2024-2025學(xué)年人教版九年級數(shù)學(xué)上冊 一元二次方程 單元綜合測試卷（含答案）

第二十一章一元二次方程（單元培優(yōu)卷人教版）

考試時間：120分鐘，滿分：120分

-、選擇題:共10題，每題3分，共30分。

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.劣+2夕=1B.x=2x3—1C.3rc+—=0D.x2—2=0

2.方程2/—6/-9=0的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為（

A.6、2、9B.2、-6、-9C.2、-6、9D.—2、6、9

3.一元二次方程比2+21一3=0的根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.有一個實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

4.若一元二次方程（x+a）2=b（a,b為常數(shù)），化成一般形式為①2—8必—5=0,則a,b的值分別是

（）

A.-4,11B.-4,21C.4,21D.-8,69

5.受電子商務(wù)的發(fā)展及國家法治環(huán)境改善等因素的影響，某公司快遞業(yè)務(wù)量迅猛發(fā)展，2021年公司快

遞業(yè)務(wù)量為100萬件,2023年快遞業(yè)務(wù)量達到144萬件，若設(shè)快遞量平均每年增長率為x，則下列方

程中，正確的是（）

A.100（1+2x）=144B.100（1+T）2=144C.100（1+T2）=144D.100（1+2a;）2=144

2

6.已知關(guān)于力的一元二次方程/2—（Z/n—DN+m：。有實數(shù)根，則7n的取值范圍是（）

A.m^OB.mW；D.m>^~

4C.m<44

7.用配方法解關(guān)于T的方程x2+px+q=Q^,此方程可變形為：（)

2

A?^P_/—4q

-)B?(①+會

'~4’4

p2+4q

C.卜+今）|2D-(x+f)j4q—/

8.已知Q也c為常數(shù)，點A（Q,C）在第二象限，點8（0,b）在g軸的正半軸上，則關(guān)于力的方程Q/+

（6—1）力+c=0的根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.沒有實數(shù)根D.無法判斷

9.已知實數(shù)x,y滿足4/—2+4成+d=1，設(shè)M=x+y，則M的最大值是（）

10.有兩個正方形4現(xiàn)將B放在A的內(nèi)部如圖①;再將48無縫隙且無重疊放置后構(gòu)造新的正方

形如圖②.若圖①和圖②中陰影部分的面積分別為1和7,則圖②所示的大正方形的面積為（）

?1?

圖②

A.14B.15C.16D.17

二、填空題:共6題，每題3分，共18分。

11.一元二次方程3x2-4$+1=0根的判別式62-4ac的值為.

12.若關(guān)于x的一元二次方程a?+2立+a—5=0的一個根是1,則a的值是.

13.《九章算術(shù)》中“勾股”章有一題：已知矩形門的高比寬多6尺，門的對角線長10尺，那么門的高和寬

各是多少？如果設(shè)門的寬為立尺,根據(jù)題意,那么可列方程.

14.嘉琪準備完成題目：解一元二次方程*2_6c+□=0.若“□”表示一個字母,且一元二次方程T2-

62+口=0有實數(shù)根,貝□”的最大值為.

15.如圖，等腰三角形的底邊長為6，它的腰長為方程/_6力+8=0的一個根，則m的值為.

16.已知a￥b,且滿足2a?—5a+1=0,2&2—5b+1=0,那么—+~~的值為.

ab------

三、解答題:共9題，共72分,其中第17題4分，第18~21題每小題6分，第22~23題每小題10

分，第24-25題每小題12分。

17.（4分）解方程：

（1）3+2）2-25=0；（2）*2—如+3=0.

18.（6分）將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.

（1）3/—1=2x；

（2）JC（X-2）=4a?—3x；

（3）關(guān)于2的方程ma?—nrr+mrc+7ic2=q—p（rn+?7,￥0）.

?2?

19.（6分）已知等腰三角形ABC的一腰和底邊的長是關(guān)于力的方程x2-mx+^-^-=0的兩個實數(shù)

根.

①7n=2時，求△ABC的周長；

②當(dāng)△ABC為等邊三角形時，求小的值.

20.（6分）“城是濟南城，湖是大明湖,樓是超然樓”是網(wǎng)友為超然樓寫的廣告詞.隨旅游旺季的到來,大

明湖超然樓景區(qū)的游客人數(shù)逐月增加，4月份游客人數(shù)約為16萬人次，6月份游客人數(shù)約為25萬人

次.

（1）求這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率；

（2）若增長率保持不變,請求出7月份的游客人數(shù).

21.（6分）已知關(guān)于宏的一元二次方程/+尻一3=0.

（1）求證:方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）若方程有一個根是1,求方程的另一個根和b的值分別是多少？

?3?

22.（10分）已知關(guān)于a;的一元二次方程S2-2（fc-l）T+fc2+3=0,

（1）若該方程有一個根是—2,求k的值.

（2）若該方程有兩個實數(shù)根，求k的取值范圍.

（3）若該方程的兩個實數(shù)根如①2滿足（為一1）（g-1）=14,求％的值.

23.（10分）近年來，電商平臺直播帶貨成了一個火熱的新興職業(yè)，某主播帶貨圖書《蘇東坡傳》，他用雙語

直播,風(fēng)趣幽默，點燃了不同年齡者的讀書熱情.已知這本書的成本價為10元,規(guī)定銷售單價不低

于成本價，且不高于成本價的3倍,通過前幾天的銷售發(fā)現(xiàn)，該書每天的銷售量夕（本）與銷售單價

以元/本）之間近似滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分對應(yīng)數(shù)據(jù)如表：

2（元/本）1525

式本）600400

（1）直接寫出“關(guān)于2的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若銷售該書每天的利潤為5000元,求該書的銷售單價;

（3）銷售該書每天的利潤能否達到8000元？請說明理由.

-4■

24.（12分）“新定義”問題就是給出一個從未接觸過的新規(guī)定,要求現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用,更多的考查閱讀理解能力、

應(yīng)變能力和創(chuàng)新能力.

定義:方程c/+be+a=0是一元二次方程a/+就+。=0的倒方程，其中a、b、c均不為0.請根據(jù)

此定義解決下列問題：

（1）方程-12/一田+1=0的倒方程是.

（2）若，=5是/—32+c=0的倒方程的解，求出c的值；

（3）若小，乃是一元二次方程/—5c—1=0的倒方程的兩個不相等的實數(shù)根,求代數(shù)式2n2-mn-

10m的值.

25.（12分）如圖，在電/"LBC中，ZC=90°,AC=8m,BC=6m,點P由。點出發(fā)以2m/s的速度向終

點A勻速移動，同時點Q由點口出發(fā)以lm/s的速度向終點。勻速移動，當(dāng)一個點到達終點時另一

個點也隨之停止移動.

（1）當(dāng)點P移動時間為2秒時，APCQ的面積為多少？

（2）點P移動多少秒時，AFCQ的面積為8m2?

（3）在點P、Q的運動過程中，△PCQ的面積是否會達到10m2?為什么？

?5?

第二十一章一元二次方程（單元培優(yōu)卷人教版）

考試時間：120分鐘，滿分：120分

-、選擇題:共10題，每題3分，共30分。

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.田+20=1B.x=2x3—1C.3rc+—=0D.x2—2=0

【答案】。

【詳解】解：4.①+2,=1,該方程含有2個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是1,故此選項不符合題意；

B.T=2X3-1,該方程中的未知數(shù)的最高次數(shù)是3,故此選項不符合題意；

C.3a;+工=0,該方程中的分母含有未知數(shù),故此選項不符合題意；

X

D.2=0,該方程是一元二次方程，故此選項符合題意.

故選：。.

2.方程2d—64—9=0的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為（）

A.6、2、9B.2、-6、一9C.2、-6、9D.-2、6、9

【答案】8

【詳解】解：方程2t2—6a;—9=0的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為2、—6、-9,

故選：

3.一元二次方程/+2c—3=0的根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.有一個實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

【答案】A

［詳解】：①2+2必—3=0,

A=62—4ac=22—4x1x（—3）=16>0,

方程有兩個不相等的實數(shù)根，

故選4

4.若一元二次方程（x+a）2=b（a,b為常數(shù)），化成一般形式為/一8刀—5=0,則a,b的值分別是

（）

A.-4,11B.-4,21C.4,21D.-8,69

【答案】口

【詳解】解：（c+a）2=b,

貝Ix2+2ax+a2=b,

/.x1+2ax+a2—b=0,

由題意得：2a=—8,a,2—b=—5,

解得：a=—4,fe=21,

故選：B.

5.受電子商務(wù)的發(fā)展及國家法治環(huán)境改善等因素的影響，某公司快遞業(yè)務(wù)量迅猛發(fā)展，2021年公司快

遞業(yè)務(wù)量為100萬件，2023年快遞業(yè)務(wù)量達到144萬件，若設(shè)快遞量平均每年增長率為了，則下列方

?1?

程中，正確的是()

A.100(1+2x)=144B.100(1+s)2=144C.100(1+/)=144D.100(1+2a;)2=144

【答案】B

【詳解】解：由題意得：

100(1+02=144,

故選：B.

6.已知關(guān)于刀的一元二次方程62一(2小一1)①+巾2=。有實數(shù)根，則小的取值范圍是()

A.m#0B.?71<二C.D.m>

444

【答案】8

【詳解】解：：關(guān)于①的一■元二次方程a?—(2m—l)x+m2=0有實數(shù)根，

A=[—(2m—I)]2—4加>0,

4m2—4m+1—4m2>0,

...m々W丁1,

4

故選：B.

7.用配方法解關(guān)于土的方程"+"c+g=0時，此方程可變形為()

2

B.卜+京pjq

A(―1~4

2

C.卜+藥=?Dx+,2_4g-p

-(f)L4

【答案】8

【詳解】解：/+p①+q=0

(,p\2p2~^q

故選：B.

2

8.已知a,b,c為常數(shù)，點A(a,c)在第二象限，點B(0,b)在y軸的正半軸上，則關(guān)于T的方程ax+

(6—1)宓+。=0的根的情況是()

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.沒有實數(shù)根D.無法判斷

【答案】A

【詳解】解：?.?點A(a,c)在第二象限，點B(0,b)在沙軸的正半軸上,

a(0,b)0,c>0,

(b—l)2>0,ac(0,-4ac)0

A=(b—l)2—4ac=(b-l)2+(一4ac)>0,

/.方程有兩個不相等的實數(shù)根，

?2?

故選A

9.已知實數(shù)了,9滿足4/—2+4磔/+才=1,設(shè)M=；r+u,則Al的最大值是()

A.――B.3C.D.1

5416

【答案】B

【詳解】解:\"4X2—X+4xy+y2=l,

(2x+y)2=x+1,

2x+y=±Va;+l,

：.x+y=±Vrr+1—x,

設(shè)A/C+1=a，則x=a2—1,

則①+g=±a-(a2—1)=一(a±｝『+亭

r.c+y的最大值為

即加?的最大值為

故選：B.

10.有兩個正方形人，現(xiàn)將口放在人的內(nèi)部如圖①;再將A,B無縫隙且無重疊放置后構(gòu)造新的正方

形如圖②.若圖①和圖②中陰影部分的面積分別為1和7,則圖②所示的大正方形的面積為()

A.14B.15C.16D.17

【答案】3

【詳解】解:設(shè)正方形B的邊長為a,其中a>0,

?.?將B放在A的內(nèi)部如圖①所示，陰影部分的面積為1,

/.陰影部分為正方形，且邊長為1,

/.圖①中大正方形的邊長為a+1,

即正方形人的邊長為a+1,

又?.?將A,B無縫隙且無重疊放置后構(gòu)造新的正方形如圖②所示：

圖②中大正方形的邊長為：a+a+l=2a+1,

圖②中陰影部分的面積為7,

/.(2a+l)2-a2-(a+iy=7,

整理得：2a2+2a—7=0,

解得：的=三薩瓦，a2=<0(不合題意，舍去)，

/.圖②中大正方形的邊長為：2a+l=2x—1彳畫+1=U

圖②中大正方形的面積為15.

?3?

故選：B.

二、填空題:共6題，每題3分，共18分。

11.一元二次方程3/-4/+1=0根的判別式/一4ac的值為.

【答案】4

【詳解】解：???a=3,b=—4,c=l,

/.62-4ac=(-4)2-4x3xl=4,

故答案為：4.

12.若關(guān)于s的一元二次方程x2+2x+a-5=0的一個根是1,則a的值是.

【答案】2

【詳解】解:把工=1代入/+2a;+a—5=0得l+2+a—5=0,

解得a=2,

故答案為：2.

13.《九章算術(shù)》中“勾股”章有一題：已知矩形門的高比寬多6尺，門的對角線長10尺，那么門的高和寬

各是多少？如果設(shè)門的寬為力尺,根據(jù)題意,那么可列方程.

【答案】/+3+6)2=102

【詳解】解:依題得：門的寬為①尺，高為c+6尺，

?.?門為矩形，

.?.有寬2+高2=對角線2,

即/+(2+6)2=102.

故答案為：/+(①+6)2=102.

22

14.嘉琪準備完成題目：解一元二次方程X-6X+D=0.若“□”表示一個字母,且一元二次方程x-

62+口=0有實數(shù)根，則“□”的最大值為.

【答案】9

【詳解】解：設(shè)□中為

一元二次方程a?—61+口=0有實數(shù)根，

/.A=(―6)2—4xlxm=36—4m>0,

解得：77149,

的最大值為9,

故答案為：9.

15.如圖，等腰三角形的底邊長為6,它的腰長為方程a?_6①+8=0的一個根，則m的值為.

【答案】4

【詳解】解：(①一2)(必一4)=0,

工一2=0或6—4=0,

3=2,g=4,

-4■

v2+2<6,

g=2不合題意，舍去，

m=4,

故答案：4.

16.已知a豐b,且滿足2Q2—5Q+1=0,262—5b+1=0,那么—+牛的值為.

ab---------

【答案】號

【詳解】解：???a￥b,且滿足2a2—5a+l=0,2b2-5fe+l=0,

.?.a、b為方程2/—52+1=0的兩個實數(shù)根，

：.a+b=~,ab=^-,

._L2=+1=（a+b）2—2就=（He=2

*ababab.L2

2

故答案為：

三、解答題:共9題，共72分,其中第17題4分，第18~21題每小題6分，第22~23題每小題10

分，第24-25題每小題12分。

17.（4分）解方程：

（1）（X+2）2-25=0；（2）療—4c+3=0.

【答案】⑴①=3或2=—7

（2）c=1或t=3

【詳解】（1）解：3+2）2=25

x+2=±5

.,?/+2=5或力+2=—5

：.x=3或/=—7;

⑵（2—1）（2—3）=0

-1=0或/-3=0

力=1或力=3?

18.（6分）將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.

（1）3/—l=2x；

⑵2（6—2）=4/2—36；

（3）關(guān)于x的方程me?—nx+mx+nx—q—p（m+nW0）.

【答案】（1）3/—2/一1=0,二次項系數(shù)為3,一次項系數(shù)為一2,常數(shù)項為一1

（2）3/—力=0,二次項系數(shù)為3,一次項系數(shù)為一1,常數(shù)項為0

（3）（m+n）/+（m—n）x+p—q=0,二次項系數(shù)為（m+n）,一次項系數(shù)為（m—n）,常數(shù)項為

（P-Q）

【詳解】（1）解：3/_1=2/

移項，得3/—2力一1=0.

二次項系數(shù)為3,一次項系數(shù)為一2,常數(shù)項為一1.

?5?

⑵力（力—2）=4a?—3N,

去括號，得a?—2/=4/2—3力；

移項、合并同類項，得—3力?+力=0,

整理，得3X2—X=0.

二次項系數(shù)為3,一次項系數(shù)為一1,常數(shù)項為0.

（3）mrc2—nx+mx+nx2=q—^（m+n^O）

移項、合并同類項，得（m+n）x2+（m—n）x+p—q=0.

二次項系數(shù)為（m+n）,一次項系數(shù)為（nz—n）,常數(shù)項為（p—q）.

19.（6分）已知等腰三角形ABC的一腰和底邊的長是關(guān)于x的方程x2-mx+^-^=0的兩個實數(shù)

根.

①772=2時，求△ABC的周長；

②當(dāng)△ABC為等邊三角形時，求小的值.

【答案】①/；②小=1

【詳解】解：①771=2時，原方程為：/2—2力+~|~=0

解方程得：21==

當(dāng)?shù)妊闲蜛BC的三邊長為：U日時，

ZZZ

..X,X/A

?2+2<2^

此種情況不成立；

/.等腰三南形ABC的三邊長為：

/.ZVIBC的周長=/+|~+'=；

②???△ABC為等邊三角形，

關(guān)于X的方程/—7712；+號—+=°有兩個相等是實數(shù)根，

A=（-771）2—4X（卷—十）=0

解得:m=1

20.（6分）“城是濟南城，湖是大明湖，樓是超然樓”是網(wǎng)友為超然樓寫的廣告詞.隨旅游旺季的到來，大

明湖超然樓景區(qū)的游客人數(shù)逐月增加，4月份游客人數(shù)約為16萬人次，6月份游客人數(shù)約為25萬人

次.

（1）求這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率；

（2）若增長率保持不變,請求出7月份的游客人數(shù).

【答案】（1）25%

（2）31.25萬人

【詳解】（1）解:設(shè)月平均增長率為T

由題意可得163+1）2=25

解得g=0.25,電=-2.25（不合題意，舍去）

-6-

答:這兩個月平均增長率為25%.

（2）25x（1+25%）=31.25（萬人）

答：7月份的游客人數(shù)為31.25萬人.

21.（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+bx—3=0.

（1）求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）若方程有一個根是1,求方程的另一個根和b的值分別是多少？

【答案】（1）見解析

⑵b=2,另一個根為x=-3

【詳解】（1）解：A=b2—4ac=b2—4xl義（-3）=/+12,

?/

/.A=62+12>12>0,

/.方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）設(shè)方程的另一個根為力，則

1-x=—=—3,解得x=—3,

a

故該方程的另一個根為x=—3,

1+（-3）=-1,

：.b=2.

22.（10分）已知關(guān)于力的一元二次方程力2一2①—1）/+1+3=0,

⑴若該方程有一個根是一2,求力的值.

（2）若該方程有兩個實數(shù)根,求k的取值范圍.

（3）若該方程的兩個實數(shù)根判以2滿足（?—1）（g—1）=14,求k的值.

【答案】⑴力=—3或k=—1

（2）fc<-l

（3）fc=—2

【詳解】⑴解:把力=—2代入方程得：（一2）2—2（k—1）?（-2）+1+3=0,

解得:k=—3或k=—1;

（2）由題意，得：△=[—2（fc—1）]2—4（后+3）>0,

解得：1;

（3）由題意，得:Ci+g=2（k—1）,力162=/+3,

（61-1）（力2—1）=/1/2—（61+力2）+1

=昭+3—2（fc—1）+1

=昭—2k+6

=14,

解得：k=—2或k=4（不合題意,舍去）

k=—2.

23.（10分）近年來，電商平臺直播帶貨成了一個火熱的新興職業(yè)，某主播帶貨圖書《蘇東坡傳》，他用雙語

直播，風(fēng)趣幽默，點燃了不同年齡者的讀書熱情.已知這本書的成本價為10元，規(guī)定銷售單價不低

于成本價，且不高于成本價的3倍，通過前幾天的銷售發(fā)現(xiàn)，該書每天的銷售量g（本）與銷售單價

?7?

M元/本）之間近似滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分對應(yīng)數(shù)據(jù)如表:

2（元/本）1525

夕（本）600400

（1）直接寫出夕關(guān)于力的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若銷售該書每天的利潤為5000元,求該書的銷售單價;

（3）銷售該書每天的利潤能否達到8000元？請說明理由.

【答案】（1）夕=-20x+900（10<T<30）

⑵20元

⑶銷售該書每天的利潤不能達到8000元，理由見解析

【詳解】（1）解:設(shè)u關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（k￥0）,

根據(jù)題意得:愣二嫖二

解得:ko'

?.?規(guī)定銷售單價不低于成本價，且不高于成本價的3倍，

10W①W30,

/.y關(guān)于立的函數(shù)關(guān)系式為y=—20①+900（10WrcW30）;

⑵解:根據(jù)題意得：3—10）沙=5000,即，3—10）（—20比+900）=5000,

整理得：Q-20）（/一35）=0,

解得:曲=20,*2=35（舍）,

答:該書的銷售單價為20元；

⑶解：根據(jù)題意得：（/一10）4=8000,即，（1-10）（-202+900）=8000,

整理得：/—55刀+850=0,

vA=b2-4ac=（-55）2-4xlx850=-375<0,

原方程無解，

/.銷售該書每天的利潤不能達到8000元.

24.（12分）“新定義”問題就是給出一個從未接觸過的新規(guī)定,要求現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，更多的考查閱讀理解能力、

應(yīng)變能力和創(chuàng)新能力.

定義:方程c/2+就+a=0是一元二次方程g匕就+。=0的倒方程，其中a、b、c均不為0.