浙江省名校協(xié)作體2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024學(xué)年第一學(xué)期浙江省名校協(xié)作體試題高三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科考生須知：1．本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘：2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫學(xué)校、班級(jí)、姓名、試場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)；3．所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無(wú)效；4．考試結(jié)束后，只需上交答題卷選擇題部分一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】先求出集合，再求出.【詳解】由，則，故選：B.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，由，根據(jù)復(fù)數(shù)相等求出，再利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求出.【詳解】設(shè)，則，由，則，化簡(jiǎn)得，則，解得，則，所以.故選：C.3.已知等比數(shù)列的前2項(xiàng)和為12，，則公比的值為（）A. B.2 C. D.3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程組，解之即可求解.【詳解】由題意知，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，即，解得，.所以.故選：A4.已知平面向量滿足：，且在上的投影向量為，則向量與向量的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由投影向量的定義可得，再由向量的夾角公式，代入計(jì)算，即可求解.【詳解】因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛?，即，所以，又，，所以，且，則.故選：C5.已知函數(shù)滿足,最小正周期為，函數(shù)，則將的圖象向左平移（）個(gè)單位長(zhǎng)度后可以得到的圖象A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，求得函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象變換，即可求解.【詳解】由函數(shù)的最小正周期為，可得，因?yàn)?，可得，可得，即，又，?dāng)時(shí)，可得，所以，將向左平移個(gè)單位，可得函數(shù).故選：A.6.已知圓錐的底面半徑為1，高為3，則其內(nèi)接圓柱的表面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為，高為，可得，再由圓柱的表面積公式，代入計(jì)算，即可求解.【詳解】設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為，高為，因?yàn)閳A錐的底面半徑為1，高為3，由相似三角形可得，則，則圓柱的表面積為，即所以當(dāng)時(shí)，內(nèi)接圓柱的表面積取得最大值為.故選：C7.已知是橢圓與雙曲線的公共頂點(diǎn)，是雙曲線上一點(diǎn)，直線分別交橢圓于兩點(diǎn)，若直線過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度為（）A. B.3 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)幾何關(guān)系可知直線相等，直線斜率相等，由此可得出直線的幾何關(guān)系，由此可得出的橫坐標(biāo)，代入橢圓方程即可求解．【詳解】由是橢圓與雙曲線的公共頂點(diǎn)，得，不妨設(shè)直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F1,0，設(shè)點(diǎn)，則直線的斜率分別為，，又因?yàn)?，可得，設(shè)點(diǎn)，則直線的斜率分別為，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以直線關(guān)于軸對(duì)稱，所以直線軸，又因?yàn)橹本€過(guò)橢圓右焦點(diǎn)，所以，代入橢圓方程得，所以.故選：B8.正三棱臺(tái)中，，點(diǎn)為棱中點(diǎn)，直線為平面內(nèi)的一條動(dòng)直線．記二面角的平面角為，則的最小值為（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先找到二面角的平面角的最大值，即最小，再求解出此角的余弦值．【詳解】取中點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，四邊形為等腰梯形，分別為的中點(diǎn)，則有，，，面，所以面，當(dāng)，有面，面，得，，則為二面角的平面角，由對(duì)稱性可知當(dāng)時(shí)，最大，作，，點(diǎn)為棱中點(diǎn)，則，設(shè)分別為和的中心，則，，又，解得，則棱臺(tái)的高為，則有，所以，在中，由余弦定理得.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是得到當(dāng)且時(shí)，二面角的平面角最大.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說(shuō)法正確的是（）A.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，越小，表示隨機(jī)變量分布越集中B.數(shù)據(jù)1，9，4，5，16，7，11，3的第75百分位數(shù)為9C.線性回歸分析中，若線性相關(guān)系數(shù)越大，則兩個(gè)變量線性相關(guān)性越弱D.已知隨機(jī)變量，則【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)判斷A；根據(jù)百分位數(shù)的定義判斷B；根據(jù)相關(guān)系數(shù)與相關(guān)性的關(guān)系判斷C；由二項(xiàng)分布均值的公式求，判斷D.【詳解】對(duì)于A，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，越小，即方差越小，則隨機(jī)變量分布越集中，因此A正確；對(duì)于B，將數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)椋?，3，4，5，7，9，11，16，共8個(gè)數(shù)據(jù)，由，則第75百分位數(shù)為，因此B錯(cuò)誤；對(duì)于C，線性回歸分析中，兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)越接近于1，反之越接近于0，線性相關(guān)性越弱，因此C錯(cuò)誤；對(duì)于D，隨機(jī)變量，則，因此D正確；故選：AD.10.設(shè)函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)f'x的定義域均為，且為偶函數(shù)，，則（）A. B.C D.【答案】BCD【解析】【分析】由已知條件可得導(dǎo)函數(shù)對(duì)稱性，判斷A；由已知推出導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱軸即可判斷B；結(jié)合導(dǎo)函數(shù)對(duì)稱性推出函數(shù)周期，進(jìn)而利用周期進(jìn)行求值，判斷C；根據(jù)導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，，即關(guān)于對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，為偶函數(shù)，故，即關(guān)于對(duì)稱，由關(guān)于對(duì)稱，知，故B正確；對(duì)于C，關(guān)于對(duì)稱和關(guān)于對(duì)稱可得：，故，即的周期為4，所以，故C正確；對(duì)于D，由得：，即，令得，，故，故D正確.故選：BCD11.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足記，．則（）A.是遞減數(shù)列 B.C.存在使得 D.【答案】ABD【解析】【分析】先將遞推式整理成，推得等差數(shù)列，設(shè)公差，寫出通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消法求出，由求出公差，得到；對(duì)于A,B,C項(xiàng)，通過(guò)易于判斷；對(duì)于D項(xiàng)，則需要先證，將待證式轉(zhuǎn)化成證明，利用已證不等式將進(jìn)行放縮化簡(jiǎn)即可證得.【詳解】由可得，故數(shù)列構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，即，于是，則因，代入解得，故.對(duì)于A，因，則是遞減數(shù)列，故A正確；對(duì)于B，把代入，計(jì)算即得，故B正確；對(duì)于C，由可得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，先證明.設(shè)，，則，即在上為增函數(shù)，故，即得.要證，即證：，由可得，則，故必有，即D正確故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：D項(xiàng)，構(gòu)造并將不等式化為，進(jìn)而對(duì)左側(cè)放縮證明即可.非選擇題部分三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在答題卡中的橫線上．12.的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____．【答案】3【解析】【分析】先求出展開(kāi)式中的通項(xiàng)公式，然后令的指數(shù)為0求解.【詳解】由展開(kāi)式中的通項(xiàng)公式為：，令，則，故展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為：，故答案為：3.13.已知正實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】將不等式兩端同時(shí)取對(duì)數(shù)，再分，，討論即可.【詳解】因?yàn)椋运援?dāng)時(shí)，不等式化簡(jiǎn)為，解得：，當(dāng)時(shí)，不等式顯然不成立，當(dāng)時(shí)，不等式化簡(jiǎn)為，解集為空集.綜上所述的取值范圍是.故答案為：14.將12張完全相同的卡牌分成3組，每組4張．第1組的卡牌左上角都標(biāo)1，右下角分別標(biāo)上1，2，3，4；第2組的卡牌左上角都標(biāo)2，右下角分別標(biāo)上2，3，4，5；第3組的卡牌左上角都標(biāo)3，右下角分別標(biāo)上3，4，5，6．將這12張卡牌打亂放在一起，從中隨機(jī)依次不放回選取3張，則左上角數(shù)字依次不減小且右下角數(shù)字依次構(gòu)成等差數(shù)列的概率為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，通過(guò)對(duì)公差所有可能2，-2，0，1，-1進(jìn)行討論，使用列舉法，即可求解.【詳解】為方便討論，將左上角的1，2，3改記為A,B,C，總共由取牌可能，對(duì)公差討論當(dāng)時(shí)，共10種：135

246AABC

AAC

BBC

ABB

CC

ABC

當(dāng)時(shí)，不可能；當(dāng)時(shí)，共2種：3，3，3和4，4，4；當(dāng)時(shí)，共29種，分別如下：123AAABCBBC此時(shí)有5種；234AAABC

BBC

CCBBBC

CC此時(shí)有9種；345AABC

BBC

CCBBBC

CCCCC此時(shí)有9種；456ABCCCABB

AA

此時(shí)有6種當(dāng)時(shí)6，5，4是1種543BBBC

CCCCC此時(shí)為4種；432AAAB

BB此時(shí)有3種；321AAA此時(shí)有1種.總計(jì)有50種.所以概率.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：此類題目的關(guān)鍵是抓住討論點(diǎn)，應(yīng)用列舉法處理.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15.已知在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足，；（1）求角的值；（2）若的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，利用兩角和差的余弦公式化簡(jiǎn)得，再根據(jù)題中條件利用正弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)求出，最后根據(jù)角的大小關(guān)系，確定角的值；（2）由，，借助余弦定理求出，即為等腰直角三角形，再根據(jù)的面積為，求出的值，即可得到的的周長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】由題意得：，即：，，，又，因此，因?yàn)?，因此，故為銳角，因此；【小問(wèn)2詳解】由，，則由余弦定理：，得：，因此可得：，，因此，為等腰直角三角形，又得：，因此，的周長(zhǎng)為.16.已知三棱錐滿足，且．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值，【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）應(yīng)用等腰三角形中線是高線，得出線線垂直，應(yīng)用線面垂直判定定理證明線面垂直進(jìn)而得出線線垂直；（2）法一結(jié)合線面垂直得出線面角在，再結(jié)合面積及射影面積計(jì)算；法二應(yīng)用已知條件建系，求面的法向量再應(yīng)用線面角的向量求出正弦值.【小問(wèn)1詳解】,,,即：,取中點(diǎn)，連接，則，且平面,平面,平面【小問(wèn)2詳解】解法一：由（1）知，平面平面平面作，垂足為平面平面，且平面平面中記點(diǎn)到平面的距離為與平面所成角為，則由得：因此，解法二：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系由（1）可知中，設(shè)的法向量由得：取記與平面所成角為．則.17.已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；（2）求曲線y=fx與【答案】（1）1個(gè)，理由見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理求解；（2）分別求出以上的點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程及以上的點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程，列等式求解．【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋海?，在單調(diào)遞增又，存在唯一零點(diǎn)，在之間．【小問(wèn)2詳解】，以上的點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為以上的點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為：令則，得，即．設(shè)，函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，的解為，又．和存在唯一一條公切線為．18.如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作一條不經(jīng)過(guò)的直線，若直線與拋物線交于異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸下方，且在線段上．（1）試判斷：直線的斜率之積是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）過(guò)點(diǎn)作的垂線交直線于點(diǎn)，若的面積為4，求點(diǎn)的坐標(biāo)，【答案】（1）為定值，1（2）與【解析】【分析】（1）易知直線與的斜率均存在，設(shè)，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理和兩點(diǎn)表示斜率公式計(jì)算可得，即可下結(jié)論；（2）設(shè)，則，聯(lián)立方程，求出點(diǎn)M坐標(biāo)，同理解出C的坐標(biāo)，則為的中點(diǎn)，進(jìn)而，建立關(guān)于t的方程，解之即可求解.【小問(wèn)1詳解】若的斜率不存在，則點(diǎn)不存在或與原點(diǎn)重合；若的斜率不存在，則點(diǎn)A與原點(diǎn)重合，因此，直線與的斜率均存在，設(shè)直線，代入拋物線方程得：，設(shè)則，，，所以直線的斜率之積為定值1.【小問(wèn)2詳解】由題意可知，的斜率為，方程為，設(shè)點(diǎn)，所以直線，解方程組，得，因此直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，因，由（1）得，所以直線，解方程組，得，得，所以為的中點(diǎn)，從而，，所以因?yàn)?，解得或，因此，所求的點(diǎn)的坐標(biāo)為與．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定點(diǎn)、定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定點(diǎn)（值），再證明這個(gè)點(diǎn)（值）與變量無(wú)關(guān)．（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定點(diǎn)（值）．19.對(duì)于一個(gè)四元整數(shù)集，如果它能劃分成兩個(gè)不相交的二元子集和，滿足，則稱這個(gè)四元整數(shù)集為“有趣的”．（1）寫出集合的一個(gè)“有趣的”四元子集：（2）證明：集合不能劃分成兩個(gè)不相交的“有趣的”四元子集：（3）證明：對(duì)任意正整數(shù)，集合不能劃分成個(gè)兩兩不相交的“有趣的”四元子集．【答案】（1）（符合要求即可）（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)四元整數(shù)集定義寫出即可；（2）假設(shè)可以劃分成兩個(gè)不相交的“有趣的”四元子集，再根據(jù)每個(gè)子集中均有兩個(gè)偶數(shù)證明不成立即可；（3）假設(shè)可以劃分為個(gè)兩兩不相交的“有趣的”四元子集，再根據(jù)每個(gè)子集中均有兩個(gè)偶數(shù)證明不成立即可.【小問(wèn)1詳解】（符合要求即可）：