2025版高考數(shù)學(xué)全程一輪復(fù)習(xí)課前預(yù)備案第十章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布列第七節(jié)二項(xiàng)分布超幾何分布與正態(tài)分布

第七節(jié)二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布必備知識(shí)1.二項(xiàng)分布(1)伯努利試驗(yàn)只包含________可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)；將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱(chēng)為_(kāi)_______．(2)二項(xiàng)分布一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝________，k＝0，1，2，…，n.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作________．(3)兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差①若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝______，D(X)＝________．②若X～B(n，p)，則E(X)＝________，D(X)＝________．2．超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品．從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱(chēng)隨機(jī)變量X服從超幾何分布．3．正態(tài)分布(1)定義若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)＝1σ2πe-(x-μ)22σ2，x∈R，其中(2)正態(tài)曲線(xiàn)的特點(diǎn)①曲線(xiàn)是單峰的，它關(guān)于直線(xiàn)________對(duì)稱(chēng)；②曲線(xiàn)在________處達(dá)到峰值1σ③當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí)，曲線(xiàn)無(wú)限接近x軸．(3)3σ原則①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.(4)正態(tài)分布的均值與方差若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝________，D(X)＝________．【常用結(jié)論】1．兩點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布當(dāng)n＝1時(shí)的特殊情形．2．在實(shí)際應(yīng)用中，往往出現(xiàn)數(shù)量“較大”“很大”“非常大”等字眼，這表明試驗(yàn)可視為n重伯努利試驗(yàn)，進(jìn)而判定是否服從二項(xiàng)分布．3．超幾何分布也可記為X～H(n，M，N)，則E(X)＝nMN4．若X服從正態(tài)分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)x＝μ對(duì)稱(chēng)和曲線(xiàn)與x軸之間的面積為1解題．夯實(shí)基礎(chǔ)1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)二項(xiàng)分布是一個(gè)概率分布，其公式相當(dāng)于a+bn二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，其中a＝p，b＝1－p(2)從4名男演員和3名女演員中選出4名，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布．()(3)n重伯努利試驗(yàn)中各次試驗(yàn)的結(jié)果必須相互獨(dú)立．()(4)正態(tài)分布是對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量而言的．()2．(教材改編)雞接種一種疫苗后，有90%不會(huì)感染某種病毒，如果有5只雞接種了疫苗，則恰好有4只雞沒(méi)有感染病毒的概率約為()A．0.33B．0.66C．0.5D．0.453．(教材改編)某學(xué)校高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量檢測(cè)考試成績(jī)X～N(80，25)，如果規(guī)定大于或等于85分為A等，那么在參加考試的學(xué)生中隨機(jī)選擇一名，他的成績(jī)?yōu)锳等的概率是________．4．(易錯(cuò))箱子里有5個(gè)黑球，4個(gè)白球，每次隨機(jī)取出一個(gè)球，若取出黑球，則放回箱中，重新取球，若取出白球，則停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率為()A.C53C4C.35×145．(易錯(cuò))已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布X～N(3，1)，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，則c＝________．第七節(jié)二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布必備知識(shí)1．（1）兩個(gè)n重伯努利試驗(yàn)（2）Cnkpk（1－p）（3）①pp（1－p）②npnp（1－p）2.eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(M))Ceq\o\al(\s\up1(n－k),\s\do1(N－M)),Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(N)))3．（1）X～N（μ，σ2）（2）①x＝μ②x＝μ（4）μσ2夯實(shí)基礎(chǔ)1．答案：(1)×(2)√(3)√(4)√2．解析：設(shè)5只接種疫苗的雞中沒(méi)有感染病毒的只數(shù)為X，則X～B(5，0.9)，所以P(X＝4)＝C54×0.94×0.1答案：A3．解析：P(X≥85)＝12[1－P(75≤X<85)]＝1-0.6832答案：0.15854．解析：由題意知，第四次取球后停止是當(dāng)且僅當(dāng)前三次取的球是黑球，第四次取的球是白