高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)知識(shí)+高頻考點(diǎn)+解題訓(xùn)練）等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和

等比數(shù)到及其前刀項(xiàng)和

1基礎(chǔ)知要打牢強(qiáng)雙基|固本源|得基礎(chǔ)分|掌握程度

［知識(shí)能否憶起］

1.等比數(shù)列的有關(guān)概念

(1)定義：

如果一個(gè)數(shù)列從第工項(xiàng)起，每.一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)(不為零),那么這個(gè)數(shù)列就叫做

等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母。表示，定義的表達(dá)式為F=g(〃eN*,g為非零

常數(shù)).

⑵等比中項(xiàng):

如果a、G、6成等比數(shù)列，那么R叫做a與6的等比中項(xiàng).即：G是a與6的等比中項(xiàng)0a,G,6成

等比數(shù)列今￡望.

2,等比數(shù)列的有關(guān)公式

(1)通項(xiàng)公式：a?-aiq~\

nai,q-1,

(2)前n項(xiàng)和公式：S=<&\-cfai-anq

i=~\,qW1-

1-(71-7

3.等比數(shù)列｛a｝的常用性質(zhì)

(1)在等比數(shù)列｛劣｝中，若n=p+q=2r(m,n,p,q,rEK),則8?為二劣?為二成

特別地，a\an-/a一i=a-,an-2-….

⑵在公比為q的等比數(shù)列｛4｝中，數(shù)歹IJHm,Q-m+k,3.//I+2Zr,<9卯+34,…仍是等比數(shù)列，公比為￡;

數(shù)列S?,5必一5,&勿一S叫…仍是等比數(shù)歹U(此時(shí)［W-1);

n-m

an-amq.

［小題能否全?。?/p>

1.(教材習(xí)題改編)等比數(shù)列｛a｝中，&=4,則勿-戈等于()

A.4B,8

C.16D.32

解析：選C82?a二嗇二16.

2.已知等比數(shù)列｛a｝的前三項(xiàng)依次為H-1,女+1,女+4,則為=()

C.4?D.4?

解析：選C（a+I）、（a-1）（a+4）=a=5,

2二4,q=~,故為=4?⑸”I

3.已知等比數(shù)列｛劣｝滿足a+&二3,&+8二6,則&二（）

A.64B.81

C.128D.243

a.2+當(dāng)

解析：選A<7=--=2,

a\十a(chǎn)，2

故謝+劭q=3今&二1,&=1X277=64.

4.（?北京高考）在等比數(shù)歹IJ｛a｝中，若打=a=4,則公比q-；功+/+~+4=.

1

11

33

得

解析

4解得2

包

國(guó)。

為

+當(dāng)++

--q7--2-2n2-

12-

才

答

案2-

-

5.(?新課標(biāo)全2國(guó)卷)等比數(shù)列｛a｝的前刀項(xiàng)和為S,若$+3s=0,貝IJ公比。=.

解析：W+3s—0,「.a+均+&+3(a+3,2)—0,

ai(4+4(?+/)=0.

&W0,**?Q——2.

答案：-2

1.等比數(shù)列的特征

(1)從等比數(shù)列的定義看，等比數(shù)列的任意項(xiàng)都是非零的，公比。也是非零常數(shù).

(2)由為+|=四小并不能立即斷言｛aj為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證&W0.

2.等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和S

(1)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和S是用錯(cuò)位相減法求得的，注意這種思想方法在數(shù)列求和中的運(yùn)用.

(2)在運(yùn)用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對(duì)＜7=1與。W1分類討論，防止因忽略0=1這一特

殊情形導(dǎo)致解題失誤.

后高頻考點(diǎn)要通關(guān)抓考點(diǎn)|學(xué)技法|得拔高分|掌握程度

等比數(shù)列的判定與證明

典題導(dǎo)入

［例1］已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,且a+S=/7.

⑴設(shè)G=a-1,求證：｛一是等比數(shù)列;

⑵求數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式.

［自主解答］(1)證明：:a+S二億①

??3，n+1+Sn+1=Z7+1.(2)

②一①得為+1一2+2+1—1,

—

「?22+1二為+1**-2(5/7+11)—Q，n~1.

*-XI

--

2X12

首

項(xiàng)

I又

-&X+劭-

-al-

11

a-2---2-

又C"=a〃-1,故｛cj是以?為首項(xiàng)，］為公比的等比數(shù)列.

在本例條件下，若數(shù)列｛如滿足4=4=&-ai522),證期仍｝是等比數(shù)列.

證明：；由⑵知z=1-曲，

當(dāng)時(shí),bn-an-an-\

又加二國(guó)二；也符合上式，,bn=

1

-2-二數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列.

由題悟法

等比數(shù)列的判定方法

(1)定義法：若與:二勺⑦為非零常數(shù)，〃WN*)或子=。沁為非零常數(shù)且〃》2,〃EN*),貝Maj是等比

anan-l

數(shù)列.

(2)等比中項(xiàng)法：若數(shù)列｛2｝中，a〃#0且M=a-a?(〃EN*),則數(shù)列｛a｝是等比數(shù)列.

(3)通項(xiàng)公式法：若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫(xiě)成％=c?￡(c,g均是不為0的常數(shù)，〃EN*),貝lj｛aj是等比數(shù)

以題試法

1.(?沈陽(yáng)模擬)已知函數(shù)Hx)=log4,且所有項(xiàng)為正數(shù)的無(wú)窮數(shù)列｛aj滿足logaae-log?=2,

則數(shù)列面｝()

A.一定是等比數(shù)列

B.一定是等差數(shù)列

C.既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列

D.既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列

....3，n+1o3，n+1Q,,,.

解析：選A由logaa〃+1-logaa〃=2,得loga---=2=logaa,故---=a.又a〉0且a#l,所以數(shù)列｛aj

為等比數(shù)列.

等比數(shù)列的基本運(yùn)算

典題導(dǎo)入

[例2]（?全國(guó)高考）設(shè)等比數(shù)列｛aj的前〃項(xiàng)和為S,已知勿=6,6&+a3=30,求a〃和S.

[自主解答]設(shè)仿〃｝的公比為。

「團(tuán)<?=6,fai=3,fai=2,

由題設(shè)得G+解得或q

[6ai+aiq2=30.[<7=2?[<7=3.

當(dāng)ai=3,q=2時(shí)，a?=3X2n-\S〃=3X（2"-1）；

當(dāng)ai=2,<7=3時(shí)，a〃=2X3"T,S=3"-l.

由題悟法

1.等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問(wèn)題，數(shù)列中有五個(gè)量n,Q,S,一般可

以“知三求二”，通過(guò)列方程(組)可迎刃而解.

2.在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)根據(jù)公比q的情況進(jìn)行分類討論，切不可忽視q的取值而

盲目用求和公式.

以題試法

2.(?山西適應(yīng)性訓(xùn)練)已知數(shù)列｛aj是公差不為零的等差數(shù)列，a=2,且a?,國(guó),備成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列U｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛3aj的前〃項(xiàng)和.

解:(1)設(shè)等差數(shù)列｛aj的公差為d(掙0).

因?yàn)閍z,&,戊成等比數(shù)列，

所以(2+3切j(2+中?(2+7,

解得d=2.

所以a〃=2〃(〃EN*).

⑵由⑴知3&=3",設(shè)數(shù)列｛3aj的前〃項(xiàng)和為Sn,

,,,91-9"9

貝(]S=3-+3，+“?+32”=———'W(9〃一l).

3等比數(shù)列的性質(zhì)

典題導(dǎo)入

［例3］(1)(?威海模擬)在由正數(shù)組成的等比數(shù)列｛aj中，若a334a5=3",貝IJsin(log34+log3a2+…

+log3a7)的值為()

1A/3

A."B.

C.1D.

(2)設(shè)等比數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和為S,若&二1：2,則國(guó)：友等于()

A.1：2B,2：3

C.3：4D,1：3

?JI

［自主解答］(1)因?yàn)槟?2&5—3—言，所以54=3—

log351+log3&+,,,+log357

二10g3(dld2…&)=10g3S4

JI7n

=71og33—,

故sin(log3ai+log3H2+…+log3a7)二七

(2)由等比數(shù)列的性質(zhì)：&,仍成等比數(shù)列，于是(&-&)2W?(<59—S&),

將&=、&代入得搟=

［答案］(1)B(2)C

由題悟法

等比數(shù)列與等差數(shù)列在定義上只有“一字之差”，它們的通項(xiàng)公式和性質(zhì)有許多相似之處，其中等差

數(shù)列中的“和”“倍數(shù)”可以與等比數(shù)列中的“積”“褰”相類比.關(guān)注它們之間的異同有助于我們從整

體上把握，同時(shí)也有利于類比思想的推廣.對(duì)于等差數(shù)列項(xiàng)的和或等比數(shù)列項(xiàng)的積的運(yùn)算，若能關(guān)注通項(xiàng)

公式為二廣(〃)的下標(biāo)〃的大小關(guān)系，可簡(jiǎn)化題目的運(yùn)算.

以題試法

3.(L)(?新課標(biāo)全國(guó)卷)已知｛a｝為等比數(shù)列，&+&=2,氏氏=一8、則劭+&o=()

A.7B.5

C.-5D.-7

1

-4-

(2)(?成都模擬)已知②是等比數(shù)列，&=2,貝(]a?+a2a3+…+a?a?+1=()

A.16(1-4")B.16(1-2")

C.牛D.牛(1-2子

OO

解析：(1)選D法一：

,3.6c

2+2二石10+&。=2,

4V529Q

{a5a二MXaiq=a^q=-o,

”=-2,31

q=F

解得一或

ai=-8,

故地+aw=ai(1+q)=-7.

ja+&二2,包=-2,二4,

法二：由1

[d5a=dA&l二-8,氏二=—2.

故&+510=ai(l+^)=-7.

a\--8,

11

242/7

->為--->--

⑵選C4al2

故汰&+

晶解題訓(xùn)練要高效

抓速度I抓規(guī)范I拒絕眼高手低I掌握程度

A級(jí)全員必做題

1.設(shè)數(shù)列｛aj是等比數(shù)列，前〃項(xiàng)和為S,若&=3as,則公比1為（）

1

A-B

-21

11

-_或D.4-

解析：選c當(dāng)q=l時(shí)，滿足W=3劭=3&.

13

1—<7/、

當(dāng)時(shí)，&二----------二ai（l+°+°9）=3<31（79,

一q

解得,=一'!，綜上或q=L

c

2.（?東城模擬）設(shè)數(shù)列｛4｝滿足：2劣二為+1（aW0）（〃￡“），且前〃項(xiàng)和為S,則'的值為（）

及

1515

A?5B.7

C.4D,2

-1-2、

S1—21c

解析：選A由題意知，數(shù)列｛aj是以2為公比的等比數(shù)列，故3=—；=3.

3.2^1AZZ

3.（-安徽高考）公比為2的等比數(shù)列｛aj的各項(xiàng)都是正數(shù)，且一一=16,則log2a|。=（）

A.4B.5

C.6D.7

解析：選Ba-3,an=16,a?=16.

又??,等比數(shù)列,｝的各項(xiàng)都是正數(shù)，a,=4.

又aw=aiq=4X23=25,二log2aio=5.

4.已知數(shù)列｛aj,則“a”，a?+1,a〃+2（〃CN*）成等比數(shù)列”是“a3=a〃a〃+2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C,充要條件D.既不充分也不必要條件

解析：選A顯然，/JEN*,a”，ae,a〃+2成等比數(shù)列，貝a3=a〃a〃+2,反之，則不一定成立，舉反例,

如數(shù)列為1,0,0,0,…

5.（?太原模擬）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛a〃｝的前〃項(xiàng)和為S,若S=2,S3.=14,則S〃等于（）

A.80B.30.

C.26D.16

解析：選B設(shè)甌二名兄=6,由等比數(shù)列的性質(zhì)知：

2(14-5)=(a-2)2,解得a=6或a--4(舍去),

同理(6-2)(Z?-14)=(14-6)2,所以6==30.

6,已知方程(V-腔+2)(9-m+2)=0的四個(gè)根組成以T為首項(xiàng)的等比數(shù)列，則;()

33，

A.]B.薄§

2

C."D.以上都不對(duì)

解析：選B設(shè)乃，b,c,d是方程(V-勿x+2)(*-〃匠+2)=0的四個(gè)根，不妨設(shè)水水水瓦則a?6

1

29

-c*-a-2-故6=4,根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，得到。=1,d=2,則*己+6=5,n=c+d=3,或加

3"2

或

貝

-2-一-3-

=c+d=3,n=a+b=?,刀

7.已知各項(xiàng)不為。的等差數(shù)列｛4｝,滿足2&-修+2為1=0,數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，且〃二劭貝IJ優(yōu)加

解析：由題意可知，優(yōu)質(zhì)=4=若=2(a+&i)=4劭

,「&W0,ai=4,bebs=16.

答案：16

8.(-江西高考)等比數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和為S,公比不為1.若&=1,則對(duì)任意的77EN*,都有a+2

+an+i-2品=0,貝IJS5=.

解析：由題意知&+/-22=0,設(shè)公比為q貝IJ功("+。-2)=0.由/+。一2=0解得。二一2或。=

句1—Q'1——25

1(舍去)，貝[|￡二---;一~--=-----------=11.

i-qo

答案：11

9.(?西城期末)已知｛aj是公比為2的等比數(shù)列，若a3-ai=6,則國(guó)=_______；A+A+??-+A=

3,2an

解析：,.,｛&｝是公比為2的等比數(shù)列，且電一。二6,..?4國(guó)一4=6,即刈-2,故a=A2"T=2",

I),,?=6)'，即數(shù)歹招是首項(xiàng)為士公比為抽等比數(shù)歹1

11

-

-^

11144r

2

+2++2----不

&a1

52-

4

答案：2,1

10.設(shè)數(shù)列｛aj的前〃項(xiàng)和為S,a=1,且數(shù)列｛S｝是以2為公比的等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

(2)求國(guó)+as+…+a2B+i.

解：⑴?.■S=a1=l,且數(shù)列｛$｝是以2為公比的等比數(shù)列，.??$=2〃」

又當(dāng)時(shí)，a〃=S-S-i=2f(2_l)=2"，

Jl,"=L

an=\,

(2)a3,as,…,a?小是以2為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列，

21-4"24n-l

a+a++a+i=:;=~.

352n1-46

24n-122/7+1+1

?二31+乃3+…+=1+---------------=-----------

OO

11.設(shè)數(shù)列匕.｝的前〃項(xiàng)和為S,其中為#0,&為常數(shù)，且S"成等差數(shù)列.

(1)求｛aj的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)4=1-S,問(wèn)：是否存在&,使數(shù)列⑥為等比數(shù)列？若存在，求出國(guó)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

解：(1)依題意,得2S=a〃+i.-ai.

|2Sn—<in+1—,

當(dāng)時(shí)，有__

[23〃-1—8nHl.

兩式相減，得a+i=3”(刀22).

又因?yàn)閍2=251+&=3si,&W0,

所以數(shù)列.3｝是首項(xiàng)為見(jiàn)公比為3的等比數(shù)列.

因此,叱?3'T(Z?EN*).

21—3"11

(2)因?yàn)镾n=---------------=5功?3”-5次

1—0ZZ

b?=l-Sn=l+~ai--ai?3”.

要使｛"｝為等比數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)1+呆=0,即4=-2.

所以存在國(guó)=-2,使數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列.

12.（?山東高考）已知等差數(shù)列｛綴｝的前5項(xiàng)和為105,且aio=2as.

（1）求數(shù)列U｝的通項(xiàng)公式；

⑵對(duì)任意mEN*,將數(shù)列｛aj中不大于7冊(cè)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為求數(shù)列｛圖的前m項(xiàng)和

解：（1）設(shè)數(shù)列｛&｝的公差為d前〃項(xiàng)和為Tn,

由乙二105,aw=2a5,

f5X5-1

5劭+-----------d-105,

得2

&+9d=2a\+4d,

解得a=7,d=7.

因此a?-ai+（72-1）</=7+7（72-1）=7〃（〃EN*）.

（2）對(duì)mCN*,若貝1

因此4=7*1

所以數(shù)列｛晶是首項(xiàng)為7,公比為49的等比數(shù)列，

bi1-q7X1-49"7Xllm-172/，+1-7

故'=~\^q-=1-49=48=-48-,

8級(jí)重點(diǎn)選做題

a0+12_

1.若數(shù)列｛aj滿足一*為正常數(shù)，〃GN*）,則稱數(shù)列｛aj為“等方比數(shù)列”.甲：數(shù)列｛aj是等

eLn

方比數(shù)列；乙：數(shù)列｛&｝是等比數(shù)列，則甲是乙的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

22

an+1a。+1I-a”+1+1??

解析：選B若二廠=。，則:一=土丘，不是定值；若二一=q則工丁=/,且為正常數(shù)，故甲是乙

&n&ndn<d，n

的必要不充分條件.

2.（?浙江高考）設(shè)公比為°（q>0）的等比數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和為S,若￡=3/+2,2=3&+2,則。

解析：法一：S=$+&+&=3/+2+&+&=3&+2,將a二a20,叢二代入得，

3/+2+/q+&/=3/（/+2,化簡(jiǎn)得2/-0-3=0,

3

解得，二5（。二-1不合題意，舍去）.

法二：設(shè)等比數(shù)列｛a｝的首項(xiàng)為現(xiàn)由$=3/+2,得

a1(1+Q)=3Hl0+2.①

由S=3a+2,得功(1+(7)(1+q)=3乃1"+2.②

由②—①得國(guó)/(I+,)=3&°(/-1).

3

?.,力0,q=~.

答案

3.已知數(shù)列｛a｝的前刀項(xiàng)和為S,且S=4a-3(/?EN*).

⑴證明：數(shù)歹U?｝是等比數(shù)歹卜

(2)若數(shù)列⑻滿足4+1=%+4SEN*),且及=2,求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

解：⑴證明：依題意s=4&-3SEN*),

時(shí)，ai=4ai-3,解得團(tuán)=1.

因?yàn)镾=4a一3,

則Sn-i=4為一1-3(g2),

所以當(dāng)?shù)?2時(shí)，an-Sn-Sn-\-4^-i,

4

整理得a=-a-i.

non

又囪=1W0,

4

所以｛a｝是首項(xiàng)為1,公比為Q的等比數(shù)列.

⑵因?yàn)闉槎?/p>

由bn+[=4+5〃(〃EN*),得bn+l-4=e”-)

可得4=打+(&-61)+(&-&)++(&-bn-\)

*

1522),

當(dāng)〃=1時(shí)也滿足,

所以數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為4=3?

|敖桿備選曝

.1.(?大綱全國(guó)卷)已知數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和為s,ai=l,S=2a+1,則S=()

A.2”TB.Ik

1

c.D.

Q-n+1

==

解析：選B?Sn~23，n+1,.e.當(dāng)/22時(shí)，Sn-12d“，??an-Sn—Sn-124+1—2品，??3d，n~23，n+1,?