2024年陽泉市高三數學5月第三次模擬考試卷（附答案解析）

2024年陽泉市高三數學5月第三次模擬考試卷

考試時間120分鐘，滿分150分

一、單項選擇題：（本大題8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.）

1.設集合尸=Wy=eX+l},/={x|y=log2（x-2）},則集合川與集合尸的關系是（）

A.M=PB.P&MC.M^PD.PcM

2.已知2+i是實系數方程V+px—q=0的一個復數根，則。+4=（）

A.-9B.-lC.lD.9

3.已知夕：xNa,q:|x+2a|<3,且?是9的必要不充分條件，則實數。的取值范圍是（）

A.（-oo,-l]B.（-0°,-l）C.[l,+oo）D.（1,+oo）

4.已知等差數列（a“）中，為是函數/（x）=sin，x-胃的一個極大值點，則tan（%+佝）的值為（）

A*B，V3C.±V3D.-V3

3

----2

5.己知非零向量滿足|萬+切=|萬—2切，且6與彳上的投影向量為丁，則\慟a\=（）

1J3r

A.-B.—C.2D.J3

22

22

6.已知雙曲線C：二-「=1伍〉0,6〉0）的左、右焦點分別為片,鳥，雙曲線的右支上有一點4力片與

ab

TT

雙曲線的左支交于點B，線段2用的中點為M，且滿足8河，2用，若NFiAFz=飛,則雙曲線。的

離心率為（）

A.2B.V6C，V7D.V13

7.中國南北朝時期的著作《孫子算經》中，對同余除法有較深的研究，設見仇加（加>0）為整數，若。和

6被切除得的余數相同，則稱。和b對模加同余，記為a三6（mod加）.如9和21除以6所得的余數都

是3,則記為9=21（mod6）.若a=4+C\-2+C."+…+蔻-22\a=6（mod10）,則b的值可

以是（）

A.2019B.2020C.2021D.2022

8.已知正方體4BCD-44G2的棱長為2,p.為線段的動點，則三棱錐P-BCD外接球半徑的取

值范圍為()

二、多項選擇題：(本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求,

全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.)

9.已知圓。：/+72=l,Z(4,a),8(4,-a),若圓。上僅存在一點尸使R4_LP5,則正實數。的取值可

以是()

A.2B.3C.4D.5

10.在一個有限樣本空間中，假設尸(/)=尸(8)=0(。)=，且/與5相互獨立，/與?；コ猓瑒t()

A.P(AUB)=:

B.P(CM)=2P(^|C)

C.P(C\AB)=\

-1

D.若尸(C|8)+P(C|B)=2,則5與?；コ?/p>

11.已知定義在(―8,0)口(0,+8)上的函數/(x)滿足/(◎)=&。+止史+工，則()

yXxy

A./(x)是奇函數B./(x)在(-8,0)上單調遞減

C./(x)是偶函數D./(x)在(0,+8)在上單調遞增

三、填空題：(本題共3小題，每小題5分，共15分)

,(71f5711

12.已知cos[]+xj=3,貝I|sm[彳-xj=.

%

13.已知數列｛0"｝的前"項和為S"，且S“=24—2,則數列＜，的前100項和

%+1)(%+2)

勺T00_-?

(%A

14.已知函數/(%)=(X2一4%+冽)43-m-1恰有3個零點，則加的取值范圍是.

I7

四、解答題：(本題共5個小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

2

15.（本小題13分）如圖，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)綠化某一座山體，以地面為基面，在基面上選取四個點,

使得AD=26BC，測得/BAD=30°,/BCD=45°,ZADC=120°.

（、1）若民。選在兩個村莊，兩村莊之間有一直線型隧道，且8。=10夜km，CD=20km,求4c兩

點間距離；

（2）求tan/BQC的值.

16.（本小題15分）全國“村區(qū)4”籃球賽點燃了全民的運動激情，深受廣大球迷的喜愛.每支球隊都有一

個或幾個主力隊員，現有一支“村區(qū)4”球隊，其中甲球員是其主力隊員，經統(tǒng)計該球隊在某個賽季的所

有比賽中，甲球員是否上場時該球隊的勝負情況整理成如下2x2列聯(lián)表：

甲球員是否上場球隊的勝負情況合計

勝負

上場4045

未上場3

合計42

（1）完成2x2列聯(lián)表，并依據小概率值a=0.01的獨立性檢驗，能否認為球隊的勝負與甲球員是否上

場有關；

（2）由于隊員的不同，甲球員主打的位置會進行調整，根據以往的數據統(tǒng)計，甲球員上場時、打前鋒、

中鋒、后衛(wèi)的概率分別為0.3,0.5,0.2,相應球隊贏球的概率分別為0.7,0.8,0.6.

（i）當甲球員上場參加比賽時，求球隊贏球的概率；

（ii）當甲球員上場參加比賽時，已知球隊贏球的條件下，求甲球員打中鋒的概率.（精確到0.01）

2

2n(ad-be),,

附：x=-------------------------=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.150.100.050.0250.0100.001

%2.0722.7063.8415.0246.63510.828

17.（本小題15分）在三棱柱45。-4與。1中，四邊形8。。出1是菱形，△45。是等邊三角形，點M是

線段45的中點，N4BB]=60。.

3

(1)證明：4。，平面48C］；

(2)若平面NAB/1，平面4SC,求直線耳。與平面4Mq所成角的正弦值.

18.(本小題17分)設函數/(x)=(x+l)lnx-左(x-1)

(1)當xNl時，/(x)NO恒成立，求左的最大值；

,1111ln2

(2)證明：對任意正整數〃，不等式7；---+-7；一~+----7+…+27；―T〈二廠.

2M+12(”+1)+12/2+52(2〃—1)+12

19.(本小題17分)已知圓0:/+/=4,8(_1,0),。(1,0).點/在圓。上，延長CW到4,使

|CM|=|初川，點尸在線段上，滿足(蘇+定).衣=0.

(.1)求點尸的軌跡￡的方程；

(2)設。點在直線x=l上運動，2(—2,0),￡?2(2,0).直線0〃與紗2軌跡￡分別交于G,〃兩點，求

證：GW所在直線恒過定點.

4

2024年陽泉市高三年級第三次模擬測試試題

高三數學參考答案和評分標準

一、單項選擇題：（每小題5分，共40分）

題號12345678

選項CAADBCAD

二、多項選擇題：（每小題5分，共20分）

題號91011

選項BDBCDAB

三、填空題：（每小題5分，共20分）

111＞。-1

12-3%2%1或2（2%1）-0)0(0,3)0(3,4)

四、解答題：（本大題共6小題，共70分）

CDBD

15.解:(1)在3臺。。中，由正弦定理得

sinZCBDsinZBCD

20_10V2

sinZCBDsin45°

解得sinNCB￡>=l

,：.ZCBD=90°,

??.ABC。為等腰直角三角形,

5C=loV2>

則/r>=20BC=4O.

在A/C。中，由余弦定理得

AC2=AD-+CD2-2ADXCDcosZADC=1600+400-2x40x20x2800,

故NC=20"

故4c兩點間距離為20s.

(2)設/BDC=6,則由題意可知，^ADB=120°-0,AABD=3Q0+0.

BD4D

在△48。中，由正弦定理得

sinZBADsinZABD

5

AT)

即訪=2sin(3(F+，)，

BD

在△BCD中，由正弦定理得----------

sinZBDCsinZBCD

即生二瓜皿8,

BD

又AD=2而C,.12sin(300+3]=2^2x6sin，

—cos^H----sin=2sin0，

22

4+V3:.tanZBDC=^^.

tan。=

1313

16.解：(1)根據題意，可得2x2的列聯(lián)表:

甲球員是否上場球隊的勝負情況合計

勝負

上場40545

未上場235

合計42850

零假設笈°：球隊的勝負與甲球員是否上場無關

止匕時/=—生…一=5。(4。><3-5>2)2.>6635

(a+6)(c+d)(a+c)S+d)42x8x45x5

二根據小概率值a=0.01的獨立性檢驗，我們推斷玄。不成立，

即認為球隊的勝負與甲球員是否上場有關.

(2)由甲球員上場時，打前鋒、中鋒、后衛(wèi)的概率分別為0.3、0.5、0.2,

相應球隊贏球的概率分別為0.7、0.8、0.6.

(i)設事件/：甲球員上場打前鋒，事件5：甲球員上場打中鋒，事件C：甲球員上場打后衛(wèi)，事件。:

球隊贏球，

則P(A)=0.3,P(B)=0.5,P(C)=0.2.

P(D\A)=0.7,P(D|B)=0.8,P(Z)|C)=0.6.

當甲球員上場參加比賽時，球隊贏球的概率：

P(D)=P(A)P(D\A)+P(B)P(D|5)+P(C)P(D|C)

=0.3x0.7+0.5x0.8+0.2x0.6=0.73.

(ii)當甲球員上場參加比賽時，已知球隊贏球的條件下，甲球員打中鋒的概率為:

6

P(BD)P(B)P(OB)0.5x0.8

P(B|D)=亡0.55

P(D)-P(D)0.73

故當甲球員上場參加比賽時，已知球隊贏球的條件下,

甲球員打中鋒的概率約為0.55.

17.解：(1)設與4c交點為N,連接481,ZN.

?.?四邊形是菱形，

=是的中點.

在AABB[中，B[B=AB,NABB[=60°

是等邊三角形，二ABy=AB.

在AZCB[中，48]=2。川是4。的中點，二4。，2乂

又LBCi，ANCBCi=N,ZN,8qu平面/Bq,

平面/Bq.

(2)連接4M,

△ZAB1是等邊三角形，M是線段4s的中點，48.

又?：平面1平面ABC,平面ABCn平面ABB{AX=AB,BXMu平面ABB出,

B[M1平面ABC.

以M為原點，MB.MC所在直線分別為x軸、歹軸如圖建立空間直角坐標系，

不妨設48=2,則M(0,0,0),4-1,0,0),5(1,0,0),。(0,6,0)，4(—2,0,百)，用=(0,0,6),

于是訪=(-2,0,73),^=(0,0,73),

5C=(-1,V3,0),B<C=(0,V3,-V3),

西=兩+而=麗+瑟=(-i,G,我

7

n-MA.=0

設平面AXMCX的法向量為n=(xj,z)，則＜_L

H-MQ=0

—2.x+y/3z=0

—x+y/^y+y/3z=0

令x=G＞，得y=-l,z=2,

二平面AXMCA的一個法向量為n=(73,-1,2).

設直線B.c與平面4Mq所成角大小為0,

4。,司3

則sin0=j",,-/=—,——

l^qInIj3+l+4xj3+34

3

故直線B】C與平面4Mq所成角的正弦值為-.

Y-I-1Y+]

18.解：(1)由已知得，/'(x)=lnx+-------k,設g(x)=lnx+--------k

XX

【，/、(工—一

m=1X—X+1)=11X—1

則S(X)---1-------2-----------2~---/*,x〉1，g(x)＞0總成

XXXXX

.?./'(%)在(1,+00)上遞增0f(y)=2-k,

當2—左20即左《2時，可知/'(x)>0總成立，1./(%)在(1,+8)上遞增，

/(x)〉/(l)=0總成立，故左<2滿足題意.

當左>2時，/'(x)=2—￡/'(e)=lne*+l+l—左=1+二〉0

ee

,

/'(X)在(1,+8)上遞增，.?.存在/e(l,e)使得/(xo)=O,

由f'(x)<0M1<x<x0,由/'(x)>0得x〉Xo，，/(x)在(1,%)上遞減，

此時，/(x)</(I)=0,顯然與題意矛盾，%>2不合題意.

綜上，左〈2為所求.

(2)由(1)可得當xNl,且左=2時，/(x)=(x+l)lnx-2(x—l)20恒成立.

1[、x-1

—Inx>-----,

2x+1

當且僅當％=1時等號成立，令％=——(〃￡N),

n、7

8

〃+1]

11〃+1H1

則71n———

2n"+1]]2n+1

n

'+,+'+-+^<Uln0+lnS+…+ln2]

2〃+l2〃+32〃+52〃+(2〃-1)21nn+\2n-\)

1,(n+\n+2In2

=—In.................=-----

272+12n-lJ2

1111In2

故------1--------------1-------------F…H-------------<-------.

2〃+l2〃+32〃+54^-12

19.解：(1)V(PA+PC)AC=Q,:.(PA+PC)-(PC-PA)=Q,

PA2=,:\PA\=\PC

?.?|。必|=|吊4|,:.屈為/。的中點，

又；。為5C