2024年北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)知識點總結(jié)

新北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)知識點總結(jié)常用的數(shù)量關(guān)系式1、每份數(shù)×份數(shù)＝總數(shù)總數(shù)÷每份數(shù)＝份數(shù)總數(shù)÷份數(shù)＝每份數(shù)2、1倍數(shù)×倍數(shù)＝幾倍數(shù)幾倍數(shù)÷1倍數(shù)＝倍數(shù)幾倍數(shù)÷倍數(shù)＝1倍數(shù)3、速度×?xí)r間＝旅程旅程÷速度＝時間旅程÷時間＝速度4、單價×數(shù)量＝總價總價÷單價＝數(shù)量總價÷數(shù)量＝單價5、工作效率×工作時間＝工作總量工作總量÷工作效率＝工作時間工作總量÷工作時間＝工作效率6、加數(shù)＋加數(shù)＝和和－一種加數(shù)＝另一種加數(shù)7、被減數(shù)－減數(shù)＝差被減數(shù)－差＝減數(shù)差＋減數(shù)＝被減數(shù)8、因數(shù)×因數(shù)＝積積÷一種因數(shù)＝另一種因數(shù)9、被除數(shù)÷除數(shù)＝商被除數(shù)÷商＝除數(shù)商×除數(shù)＝被除數(shù)小學(xué)數(shù)學(xué)圖形計算公式1、正方形（C：周長S：面積a：邊長）周長＝邊長×4C=4a面積=邊長×邊長S=a×a2、正方體（V:體積a:棱長）表面積=棱長×棱長×6S表=a×a×6體積=棱長×棱長×棱長V=a×a×a3、長方形（C：周長S：面積a：邊長）周長=(長+寬)×2C=2(a+b)面積=長×寬S=ab4、長方體（V:體積s:面積a:長b:寬h:高）(1)表面積(長×寬+長×高+寬×高)×2S=2(ab+ah+bh)(2)體積=長×寬×高V=abh5、三角形（s：面積a：底h：高）面積=底×高÷2s=ah÷2三角形高=面積×2÷底三角形底=面積×2÷高6、平行四邊形（s：面積a：底h：高）面積=底×高s=ah7、梯形（s：面積a：上底b：下底h：高）面積=(上底+下底)×高÷2s=(a+b)×h÷28、圓形（S：面積C：周長лd=直徑r=半徑）(1)周長=直徑×л=2×л×半徑C=лd=2лr(2)面積=半徑×半徑×л9、圓柱體（v:體積h:高s：底面積r:底面半徑c:底面周長）(1)側(cè)面積=底面周長×高=ch(2лr或лd)(2)表面積=側(cè)面積+底面積×2(3)體積=底面積×高（4）體積＝側(cè)面積÷2×半徑10、圓錐體（v:體積h:高s：底面積r:底面半徑）體積=底面積×高÷311、總數(shù)÷總份數(shù)＝平均數(shù)12、和差問題的公式(和＋差)÷2＝大數(shù)(和－差)÷2＝小數(shù)13、和倍問題和÷(倍數(shù)－1)＝小數(shù)小數(shù)×倍數(shù)＝大數(shù)(或者和－小數(shù)＝大數(shù))14、差倍問題差÷(倍數(shù)－1)＝小數(shù)小數(shù)×倍數(shù)＝大數(shù)(或小數(shù)＋差＝大數(shù))15、相遇問題相遇旅程＝速度和×相遇時間相遇時間＝相遇旅程÷速度和速度和＝相遇旅程÷相遇時間16、濃度問題溶質(zhì)的重量＋溶劑的重量＝溶液的重量溶質(zhì)的重量÷溶液的重量×100%＝濃度溶液的重量×濃度＝溶質(zhì)的重量溶質(zhì)的重量÷濃度＝溶液的重量17、利潤與折扣問題利潤＝售出價－成本利潤率＝利潤÷成本×100%＝(售出價÷成本－1)×100%漲跌金額＝本金×漲跌比例利息＝本金×利率×?xí)r間稅後利息＝本金×利率×?xí)r間×(1－20%)常用單位換算長度單位換算1仟米=1000米1米=10分米1分米=10厘米1米=100厘米1厘米=10毫米面積單位換算1平方仟米=100公頃1公頃=10000平方米1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米體(容)積單位換算1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1立方分米=1升1立方厘米=1毫升1立方米=1000升重量單位換算1噸=1000公斤1公斤=1000克1公斤=1公斤人民幣單位換算1元=10角1角=10分1元=100分時間單位換算1世紀(jì)=11年=12月大月(31天)有:1\3\5\7\8\10\12月小月(30天)的有:4\6\9\11月平年2月28天,閏年2月29天平年整年365天,閏年整年366天1曰=24小時1時=60分1分=60秒1時=3600秒基本概念第一章數(shù)和數(shù)的運算一概念（一）整數(shù)1整數(shù)的意義自然數(shù)和0都是整數(shù)。2自然數(shù)我們在數(shù)物體的時候，用來表達(dá)物體個數(shù)的1，2，3……叫做自然數(shù)。一種物體也沒有，用0表達(dá)。0也是自然數(shù)。3計數(shù)單位一（個）、拾、百、仟、萬、拾萬、百萬、仟萬、億……都是計數(shù)單位。每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進(jìn)率都是10。這樣的計數(shù)法叫做拾進(jìn)制計數(shù)法。4數(shù)位計數(shù)單位按照一定的次序排列起來，它們所占的位置叫做數(shù)位。5數(shù)的整除整數(shù)a除以整數(shù)b(b≠0），除得的商是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說a能被b整除，或者說b能整除a。假如數(shù)a能被數(shù)b（b≠0）整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)（或a的因數(shù)）。倍數(shù)和約數(shù)是互相依存的。由于35能被7整除，因此35是7的倍數(shù)，7是35的約數(shù)。一種數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是有限的，其中最小的約數(shù)是1，最大的約數(shù)是它自身。例如：10的約數(shù)有1、2、5、10，其中最小的約數(shù)是1，最大的約數(shù)是10。一種數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它自身。3的倍數(shù)有：3、6、9、12……其中最小的倍數(shù)是3，沒有最大的倍數(shù)。個位上是0、2、4、6、8的數(shù)，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。。個位上是0或5的數(shù)，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。。一種數(shù)的各位上的數(shù)的和能被3整除，這個數(shù)就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。一種數(shù)各位數(shù)上的和能被9整除，這個數(shù)就能被9整除。能被3整除的數(shù)不一定能被9整除，不過能被9整除的數(shù)一定能被3整除。一種數(shù)的末兩位數(shù)能被4（或25）整除，這個數(shù)就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。一種數(shù)的末三位數(shù)能被8（或125）整除，這個數(shù)就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)。不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。0也是偶數(shù)。自然數(shù)按能否被2整除的特性可分為奇數(shù)和偶數(shù)。一種數(shù)，假如只有1和它自身兩個約數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或素數(shù)），100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。一種數(shù)，假如除了1和它自身尚有別的約數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)，例如4、6、8、9、12都是合數(shù)。1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，自然數(shù)除了1外，不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。假如把自然數(shù)按其約數(shù)的個數(shù)的不一樣分類，可分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1。每個合數(shù)都可以寫成幾種質(zhì)數(shù)相乘的形式。其中每個質(zhì)數(shù)都是這個合數(shù)的因數(shù)，叫做這個合數(shù)的質(zhì)因數(shù)，例如15=3×5，3和5叫做15的質(zhì)因數(shù)。把一種合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表達(dá)出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。例如把28分解質(zhì)因數(shù)幾種數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾種數(shù)的公約數(shù)。其中最大的一種，叫做這幾種數(shù)的最大公約數(shù)，例如12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12；18的約數(shù)有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和18的公約數(shù)，6是它們的最大公約數(shù)。公約數(shù)只有1的兩個數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)，成互質(zhì)關(guān)系的兩個數(shù)，有下列幾種狀況：1和任何自然數(shù)互質(zhì)。相鄰的兩個自然數(shù)互質(zhì)。兩個不一樣的質(zhì)數(shù)互質(zhì)。當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時，這個合數(shù)和這個質(zhì)數(shù)互質(zhì)。兩個合數(shù)的公約數(shù)只有1時，這兩個合數(shù)互質(zhì)，假如幾種數(shù)中任意兩個都互質(zhì)，就說這幾種數(shù)兩兩互質(zhì)。假如較小數(shù)是較大數(shù)的約數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)。假如兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，它們的最大公約數(shù)就是1。幾種數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾種數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一種，叫做這幾種數(shù)的最小公倍數(shù)，如2的倍數(shù)有2、4、6、8、10、12、14、16、18……3的倍數(shù)有3、6、9、12、15、18……其中6、12、18……是2、3的公倍數(shù)，6是它們的最小公倍數(shù)。。假如較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較大數(shù)就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。假如兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么這兩個數(shù)的積就是它們的最小公倍數(shù)。幾種數(shù)的公約數(shù)的個數(shù)是有限的，而幾種數(shù)的公倍數(shù)的個數(shù)是無限的。（二）小數(shù)1小數(shù)的意義把整數(shù)1平均提成10份、100份、1000份……得到的拾分之幾、百分之幾、仟分之幾……可以用小數(shù)表達(dá)。一位小數(shù)表達(dá)拾分之幾，兩位小數(shù)表達(dá)百分之幾，三位小數(shù)表達(dá)仟分之幾……一種小數(shù)由整數(shù)部分、小數(shù)部分和小數(shù)點部分構(gòu)成。數(shù)中的圓點叫做小數(shù)點，小數(shù)點左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分，小數(shù)點左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分，小數(shù)點右邊的數(shù)叫做小數(shù)部分。在小數(shù)裏，每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進(jìn)率都是10。小數(shù)部分的最高分?jǐn)?shù)單位“拾分之一”和整數(shù)部分的最低單位“一”之間的進(jìn)率也是10。2小數(shù)的分類純小數(shù)：整數(shù)部分是零的小數(shù)，叫做純小數(shù)。例如：0.25、0.368都是純小數(shù)。帶小數(shù)：整數(shù)部分不是零的小數(shù)，叫做帶小數(shù)。例如：3.25、5.26都是帶小數(shù)。有限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是有限的小數(shù)，叫做有限小數(shù)。例如：41.7、25.3、0.23都是有限小數(shù)。無限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是無限的小數(shù)，叫做無限小數(shù)。例如：4.33……3.1415926……無限不循環(huán)小數(shù)：一種數(shù)的小數(shù)部分，數(shù)字排列無規(guī)律且位數(shù)無限，這樣的小數(shù)叫做無限不循環(huán)小數(shù)。例如：∏循環(huán)小數(shù)：一種數(shù)的小數(shù)部分，有一種數(shù)字或者幾種數(shù)字依次不停反復(fù)出現(xiàn)，這個數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。例如：3.555……0.0333……12.109109……一種循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分，依次不停反復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字叫做這個循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)。例如：3.99……的循環(huán)節(jié)是“9”，0.5454……的循環(huán)節(jié)是“54”。純循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位開始的，叫做純循環(huán)小數(shù)。例如：3.111……0.5656……混循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位開始的，叫做混循環(huán)小數(shù)。3.1222……0.03333……寫循環(huán)小數(shù)的時候，為了簡便，小數(shù)的循環(huán)部分只需寫出一種循環(huán)節(jié)，并在這個循環(huán)節(jié)的首、末位數(shù)字上各點一種圓點。假如循環(huán)節(jié)只有一種數(shù)字，就只在它的上面點一種點。例如：3.777……簡寫作0.5302302……簡寫作。（三）分?jǐn)?shù)1分?jǐn)?shù)的意義把單位“1”平均提成若干份，表達(dá)這樣的一份或者幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。在分?jǐn)?shù)裏，中間的橫線叫做分?jǐn)?shù)線；分?jǐn)?shù)線下面的數(shù)，叫做分母，表達(dá)把單位“1”平均提成多少份；分?jǐn)?shù)線下面的數(shù)叫做分子，表達(dá)有這樣的多少份。把單位“1”平均提成若干份，表達(dá)其中的一份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)單位。2分?jǐn)?shù)的分類真分?jǐn)?shù)：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)。真分?jǐn)?shù)不不小于1。假分?jǐn)?shù)：分子比分母大或者分子和分母相等的分?jǐn)?shù)，叫做假分?jǐn)?shù)。假分?jǐn)?shù)不小于或等于1。帶分?jǐn)?shù)：假分?jǐn)?shù)可以寫成整數(shù)與真分?jǐn)?shù)合成的數(shù)，一般叫做帶分?jǐn)?shù)。3約分和通分把一種分?jǐn)?shù)化成同它相等不過度子、分母都比較小的分?jǐn)?shù)，叫做約分。分子分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)，叫做最簡分?jǐn)?shù)。把異分母分?jǐn)?shù)分別化成和本來分?jǐn)?shù)相等的同分母分?jǐn)?shù)，叫做通分。（四）百分?jǐn)?shù)1表達(dá)一種數(shù)是另一種數(shù)的百分之幾的數(shù)叫做百分?jǐn)?shù),也叫做百分率或比例。百分?jǐn)?shù)一般用"%"來表達(dá)。百分號是表達(dá)百分?jǐn)?shù)的符號。二措施（一）數(shù)的讀法和寫法1.整數(shù)的讀法：從高位到低位，一級一級地讀。讀億級、萬級時，先按照個級的讀法去讀，再在背面加一種“億”或“萬”字。每一級末尾的0都不讀出來，其他數(shù)位持續(xù)有幾種0都只讀一種零。2.整數(shù)的寫法：從高位到低位，一級一級地寫，哪一種數(shù)位上一種單位也沒有，就在那個數(shù)位上寫0。3.小數(shù)的讀法：讀小數(shù)的時候，整數(shù)部分按照整數(shù)的讀法讀，小數(shù)點讀作“點”，小數(shù)部分從左向右順次讀出每一位數(shù)位上的數(shù)字。4.小數(shù)的寫法：寫小數(shù)的時候，整數(shù)部分按照整數(shù)的寫法來寫，小數(shù)點寫在個位右下角，小數(shù)部分順次寫出每一種數(shù)位上的數(shù)字。5.分?jǐn)?shù)的讀法：讀分?jǐn)?shù)時，先讀分母再讀“分之”然後讀分子，分子和分母按照整數(shù)的讀法來讀。6.分?jǐn)?shù)的寫法：先寫分?jǐn)?shù)線，再寫分母，最終寫分子，按照整數(shù)的寫法來寫。7.百分?jǐn)?shù)的讀法：讀百分?jǐn)?shù)時，先讀百分之，再讀百分號前面的數(shù)，讀數(shù)時按照整數(shù)的讀法來讀。8.百分?jǐn)?shù)的寫法：百分?jǐn)?shù)一般不寫成分?jǐn)?shù)形式，而在本來的分子背面加上百分號“%”來表達(dá)。（二）數(shù)的改寫一種較大的多位數(shù)，為了讀寫以便，常常把它改寫成用“萬”或“億”作單位的數(shù)。有時還可以根據(jù)需要，省略這個數(shù)某一位背面的數(shù)，寫成近似數(shù)。1.精確數(shù)：在實際生活中，為了計數(shù)的簡便，可以把一種較大的數(shù)改寫成以萬或億為單位的數(shù)。改寫後的數(shù)是原數(shù)的精確數(shù)。例如把改寫成以萬做單位的數(shù)是125430萬；改寫成以億做單位的數(shù)12.543億。2.近似數(shù)：根據(jù)實際需要，我們還可以把一種較大的數(shù)，省略某一位背面的尾數(shù)，用一種近似數(shù)來表達(dá)。例如：省略億背面的尾數(shù)是13億。3.四舍五入法：要省略的尾數(shù)的最高位上的數(shù)是4或者比4小，就把尾數(shù)去掉；假如尾數(shù)的最高位上的數(shù)是5或者比5大，就把尾數(shù)舍去，并向它的前一位進(jìn)1。例如：省略345900萬背面的尾數(shù)約是35萬。省略億背面的尾數(shù)約是47億。4.大小比較1.比較整數(shù)大?。罕容^整數(shù)的大小，位數(shù)多的那個數(shù)就大，假如位數(shù)相似，就看最高位，最高位上的數(shù)大，那個數(shù)就大；最高位上的數(shù)相似，就看下一位，哪一位上的數(shù)大那個數(shù)就大。2.比較小數(shù)的大?。合瓤此鼈兊恼麛?shù)部分，，整數(shù)部分大的那個數(shù)就大；整數(shù)部分相似的，拾分位上的數(shù)大的那個數(shù)就大；拾分位上的數(shù)也相似的，百分位上的數(shù)大的那個數(shù)就大……3.比較分?jǐn)?shù)的大小:分母相似的分?jǐn)?shù)，分子大的分?jǐn)?shù)比較大；分子相似的數(shù)，分母小的分?jǐn)?shù)大。分?jǐn)?shù)的分母和分子都不相似的，先通分，再比較兩個數(shù)的大小。（三）數(shù)的互化1.小數(shù)化成分?jǐn)?shù)：本來有幾位小數(shù)，就在1的背面寫幾種零作分母，把本來的小數(shù)去掉小數(shù)點作分子，能約分的要約分。2.分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：用分母清除分子。能除盡的就化成有限小數(shù)，有的不能除盡，不能化成有限小數(shù)的，一般保留三位小數(shù)。3.一種最簡分?jǐn)?shù)，假如分母中除了2和5以外，不具有其他的質(zhì)因數(shù)，這個分?jǐn)?shù)就能化成有限小數(shù)；假如分母中具有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，這個分?jǐn)?shù)就不能化成有限小數(shù)。4.小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)：只要把小數(shù)點向右移動兩位，同步在背面添上百分號。5.百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：把百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，只要把百分號去掉，同步把小數(shù)點向左移動兩位。6.分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù)：一般先把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)（除不盡時，一般保留三位小數(shù))，再把小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)。7.百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：先把百分?jǐn)?shù)改寫成分?jǐn)?shù)，能約分的要約成最簡分?jǐn)?shù)。（四）數(shù)的整除1.把一種合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，一般用短除法。先用能整除這個合數(shù)的質(zhì)數(shù)清除，一直除到商是質(zhì)數(shù)為止，再把除數(shù)和商寫成連乘的形式。2.求幾種數(shù)的最大公約數(shù)的措施是：先用這幾種數(shù)的公約數(shù)持續(xù)清除，一直除到所得的商只有公約數(shù)1為止，然後把所有的除數(shù)連乘求積，這個積就是這幾種數(shù)的的最大公約數(shù)。3.求幾種數(shù)的最小公倍數(shù)的措施是：先用這幾種數(shù)（或其中的部分?jǐn)?shù)）的公約數(shù)清除，一直除到互質(zhì)（或兩兩互質(zhì)）為止，然後把所有的除數(shù)和商連乘求積，這個積就是這幾種數(shù)的最小公倍數(shù)。4.成為互質(zhì)關(guān)系的兩個數(shù)：1和任何自然數(shù)互質(zhì)；相鄰的兩個自然數(shù)互質(zhì)；當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時，這個合數(shù)和這個質(zhì)數(shù)互質(zhì)；兩個合數(shù)的公約數(shù)只有1時，這兩個合數(shù)互質(zhì)。（五）約分和通分約分的措施：用分子和分母的公約數(shù)（1除外）清除分子、分母；一般要除到得出最簡分?jǐn)?shù)為止。通分的措施：先求出本來的幾種分?jǐn)?shù)分母的最小公倍數(shù)，然後把各分?jǐn)?shù)化成用這個最小公倍數(shù)作分母的分?jǐn)?shù)。三性質(zhì)和規(guī)律（一）商不變的規(guī)律商不變的規(guī)律：在除法裏，被除數(shù)和除數(shù)同步擴大或者同步縮小相似的倍，商不變。（二）小數(shù)的性質(zhì)小數(shù)的性質(zhì)：在小數(shù)的末尾添上零或者去掉零小數(shù)的大小不變。（三）小數(shù)點位置的移動引起小數(shù)大小的變化1.小數(shù)點向右移動一位，本來的數(shù)就擴大10倍；小數(shù)點向右移動兩位，本來的數(shù)就擴大100倍；小數(shù)點向右移動三位，本來的數(shù)就擴大1000倍……2.小數(shù)點向左移動一位，本來的數(shù)就縮小10倍；小數(shù)點向左移動兩位，本來的數(shù)就縮小100倍；小數(shù)點向左移動三位，本來的數(shù)就縮小1000倍……3.小數(shù)點向左移或者向右移位數(shù)不夠時，要用“0"補足位。（四）分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母都乘以或者除以相似的數(shù)（零除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。（五）分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系1.被除數(shù)÷除數(shù)=被除數(shù)/除數(shù)2.由于零不能作除數(shù)，因此分?jǐn)?shù)的分母不能為零。3.被除數(shù)相稱于分子，除數(shù)相稱于分母。四運算的意義（一）整數(shù)四則運算1整數(shù)加法：把兩個數(shù)合并成一種數(shù)的運算叫做加法。在加法裏，相加的數(shù)叫做加數(shù)，加得的數(shù)叫做和。加數(shù)是部分?jǐn)?shù)，和是總數(shù)。加數(shù)+加數(shù)=和一種加數(shù)=和－另一種加數(shù)2整數(shù)減法：已知兩個加數(shù)的和與其中的一種加數(shù)，求另一種加數(shù)的運算叫做減法。在減法裏，已知的和叫做被減數(shù)，已知的加數(shù)叫做減數(shù)，未知的加數(shù)叫做差。被減數(shù)是總數(shù)，減數(shù)和差分別是部分?jǐn)?shù)。加法和減法互為逆運算。3整數(shù)乘法：求幾種相似加數(shù)的和的簡便運算叫做乘法。在乘法裏，相似的加數(shù)和相似加數(shù)的個數(shù)都叫做因數(shù)。相似加數(shù)的和叫做積。在乘法裏，0和任何數(shù)相乘都得0.1和任何數(shù)相乘都的任何數(shù)。一種因數(shù)×一種因數(shù)=積一種因數(shù)=積÷另一種因數(shù)4整數(shù)除法：已知兩個因數(shù)的積與其中一種因數(shù)，求另一種因數(shù)的運算叫做除法。在除法裏，已知的積叫做被除數(shù)，已知的一種因數(shù)叫做除數(shù)，所求的因數(shù)叫做商。乘法和除法互為逆運算。在除法裏，0不能做除數(shù)。由于0和任何數(shù)相乘都得0，因此任何一種數(shù)除以0，均得不到一種確定的商。被除數(shù)÷除數(shù)=商除數(shù)=被除數(shù)÷商被除數(shù)=商×除數(shù)（二）小數(shù)四則運算1.小數(shù)加法：小數(shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相似。是把兩個數(shù)合并成一種數(shù)的運算。2.小數(shù)減法：小數(shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相似。已知兩個加數(shù)的和與其中的一種加數(shù)，求另一種加數(shù)的運算.3.小數(shù)乘法：小數(shù)乘整數(shù)的意義和整數(shù)乘法的意義相似，就是求幾種相似加數(shù)和的簡便運算；一種數(shù)乘純小數(shù)的意義是求這個數(shù)的拾分之幾、百分之幾、仟分之幾……是多少。4.小數(shù)除法：小數(shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相似，就是已知兩個因數(shù)的積與其中一種因數(shù)，求另一種因數(shù)的運算。5.乘方:求幾種相似因數(shù)的積的運算叫做乘方。例如3×3=32（三）分?jǐn)?shù)四則運算1.分?jǐn)?shù)加法：分?jǐn)?shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相似。是把兩個數(shù)合并成一種數(shù)的運算。2.分?jǐn)?shù)減法：分?jǐn)?shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相似。已知兩個加數(shù)的和與其中的一種加數(shù)，求另一種加數(shù)的運算。3.分?jǐn)?shù)乘法：分?jǐn)?shù)乘法的意義與整數(shù)乘法的意義相似，就是求幾種相似加數(shù)和的簡便運算。4.乘積是1的兩個數(shù)叫做互為倒數(shù)。5.分?jǐn)?shù)除法：分?jǐn)?shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相似。就是已知兩個因數(shù)的積與其中一種因數(shù)，求另一種因數(shù)的運算。（四）運算定律1.加法互換律：兩個數(shù)相加，互換加數(shù)的位置，它們的和不變，即a+b=b+a。2.加法結(jié)合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，再加上第三個數(shù)；或者先把後兩個數(shù)相加，再和第一種數(shù)相加它們的和不變，即（a+b)+c=a+(b+c)。3.乘法互換律：兩個數(shù)相乘，互換因數(shù)的位置它們的積不變，即a×b=b×a。4.乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，再乘以第三個數(shù)；或者先把後兩個數(shù)相乘，再和第一種數(shù)相乘，它們的積不變，即(a×b)×c=a×(b×c)。5.乘法分派律：兩個數(shù)的和與一種數(shù)相乘，可以把兩個加數(shù)分別與這個數(shù)相乘再把兩個積相加，即(a+b)×c=a×c+b×c。6.減法的性質(zhì)：從一種數(shù)裏持續(xù)減去幾種數(shù)，可以從這個數(shù)裏減去所有減數(shù)的和，差不變，即a-b-c=a-(b+c)。（五）運算法則1.整數(shù)加法計算法則：相似數(shù)位對齊，從低位加起，哪一位上的數(shù)相加滿拾，就向前一位進(jìn)一。2.整數(shù)減法計算法則：相似數(shù)位對齊，從低位加起，哪一位上的數(shù)不夠減，就從它的前一位退一作拾，和本位上的數(shù)合并在一起，再減。3.整數(shù)乘法計算法則：先用一種因數(shù)每一位上的數(shù)分別去乘另一種因數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)，用因數(shù)哪一位上的數(shù)去乘，乘得的數(shù)的末尾就對齊哪一位，然後把各次乘得的數(shù)加起來。4.整數(shù)除法計算法則：先從被除數(shù)的高位除起，除數(shù)是幾位數(shù)，就看被除數(shù)的前幾位；假如不夠除，就多看一位，除到被除數(shù)的哪一位，商就寫在哪一位的上面。假如哪一位上不夠商1，要補“0”占位。每次除得的余數(shù)要不不小于除數(shù)。5.小數(shù)乘法法則：先按照整數(shù)乘法的計算法則算出積，再看因數(shù)中共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位，點上小數(shù)點；假如位數(shù)不夠，就用“0”補足。6.除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法計算法則：先按照整數(shù)除法的法則清除，商的小數(shù)點要和被除數(shù)的小數(shù)點對齊；假如除到被除數(shù)的末尾仍有余數(shù)，就在余數(shù)背面添“0”，再繼續(xù)除。7.除數(shù)是小數(shù)的除法計算法則：先移動除數(shù)的小數(shù)點，使它變成整數(shù)，除數(shù)的小數(shù)點也向右移動幾位（位數(shù)不夠的補“0”），然後按照除數(shù)是整數(shù)的除法法則進(jìn)行計算。8.同分母分?jǐn)?shù)加減法計算措施:同分母分?jǐn)?shù)相加減，只把分子相加減，分母不變。9.異分母分?jǐn)?shù)加減法計算措施:先通分，然後按照同分母分?jǐn)?shù)加減法的的法則進(jìn)行計算。10.帶分?jǐn)?shù)加減法的計算措施:整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分分別相加減，再把所得的數(shù)合并起來。11.分?jǐn)?shù)乘法的計算法則:分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，用分?jǐn)?shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子，分母不變；分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。12.分?jǐn)?shù)除法的計算法則:甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)。（六）運算次序1.小數(shù)四則運算的運算次序和整數(shù)四則運算次序相似。2.分?jǐn)?shù)四則運算的運算次序和整數(shù)四則運算次序相似。3.沒有括號的混合運算:同級運算從左往右依次運算；兩級運算先算乘、除法，後算加減法。4.有括號的混合運算:先算小括號裏面的，再算中括號裏面的，最終算括號外面的。5.第一級運算：加法和減法叫做第一級運算。6.第二級運算：乘法和除法叫做第二級運算。五應(yīng)用（一）整數(shù)和小數(shù)的應(yīng)用1簡樸應(yīng)用題（1）簡樸應(yīng)用題：只具有一種基本數(shù)量關(guān)系，或用一步運算解答的應(yīng)用題，一般叫做簡樸應(yīng)用題。（2）解題環(huán)節(jié)：a審題理解題意：理解應(yīng)用題的內(nèi)容，懂得應(yīng)用題的條件和問題。讀題時，不丟字不添字邊讀邊思索，弄明白題中每句話的意思。也可以復(fù)述條件和問題，協(xié)助理解題意。b選擇算法和列式計算：這是解答應(yīng)用題的中心工作。從題目中告訴什么，規(guī)定什么著手，逐漸根據(jù)所給的條件和問題，聯(lián)絡(luò)四則運算的含義，分析數(shù)量關(guān)系，確定算法，進(jìn)行解答并標(biāo)明對的的單位名稱。C檢查：就是根據(jù)應(yīng)用題的條件和問題進(jìn)行檢查看所列算式和計算過程與否對的，與否符合題意。假如發(fā)現(xiàn)錯誤，立即改正。2復(fù)合應(yīng)用題（1）有兩個或兩個以上的基本數(shù)量關(guān)系構(gòu)成的，用兩步或兩步以上運算解答的應(yīng)用題，一般叫做復(fù)合應(yīng)用題。（2）具有三個已知條件的兩步計算的應(yīng)用題。求比兩個數(shù)的和多（少）幾種數(shù)的應(yīng)用題。比較兩數(shù)差與倍數(shù)關(guān)系的應(yīng)用題。（3）具有兩個已知條件的兩步計算的應(yīng)用題。已知兩數(shù)相差多少（或倍數(shù)關(guān)系）與其中一種數(shù)，求兩個數(shù)的和（或差）。已知兩數(shù)之和與其中一種數(shù)，求兩個數(shù)相差多少（或倍數(shù)關(guān)系）。（4）解答連乘連除應(yīng)用題。（5）解答三步計算的應(yīng)用題。（6）解答小數(shù)計算的應(yīng)用題：小數(shù)計算的加法、減法、乘法和除法的應(yīng)用題，他們的數(shù)量關(guān)系、構(gòu)造、和解題方式都與正式應(yīng)用題基本相似，只是在已知數(shù)或未知數(shù)中間具有小數(shù)。d答案：根據(jù)計算的成果，先口答，逐漸過渡到筆答。(3)解答加法應(yīng)用題：a求總數(shù)的應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少，乙數(shù)是多少，求甲乙兩數(shù)的和是多少。b求比一種數(shù)多幾的數(shù)應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少和乙數(shù)比甲數(shù)多多少，求乙數(shù)是多少。(4)解答減法應(yīng)用題：a求剩余的應(yīng)用題：從已知數(shù)中去掉一部分，求剩余的部分。-b求兩個數(shù)相差的多少的應(yīng)用題：已知甲乙兩數(shù)各是多少，求甲數(shù)比乙數(shù)多多少，或乙數(shù)比甲數(shù)少多少。c求比一種數(shù)少幾的數(shù)的應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少，，乙數(shù)比甲數(shù)少多少，求乙數(shù)是多少。(5)解答乘法應(yīng)用題：a求相似加數(shù)和的應(yīng)用題：已知相似的加數(shù)和相似加數(shù)的個數(shù)，求總數(shù)。b求一種數(shù)的幾倍是多少的應(yīng)用題：已知一種數(shù)是多少，另一種數(shù)是它的幾倍，求另一種數(shù)是多少。(6)解答除法應(yīng)用題：a把一種數(shù)平均提成幾份，求每一份是多少的應(yīng)用題：已知一種數(shù)和把這個數(shù)平均提成幾份的，求每一份是多少。b求一種數(shù)裏包括幾種另一種數(shù)的應(yīng)用題：已知一種數(shù)和每份是多少，求可以提成幾份。C求一種數(shù)是另一種數(shù)的的幾倍的應(yīng)用題：已知甲數(shù)乙數(shù)各是多少，求較大數(shù)是較小數(shù)的幾倍。d已知一種數(shù)的幾倍是多少，求這個數(shù)的應(yīng)用題。（7）常見的數(shù)量關(guān)系：總價=單價×數(shù)量旅程=速度×?xí)r間工作總量=工作時間×工效總產(chǎn)量=單產(chǎn)量×數(shù)量3經(jīng)典應(yīng)用題具有獨特的構(gòu)造特性的和特定的解題規(guī)律的復(fù)合應(yīng)用題，一般叫做經(jīng)典應(yīng)用題。（1）平均數(shù)問題：平均數(shù)是等分除法的發(fā)展。解題關(guān)鍵：在于確定總數(shù)量和與之相對應(yīng)的總份數(shù)。算術(shù)平均數(shù)：已知幾種不相等的同類量和與之相對應(yīng)的份數(shù)，求平均每份是多少。數(shù)量關(guān)系式：數(shù)量之和÷數(shù)量的個數(shù)=算術(shù)平均數(shù)。加權(quán)平均數(shù)：已知兩個以上若干份的平均數(shù)，求總平均數(shù)是多少。數(shù)量關(guān)系式（部分平均數(shù)×權(quán)數(shù)）的總和÷（權(quán)數(shù)的和）=加權(quán)平均數(shù)。差額平均數(shù)：是把各個不小于或不不小于原則數(shù)的部分之和被總份數(shù)均分，求的是原則數(shù)與各數(shù)相差之和的平均數(shù)。數(shù)量關(guān)系式：（大數(shù)－小數(shù)）÷2=小數(shù)應(yīng)得數(shù)最大數(shù)與各數(shù)之差的和÷總份數(shù)=最大數(shù)應(yīng)給數(shù)最大數(shù)與個數(shù)之差的和÷總份數(shù)=最小數(shù)應(yīng)得數(shù)。例：一輛汽車以每小時100仟米的速度從甲地開往乙地，又以每小時60仟米的速度從乙地開往甲地。求這輛車的平均速度。分析：求汽車的平均速度同樣可以運用公式。此題可以把甲地到乙地的旅程設(shè)為“1”，則汽車行駛的總旅程為“2”，從甲地到乙地的速度為100，所用的時間為，汽車從乙地到甲地速度為60仟米，所用的時間是，汽車共行的時間為+=,汽車的平均速度為2÷=75（仟米）（2）歸一問題：已知互相關(guān)聯(lián)的兩個量，其中一種量變化，另一種量也隨之而變化，其變化的規(guī)律是相似的，這種問題稱之為歸一問題。根據(jù)求“單一量”的環(huán)節(jié)的多少，歸一問題可以分為一次歸一問題，兩次歸一問題。根據(jù)球癡單一量之後，解題采用乘法還是除法，歸一問題可以分為正歸一問題，反歸一問題。一次歸一問題，用一步運算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“單歸一?！眱纱螝w一問題，用兩步運算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“雙歸一?！闭龤w一問題：用等分除法求出“單一量”之後，再用乘法計算成果的歸一問題。反歸一問題：用等分除法求出“單一量”之後，再用除法計算成果的歸一問題。解題關(guān)鍵：從已知的一組對應(yīng)量中用等分除法求出一份的數(shù)量（單一量），然後以它為原則，根據(jù)題目的規(guī)定算出成果。數(shù)量關(guān)系式：單一量×份數(shù)=總數(shù)量（正歸一）總數(shù)量÷單一量=份數(shù)（反歸一）例一種織布工人，在七月份織布4774米，照這樣計算，織布6930米，需要多少天？分析：必須先求出平均每天織布多少米，就是單一量。6930÷（4774÷31）=45（天）（3）歸總問題：是已知單位數(shù)量和計量單位數(shù)量的個數(shù)，以及不一樣的單位數(shù)量（或單位數(shù)量的個數(shù)），通過求總數(shù)量求得單位數(shù)量的個數(shù)（或單位數(shù)量）。特點：兩種有關(guān)聯(lián)的量，其中一種量變化，另一種量也跟著變化，不過變化的規(guī)律相反，和反比例算法彼此相通。數(shù)量關(guān)系式：單位數(shù)量×單位個數(shù)÷另一種單位數(shù)量=另一種單位數(shù)量單位數(shù)量×單位個數(shù)÷另一種單位數(shù)量=另一種單位數(shù)量。例修一條水渠，原計劃每天修800米，6天修完。實際4天修完，每天修了多少米？分析：由于規(guī)定出每天修的長度，就必須先求出水渠的長度。因此也把此類應(yīng)用題叫做“歸總問題”。不一樣之處是“歸一”先求出單一量，再求總量，歸總問題是先求出總量，再求單一量。800×6÷4=1200（米）（4）和差問題：已知大小兩個數(shù)的和，以及他們的差，求這兩個數(shù)各是多少的應(yīng)用題叫做和差問題。解題關(guān)鍵：是把大小兩個數(shù)的和轉(zhuǎn)化成兩個大數(shù)的和（或兩個小數(shù)的和），然後再求另一種數(shù)。解題規(guī)律：（和＋差）÷2=大數(shù)大數(shù)－差=小數(shù)（和－差）÷2=小數(shù)和－小數(shù)=大數(shù)例某加工廠甲班和乙班共有工人94人，因工作需要臨時從乙班調(diào)46人到甲班工作，這時乙班比甲班人數(shù)少12人，求本來甲班和乙班各有多少人？分析：從乙班調(diào)46人到甲班，對于總數(shù)沒有變化，目前把乙數(shù)轉(zhuǎn)化成2個乙班，即94－12，由此得到目前的乙班是（94－12）÷2=41（人），乙班在調(diào)出46人之前應(yīng)當(dāng)為41+46=87（人），甲班為94－87=7（人）（5）和倍問題：已知兩個數(shù)的和及它們之間的倍數(shù)關(guān)系，求兩個數(shù)各是多少的應(yīng)用題，叫做和倍問題。解題關(guān)鍵：找準(zhǔn)原則數(shù)（即1倍數(shù)）一般說來，題中說是“誰”的幾倍，把誰就確定為原則數(shù)。求出倍數(shù)和之後，再求出原則的數(shù)量是多少。根據(jù)另一種數(shù)（也也許是幾種數(shù)）與原則數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，再去求另一種數(shù)（或幾種數(shù)）的數(shù)量。解題規(guī)律：和÷倍數(shù)和=原則數(shù)原則數(shù)×倍數(shù)=另一種數(shù)例:汽車運送場有大小貨車115輛，大貨車比小貨車的5倍多7輛，運送場有大貨車和小汽車各有多少輛？分析：大貨車比小貨車的5倍還多7輛，這7輛也在總數(shù)115輛內(nèi)，為了使總數(shù)與（5+1）倍對應(yīng)，總車輛數(shù)應(yīng)（115-7）輛。列式為（115-7）÷（5+1）=18（輛），18×5+7=97（輛）（6）差倍問題：已知兩個數(shù)的差，及兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求兩個數(shù)各是多少的應(yīng)用題。解題規(guī)律：兩個數(shù)的差÷（倍數(shù)－1）=原則數(shù)原則數(shù)×倍數(shù)=另一種數(shù)。例甲乙兩根繩子，甲繩長63米，乙繩長29米，兩根繩剪去同樣的長度，成果甲所剩的長度是乙繩長的3倍，甲乙兩繩所剩長度各多少米？各減去多少米？分析：兩根繩子剪去相似的一段，長度差沒變，甲繩所剩的長度是乙繩的3倍，實比乙繩多（3-1）倍，以乙繩的長度為原則數(shù)。列式（63-29）÷（3-1）=17（米）…乙繩剩余的長度，17×3=51（米）…甲繩剩余的長度，29-17=12（米）…剪去的長度。（7）行程問題：有關(guān)走路、行車等問題，一般都是計算旅程、時間、速度，叫做行程問題。解答此類問題首先要弄清晰速度、時間、旅程、方向、杜速度和、速度差等概念，理解他們之間的關(guān)系，再根據(jù)此類問題的規(guī)律解答。解題關(guān)鍵及規(guī)律：同步同地相背而行：旅程=速度和×?xí)r間。同步相向而行：相遇時間=速度和×?xí)r間同步同向而行（速度慢的在前，快的在後）：追及時間=旅程速度差。同步同地同向而行（速度慢的在後，快的在前）：旅程=速度差×?xí)r間。例甲在乙的背面28仟米，兩人同步同向而行，甲每小時行16仟米，乙每小時行9仟米，甲幾小時追上乙？分析：甲每小時比乙多行（16-9）仟米，也就是甲每小時可以追近乙（16-9）仟米，這是速度差。已知甲在乙的背面28仟米（追擊旅程），28仟米裏包括著幾種（16-9）仟米，也就是追擊所需要的時間。列式28÷（16-9）=4（小時）（8）流水問題：一般是研究船在“流水”中航行的問題。它是行程問題中比較特殊的一種類型，它也是一種和差問題。它的特點重要是考慮水速在逆行和順行中的不一樣作用。船速：船在靜水中航行的速度。水速：水流動的速度。順?biāo)俣龋捍樍骱叫械乃俣?。逆水速度：船逆流航行的速度。順?biāo)?船速＋水速逆速=船速－水速解題關(guān)鍵：由于順流速度是船速與水速的和，逆流速度是船速與水速的差，因此流水問題當(dāng)作和差問題解答。解題時要以水流為線索。解題規(guī)律：船行速度=（順?biāo)俣?逆流速度）÷2流水速度=（順流速度逆流速度）÷2旅程=順流速度×順流航行所需時間旅程=逆流速度×逆流航行所需時間例一只輪船從甲地開往乙地順?biāo)?，每小時行28仟米，到乙地後，又逆水航行，回到甲地。逆水比順?biāo)嘈?小時，已知水速每小時4仟米。求甲乙兩地相距多少仟米？分析：此題必須先懂得順?biāo)乃俣群晚標(biāo)枰臅r間，或者逆水速度和逆水的時間。已知順?biāo)俣群退魉俣?，因此不難算出逆水的速度，但順?biāo)玫臅r間，逆水所用的時間不懂得，只懂得順?biāo)饶嫠儆?小時，抓住這一點，就可以就能算出順?biāo)畯募椎氐揭业氐乃玫臅r間，這樣就能算出甲乙兩地的旅程。列式為284×2=20（仟米）20×2=40（仟米）40÷（4×2）=5（小時）28×5=140（仟米）。（9）還原問題：已知某未知數(shù)，通過一定的四則運算後所得的成果，求這個未知數(shù)的應(yīng)用題，我們叫做還原問題。解題關(guān)鍵：要弄清每一步變化與未知數(shù)的關(guān)系。解題規(guī)律：從最終成果出發(fā)，采用與原題中相反的運算（逆運算）措施，逐漸推導(dǎo)出原數(shù)。根據(jù)原題的運算次序列出數(shù)量關(guān)系，然後采用逆運算的措施計算推導(dǎo)出原數(shù)。解答還原問題時注意觀測運算的次序。若需要先算加減法，後算乘除法時別忘掉寫括號。例某小學(xué)三年級四個班共有學(xué)生168人，假如四班調(diào)3人到三班，三班調(diào)6人到二班，二班調(diào)6人到一班，一班調(diào)2人到四班，則四個班的人數(shù)相等，四個班原有學(xué)生多少人？分析：當(dāng)四個班人數(shù)相等時，應(yīng)為168÷4，以四班為例，它調(diào)給三班3人，又從一班調(diào)入2人，因此四班原有的人數(shù)減去3再加上2等于平均數(shù)。四班原有人數(shù)列式為168÷4-2+3=43（人）一班原有人數(shù)列式為168÷4-6+2=38（人）；二班原有人數(shù)列式為168÷4-6+6=42（人）三班原有人數(shù)列式為168÷4-3+6=45（人）。（10）植樹問題：此類應(yīng)用題是以“植樹”為內(nèi)容。但凡研究總旅程、株距、段數(shù)、棵樹四種數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用題，叫做植樹問題。解題關(guān)鍵：解答植樹問題首先要判斷地形，分清與否封閉圖形，從而確定是沿線段植樹還是沿周長植樹，然後按基本公式進(jìn)行計算。解題規(guī)律：沿線段植樹棵樹=段數(shù)+1棵樹=總旅程÷株距+1株距=總旅程÷（棵樹-1）總旅程=株距×（棵樹-1）沿周長植樹棵樹=總旅程÷株距株距=總旅程÷棵樹總旅程=株距×棵樹例沿公路一旁埋電線桿301根，每相鄰的兩根的間距是50米。後來所有改裝，只埋了201根。求改裝後每相鄰兩根的間距。分析：本題是沿線段埋電線桿，要把電線桿的根數(shù)減掉一。列式為50×（301-1）÷（201-1）=75（米）（11）盈虧問題：是在等分除法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。他的特點是把一定數(shù)量的物品，平均分派給一定數(shù)量的人，在兩次分派中，一次有余，一次局限性（或兩次均有余），或兩次都局限性），已知所余和局限性的數(shù)量，求物品適量和參與分派人數(shù)的問題，叫做盈虧問題。解題關(guān)鍵：盈虧問題的解法要點是先求兩次分派中分派者沒份所得物品數(shù)量的差，再求兩次分派中各次共分物品的差（也稱總差額），用前一種差清除後一種差，就得到分派者的數(shù)，進(jìn)而再求得物品數(shù)。解題規(guī)律：總差額÷每人差額=人數(shù)總差額的求法可以分為如下四種狀況：第一次多出，第二次局限性，總差額=多出+局限性第一次恰好，第二次多出或局限性，總差額=多出或局限性第一次多出，第二次也多出，總差額=大多出-小多出第一次局限性，第二次也局限性，總差額=大局限性-小局限性例參與美術(shù)小組的同學(xué)，每個人分的相似的支數(shù)的色筆，假如小組10人，則多25支，假如小組有12人，色筆多出5支。求每人分得幾支？共有多少支色鉛筆？分析：每個同學(xué)分到的色筆相等。這個活動小組有12人，比10人多2人，而色筆多出了（25-5）=20支，2個人多出20支，一種人分得10支。列式為（25-5）÷（12-10）=10（支）10×12+5=125（支）。（12）年齡問題：將差為一定值的兩個數(shù)作為題中的一種條件，這種應(yīng)用題被稱為“年齡問題”。解題關(guān)鍵：年齡問題與和差、和倍、差倍問題類似，重要特點是伴隨時間的變化，年歲不停增長，但大小兩個不一樣年齡的差是不會變化的，因此，年齡問題是一種“差不變”的問題，解題時，要善于運用差不變的特點。例父親48歲，兒子21歲。問幾年前父親的年齡是兒子的4倍？分析：父子的年齡差為48-21=27（歲）。由于幾年前父親年齡是兒子的4倍，可知父子年齡的倍數(shù)差是（4-1）倍。這樣可以算出幾年前父子的年齡，從而可以求出幾年前父親的年齡是兒子的4倍。列式為：21（48-21）÷（4-1）=12（年）（13）雞兔問題：已知“雞兔”的總頭數(shù)和總腿數(shù)。求“雞”和“兔”各多少只的一類應(yīng)用題。一般稱為“雞兔問題”又稱雞兔同籠問題解題關(guān)鍵：解答雞兔問題一般采用假設(shè)法，假設(shè)全是一種動物（如全是“雞”或全是“兔”，然後根據(jù)出現(xiàn)的腿數(shù)差，可推算出某一種的頭數(shù)。解題規(guī)律：（總腿數(shù)－雞腿數(shù)×總頭數(shù)）÷一只雞兔腿數(shù)的差=兔子只數(shù)兔子只數(shù)=（總腿數(shù)-2×總頭數(shù)）÷2假如假設(shè)全是兔子，可以有下面的式子：雞的只數(shù)=（4×總頭數(shù)-總腿數(shù)）÷2兔的頭數(shù)=總頭數(shù)-雞的只數(shù)例雞兔同籠共50個頭，170條腿。問雞兔各有多少只？兔子只數(shù)（170-2×50）÷2=35（只）雞的只數(shù)50-35=15（只）-（二）分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用1分?jǐn)?shù)加減法應(yīng)用題：分?jǐn)?shù)加減法的應(yīng)用題與整數(shù)加減法的應(yīng)用題的構(gòu)造、數(shù)量關(guān)系和解題措施基本相似，所不一樣的只是在已知數(shù)或未知數(shù)中具有分?jǐn)?shù)。2分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題：是指已知一種數(shù)，求它的幾分之幾是多少的應(yīng)用題。特性：已知單位“1”的量和分率，求與分率所對應(yīng)的實際數(shù)量。解題關(guān)鍵：精確判斷單位“1”的量。找準(zhǔn)規(guī)定問題所對應(yīng)的分率，然後根據(jù)一種數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義對的列式。3分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題：求一種數(shù)是另一種數(shù)的幾分之幾（或百分之幾）是多少。特性：已知一種數(shù)和另一種數(shù)，求一種數(shù)是另一種數(shù)的幾分之幾或百分之幾。“一種數(shù)”是比較勁，“另一種數(shù)”是原則量。求分率或百分率，也就是求他們的倍數(shù)關(guān)系。解題關(guān)鍵：從問題入手，弄清把誰看作原則的數(shù)也就是把誰看作了“單位一”，誰和單位一的量作比較，誰就作被除數(shù)。甲是乙的幾分之幾（百分之幾）:甲是比較勁，乙是原則量，用甲除以乙。甲比乙多（或少）幾分之幾（百分之幾）：甲減乙比乙多（或少幾分之幾）或（百分之幾）。關(guān)系式（甲數(shù)減乙數(shù)）/乙數(shù)或（甲數(shù)減乙數(shù)）/甲數(shù)。已知一種數(shù)的幾分之幾（或百分之幾),求這個數(shù)。特性：已知一種實際數(shù)量和它相對應(yīng)的分率，求單位“1”的量。解題關(guān)鍵：精確判斷單位“1”的量把單位“1”的量當(dāng)作x根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義列方程，或者根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義列算式，但必須找準(zhǔn)和分率相對應(yīng)的已知實際數(shù)量。4出勤率發(fā)芽率=發(fā)芽種子數(shù)/試驗種子數(shù)×100%小麥的出粉率=面粉的重量/小麥的重量×100%產(chǎn)品的合格率=合格的產(chǎn)品數(shù)/產(chǎn)品總數(shù)×100%職工的出勤率=實際出勤人數(shù)/應(yīng)出勤人數(shù)×100%5工程問題：是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的特例，它與整數(shù)的工作問題有著親密的聯(lián)絡(luò)。它是探討工作總量、工作效率和工作時間三個數(shù)量之間互相關(guān)系的一種應(yīng)用題。解題關(guān)鍵：把工作總量看作單位“1”，工作效率就是工作時間的倒數(shù)，然後根據(jù)題目的詳細(xì)狀況，靈活運用公式。數(shù)量關(guān)系式：工作總量=工作效率×工作時間工作效率=工作總量÷工作時間工作時間=工作總量÷工作效率工作總量÷工作效率和=合作時間6納稅納稅就是把根據(jù)國家多種稅法的有關(guān)規(guī)定，按照一定的比率把集體或個人收入的一部分繳納給國家。繳納的稅款叫應(yīng)納稅款。應(yīng)納稅額與多種收入的（銷售額、營業(yè)額、應(yīng)納稅所得額……）的比率叫做稅率。*利息存入銀行的錢叫做本金。取款時銀行多支付的錢叫做利息。利息與本金的比值叫做利率。利息=本金×利率×?xí)r間--第二章度量衡一長度(一)什么是長度長度是一維空間的度量。(二)長度常用單位*公裏(km)*米(m)*分米(dm)*厘米(cm)*毫米(mm)*微米(um)(三)單位之間的換算*1毫米＝1000微米*1厘米＝10毫米*1分米＝10厘米*1米＝1000毫米*1仟米＝1000米二面積（一）什么是面積面積，就是物體所占平面的大小。對立體物體的表面的多少的測量一般稱表面積。（二）常用的面積單位*平方毫米*平方厘米*平方分米*平方米*平方仟米（三）面積單位的換算*1平方厘米＝100平方毫米*1平方分米=100平方厘米*1平方米＝100平方分米*1公傾＝10000平方米*1平方公裏＝100公頃三體積和容積（一）什么是體積、容積體積，就是物體所占空間的大小。容積，箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，一般叫做它們的容積。（二）常用單位1體積單位*立方米*立方分米*立方厘米2容積單位*升*毫升（三）單位換算1體積單位*1立方米=1000立方分米*1立方分米=1000立方厘米2容積單位*1升=1000毫升*1升=1立方米*1毫升=1立方厘米四質(zhì)量（一）什么是質(zhì)量質(zhì)量，就是表達(dá)表達(dá)物體有多重。（二）常用單位*噸t*公斤kg*克g（三）常用換算*一噸=1000公斤*1公斤=1000克五時間（一）什么是時間是指有起點和終點的一段時間（二）常用單位世紀(jì)、年、月、曰、時、分、秒（三）單位換算*1世紀(jì)=1*1年=365天平年*一年=366天閏年*一、三、五、七、八、拾、拾二是大月大月有31天*四、六、九、拾一是小月小月小月有30天*平年2月有28天閏年2月有29天*1天=24小時*1小時=60分*一分=60秒六貨幣（一）什么是貨幣貨幣是充當(dāng)一切商品的等價物的特殊商品。貨幣是價值的一般代表，可以購置任何別的商品。（二）常用單位*元*角*分（三）單位換算*1元=10角*1角=10分-第三章代數(shù)初步知識一、用字母表達(dá)數(shù)1用字母表達(dá)數(shù)的意義和作用*用字母表達(dá)數(shù)，可以把數(shù)量關(guān)系簡要的體現(xiàn)出來，同步也可以表達(dá)運算的成果。2用字母表達(dá)常見的數(shù)量關(guān)系、運算定律和性質(zhì)、幾何形體的計算公式（1）常見的數(shù)量關(guān)系旅程用s表達(dá)，速度v用表達(dá)，時間用t表達(dá)，三者之間的關(guān)系：s=vtv=s/tt=s/v總價用a表達(dá)，單價用b表達(dá)，數(shù)量用c表達(dá)，三者之間的關(guān)系:a=bcb=a/cc=a/b（2）運算定律和性質(zhì)加法互換律：a+b=b+a加法結(jié)合律：（a+b)+c=a+(b+c)乘法互換律：ab=ba乘法結(jié)合律：（ab)c=a(bc)乘法分派律：（a+b)c=ac+bc減法的性質(zhì)：a-(b+c)=a-b-c（3）用字母表達(dá)幾何形體的公式長方形的長用a表達(dá)，寬用b表達(dá)，周長用c表達(dá)，面積用s表達(dá)。c=2(a+b)s=ab正方形的邊長a用表達(dá)，周長用c表達(dá)，面積用s表達(dá)。c=4as=a2平行四邊形的底a用表達(dá)，高用h表達(dá)，面積用s表達(dá)。s=ah三角形的底用a表達(dá)，高用h表達(dá)，面積用s表達(dá)。s=ah/2梯形的上底用a表達(dá)，下底b用表達(dá)，高用h表達(dá)，中位線用m表達(dá)，面積用s表達(dá)。s=(a+b)h/2s=mh圓的半徑用r表達(dá)，直徑用d表達(dá)，周長用c表達(dá)，面積用s表達(dá)。c=∏d=2∏rs=∏r2扇形的半徑用r表達(dá)，n表達(dá)圓心角的度數(shù)，面積用s表達(dá)。s=∏nr2/360長方體的長用a表達(dá)，寬用b表達(dá)，高用h表達(dá)，表面積用s表達(dá)，體積用v表達(dá)。v=shs=2(ab+ah+bh)v=abh正方體的棱長用a表達(dá)，底面周長c用表達(dá)，底面積用s表達(dá)，體積用v表達(dá).s=6a2v=a3圓柱的高用h表達(dá)，底面周長用c表達(dá)，底面積用s表達(dá)，體積用v表達(dá).s側(cè)=chs表=s側(cè)+2s底v=sh圓錐的高用h表達(dá)，底面積用s表達(dá)，體積用v表達(dá).v=sh/33用字母表達(dá)數(shù)的寫法數(shù)字和字母、字母和字母相乘時，乘號可以記作“.”，或者省略不寫，數(shù)字要寫在字母的前面。當(dāng)“1”與任何字母相乘時，“1”省略不寫。在一種問題中，同一種字母表達(dá)同一種量，不一樣的量用不一樣的字母表達(dá)。用品有字母的式子表達(dá)問題的答案時，除數(shù)一般寫成分母，假如式子中有加號或者減號，要先用括號把含字母的式子括起來，再在括號背面寫上單位的名稱。4將數(shù)值代入式子求值*把詳細(xì)的數(shù)代入式子求值時，要注意書寫格式：先寫出字母等于幾，然後寫出原式，再把數(shù)代入式子求值。字母表達(dá)的是數(shù)，背面不寫單位名稱。*同一種式子，式子中所含字母取不一樣的數(shù)值，那么所求出的式子的值也不相似。二、簡易方程（一）方程和方程的解1方程：具有未知數(shù)的等式叫做方程。注意方程是等式，又具有未知數(shù)，兩者缺一不可。方程和算術(shù)式不一樣。算術(shù)式是一種式子，它由運算符號和已知數(shù)構(gòu)成，它表達(dá)未知數(shù)。方程是一種等式，在方程裏的未知數(shù)可以參與運算，并且只有當(dāng)未知數(shù)為特定的數(shù)值時，方程才成立。2方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。三、解方程解方程，求方程的解的過程叫做解方程。四、列方程解應(yīng)用題1列方程解應(yīng)用題的意義*用方程式去解答應(yīng)用題求得應(yīng)用題的未知量的措施。2列方程解答應(yīng)用題的環(huán)節(jié)*弄清題意，確定未知數(shù)并用x表達(dá)；*找出題中的數(shù)量之間的相等關(guān)系；*列方程，解方程；*檢查或驗算，寫出答案。3列方程解應(yīng)用題的措施*綜合法：先把應(yīng)用題中已知數(shù)（量）和所設(shè)未知數(shù)（量）列成有關(guān)的代數(shù)式，再找出它們之間的等量關(guān)系，進(jìn)而列出方程。這是從部分到整體的一種思維過程，其思索方向是從已知到未知。*分析法：先找出等量關(guān)系，再根據(jù)詳細(xì)建立等量關(guān)系的需要，把應(yīng)用題中已知數(shù)（量）和所設(shè)的未知數(shù)（量）列成有關(guān)的代數(shù)式進(jìn)而列出方程。這是從整體到部分的一種思維過程，其思索方向是從未知到已知。4列方程解應(yīng)用題的范圍小學(xué)范圍內(nèi)常用方程解的應(yīng)用題：a一般應(yīng)用題；b和倍、差倍問題；c幾何形體的周長、面積、體積計算；d分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題；e比和比例應(yīng)用題。五比和比例1比的意義和性質(zhì)（1）比的意義兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比。“：”是比號，讀作“比”。比號前面的數(shù)叫做比的前項，比號背面的數(shù)叫做比的後項。比的前項除後來項所得的商，叫做比值。同除法比較，比的前項相稱于被除數(shù)，後項相稱于除數(shù)，比值相稱于商。比值一般用分?jǐn)?shù)表達(dá)，也可以用小數(shù)表達(dá)，有時也也許是整數(shù)。比的後項不能是零。根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，可知比的前項相稱于分子，後項相稱于分母，比值相稱于分?jǐn)?shù)值。（2）比的性質(zhì)比的前項和後項同步乘上或者除以相似的數(shù)（0除外），比值不變，這叫做比的基本性質(zhì)。（3）求比值和化簡比求比值的措施：用比的前項除後來項，它的成果是一種數(shù)值可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)或分?jǐn)?shù)。根據(jù)比的基本性質(zhì)可以把比化成最簡樸的整數(shù)比。它的成果必須是一種最簡比，即前、後項是互質(zhì)的數(shù)。（4）比例尺圖上距離：實際距離=比例尺規(guī)定會求比例尺；已知圖上距離和比例尺求實際距離；已知實際距離和比例尺求圖上距離。線段比例尺：在圖上附有一條注有數(shù)目的線段，用來表達(dá)和地面上相對應(yīng)的實際距離。（5）按比例分派在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和平常生活中，常常需要把一種數(shù)量按照一定的比來進(jìn)行分派。這種分派的措施一般叫做按比例分派。措施：首先求出各部分占總量的幾分之幾，然後求出總數(shù)的幾分之幾是多少。2比例的意義和性質(zhì)（1）比例的意義表達(dá)兩個比相等的式子叫做比例。構(gòu)成比例的四個數(shù)，叫做比例的項。兩端的兩項叫做外項，中間的兩項叫做內(nèi)項。（2）比例的性質(zhì)在比例裏，兩個外項的積等于兩個兩個內(nèi)向的積。這叫做比例的基本性質(zhì)。（3）解比例根據(jù)比例的基本性質(zhì)，假如已知比例中的任何三項，就可以求出這個數(shù)比例中的此外一種未知項。求比例中的未知項，叫做解比例。3正比例和反比例（1）成正比例的量兩種有關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也伴隨變化，假如這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，他們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。用字母表達(dá)y/x=k(一定）（2）成反比例的量兩種有關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也伴隨變化，假如這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，他們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。用字母表達(dá)x×y=k(一定)第四章幾何的初步知識一線和角（1）線*直線直線沒有端點；長度無限；過一點可以畫無數(shù)條，過兩點只能畫一條直線。*射線射線只有一種端點；長度無限。*線段線段有兩個端點，它是直線的一部分；長度有限；兩點的連線中，線段為最短。*平行線在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。兩條平行線之間的垂線長度都相等。*垂線兩條直線相交成直角時，這兩條直線叫做互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線,相交的點叫做垂足。從直線外一點到這條直線所畫的垂線的長叫做這點到直線的距離。（2）角（1）從一點引出兩條射線，所構(gòu)成的圖形叫做角。這個點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊。（2）角的分類銳角：不不小于90°的角叫做銳角。直角：等于90°的角叫做直角。鈍角：不小于90°而不不小于180°的角叫做鈍角。平角：角的兩邊成一條直線，這時所構(gòu)成的角叫做平角。平角180°。周角：角的一邊旋轉(zhuǎn)一周，與另一邊重疊。周角是360°。二平面圖形1長方形（1）特性對邊相等，4個角都是直角的四邊形。有兩條對稱軸。（2）計算公式c=2(a+b)s=ab2正方形（1）特性：四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形。有4條對稱軸。（2）計算公式c=4as=a23三角形（1）特性由三條線段圍成的圖形。內(nèi)角和是180度。三角形具有穩(wěn)定性。三角形有三條高。（2）計算公式s=ah/2（3）分類按角分銳角三角形：三個角都是銳角。直角三角形：有一種角是直角。等腰三角形的兩個銳角各為45度，它有一條對稱軸。鈍角三角形：有一種角是鈍角。按邊分不等邊三角形：三條邊長度不相等。等腰三角形：有兩條邊長度相等；兩個底角相等；有一條對稱軸。等邊三角形：三條邊長度都相等；三個內(nèi)角都是60度；有三條對稱軸。4平行四邊形（1）特性兩組對邊分別平行的四邊形。相對的邊平行且相等。對角相等，相鄰的兩個角的度數(shù)之和為180度。平行四邊形輕易變形。（2）計算公式s=ah5梯形（1）特性只有一組對邊平行的四邊形。中位線等于上下底和的二分之一。等腰梯形有一條對稱軸。（2）公式s=(a+b)h/2=mh6圓（1）圓的認(rèn)識平面上的一種曲線圖形。圓中心的一點叫做圓心。一般用字母o表達(dá)。半徑：連接圓心和圓上任意一點的線段叫做半徑。一般用r表達(dá)。在同一種圓裏，有無數(shù)條半徑，每條半徑的長度都相等。通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用d表達(dá)。同一種圓裏有無數(shù)條直徑，所有的直徑都相等。同一種圓裏，直徑等于兩個半徑的長度，即d=2r。圓的大小由半徑?jīng)Q定。圓有無數(shù)條對稱軸。（2）圓的畫法把圓規(guī)的兩腳分開，定好兩腳間的距離（即半徑）；把有針尖的一只腳固定在一點（即圓心）上；把裝有鉛筆尖的一只腳旋轉(zhuǎn)一周，就畫出一種