2022-2023學年九年級數(shù)學中考復習 幾何圖形中的數(shù)形結合思想 解答題專題訓練

2022-2023學年九年級數(shù)學中考復習《幾何圖形中的數(shù)形結合思想》解答題專題訓練（附答案）1．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm．若點P從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿折線A﹣C﹣B向點B運動，設運動時間為t秒（t＞0）．（1）在AC上是否存在點P，使得PA＝PB？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．（2）若點P在運動的過程中，與三角形另一頂點的連線恰好平分△ABC的面積，求出t的值．（3）若點P恰好在△ABC的角平分線上（頂點除外），請直接寫出t的值.2．如圖，D，E分別是銳角△ABC的邊AC，BC上的點，P是與△ABC在同一平面內的一動點，且與點D，點E不在同一直線上，令∠CDP＝∠1，∠BEP＝∠2．（1）如圖1，當P是△ABC的邊AB上的一點時，已知∠C＝60°，∠1＝110°，∠2＝65°，求∠DPE的度數(shù)．（2）當P是△ABC內一點時，直接寫出∠1，∠2，∠C和∠DPE之間的數(shù)量關系．（3）如圖2，當P是AB的延長線上一點時，探索∠1，∠2，∠C和∠DPE之間的數(shù)量關系并加以證明．3．如圖，點O是等邊△ABC內一點，∠AOB＝100°，∠BOC＝α．以OC為邊作等邊△OCD，連接AD．（1）求證：△BOC≌△ADC；（2）當α＝150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；（3）探究：當α為多少度時，△AOD是等腰三角形？4．如圖，在平面直角坐標系中，已知A（﹣2，2），B（2，0），C（3，3），P（a，b）是△ABC的邊AC上的一點，△ABC經(jīng)過平移后得到△DEF，A，B，C的對應點分別為D，E，F(xiàn)，點P的對應點為P'（a﹣2，b﹣4）．（1）寫出D，E，F(xiàn)三點的坐標．（2）在圖中畫出△DEF．（3）△DEF的面積為．5．如圖1是實驗室中的一種擺動裝置，BC在地面上，支架ABC是底邊長為BC的等腰直角三角形，擺動臂AD可繞點A旋轉，同時擺動臂DM可以繞點D旋轉，已知∠BAC＝90°，BC＝16，AD＝6，DM＝2．（1）直接寫出AB的長；（2）在旋轉過程中，當以A，D，M為頂點的三角形為直角三角形時，直接寫出AM的長；（3）如圖2，把擺動臂AD順時針旋轉90°至AE，連接DE，EC．①當∠AEC＝135°，CE＝7時，求BE的長．②當B，D，E三點在同一直線上時，直接寫出BE的長．6．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，點P從點A出發(fā)沿AB以1cm/s的速度向點B移動；同時，點Q從點B出發(fā)沿BC以2cm/s的速度向點C移動．當點P與點B重合時兩點都停止移動，時間為t．（1）如圖1，若PQ＝4時，求時間t的值：（2）如圖2，連接AC，作BG⊥AC，垂足為點G，作△PBQ的外接圓⊙O．①判斷點G與⊙O的位置關系，并說明理由．②連接GP、GQ，若△PGQ的面積等于9，求t的值．7．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點E，AD＝CD，∠DAC＝∠ABD＝45°，AG平分∠CAB，交DB于點G．（1）如圖①，求證：DA＝DG；（2）如圖①，求證：AC2＝2DE?DB；（3）如圖②，過點C作CF⊥AG，垂足為F，若∠ABC＝90°，，求的值．8．（1）證明推斷如圖1，在正方形ABCD中，點E是對角線BD上一點，過點E作AE，BD的垂線，分別交直線BC于點F、G．推斷：AE與EF的數(shù)量關系為；（直接寫出答案）（2）類比探究如圖2，在矩形ABCD中，＝m，點E是對角線BD上一點，過點E作AE，BD的垂線分別交直線BC于點F，G．探究的值（用含m的式子表示），并寫出探究過程；（3）拓展運用在（2）的條件下，連接CE，當m＝，CE＝CD時，若CG＝1，求EF的長．9．閱讀理解：如圖1，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E（點E不與AB重合），分別連接ED、EC，可以把四邊形ABCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“相似點”；如果這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“強相似點”．解決問題：（1）如圖1，∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，試判斷點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點，并說明理由；（2）如圖2，在矩形ABCD中，A、B、C、D四點均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1）的格點（即每個小正方形的頂點）上，試在圖2中畫出矩形ABCD的邊AB上的強相似點；（3）如圖3，將矩形ABCD沿CM折疊，使點D落在AB邊上的點E處，若點E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點，請求出AB：BC的值．10．（1）如圖1，O是等邊△ABC內一點，連接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，將△BAO繞點B順時針旋轉后得到△BCD，連接OD．求：①線段OD的長；②求∠BDC的度數(shù)．（2）如圖2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）內一點，連接OA、OB、OC，將△BAO繞點B順時針旋轉后得到△BCD，連接OD．當OA、OB、OC滿足什么條件時，∠ODC＝90°？請給出證明．11．定義：一般地，如果兩個相似多邊形任意一組對應頂點P，P'所在的直線都經(jīng)過同一點O，且有OP'＝k?OP（k≠0），那么這樣的兩個多邊形叫做位似多邊形，點O叫做位似中心，（1）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6cm．點P在AB上，點Q在AC上，以PQ為邊作菱形PQMN，點N在線段PB上且∠APQ＝120°，在△ABC及其內部，以點A為位似中心，請畫出菱形PQMN的位似菱形P'Q'M'N'，且使菱形P'Q'M'N'的面積最大（不要求尺規(guī)作圖）；（2）求（1）中作出的菱形P'Q'M'N'的面積；（3）如圖，四邊形ABCD、AEFG是全等的兩個菱形，CD、EF相交于點M，連接BG、CF．請用定義證明：△ABG與△MCF位似．12．已知，如圖，在直角坐標系中，四邊形OABC是矩形，點A坐標為（4，0），點C坐標為（0，6），點E為AO的中點，F(xiàn)為AB邊上的一個動點，連接CF，EF，并以CF，EF為邊作?DEFC．（1）直接寫出?DEFC對角線CE的長；（2）當動點F運動時，點D也隨之運動，問：點D到y(tǒng)軸的距離是否為定值，若是，請求出該定值，反之，請說明理由；（3）連接AD，分別交OC，EF于點M，N，當?DEFC為矩形時，求AN的長．13．已知直線MN⊥PQ，兩條直線相交于點O，△ABC為等腰三角形，點A在射線OM上，點B在射線OP上．（1）如圖1，點C在∠MOQ內部，若∠BAC＝90°，CH⊥MN于H，證明：CH＝AO．（2）如圖2，AB＝AC，點C在射線OQ上，點E、F分別是邊BC、AB上的點，若∠AEF＝∠ACB＝2∠OAE．求證：BF＝CE；（3）如圖3，點C與點O重合時點E在∠PON內部，BE⊥AE，連接OE，求∠BEO的度數(shù)．14．探究問題：（1）方法感悟：如圖①，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點，且滿足∠EAF＝45°，連接EF，求證：DE+BF＝EF．感悟解題方法，并完成下列填空：將△ADE繞點A順時針旋轉90°得到△ABG，此時AB與AD重合，由旋轉可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠ABG+∠ABF＝90°+90°＝180°，因此，點G，B，F(xiàn)在同一條直線上．∵∠EAF＝45°∴∠2+∠3＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°．∵∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝°．即∠GAF＝∠．又AG＝AE，AF＝AF∴△GAF≌．∴＝EF，故DE+BF＝EF．（2）方法遷移：如圖②，將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC，點E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點，且．試猜想DE、BF、EF之間有何數(shù)量關系，并證明你的猜想．（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，AB＝AD，E、F分別為DC，BC上的點，滿足：，試猜想當∠B與∠D滿足什么關系時，可使得DE+BF＝EF．請直接寫出你的猜想（不必說明理由）．15．【了解概念】我們知道，折線段是由兩條不在同一直線上且有公共端點的線段組成的圖形．如圖1，線段MQ、QN組成折線段MQN．若點P在折線段MQN上，MP＝PQ+QN，則稱點P是折線段MQN的中點．【理解應用】（1）如圖2，⊙O的半徑為2，PA是⊙O的切線，A為切點，點B是折線段POA的中點．若∠APO＝30°，則PB＝；【定理證明】（2）阿基米德折弦定理：如圖3，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線段ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，點M是的中點，從M向BC作垂線，垂足為D，求證：D是折弦ABC的中點；【變式探究】（3）如圖4，若點M是的中點，【定理證明】中的其他條件不變，則CD、DB、BA之間存在怎樣的數(shù)量關系？請直接寫出結論．【靈活應用】（4）如圖5，BC是⊙O的直徑，點A為⊙O上一定點，點D為⊙O上一動點，且滿足∠DAB＝45°，若AB＝8，BC＝10，則AD＝．16．如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB為直徑，連結AC、BD交于點E，弦CF⊥BD于點G，連結AG，且滿足∠1＝∠2．（1）求證：四邊形AGCD為平行四邊形．（2）設tanF＝x，tan∠3＝y(tǒng)．①求y關于x的函數(shù)表達式．②已知⊙O的直徑為2，y＝，點H是邊CF上一動點，若AF恰好與△DHE的某一邊平行時，求CH的長．③連結OG，若OG平分∠DGF，則x的值為．17．已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，點D為直線BC上的一個動點（點D不與點B重合），連接AD，以AD為一邊構造Rt△ADE，使∠DAE＝90°，連接CE．（1）如圖1，當＝＝1時，直接寫出線段BD與線段CE的數(shù)量關系與位置關系：①數(shù)量關系：；②位置關系：；（2）如圖2，當＝＝2時，請猜想線段BD與線段CE的數(shù)量關系與位置關系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接BE，分別取線段BE，DE的中點M，N，連接MN，CM，CN，若AB＝2，∠ADB＝45°，請直接寫出△CMN的面積．18．如圖，在8×6的長方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，小正方形的每一個頂點叫做格點．△ABC的頂點都在格點上．（1）直接寫出△ABC的面積＝；（2）諸僅用無刻度直尺完成下列畫圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡：①請在圖1中畫出△ABC的高BH；②請在圖1中在線段BC上找一點D，使∠DAC＝45°．③在圖2中畫出所有滿足條件△ABC的面積＝△ACE的面積的格點E．19．[課本再現(xiàn)]（1）我們知道，平移、軸對稱和旋轉都屬于全等變換，如圖1，是4×4正方形網(wǎng)格，A，D，C均是格點，B，E分別在CD和AC上，∠ACB＝90°，△ABC≌△DEC，請你判斷△ABC是通過怎樣的變換得到△DEC的？填：．[深入探究]（2）在圖1中，AB與網(wǎng)格線的交點用F表示，連接CF，如圖2，探究CF與DE的關系；[柘展延伸]（3）將圖2中的點B，E繞著點C同時旋轉得到點B′，E′，連接AB′，DE′，作AB′的中點F'，連接CF′，如圖3，猜想CF′與DE′的關系，并進行證明．20．【問題初探】如圖（1），△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D是BC上一點，連接AD，以AD為一邊作△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，連接BE，BE與CD的數(shù)量關系，位置關系．【類比再探】如圖（2），△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點M是AB上一點，點D是BC上一點，連接MD，以MD為一邊作△MDE，使∠DME＝90°，MD＝ME，連接BE，求∠EBD的度數(shù)．【方法遷移】如圖（3），Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝6，點M是AB中點．點D是BC上一點且BD＝1，連接MD，以MD為一邊作△MDE，使∠DME＝90°，MD＝，連接BE，求BE的長．

參考答案20．（1）解：由折疊可知∠BAE＝∠EAC，∠DAF＝∠FAC，∵∠BAD＝90°，∴∠EAF＝45°，∵∠BAC＝∠CAD＝45°，∴∠BAE＝∠CAF＝22.5°，∵AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AE＝AF，∴△AEF是等腰三角形，∵DF＝BE，BC＝CD，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形，故答案為：45°，△AEF，△CEF；（2）解：延長CB到G，使BG＝DQ，連接AG，∵∠ABG＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△ABG≌△ADQ（SAS），∴AG＝AQ，∠DAQ＝∠GAB，∵∠PAQ＝45°，∴∠GAP＝45°，∵AG＝AQ，∠PAQ＝∠GAP，AP＝AP，∴△GAP≌△QAP（SAS），∴PQ＝GP，∵GP＝GB+BP＝DQ+BP，∴PQ＝DQ+BP，故答案為：PQ＝DQ+BP；（3）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠ACD＝∠BAC＝∠PAQ＝45°，∴∠BAP＝∠CAQ，∴△ABM∽△ACQ，∴＝，∵AC＝AB，∴＝，故答案為：；（4）證明：將△AND繞點A逆時針旋轉90°，得到△AHB，連接HM，∵∠MAN＝45°，∴∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠HAM＝45°，∵AN＝AH，∴△AHM≌△ANM（SAS），∴HM＝MN，∵∠D＝∠HBA＝45°，∠ABD＝45°，∴∠HBM＝90°，在Rt△HBM中，HM2＝HB2+BM2，∴BM2+DN2＝MN2．1．解：（1）∵AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝＝4cm，如圖1，存在點P，使得PA＝PB，理由如下：此時PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，即：（4﹣2t）2+32＝（2t）2，解得：t＝，∴當t＝時，PA＝PB；（2）當P點在線段AC上時，P點運動到AC的中點處，BP平分△ABC的面積，∵AC＝4cm，∴AP＝2cm，∴t＝1s；當P點在線段BC上時，P點運動到BC的中點處，AP平分△ABC的面積，∵AC+CP＝4+＝cm，∴t＝s；綜上所述：t的值為1s或s；（3）當點P在點C或點B處時，一定在△ABC的角平分線上，此時t＝2或t＝3.5秒；當點P在∠ABC的角平分線上時，作PM⊥AB于點M，如圖2，此時AP＝2t，PC＝PM＝4﹣2t，∵△APM∽△ABC，∴AP：AB＝PM：BC，即：2t：5＝（4﹣2t）：3，解得：t＝；當點P在∠CAB的平分線上時，作PN⊥AB，如圖3，此時BP＝7﹣2t，PN＝PC＝（2t﹣4），∵△BPN∽△BAC，∴BP：BA＝PN：AC，即：（7﹣2t）：5＝（2t﹣4）：4，解得：t＝．綜上，當t＝2、3.5、、秒時，點P在△ABC的角平分線上．2．解：（1）∵∠2＝65°，∴∠CEP＝180°﹣∠2＝115°，∴∠DPE＝360°﹣∠C﹣∠1﹣∠CEP＝360°﹣60°﹣110°﹣115°＝75°；（2）∠1+∠C+∠DPE＝180°+∠2或∠DPE+∠2＝∠1+∠C+180°，理由如下：當點P位于DE下方時，∠DPE＝360°﹣∠C﹣∠1﹣∠CEP＝360°﹣∠C﹣∠1﹣（180°﹣∠2），∴∠1+∠C+∠DPE＝180°+∠2；當點P位于DE上方時，∠DPE＝360°﹣（360°﹣∠C﹣∠1﹣∠CPE）＝∠C+∠1+（180°﹣∠2）＝∠C+∠1+180°﹣∠2，∴∠DPE+∠2＝∠1+∠C+180°；（3）∠1+∠2+∠C+∠DPE＝180°，理由如下：設DP與BC交于點Q，∴∠CQD＝∠2+∠DPE，∵∠1+∠C+∠CQD＝180°，∴∠1+∠C+∠2+∠DPE＝180°，∴∠1+∠2+∠C+∠DPE＝180°．3．（1）證明：∵△ABC和△ODC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠CAB＝∠ODC＝∠DOC＝60°，BC＝AC，CO＝CD，∠ACB＝∠DCO＝60°，∴∠ACB﹣∠ACO＝∠DCO﹣∠ACO，∴∠ACD＝∠BCO，在△BOC和△ADC中，，∴△BOC≌△ADC（SAS）；（2）解：△ADO是直角三角形，理由如下：理由如下：∵△BOC≌△ADC，∴∠BOC＝∠ADC，∵∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°，∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°，∴△ADO是直角三角形；（3）解：∵∠COB＝∠CDA＝α，∠AOD＝200°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，∵∠ADO+∠DAC＝∠DOC+∠ACO，∴∠CAD＝120°﹣∠α+∠ACO，∵∠OAC＝180°﹣∠AOC﹣∠ACO＝180°﹣（60°+200°﹣α）﹣∠ACO＝α﹣80°﹣∠ACO，∴∠OAC+∠CAD＝40°，即∠OAD＝40°，①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，∴200°﹣α＝α﹣60°，∴α＝130°；②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO，∴α﹣60°＝40°，∴α＝100°；③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD，∴200°﹣α＝40°，∴α＝160°．∴當α為130°、100°、160°時，△AOD是等腰三角形．4．解：（1）∵P為AC上的點，P平移后P?（a﹣2，b﹣4）表示向左平移2個單位，再向下平移4個單位．∴A（﹣2，2）對應點D（﹣4，﹣2）；B（2，0）對應點E（0，﹣4）；C（3，3）對應點F（1，﹣1）．∴D（﹣4，﹣2），E（0，﹣4），F(xiàn)（1，﹣1）；（2）如圖，△DEF即為所求；（3）如圖所示，將D，E，F(xiàn)連線即可．三角形DEF的面積為：3×5﹣×1×5﹣×2×4﹣×1×3＝15﹣﹣4﹣＝7．故答案為：7．5．解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴BC2＝2AB2，∵BC＝16，∴AB＝，故答案為：8；（2）當∠ADM＝90°時，∵AD＝6，DM＝2，∴AM＝＝2；當∠AMD＝90°時，AM＝＝4；綜上所述：AM的長為2或4，故答案為：2或4；（3）①連接CD，∵AE＝AD，∠CAD＝90°﹣∠EAC＝∠BAE，AC＝AB，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∵AE＝AD，∠EAD＝90°，∴∠AED＝45°，∵∠AEC＝135°，∴∠CED＝90°，∵AD＝AE＝6，∴ED＝6，∵CE＝7，∴CD＝＝11，∴BE＝11；②連接EC，CD，由①可知△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∠AEB＝∠ADC，∵∠AED＝45°，∴∠AEB＝∠ADC＝135°，∵∠ADE＝45°，∴∠CDE＝90°，∵BE＝CD，∴BD＝6+CD，在Rt△BCD中，BC2＝BD2+CD2，∴256＝（6+CD）2+CD2，解得CD＝或CD＝，∴BE的長為或，故答案為：或．6．解：（1）∵AB＝6cm，BC＝12cm，∴BP＝6﹣t，BQ＝2t，∵PQ＝4，∴4＝，解得t＝2或t＝；（2）①以B點為原點，BC所在是直線為x軸，AB所在的直線為y軸建立直角坐標系，過點G作GE⊥AB交于點E，過點G作GF⊥BC交于點F，∵AB＝6，BC＝12，∴AC＝6，∴sin∠ACB＝＝，∵∠ABG+∠GBC＝∠GBC+∠ACB＝90°，∴∠GBE＝∠ACB，∴＝，∵S△ABC＝×6×12＝6×BG，解得BG＝，∴EG＝，EB＝，∴G（，），∵⊙O是△PBQ的外接圓，∠PBQ＝90°，∴PQ的中點為圓O的圓心，∵P（0，6﹣t），Q（2t，0），∴O（t，3﹣t），PQ＝，∵GO＝，∴GO＝PQ，∴G點在圓O上；②∵S△PBQ＝×2t×（6﹣t）＝t（6﹣t），S△BPG＝×（6﹣t）×＝（6﹣t），S△BGQ＝2t×＝t，∴S△PQG＝S△BPG+S△BGQ﹣S△PBQ＝（6﹣t）+t﹣t（6﹣t），∵△PGQ的面積等于9，∴（6﹣t）+t﹣t（6﹣t）＝9，解得t＝3或t＝﹣（舍）．7．（1）證明：∵AG平分∠CAB，∴∠EAG＝∠BAG，∵∠DAC＝∠ABD＝45°，∴∠DAG＝45°+∠EAG，∠AGE＝45°+∠BAG，∴∠DAG＝∠AGE，∴DA＝DG；（2）證明：∵AD＝CD，∠DAC＝45°，∴∠DCA＝45°，∴∠ADC＝90°，∴AC2＝2AD2，∵∠DAE＝∠ABD，∴△DAE∽△DBA，∴＝，∴AD2＝DE?DB，∴AC2＝2DE?DB；（3）解：連接CG，∵CF⊥AG，∴∠F＝90°，∵AG平分∠CAB，∴∠BAF＝∠CAF，∴△ABH∽△AFC，∴＝，設BH＝3m，，則CF＝2m，∵AD＝CD＝AB，∴∠DAG＝∠AGD，∠DGC＝∠DCG，∵∠ADC+2∠DGA+∠2∠DGC＝360°，∴∠DGA+∠DGC＝135°，∴∠CGF＝45°，∴GF＝2m，∴CG＝2m，∵∠ABD＝∠CGH＝45°，∠ABC＝90°，∴∠GBC＝45°，∴△CGH∽△CBG，∴＝，即＝，解得CH＝5m，∴＝，故答案為：．8．解：（1）∵AE⊥EF，EG⊥BD，∴∠AEF＝∠BEG＝90°，∴∠AEB＝∠FEG，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABE＝∠EBG＝45°，∴△BEG是等腰直角三角形，∴∠G＝45°，BE＝EG，∴△ABE≌△FEG（ASA），∴AE＝EF，故答案為：AE＝EF；（2）∵AE⊥EF，EG⊥BD，∴∠AEF＝∠BEG＝90°，∴∠AEB＝∠FEG，∵∠EBG+∠EGB＝∠ABE+∠EBG＝90°，∴∠ABE＝∠EGB，∴△AEB∽△FEG，∴＝，∵∠DBC+∠BDC＝∠EBG+∠EGB＝90°，∴∠EGB＝∠BDC，∴△BEG∽△BCD，∴＝，∵＝m，∴＝m，∴＝m；（3）過點E作EQ⊥AB交于Q點，過點C作CP⊥BD交于P點，∵m＝，∴BC＝2CD，AE＝2EF，設CD＝x，則BC＝2x，BD＝x，∵S△BCD＝BC×CD＝BD×CP，∴CP＝x，∴DP＝x，∵CE＝CD，∴EP＝PD＝x，∴BE＝x，BP＝x，∵EG⊥BD，CP⊥BD，∴EG∥CP，∴＝，即＝，解得BG＝3，∴BC＝4＝2x，∴x＝2，∴BE＝，CP＝，∵S△BCE＝BE×CP＝BC×BQ，∴BQ＝，∴AQ＝，QE＝＝，∴AE＝＝，∴EF＝．9．解：（1）∵∠A＝∠DEC＝45°∴∠ADE+∠AED＝135°，∠BEC+∠AED＝135°，∴∠ADE＝∠BEC，又∵∠A＝∠B，∴△ADE∽△BEC，∴點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點；（2）如圖中所示的點E和點F為AB上的強相似點；（3）∵點E是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴∠BCE＝∠ECM＝∠AEM，由折疊可知：△ECM≌△DCM，∴∠ECM＝∠DCM，CE＝CD，∴∠BCE＝∠BCD＝30°，CE＝AB，在Rt△BCE中，cos∠BCE＝，∴＝，∴＝，∴BC＝AB，∴AB：BC＝2：．10．解：（1）①由旋轉可知△ABO≌△CBD，∴BO＝BD，∠ABO＝∠CBD，∵△ABC是等邊三角形，∴∠OBD＝∠ABC＝60°，∴△BOD是等邊三角形，∴∠BDO＝60°，∴OD＝BO，∵OB＝4，∴OD＝4，故答案為：4；②∵OA＝3，OB＝4，∴OD＝BO＝4，CD＝AO＝3，在△ODC中，OD＝4，CD＝3，CO＝5，∵CO2＝DO2+CD2，∴∠ODC＝90°，∴∠BDC＝150°；（2）由旋轉可得△ABO≌△CBD，∴BO＝BD，CD＝AO，∠ABO＝∠CBD，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠OBD＝90°，∴△BDO是等腰直角三角形，∴OD＝BO，∵∠ODC＝90°，∴OC2＝OD2+CD2，∴OC2＝2OB2+AO2．11．解：（1）如圖：（2）∵四邊形P'Q'M'N'在△ABC內，∴當M'點在BC上時，菱形P'Q'M'N'的面積最大，∵四邊形PQMN是菱形，四邊形P'Q'M'N'是菱形，∴Q'M'∥AB，M'N'∥PQ，∵∠APQ＝120°，∴∠QPB＝∠M'N'B＝60°，∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∴△BM'N'是等邊三角形，∴M'B＝M'N'＝Q'M'，∵AB＝6cm，∴BC＝3cm，∴CM'＝3﹣BM'，在Rt△CM'Q'中，∠CQ'M'＝30°，∴Q'M'＝2CM'，∴BM'＝2（3﹣BM'），解得BM'＝2，在△BM'N'中，過點M'作M'E⊥BN'交于點E，∵BM'＝2，∠B＝60°，∴M'E＝，∴菱形P'Q'M'N'的面積＝2；（3）延長GF、BC交于O點，連接AO，∵四邊形ABCD、AEFG是全等的兩個菱形，∴AG＝AB，∠AGF＝∠ABC，∴∠OGB＝∠OBG，∴OG＝BO，∵GF＝BC，∴OF＝OC，∴＝，連接OM，∵∠GFE＝∠BCD，∴∠MFO＝∠MCO，∵∠OFC＝∠FCO，∴∠MCF＝∠FCM，∴CM＝FM，∴△MOF≌△MOC（SAS），∴∠FOM＝∠COM，∵AG＝AB，∠AGO＝∠ABO，GO＝BO，∴△AGO≌△ABO（SAS），∴∠FOA＝∠BOA，∴MO與AO重合，∴A、M、O三點共線，∴GF、BC、AM的延長線交于一點O，∴MF∥AG，∴＝，∵CM∥AB，∴＝，∴＝＝，∴△ABG與△MCF位似．12．解：（1）∵點A坐標為（4，0），點E為AO的中點，∴E（2，0），∵點C坐標為（0，6），∴CE＝2；（2）點D到y(tǒng)軸的距離是定值，理由如下：過點D作DG⊥OC交于點G，∵AF⊥OA，CO⊥OA，∴CG∥AF，∵DG⊥OC，EA⊥OC，∴DG∥EA，∴∠DCG＝∠EAF，∵四邊形DEFC是平行四邊形，∴DC＝EF，∴△DCG≌△EFA（AAS），∴DG＝EA＝2，∴點D到y(tǒng)軸的距離是定值2；（3）∵?DEFC為矩形，∴∠DEF＝90°，∴∠HEO+∠FEA＝90°，∵∠HEO+∠OHE＝90°，∴∠FEA＝∠OHE，∴△HEO∽△EFA，∴＝，∵OE＝AE＝2，∴OH?AF＝4，設OH＝t，則AF＝，由（2）知，△DCG≌△EFA（AAS），∴CG＝AF＝，DG＝OE＝2，∵DG＝OE，∠DHG＝∠OHE，∠DGH＝∠HOE，∴△DGH≌△EOH（AAS），∴HG＝OH＝t，∴2t+＝6，解得t＝2或t＝1，當t＝1時，AF＝4，∴F（4，4），D（﹣2，2），設直線EF的解析式為y＝kx+b，，解得，∴直線EF的解析式為y＝2x﹣4，設直線AD的解析式為y＝k'x+b'，∴，解得，∴y＝﹣x+，聯(lián)立方程組，解得，∴N（，），∴AN＝；當t＝2時，F(xiàn)（4，2），D（﹣2，4），同理可求直線EF的解析式為y＝x﹣2，直線AD的解析式為y＝﹣x+，聯(lián)立方程組，解得，∴N（，），∴AN＝；綜上所述：AN的長為或．13．（1）證明：∵∠BAC＝90°，∴∠HAC+∠BAO＝90°，∵MN⊥PQ，∴∠AOB＝90°，∴∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠HAC＝∠ABO，∵AC＝AB，∴△ABO≌△CAH（AAS），∴CH＝AO；（2）證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠AEF＝∠ACB＝2∠OAE，∴∠AEF＝∠ABE，∵∠AEC＝∠ABE+∠FAE，∠BFE＝∠FAE+∠AEF，∴∠AEC＝∠BFE，設∠OAE＝α，則∠AEF＝∠FBE＝2α，∴∠FEB＝90°﹣3α，∠BAC＝180°﹣4α，∵AB＝AC，AO⊥BC，∴∠FAO＝90°﹣2α，∴∠FAE＝90°﹣α，∵∠FBE＝2α+90°﹣3α＝90°﹣α，∴AF＝AE，∴△AEC≌△EFB（AAS），∴BF＝CE；（3）解：過點O作OG⊥AE交于點G，過點O作OH⊥BE交于BE的延長線于點H，∵AO＝BO，∠AOB＝90°，∴∠ABO＝45°，∵AE⊥BE，∴∠BEA＝90°，∵∠BFE＝∠AFO，∠BEA＝∠AOF＝90°，∴∠FBE＝∠GAO，∴△AGO≌△BHO（AAS），∴GO＝OH，∴EO是∠GEH的角平分線，∴∠GEO＝∠OEH＝45°，∴∠BEO＝90°+45°＝135°．14．解：（1）將△ADE繞點A順時針旋轉90°得到△ABG，此時AB與AD重合，由旋轉可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠ABG+∠ABF＝90°+90°＝180°，因此，點G，B，F(xiàn)在同一條直線上，∵∠EAF＝45°，∴∠2+∠3＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，∵∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝45°，即∠GAF＝∠EAF，又AG＝AE，AF＝AF，∴△GAF≌△EAF（SAS），∴GF＝EF，故DE+BF＝EF；故答案為：EAF，△EAF，GF．（2）EF＝DE+BF，理由如下：如圖②，將△ADE繞點A順時針旋轉90°得到△ABH，由旋轉可得，AH＝AE，BH＝DE，∠1＝∠2，∵∠EAF＝∠DAB，∴∠HAF＝∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠BAD，∴∠HAF＝∠EAF，∵∠ABH+∠ABF＝∠D+∠ABF＝90°+90°＝180°，∴點H、B、F三點共線，在△AEF和△AHF中，，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴EF＝HF，∵HF＝BH+BF，∴EF＝DE+BF．（3）當∠B與∠D滿足∠B+∠D＝180°時，可使得DE+BF＝EF，延長CB在上截取BG＝DE，連接AG，∵∠ABF+∠ABG＝180°，∠ABF+∠D＝180°，∴∠ABG＝∠D，∵AB＝AD，DE＝GB，∴△ABG≌△ADE（SAS），∴AG＝AE，∠DAE＝∠GAB，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠EAF，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∴EF＝DE+BF．15．（1）解：∵PA是⊙O的切線，A為切點，∴PA⊥AO，∴∠PAO＝90°，∵∠APO＝30°，AO＝2，∴PO＝4，∴PO+AO＝6，∵B是折線段POA的中點，∴PB＝3，故答案為：3；（2）證明：在BC上截取CG＝AB，連接MC、MG、MB、MA，∵點M是的中點，∴MA＝MC，∵∠A＝∠C，∴△MAB≌△MCG（SAS），∴MB＝MG，∵MD⊥BC，∴BD＝DG，∴AB+BD＝CG+DG＝CD，∴D是折弦ABC的中點；（3）解：BD＝AB+CD，理由如下：在BD上截取BG＝AB，連接MC、MA、MB、MG，∵點M是的中點，∴AM＝CM，∵∠ABM＝∠MBG，∴△MAB≌△MGB（SAS），∴MA＝MG，∴MC＝MG，∵DM⊥BC，∴CD＝DG，∴AB+CD＝BG+DG＝BD；（4）解：∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°，∵AB＝8，BC＝10，∴AC＝6，當D點在上時，如圖5，∵∠DAB＝45°，∴∠DAB＝∠DAC＝45°，過D點作DG⊥AB交于點G，∴BG+AC＝AG，∴AG＝×（6+8）＝7，∴AD＝7；當D點在上時，如圖6，∠BAD＝45°，過點D作DH⊥AB交于H點，∵AH+AC＝AB，∴AH＝（8﹣6）＝1，∴AD＝；綜上所述：AD的長為7或，故答案為：7或．16．（1）證明：∵AB為直徑，CF⊥BD，∴∠ADB＝∠DGC＝90°，∴AD∥CG，∴∠1＝∠2＝∠ACD，∴AG∥CD，∴四邊形AGCD為平行四邊形；（2）解：①過點A作AP⊥CF交于P，則四邊形ADGP是矩形，∵四邊形AGCD是平行四邊形，∴AD∥CF，AD＝CG，DE＝EG，∠DAC＝∠ACF，∴AF＝CD，AP＝DG，∴Rt△APF≌Rt△DGC（HL），∴CG＝GP＝PF＝AD，設CG＝a，DE＝b，則FG＝2a，GD＝2b，∵BG?DG＝CG?GF，∴BG＝，在Rt△BGC中，tan∠3＝y(tǒng)＝＝，在Rt△APF中，tanF＝x＝＝，∴x＝2y，∴y＝x；②由①知y＝，∵y＝，∴b＝a，∴GD＝2b＝a，GB＝a，∴BD＝DG+BG＝a，∵AB＝2，∴a2+（a）2＝（2）2，解得a＝，如圖2，當DH∥AF時，∵AD∥FH，∴四邊形ADHF是平行四邊形，∴AD＝FH＝a，∴CH＝2a＝；如圖3，當EH∥AF時，∵四邊形AGCD是平行四邊形，∴AE＝EC，∴H是CF的中點，∵CF＝3a＝，∴CH＝；綜上所述：CH的長為或；③如圖4，過點O作OM⊥CF交于M，過點O作ON⊥BD交于N，∵OG平分∠DGF，∴OM＝ON，∴BD＝CF，∴3a＝2b+，整理得，a2﹣3ab+2b2＝0，解得a＝b或a＝2b，∵x＝，∴x＝2或x＝1，故答案為：2或1．17．解：（1）①∵＝＝1，∴AC＝AB，AE＝AD，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，故答案為：BD＝CE；②由①可知△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ECA，∵∠ABD+∠ACB＝90°，∴∠ECA+∠ACB＝90°，∴∠CEB＝90°，∴CE⊥BD，故答案為：CE⊥BD；（2）EC＝2BD，CE⊥BD，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ECA，∵＝＝2，∴△BAD∽△CAE，∴＝2，∴EC＝2BD，∵∠ABD+∠ACB＝90°，∴∠ECA+∠ACB＝9