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文檔簡介
試卷類型:A卷
晉城市2024年高三第三次模擬考試試題
數(shù)學(xué)
注意事項:
1.答題前,考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。
2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂
黑。如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在
答題卡上。寫在本試卷上無效。
3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。
4.本試卷主要考試內(nèi)容:高考全部內(nèi)容。
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合
題目要求的
1.已知復(fù)數(shù)z輸足2—zi=l+i,則z=
A.-1-iB.l-iC.l+iD.-l+i
2.已知集合A=(a:eZ|H+l>0},B={H|Z&Z},若AflB中有2個元素,則a的取值范圍是
A.[2,4)B.[l,2)C.[2,4]
3.某學(xué)生通過計步儀器,記錄了自己最近30天每天走的步數(shù),數(shù)據(jù)從小到大排序如下:
558860548799985199011011111029112071263412901
13001130921312713268135621362113761138011410114172
14191142921442614468145621462115061156011590119972
估計該學(xué)生最近30天每天走的步數(shù)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為
A.14292B.14359C.14426D.14468
4.若函數(shù)y=/1(工)-1是定義在R上的奇函數(shù),則f(-D+y(0)+f(D=
A3B.2C.-2D.-3
5.有4個外包裝相同的盒子,其中2個盒子分別裝有1個白球,另外2個盒子分別裝有1個黑
球,現(xiàn)準(zhǔn)備將每個盒子逐個拆開,則恰好拆開2個盒子就能確定2個白球在哪個盒子中的概
率為
6.已知F1,Fz分別是雙曲線C居一狼=1(6>。)的左、右焦點,M是雙曲線C右支上的一個動
點,且的最小值是8乃,則雙曲線C的漸近線方程為
A.y=±*8.?=±笈2C.y=±-x口k土條
7.已知圓O:/+y=i,過點A(2,0)的直線Z與圓。交于B,C兩點,且9=的,則=
A.2B.5C.72D.噂
8.如圖,圓01和圓Q外切于點P,A,B分別為陋】和圓Q總動V'St廠、2
點,已知圓01和圓。的半徑都為1,且談?河=一1,貝。國+(
成產(chǎn)的最大值為
B.4
A.2
D.2V3
C.272
【高三數(shù)學(xué)第1頁(共4頁)】
二、選搽題沐題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要
求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.
9,一般地,任意給定一個角aSR,它的終邊0P與單位圓的交點P的坐標(biāo),無論是橫坐標(biāo)x還
是縱坐標(biāo)"都是唯一確定的,所以點P的橫坐標(biāo)力、縱坐標(biāo)y都是角a的函數(shù).下面給出這
些函數(shù)的定義:
①把點P的縱坐標(biāo)y叫作a的正弦函數(shù),記作sina,即ksina;
②把點P的橫坐標(biāo)工叫作a的余弦函數(shù),記作cosa,即2=cosa;
③把點P的縱坐標(biāo)》的倒數(shù)叫作a的余割,記作esca,即—?=esca;
④把點P的橫坐標(biāo)土的倒數(shù)叫作a的正割,記作seca,即2=seca.
下列結(jié)論正確的有
A.esc^=-72
4PG,y)XT''X
B.cosa,seca=l
C.函數(shù)/(x)=cscx的定義域為{久I巧缺晟
D.sec2a+sin2a+esc2a+cos2
10.如圖1,在等腰梯形ABCD中,AB〃CD,EF±AB,CF=EF=2DF=2,AE=3,EB=4,將
四邊形AEFD沿EF進行折疊,使AD到達A'D'位置,且平面A‘D'FEJ_平面ECFE,連接
A'BQ'C,如圖2,則
D.直線A'?與平面BCFE所成的角為點圖1圖2
11.已知函數(shù)/(^)=e|2+i|,函數(shù),且4Vo,定義運算a?b=設(shè)函數(shù)
無(力=穴外區(qū)g(z),則下列命題正確的是
A.h(x)的最小值為春
Li
B.若無電)在[0,山2]上單調(diào)遞增,則k的取值范圍為(一8,—21n21
C.若女幻=加有4個不同的解,則次的取值范圍為(1,eT52+a)
D.若h(xy)=m有3個不同的解為,xz,例,則21+亞+23=0
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.已知F為拋物線C::/=2扭:(力>0)的焦點,點P(1,—2)在拋物線C上,直線PF與拋物線
C的另一個交點為A,則\AF\=_A一?
13.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若c2shiA=6sinC,(a+c)z=18+62,則
△ABC的面積為▲.
14.已知某種有蓋的圓柱形容器的底面圓半徑為1+J2,高為100,現(xiàn)有若干個半徑為其的實心
球,則該圓柱形容器內(nèi)最多可以放入一^__個這種實心球.
【高三數(shù)學(xué)第2頁(共4頁)】
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(13分)
已知數(shù)列匕力的前n項和為S?,且S?=jn(n+1).
(1)求{%}的通項公式;
」一,曾為奇數(shù),
⑵若數(shù)列也}滿足AT"求值}的前2〃項和r2n.
2","為偶數(shù),
16.(15分)
如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PCD內(nèi)存在一條直線EF與AB平行,PAJ_平面ABCD,直
線PC與平面ABCD所成的角的正切值為亨,PA=BC=2乃,CD=2AB=4.
Li
(1)證明:四邊形ABCD是直角梯形.
(2)若點E滿足度=2電,求二面角P-EF-B的正弦值.
17.(15分)
某興趣小組調(diào)查并統(tǒng)計了某班級學(xué)生期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績和建立個性化錯題本的情況,
用來研究這兩者是否有關(guān).若從該班級中隨機抽取1名學(xué)生,設(shè)A="抽取的學(xué)生期末統(tǒng)考
中的數(shù)學(xué)成績不及格”,B="抽取的學(xué)生建立了個性化錯題本”,且P(A|B)=4,P(B|N)
52
63
⑴求P(A)和尸(A|B).
(2)若該班級共有36名學(xué)生,請完成列聯(lián)表,并依據(jù)小概率值a=0.005的獨立性檢驗,分析
學(xué)生期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績與建立個性化錯題本是否有關(guān).
期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績
個性化錯題本合計
及格不及格
建立
未建立
合計
【高三數(shù)學(xué)第3頁(共4頁)】
(3)為進一步驗證(2)中的判斷,該興趣小組準(zhǔn)備在其他班級中抽取一個容量為36%的樣本
(假設(shè)根據(jù)新樣本數(shù)據(jù)建立的列聯(lián)表中,所有的數(shù)據(jù)都擴大為(2)中列聯(lián)表中數(shù)據(jù)的4
倍,且新列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)都為整數(shù)).若要使得依據(jù)a=0.001的獨立性檢驗可以肯定(2)
中的判斷,試確定左的最小值.
參考公式及數(shù)據(jù)川=(.+?(:腐部;)“十°嚴(yán)一+葉c+"
a0.010.0050.001
工U6.6357.87910.828
18.(17分)
平面幾何中有一定理如下:三角形任意一個頂點到其垂心(三角形三條高所在直線的交點)
的距離等于外心(外接圓圓心)到該頂點對邊距離的2倍.已知△ABC的垂心為D,外心為
E,D和E關(guān)于原點O對稱,A(13,0).
(1)若E(3,0),點B在第二象限,直線BC_Lx軸,求點B的坐標(biāo);
⑵若A,D,E三點共線,橢圓1號+$=15>6>0)與AABC內(nèi)切,證明:D,E為橢圓T
的兩個焦點.
19.(17分)
已知函數(shù)f(6=asina+icosx.
(1)若a=0,求曲線夕=/(為在點處的切線方程;
(2)若工£(一兀,兀),試討論穴外的零點個數(shù).
【高三數(shù)學(xué)第4頁(共4頁)]
A卷答案
晉城市2024年高三第三次模擬考試試題
數(shù)學(xué)參考答案
1.A【解析】本題考查復(fù)數(shù),考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).
因為2—zi=l+i,所以c==^=-l-i.
-I
2.B【解析】本題考查集合,考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).
因為ADB中只有2個元素,則AnB={0,H,所以14,V2.
3.C【解析】本題考查統(tǒng)計,考查數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).
由30X75%=22.5,可知樣本的第75百分位數(shù)為第23項數(shù)據(jù),據(jù)此估計該學(xué)生垃近30天每
天走的步數(shù)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為14426.
4.A【解析】本題考查函數(shù)的性質(zhì),考查邏輯推理的核心素養(yǎng).
設(shè)F(.r)=/(1)一1,則F(x)+F(—1)=0,即/(x)-1+/(一1)-1=0,所以/(1)+/(—1)
=2.因為F(0)=/(0)—1=0,所以=(—l)+f(0)+f(l)=2+l=3.
5.B【解析】本題考查概率,考查邏輯推理的核心素養(yǎng).
所求概率?=第*2=4.
6.C【解析】本題考查雙曲線,考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).
解法一:不妨設(shè)B(—c,0),B(c,0),MCro,%),且劭>2,貝ij/一|2=(ao+c)2+
式一[(工。,)2+旬=4口。28一所以8c=8疝,解得c=向"=笈,故雙曲線C的漸近線方
程為y=±考
解法二:IMF/?一[MF?「=(|-IMF?I)(|MF1|+IMF?|)=4(IMF1|+IMF?|)=
4(4+2|MFzI)>4[4+2(c—2)]=8c,所以8c=8而,解得c=而,〃=夜,故雙曲線C的漸近
/|OC|2+|OA|2-2|OC|?|OA|?cos/COA=76,所以|BC|二喀.
8.D【解析】本題考查平面向■,考查邏輯推理及數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).
~P\?普=(兩+ZH)?(屈+型)=菊?肥+珂?通+刑??砸
=-1+弱?(碗—郎)+引?◎=-1,所以[取?顯|=|弱?(碗一型)|《
【高三數(shù)學(xué)?參考答案第1頁(共7頁)】?
|&也一郎所以|小演?|Z+|O3|2-2QA?霓當(dāng)即?可5|z+
2G?m一240,解得一1一點?確《-1+禽.
|超+沖|2=[兩+逐+屈+碇[2=|編+確|2=|互|2+|碇|2+2碼?
確=2+2罰?G<2+2X(-1+點)=2底
9.ABD【解析】本題考查三角函數(shù),考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).
esc苧=-^7-=-72,A正確.cosa,seca=cosa,---=1,B正確.
4.OKCOSa
sinT
函數(shù)f(z)=cscx的定義域為{■ZIZHAK,&GZ),C錯誤.
sec2a+sin2a+csc2a+cos2a=H----+\=1+.~~g~=l+5,當(dāng)sin2a=
cosasma?sin-acosa.sin2a,
±1時,等號成立,D正確.
10.ABD【解析】本題考查立體幾何初步,考查直觀想象的核心素養(yǎng).
因為平面A'D'FE_L平面BCFE,平面A'D'FEn平面BCFE=EF,BE_LEF,所以3£:_1平
面A'D'FE,所以BEJ_A'D',A正確.
因為A'E〃D'F,BE〃CF,A'EnBE=E,D'FnCF=F,所以平面A'EB〃平面OFC,B正確.
因為露六焉'所以多面體A,EBCD,F(xiàn)不是三梭臺,c錯誤.
延長A'D',EF相交于點G(圖略),NA'GE為直線A'D'與平面BCFE所成的加因為A'E
〃D'F,所以霆解得GF=1,GE=3.12!!/人'6£=鏢=1,則/4(七=£,口
正確.
11.AC【解析】本題考查基本初等函數(shù),考查邏輯推理及直觀想象的核心素養(yǎng).
(11
產(chǎn)-z,4彳,
匹產(chǎn)T;=1e-
/(x)=e|-r+*1=gU)?與|=
ei,MV-A,2
22,
令,解得z,>-2!n_2.
乙o
當(dāng)一誓《AVOn寸,作出函數(shù)f(外和gGr)的圖象,如圖1所示.
O
此時,九(才)=€(]).
【高三數(shù)學(xué)?參考答案第2頁(共7頁)】
e-珈2+N若灰])在[o/n21k單調(diào)遞增,則m=去In2—1-)>ln2,解得Z<-2ln2.
乙乙
因為當(dāng)一組上《兒V0時,/](])在[0,+8)上單調(diào)遞增,所以k的取值范圍為(一8,
*5
-21n21U]一紅髻,0),B錯誤.
O
若h(H)=m有3個不同的解?,現(xiàn),工3,則結(jié)合圖象可得^'i+x2+a:3=2X-^-+(—2k—x0)
4
=—y(ln2+等)或0,1+a-2+^3==2X4--A=O,D錯誤.
若灰才)=]〃有4個不同的解,則〃4(1,e-2(ln2+擲),C正確.
12,2【解析】本題考查拋物線,考查數(shù)學(xué)運算及直觀想象的核心素養(yǎng).
由題意可得(-2)2=2/)Xl,解得〃=2,則F(1,O),直線P尸與彳軸垂直,A(1,2),|AF|=2.
13.挈【解析】本題考查正弦定理和余弦定理,考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).
乙
因為/sinA=6sinC,所以ac2=6c,即ac=6.因為(a+c)2=18+〃,所以a2+c2—lr=18—
__a2+c2-Zr_1._"734.1.__1.口_3禽
加0c=6c,cosnB=--赤-----=2,sinBR一故Sc&w—5acsinB---
14.49【解析】本題考查立體幾何初步,考查直觀想象的核心素養(yǎng).
如圖,將第1個實心球。犯近該圓柱形容器側(cè)面放過,球Q上的點到該圓
柱形容器下底面的最大距商為2將第2個實心球Q也整近該圓柱形容
播惻面放壯,過點O,作OiA垂直于該圓柱形容器的母線,垂足為A,過點
O2作5B垂直于該圓柱形容器下底面,垂足為8,設(shè)O1AnOzB=C.AC=
BC=&,C0尸2,CO2=JOI堡-C5=2,
球02上的點到該圓柱形容器下底面的最大距商為2+2x/2.
同理可得球。3上的點到該圓柱形容器下底面的最大距離為4+272.
由此規(guī)律可得,每多放一個球,母上面的球上的點到該圓柱形容器下底面的
最大距離加2.
因為48X2+2A/2<100<49X2+2^,
所以該圓柱形容器內(nèi)坡多可以放入49個這種實心球.
15.解:(1)當(dāng)〃=1時,《=Si=l.......................................................................................1分
11
當(dāng)”》2時S_i=*7〃(〃+1)一■尹GLD=〃,..............................................3分
當(dāng)〃=1口寸,也符合魘=〃.....................................................4分
綜上,a”=7i.........................................................................................................................5分
⑵“竹號一圭)"為奇數(shù),..............................................7分
12一〃為偶數(shù),
則72),=(仇+仇+…+^-1)+(仇+仇+…+%)...............................8分
=*1一?1)十號-4)+(1'7)+…+(高一土)H*+2+?.+2新…10分
"籌+”12分
【瘍?nèi)龜?shù)學(xué)?參考答案第3頁(共7頁)】
〃I4用一4
分
2〃+13-13
16.(1)證明:因為AB〃EP,EFU平面PCD,所以AB〃平而PCD.................................1分
因為ABU平面ABCD,平面ABC。。平面PCD=CD,所以AB〃CD......................2分
連接AC,因為PAJL平面ABCD,所以NPCA是PC與平面ABCD的夾角,........3分
貝iJtan/PCA=^=^^=^,解得AC=4...............................................................4分
因為AB=2,BC=2四,所以,所以ABJ_BG................................5分
因為A8¥CD,所以四邊形ABCD是宜角梯形...................................6分
(2)解:取CD的中點M,連接AM,以人為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直向坐標(biāo)系,
貝|」?(0,0,2痣),。(2反一2,0)。2禽,2,0),8(0,2,0),兄5=(0,2,0),死=(2四,2,
-2>/3),P/5=(273,-2,-2X/3).................................................................................8分
由屈=2瓦5,得E(崢,一|■,零),則旗=(崢,一當(dāng),畢)................9分
*500JJJ
設(shè)平面PCD的法向苗為n=,
伍?定=2窩H+2y—2伍z=0,一g
則<可取n=(l,0,D.11分
n?。小=2慮2一2_y—2焉N=0,
同理可求得平面ABE的一個法向量為加=(1,0,—2).…12分
設(shè)二面角P-EF-B的平面角為6,
n?inyiO^.〃3
則18s夕|=[cos〈n,〃D|=|前廚|t一丁,9方……
................................................14分
故二面角的正弦值為電黑.
P-EF-B15分D
17.解:(1)因為P(A回=4,P(B|7)="1,所以P(A|B)=vtP(B|A)=4.
OOO01分
P(A\B)?P(B)=P(B|A)?P(7),解得P(3)="1,所以P(A)=J.…
oo2分
P(A)=P(B)?P(A|B)+P(B)?P(A|B),解得P(A|B)=《.........分
04
(2)
期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績
個性化借題本合計
及格不及格
建立20424
未建立4812
合計241236
....................................................................................................................................6分
零假設(shè)為H。:期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績與建立個性化錯題本無關(guān).
【高三數(shù)學(xué).參考答案第4頁供7碼公眾號―運髯者種指南
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),經(jīng)計算得到片=嚙第若志/=9>7.879=10.005.……9分
根據(jù)小概率值a=0.005的獨立性檢驗,我們推斷Ho不成立,即認(rèn)為期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成
績與建立個性化錯題本有關(guān),此推斷犯錯誤的概率不大于0.005................10分
C”=1(a+l+c+〃)?kd-kb?kc)?__£(a+:+c+〃)(ad-be)2—
Xk(。+。)?£(c+d)?Ma+c)?k(b干d)(a+4)(c+〃)(a+c)(0+〃)
=9Zr>10.828,解得黨里...............................................13分
要使新列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)都為整數(shù),則需必£Z................................14分
又因為,心也誓當(dāng)江8,所以然的最小值為5,故Zi的最小值是樂..........15分
Zf
18.(1)解:因為E(3,0),所以D(—3,0)........................................1分
設(shè)BC與才軸的交點為F(一"〃0),由題意可得|AD|=2|EF|,即13+3=2G〃+3),解得/〃
=5...................................................................3分
設(shè)股一5,〃),因為|BE|=|AE|,所以|BF|2+|EF[2=|AE|2,
則(3+5)2+〃2=(=一3)2,解得〃=6.
所以3(—5,6)..........................................................5分
⑵證明:因為D和E關(guān)于原點。對稱,且A,D,E三點共線,所以A,D,E,O四點共線,即
點A,D,E,0都在二軸上......................................................6分
因為AD是ZWBC的高,所以AD_LBC,即BC±JC軸.
因為△ABC的外心為E,所以|BE|=|CE|,所以點B與點C關(guān)于:r軸對稱.......7分
設(shè)BC與x軸的交點為尸(一“,0),B(一〃7切),C(一〃?,一〃),D(—s,0),E(5,0),
由感意可得|AD|=2|EF|,即13+s=2G〃+s),化荷得s=13—2〃?..............9分
直線CD的斜率為』=就示,直線AB的斜率為一局,
所以產(chǎn)下?(一在-)=-1,化簡得/=(3加一13)(777+13)①..............11分
3〃z—1313十〃7
直線AB的方程為)=一修云小一13).
橢圓丁號+奈=l(a>〃〉0)與ZWC內(nèi)切,所以a=〃i......................12分
^[62(13H-/H)2+w2;r]2:Z—26/;22772o:+169w27z2—w2Z>2(13+w)2=0............13分
4=(26〃/7產(chǎn))2—4[〃2(13+〃?)2+〃?27,[[]69〃/72一〃[2〃(]3+〃7)21=0,.............分
即169〃2(13+加)2—〃2(13+〃力"一〃97產(chǎn)(13+加)2=0.
因為(13+7")2H=0,所以169〃2—〃(13+/")2—"y7產(chǎn)=0,
【高三教學(xué)?參考答案第5頁(共7頁)1
即(13+“)(13一/〃)77—〃(13+〃7)2=0,即(13一m),/2—62(13+;n)=0.
結(jié)合①可得〃2=(13—"?)(3〃?-13)..........................................16分
設(shè)描圓T的焦距為2c,則/="標(biāo)一〃2=〃產(chǎn)一(]3—〃])(3]〃-13)=(2]〃-13)2=/,
所以D,E為相圓T的兩個焦點...............................................17分
19.解:(1)當(dāng)"=0時"CZ)=NCOSZJ(0)=0......................................1分
/(Z)=COSH—j.-sinX-,f(0)=1...............................................2分
故曲線y=f(z)在點(0,1(0))處的切線方程為...........................4分
(2)因為/(一元)=一/(力,所以/(尤)為奇函數(shù).
又因為/(0)=0,所以只需要討論八外在(0,兀)上的零點.......................5分
f1(z)=(a+l)cosx-zsin/,f(0)=a+l.
令函數(shù)g(c)=r(z)=(a+l)cos尤一arsinx,g(.x}=-(a+2)sinx-xcosx......6分
①當(dāng)a+l>0,即”>一1時,分段討論:
當(dāng)aW[自,式)時,/GzOVO.
當(dāng)zG(0,為州寸,g'(z)V0,所以g(z)在(03)上單調(diào)遞減,即/(z)在(0市)上單調(diào)遞減.
乙乙乙
因為/(0)=4+1>0,/(君)=一與<0,所以存在死£(0嗇),使得,5)=0.
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