎn)為H,

則O“=走，又過a作O]F，3C,o、F=B，

24

球與底面△BCD的交線如圖，

D

所以交線長為27r.無=立兀，故c對.

333

對于D,轉(zhuǎn)過的曲面為圓錐的一部分側(cè)面積，該圓錐母線長為后，底面圓半徑為1,

故面積為7r.虎」=也兀，故D對.

33

故選：ACD.

12.答案：{3}

22

解析：z2=10-(m-3m)i,.\z2=10+(m-3m)i?

Z]<4,z2都是實(shí)數(shù)，且4〈馬，

m2-5m+6=0

「.<m2-3m=0，解得加=3,

m2<10

即實(shí)數(shù)m的取值范圍為{3}.

故答案為：{3}.

13.答案：1/0.875

8

解析：因?yàn)閍cosB+6cosA=-2ccosC，

由正弦定理可得sinAcos6+sinBcosA=-2sinCeosC，

即sin（A+B）=-2sinCcosC-所以sin（7i-C）=-2sinCcosC，

即sinC=-2sinCcosC，因?yàn)閟inC>0，所以cosC=—

2

因?yàn)?<C<7i,所以C=2^，即A+=巴，

33

所以cos（A_5）=cos^2A--1-^=cos卜+泊卜sin,+J.

故答案為：1.

8

14.答案：—/0.0625

16

解析：由〃x）+/（i_x）=i可得（￡）+同=1,所以

…/（x）=l/（1x）=l2/1］：

\77\/7\/乙

.?.”。）+*卜1,/（0）+/（1）=1.

???〃1）_嗎）=

因?yàn)閷τ?<%<々41，恒有/（%）?〃%），

所以當(dāng)）時，f（x>=-，而^

172），'，：22024<72）

二］」/當(dāng)」

"^2,024；1=2"（工202411」4（2024）8<2024J16

故答案為：

16

15.答案：（1）列聯(lián)表見解析，該品種樹苗成活與M元素含量無關(guān)聯(lián);

(2)X的分布列見解析，方差為D(X)=:

解析：(1)依題意可得2x2列聯(lián)表如下:

樹苗成活情況合計(jì)

類別

成活不成活

含“元素45550

不含M元素401050

合計(jì)8515100

零假設(shè)為8。：該品種樹苗成活與“元素含量無關(guān)聯(lián).

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),

100x(45x10—40x5)2100

x1.961<2.706=x，

50x50x85x1551010

根據(jù)小概率值。=Qi。的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷Ho不成立,

因此可以認(rèn)為“°成立，即認(rèn)為該品種樹苗成活與“元素含量無關(guān)聯(lián).

(2)由題意知，不成活的樹苗共有15株，甲地不成活的樹苗有5株，X的可能取值

為0,1,2,3,

94d4S

故。。=0)=%費(fèi)=一，P(X=1)=^4^=—,

C：591C：591

C^CL202

P(X=2)=T^=—，P(X=3)=T^=—

C：591/91

故X的分布列為：

X0123

2445202

P

91919191

甘口用八2445c20-2

期望E(X)=0x----i-lx----i-2x----i-3x——=1；

91919191

+*24452024

^￡>(X)=—x(0-l)?2+—x(l-l)92+—x(2-l)92+—x(3-l)92=--

919191917

16.答案：(1)證明見解析;

⑵逑

15

解析：（1）在RtZVWC中，tanZBDC=—=--

CD2

在RtZ^ABC中，tanZACB=—=->

BC2

所以NBDC=NACB，ZBDC+ZACD=ZACB+ZACD=90°

所以ACLBD，又EC,平面ABC。，BDu平面ABC。，

所以ECL5D，

又ACEC=C，ACu平面AEC，ECu平面AEC，

所以BD,平面AEC，又AEu平面AEC，

所以BDLAE；

（2）設(shè)多面體ABCDEF的體積為V，EC=2BF=2x，

則V=%BCEF+/TC￡）=§A3，S四邊形BCEF+-EC-S^ACD=-xlx3x+JX2XX4=-J-

解得x=l，

如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，C￡），CB，CE所在直線分別為％，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)

則41,2,0),￡(0,0,2),歹(0,2,1),C(0,0,0),

則EP=(0,2,—l)，A/=(—1,0,1)，AC=(-1,-2,0)>

設(shè)平面AEE的個法向量為〃=(x,y,z),

AFn=-x+z=0..

則，令z=2，則尤=2，y=l,

EFn=2y-z=0

所以平面AEF的一個法向量為“=(2,1,2)，

設(shè)直線與平面的所成的角為8，

抓〃.z)iIIAC-n|44A/5

利8么sin6=cos<AC,n>=------------=—；=——=----，

\AC\-\n\V5x315

所以直線4c與平面AEF所成角的正弦值為逑.

15

17.答案：(1)單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+00)，極小值為/⑴=-1，

無極大值；

⑵[-。0，；

解析：(1)當(dāng)b=1，x〉g時，/(x)=3x-l-3-31nx=3x-31nx-4>

則廣(同=3-3=互力,

XX

令r(x)>0，解得X>1，

令r(了)<。,解得；<%<1，

所以八工)的單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為。,+⑹,

所以“X)在x=l處取得極小值=無極大值.

(2)依題意可得了(力=田—1|—3〃—31nx,對Vx￡(0,zo)，恒成立,

即3/??|3x-l|-31nx，令g(x)=|3x-l|-31nx,

當(dāng)時，g(x)=l-3x-31nx，g(x)單調(diào)遞減,

g,+oo］時,a

當(dāng)X￡g(x)=3%-1-31n%,則g，(%)=3——=-------，

令g'(x)>。，解得尤>1,令g<x)<0，解得;<%<1，

綜上所述，g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增,

則g(%)min=葭1)=2，所以3萬<2,即

所以6的取值范圍為上”].

18.答案：(1)?！?2",bn=2n；

(2)(25,學(xué)147；

4

(3)證明見解析

解析：(1)設(shè)數(shù)列｛〃/的公比為必?cái)?shù)列｛2｝的公差為d,

則由4=8%，，=8，所以q=2,所以%=。4-1=2〃，

%=16,即4=2+72=16,所以d=2，

所以4=4+5-l)d=2+(〃-1)x2=2〃；

(2)設(shè)數(shù)列丁=(_正”件W,2,

則d4n+d4n_1+dg+d&*_3=%+-或_2-*_3=128n-48，

所以S4”=+d2+d3+d4)++(6?4?_3+d4n_2+d3n_｝+d^n)=-------------------

=〃(64〃+16)，

見J*二(64〃+16)?2(〃+2)=(32〃+8)(〃+2)

叫+2=2^=r

令/⑺=?2"+8)5+2),z+n_f(.=(32“+40)(〃+3)_(32〃+8)(〃+2)

_-32/腦88_4(-4"2〃+n),

2"i2〃

可得/(I)<”2)>f(3)>/(4)>>f(n),

故當(dāng)〃=2時，/(“)最大，

r147

且/⑴=6。，八5)=『"6)=25,

所以25〈芯巴，即/的取值范圍為（25,巴］.

4,4

log2%nn

(n>2)

(3)由G=l,c'Iz,2_]n2-1(?+1)(?-1)

4"

23nn

貝U當(dāng)〃22時，crc2，c3=1x--X-―-Xx

1x32x4(n-l)(n+l)3x4x5xx〃x(〃+l)

_2"_2己+1-1]______1]

-(n+l)!-5+1)!n\(〃+1)!

當(dāng)〃=1時，q=l也滿足上式，

1

所以q?。2?。3%=2[4---](HeN*)，

n\(n+1)!

q+q,Q+G?Q?03++?02?03

M11111,

=2[1---+------++----------1

2!2!3!n\(H+1)!

=2——-<2,

5+1）!

所以原不等式成立.

22

19.答案：⑴土+工=1；

63

(2)存在，7(0,百)或(0,-6)；

⑶2(舟1)

解析：⑴設(shè)MO,"),N(x,y)，則ON=(x,y)，OM=(m,n)，

由ON=y/3OM得(x,y)=瓜m,n),

2

又M（九九）在橢圓。上，所以V-+〃2=].

2