河北省衡水中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第十次調(diào)研試題理含解析

PAGE22-河北省衡水中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第十次調(diào)研試題理（含解析）一、選擇題1.已知，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求解集合再求即可.【詳解】,∵,∴,故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)的不等式求解以及交集的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.2.設(shè)復(fù)數(shù)，且，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等的充要條件求出復(fù)數(shù)，從而得到的共軛復(fù)數(shù)，即可得解；【詳解】解：因?yàn)樗裕?，∴，∴，故的虛部為，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，復(fù)數(shù)相等的充要條件，屬于基礎(chǔ)題.3.在等比數(shù)列中，，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)等比數(shù)列各項(xiàng)之間的關(guān)系化簡求得,再依據(jù)求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為,則,所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列各項(xiàng)之間的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.4.如圖的框圖中，若輸入，則輸出的的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)程序框圖逐步計(jì)算即可.【詳解】輸入,,進(jìn)入循環(huán)體：,,判定為否；,,判定為否；,,判定為否；,,判定為是；輸出.

故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了依據(jù)程序框圖的輸入結(jié)果計(jì)算輸出結(jié)果問題,屬于基礎(chǔ)題.5.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先推斷的大致范圍,再依據(jù)不等式的性質(zhì)逐個(gè)推斷即可.【詳解】,,,故,,.對(duì)A,若,不成立.故A錯(cuò)誤.對(duì)B,因?yàn)?故B錯(cuò)誤.對(duì)C,成立.對(duì)D,因?yàn)?故D錯(cuò)誤.故選；C【點(diǎn)睛】本題主要考查了指對(duì)冪函數(shù)的大小判定以及不等式的性質(zhì).須要依據(jù)題意確定各數(shù)的范圍,再逐個(gè)推導(dǎo).屬于基礎(chǔ)題.6.已知某函數(shù)的圖像如圖所示，則下列函數(shù)中，圖像最契合的函數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)時(shí)的函數(shù)值，即可選擇推斷.【詳解】由圖可知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，故解除；當(dāng)時(shí)，，故解除；當(dāng)時(shí)，，故解除；當(dāng)時(shí)，，滿意題意.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖像的選擇，涉及正余弦值的正負(fù)，屬基礎(chǔ)題.7.《算數(shù)書》竹簡于上世紀(jì)八十年頭出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“蓋”的術(shù)：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.該術(shù)相當(dāng)于給出了有圓錐的底面周長與高，計(jì)算其體積的近似公式.它事實(shí)上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為.那么近似公式相當(dāng)于將圓錐體積公式中的近似取為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)圓錐底面半徑為,依據(jù)圓錐的底面周長求得,再代入體積公式得,再比照求解即可.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為,則,所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓錐底面周長與體積等的計(jì)算.屬于基礎(chǔ)題.8.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性可得最小正周期,再利用函數(shù)的性質(zhì)將自變量轉(zhuǎn)換到求解即可.【詳解】∵,,∴，∴，∴最小正周期,又,∴,,∴,故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了依據(jù)函數(shù)性質(zhì)求解函數(shù)值問題,須要依據(jù)奇偶性推出函數(shù)的對(duì)稱性,再將自變量利用性質(zhì)轉(zhuǎn)換到已知函數(shù)解析式的區(qū)間上求解.屬于中檔題.9.甲乙兩運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球競賽，采納局勝制.在一局競賽中，先得分的運(yùn)動(dòng)員為勝方，但打到平以后，先多得分者為勝方.在平后，雙方實(shí)行輪換發(fā)球法，每人每次只發(fā)個(gè)球.若在某局競賽中，甲發(fā)球贏球的概率為，甲接發(fā)球贏球的概率為，則在比分為后甲先發(fā)球的狀況下，甲以贏下此局的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分后四球勝方依次為甲乙甲甲,與乙甲甲甲兩種狀況進(jìn)行求解即可.【詳解】分兩種狀況：①后四球勝方依次為甲乙甲甲,概率為；②后四球勝方依次為乙甲甲甲,概率為.所以,所求事務(wù)概率為：.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分步與分類計(jì)數(shù)求解概率的問題,須要依據(jù)題意推斷出兩種狀況再分別求解,屬于基礎(chǔ)題.10.已知，兩點(diǎn)是函數(shù)與軸的兩個(gè)交點(diǎn)，且滿意,現(xiàn)將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，得到的新函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則的可能取值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)，即可求得，再依據(jù)平移后函數(shù)為偶函數(shù)，即可求得.【詳解】令，解得，因?yàn)?，故令，并取，則，即可求得.此時(shí)，向左平移個(gè)單位得到，若其為偶函數(shù)，則，解得.當(dāng)時(shí)，.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查由三角函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)值，屬綜合中檔題.11.已知直線與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)，雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，且，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.或【答案】B【解析】【詳解】設(shè)直線與軸交點(diǎn)為,由題可知,,,∵,故,即且.故,.又,故,整理得,即.∴或.又,故∴漸近線方程為：.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線中漸近線以及構(gòu)造齊次方程求解離心率的問題.須要依據(jù)題意找到基本量之間的關(guān)系,再求得離心率的值進(jìn)而求得漸近線方程.屬于中檔題.12.已知，函數(shù)，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】當(dāng)時(shí),依據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸與最值求解的最小值,再依據(jù)求解.當(dāng)時(shí)求導(dǎo)分析的單調(diào)性,再分與兩種狀況探討函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求得最小值再求解恒成立的的取值范圍即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí),，∴的對(duì)稱軸為,開口向上①當(dāng)時(shí),在遞減,遞增∴當(dāng)時(shí),有最小值,即,∴②當(dāng)時(shí),在上遞減∴當(dāng)時(shí),有最小值,即∴明顯成立,此時(shí)，∴當(dāng)時(shí),.（2）當(dāng)時(shí),,∴①當(dāng)時(shí),在上遞增∴,∴,∴此時(shí).②當(dāng)時(shí),在遞減,遞增∴,∴,∴此時(shí)∴當(dāng)時(shí),.綜上：.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了依據(jù)分段函數(shù)的恒成立求解參數(shù)的問題,須要依據(jù)二次函數(shù)的最值以及求導(dǎo)分析函數(shù)的最值進(jìn)行求解.屬于難題.二、填空題13.已知向量，向量，則______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)模長的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量模長的坐標(biāo)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.14.已知拋物線過點(diǎn)，則拋物線的準(zhǔn)線方程為______.【答案】【解析】【分析】代入求解拋物線,再化簡成標(biāo)準(zhǔn)形式求解準(zhǔn)線方程即可.【詳解】由題,,故.故拋物線的準(zhǔn)線方程為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了依據(jù)拋物線上的點(diǎn)拋物線方程以及準(zhǔn)線的問題.屬于基礎(chǔ)題.15.已知數(shù)列，，其中數(shù)列滿意，前項(xiàng)和為滿意；數(shù)列滿意：，且，，，則數(shù)列的第項(xiàng)的值為______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)可知數(shù)列周期為10，并依據(jù)求得在時(shí)的通項(xiàng)公式.又可知數(shù)列周期為12，再求出，分析的周期再求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,故,又∵,,∴，所以,又?jǐn)?shù)列,的公共周期為,所以,而,,所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了依據(jù)數(shù)列的前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系，求解通項(xiàng)公式以及構(gòu)造數(shù)列求通項(xiàng)公式的方法.同時(shí)也考查了周期數(shù)列的運(yùn)用.屬于中檔題.16.如圖，四棱錐中，底面為四邊形.其中為正三角形，又.設(shè)三棱錐，三棱錐的體積分別是，三棱錐，三棱錐的外接球的表面積分別是.對(duì)于以下結(jié)論：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正確命題的序號(hào)為______.【答案】①⑤【解析】【分析】設(shè),依據(jù)化簡可得.【詳解】不妨設(shè),又為正三角形,由,得,即有，所以.又得,又,故.化簡可以得,∴,易得,故.故①正確.又由于,所以與的外接圓相同（四點(diǎn)共圓）,所以三棱錐,三棱錐的外接球相同,所以.故⑤正確.故答案為：①⑤【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面對(duì)量與立體幾何的綜合運(yùn)用,須要依據(jù)平面對(duì)量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積公式求解各邊的垂直以及長度關(guān)系等.同時(shí)也考查了錐體外接球的問題.屬于難題.三、解答題17.在中，角的對(duì)邊分別為，若，，.（1）求邊長；（2）已知點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，求的長度.【答案】（1）6（2）【解析】【分析】(1)依據(jù)可得,再依據(jù)與二倍角公式求解得,再利用正弦定理求解即可.(2)先求解得,再求解得,再在中,由余弦定理求解即可.【詳解】解：（1）由,,得,所以,由正弦定理,可得.（2）,在中,在中,由余弦定理得：所以,【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換以及正余弦定理在解三角形中的運(yùn)用,須要依據(jù)題意確定合適的公式化簡求解.屬于中檔題.18.已知，圖中直棱柱的底面是菱形，其中.又點(diǎn)分別在棱上運(yùn)動(dòng)，且滿意：，.（1）求證：四點(diǎn)共面，并證明∥平面.（2）是否存在點(diǎn)使得二面角的余弦值為？假如存在，求出的長；假如不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）見解析（2）不存在點(diǎn)使之成立.見解析【解析】【分析】(1)在線段上分別取點(diǎn),使得,進(jìn)而得到與即可.(2)以為原點(diǎn),分別以,及過且與平行的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,再求解平面的法向量與平面的法向量,再設(shè),,再依據(jù)二面角的計(jì)算方法分析是否存在使得二面角為的余弦值為即可.【詳解】解：（1）證法1：在線段上分別取點(diǎn),使得,易知四邊形是平行四邊形,所以,聯(lián)結(jié),則,且所以四邊形為矩形,故,同理,且,故四邊形是平行四邊形,所以,所以故四點(diǎn)共面又,平面,平面,所以平面.證法2：因?yàn)橹崩庵牡酌媸橇庑?∴,底面,設(shè)交點(diǎn)為,以為原點(diǎn),分別以,及過且與平行的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則有,,,,設(shè),,則,,,,,,所以,故四點(diǎn)共面.又,平面,平面,所以平面.（2）平面中向量,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,可得其一個(gè)法向量為.平面中,,,設(shè)平面一個(gè)法向量為,則,所以取其一個(gè)法向量.若,則,即有,,解得,故不存在點(diǎn)使之成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查了依據(jù)線線平行證明共面的方法,同時(shí)也考查了建立空間直角坐標(biāo)系確定是否存在滿意條件的點(diǎn)的問題.須要依據(jù)題意建立合適直角坐標(biāo)系,再利用空間向量求解二面角的方法,分析是否有參數(shù)滿意條件等.屬于難題.19.已知圓，圓，如圖，分別交軸正半軸于點(diǎn).射線分別交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿意直線與軸垂直，直線與軸垂直.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)作直線交曲線與點(diǎn)，射線與點(diǎn)，且交曲線于點(diǎn).問：的值是否是定值？假如是定值，懇求出該定值；假如不是定值，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）是定值，為.【解析】【分析】(1)設(shè),再依據(jù)三角函數(shù)的關(guān)系可得,,進(jìn)而消參求得軌跡的方程即可.(2)設(shè)直線的方程為,再聯(lián)立直線與(1)中橢圓的方程,依據(jù)弦長公式化簡,代入韋達(dá)定理求解即可.【詳解】解：方法一：（1）如圖設(shè),則,所以,.所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.方法二：（1）當(dāng)射線的斜率存在時(shí),設(shè)斜率為,方程為,由得,同理得,所以即有動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.當(dāng)射線的斜率不存在時(shí),點(diǎn)也滿意.（2）由（1）可知為的焦點(diǎn),設(shè)直線的方程為（斜率不為0時(shí)）且設(shè)點(diǎn),,由得所以,所以又射線方程為,帶入橢圓的方程得,即,所以又當(dāng)直線的斜率為時(shí),也符合條件.綜上,為定值,且為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了軌跡方程的求解以及聯(lián)立直線與橢圓的方程求解線段弦長與證明定值的問題,屬于難題.20.某校高三男生體育課上做投籃球嬉戲，兩人一組，每輪嬉戲中，每小組兩人每人投籃兩次，投籃投進(jìn)的次數(shù)之和不少于次稱為“優(yōu)秀小組”.小明與小亮同一小組，小明、小亮投籃投進(jìn)的概率分別為.（1）若，，則在第一輪嬉戲他們獲“優(yōu)秀小組”的概率；（2）若則嬉戲中小明小亮小組要想獲得“優(yōu)秀小組”次數(shù)為次，則理論上至少要進(jìn)行多少輪嬉戲才行？并求此時(shí)的值.【答案】（1）（2）理論上至少要進(jìn)行輪嬉戲.【解析】【分析】(1)分①小明投中1次,小亮投中2次；②小明投中2次,小亮投中1次；③小明投中2次,小亮投中2次三種狀況進(jìn)行求和即可.(2)同(1),分別計(jì)算三種狀況的概率化簡求和,再代入可知,再設(shè),依據(jù)二次函數(shù)在區(qū)間上的最值方法求解可得當(dāng)時(shí),.再依據(jù)他們小組在輪嬉戲中獲“優(yōu)秀小組”次數(shù)滿意,利用二項(xiàng)分布的方法求解即可.【詳解】解：（1）由題可知,所以可能的狀況有①小明投中1次,小亮投中2次；②小明投中2次,小亮投中1次；③小明投中2次,小亮投中2次.故所求概率（2）他們?cè)谝惠嗘覒蛑蝎@“優(yōu)秀小組”的概率為因?yàn)?所以因?yàn)?,,所以,,又所以,令,以,則當(dāng)時(shí),,他們小組在輪嬉戲中獲“優(yōu)秀小組”次數(shù)滿意由,則,所以理論上至少要進(jìn)行輪嬉戲.此時(shí),,【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列組合在概率中的運(yùn)用,須要依據(jù)題意分析三種狀況的概率之和,再依據(jù)包含概率的函數(shù)解析式,結(jié)合二次函數(shù)與基本不等式的方法求最值即可.屬于難題.21.已知函數(shù)，，其中.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)隨意，隨意，不等式恒成立時(shí)最大的記為，當(dāng)時(shí)，的取值范圍.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】(1)求導(dǎo)后分與兩種狀況分析函數(shù)的單調(diào)性即可.(2)參變分別與可得,再令,求導(dǎo)得,再分析的單調(diào)性,分,與三種狀況求解導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)以及原函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而求得的解析式,再求導(dǎo)分析單調(diào)性與范圍即可.【詳解】解：（1）∵∴,∵,∴①當(dāng)時(shí),的減區(qū)間為,沒有增區(qū)間②當(dāng)時(shí),的增區(qū)間為,減區(qū)間為（2）原不等式.∵,,∴,令,令在上遞增；①當(dāng)時(shí),即,∵,所以時(shí),,∴在上遞增；∴.②當(dāng),即時(shí),,∴在上遞減；∴③當(dāng)時(shí),又在上遞增；存在唯一實(shí)數(shù),使得,即，則當(dāng)時(shí).當(dāng)時(shí).∴.∴.令在上遞增,,∴.綜上所述.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)區(qū)間以及分狀況探討導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)以及參數(shù)范圍的問題,須要依據(jù)題意構(gòu)造合適的函數(shù)進(jìn)行原函數(shù)單調(diào)性以及最值的分析等.屬于難題.22.在平面直角坐標(biāo)系