2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：復(fù)數(shù) 專項講義（原卷版+解析）

第3講復(fù)數(shù)

|■^知識梳理

知識點1復(fù)數(shù)的概念及代數(shù)表示

L數(shù)系擴充的脈絡(luò)

自然數(shù)集一整數(shù)集一有理數(shù)集T實數(shù)集一復(fù)數(shù)集.

2.復(fù)數(shù)集

①定義：全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集.

②表示：通常用大寫字母C表示.

3.復(fù)數(shù)

①定義：把集合C={a+歷|a,BCR}中的數(shù)，即形如。+歷(a,BCR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位.滿

足i2=-La叫做復(fù)數(shù)的實部，b叫做復(fù)數(shù)的虛部.

②表示方法：復(fù)數(shù)通常用字母上表示，即z=a+歷(a,5GR),這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.

注：復(fù)數(shù)概念的三點說明

⑴復(fù)數(shù)集是最大的數(shù)集，任何一個數(shù)都可以寫成a+歷3,萬6R)的形式，其中0=0+0i.

⑵復(fù)數(shù)的虛部是實數(shù)2而韭砥

(3)復(fù)數(shù)z=a+歷只有在a,OCR時才是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，否則不是.

易錯辨析：任意兩個復(fù)數(shù)都能比較大??？任意兩個復(fù)數(shù)都不能比較大??？

當(dāng)兩個復(fù)數(shù)有虛數(shù)時，不可以比較大小，當(dāng)兩個復(fù)數(shù)都是實數(shù)時，可以比較大小.

知識點2兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件

在復(fù)數(shù)集C={a+歷|a,5GR}中任取兩個數(shù)。+歷，c+di(a,b,c,d&R),我們規(guī)定：a+歷與c+di相等

的充要條件是a=c且b=d.

注：(1)在兩個復(fù)數(shù)相等的條件中，注意前提條件是a,b,c,dCR,即當(dāng)以b,c,dCR時，a+bi=c+

diu?=c且Z>=d.若忽略前提條件，則結(jié)論不能成立.

⑵利用該條件把復(fù)數(shù)的實部和虛部分離出來，達(dá)到“化虛為實''的目的，從而將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題來

求解.

知識點3復(fù)數(shù)的分類

對于復(fù)數(shù)a+初(a,beR),當(dāng)且僅當(dāng)3=0時，它是實數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a=5=0時，它是實數(shù)0；當(dāng)時，它叫

做虛數(shù)；當(dāng)a=0且〃#0時，它叫做純虛數(shù).

實數(shù)9=0)

(1)復(fù)數(shù)(“+歷，a,Z(GR),'純虛數(shù)(a=0)

虛數(shù)(厚0)

.非純虛數(shù)(存0)

(2)集合表示:

知識點4復(fù)數(shù)的幾何意義

1、建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)壬面，x軸叫做實軸,y軸叫做虛軸.實軸上的點都表示實

數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù).

⑴復(fù)生面內(nèi)點的坐標(biāo)與復(fù)數(shù)實部虛部的對應(yīng):點Z的橫坐標(biāo)是a,縱坐標(biāo)是從復(fù)數(shù)z=a+萬(a,6GR)可

用點Z(a,Z>)表示.

(2)實軸與復(fù)數(shù)的對廛：實軸上的點都表示實數(shù)?

(3)虛軸與復(fù)數(shù)的對應(yīng):除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)，原點對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對為(0,0)，它所確定

的復(fù)數(shù)是z=0+0i=0,表示的是實數(shù).

2、復(fù)數(shù)的幾何意義

(1)復(fù)數(shù)的幾何意義——與點對應(yīng)

復(fù)數(shù)的幾何意義1：復(fù)數(shù)z=a+6(a,。e尺),一一對應(yīng)，復(fù)平面內(nèi)的點Z(a,6)

(2)復(fù)數(shù)的幾何意義——與向量對應(yīng)

復(fù)數(shù)的幾何意義2：復(fù)數(shù)z=a+6“a,beR)二一一對應(yīng)，平面向量OZ=(a,6)

歷(。力ER，

一一對應(yīng)「一對應(yīng)

復(fù)平面內(nèi)向量OZ、

的點(起點為原

一一對應(yīng)

Z(a,Z7)、點。)/

注：復(fù)數(shù)的幾何意義

這種對應(yīng)關(guān)系架起了復(fù)數(shù)與解析幾何之間的橋梁，使得復(fù)數(shù)問題可以用幾何方法解決，而幾何問題也可以

用復(fù)數(shù)方法解決(即數(shù)形結(jié)合法)，增加了解決復(fù)數(shù)問題的途徑.

⑴復(fù)數(shù)z=a+萬3，萬GR)的對應(yīng)點的坐標(biāo)為3,b而不是3,M)；

(2)復(fù)數(shù)z=a+沉(a"GR)的對應(yīng)向量或是以原點。為起點的，否則就談不上一一對應(yīng)，因為復(fù)平面上與龍

相等的向量有無數(shù)個.

知識點5復(fù)數(shù)的模

復(fù)數(shù)z=a+歷3,%GR),對應(yīng)的向量為龍，則向量龍的模r叫做復(fù)數(shù)z=a+〃的模，記作團或|。+時|.由

模的定義可知：|z|=|a+Z>i|=r=y]a2+b2(r>0,r￡R).

注：(1)數(shù)的角度理解:復(fù)數(shù)a+歷3,BGR)的模|a+歷尸后彳，兩個虛數(shù)不能比較大小，但它們的模表

示實數(shù)，可以比較大小.

(2)幾何嵬度理解：表示復(fù)數(shù)2=。+應(yīng)在復(fù)平面上對應(yīng)的點ZQ力到原點的距離；特別的，匕=0時，復(fù)數(shù)

z=a+應(yīng)是一個實數(shù)，它的模就等于Ia1(。的絕對值).類比向量的?？蛇M(jìn)一步引申：比一0|表示復(fù)數(shù)Zia

對應(yīng)的點之間的距離.

(3)復(fù)數(shù)z的方程在復(fù)平面上表示的圖形

①好閔砂表示以原點O為圓心，以a和匕為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)；

②上—3+歷)|=r(r>0)表示以3,⑸為圓心，r為半徑的圓.

知識點6復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減法

1、運算法則

設(shè)Zi=a+歷，Z2=c+di是任意兩個復(fù)數(shù)，那么(a++)+(c+di)=(a+c)+(Z>+rf)i,(a+歷)一(c+di)=(a—c)

+Q—d)i.(兩個復(fù)數(shù)相加減等于實部與實部相加減，虛部與虛部相加減.)

2、加法運算律

對任意Zj,Z-,,ZjGC>有Zj+Z，2—Zj+Zj,(Z[+Z2)+Z3=Z]+(Z2+Z3).

注：對復(fù)數(shù)的加法、減法運算應(yīng)注意以下幾點

⑴一種規(guī)定:復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法法則是一種規(guī)定，減法是加法的逆運算；

特殊情形:當(dāng)復(fù)數(shù)的虛部為零時，與實數(shù)的加法、減法法則一致.

(2)運算建：實數(shù)加法的交換律、結(jié)合律在復(fù)數(shù)集中仍成立.實數(shù)的移項法則在復(fù)數(shù)中仍然成立.

(3)運算結(jié)果:兩個復(fù)數(shù)的和(差)是唯一確定的復(fù)數(shù)?

3、復(fù)數(shù)加減法的幾何意義

M

復(fù)數(shù)加法的向量加法的受坦1復(fù)數(shù)Zl+北是以龍1,龍2為鄰邊的平行

幾何意義邊形法則四邊形的對角線龍所對應(yīng)的復(fù)數(shù)]

復(fù)數(shù)減法的向量減法的三魚避復(fù)數(shù)Zl—Z2是從向量應(yīng)2的終點指向向

幾何意義A

量應(yīng)1的終點的向量方公所對應(yīng)的復(fù)數(shù)

知識點7復(fù)數(shù)的乘除法及其運算律

1、復(fù)數(shù)的除法

(1)復(fù)數(shù)的乘法法則

設(shè)zi=a+歷，Z2=c+di是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的積

(a+歷)(c+di)=(ac-瓦Z)+(ad+Z>c)i.

(2)復(fù)數(shù)乘法的運算律

對于任意Zl，Z2，Z3GC,有

交換律Z1Z2—Z2Z1

結(jié)合律(Z1Z2)Z3=Z1(Z2Z3)

乘法對加法的分配律Zi(Z2+Z3)=Z1Z2+Z1Z3

注：對復(fù)數(shù)乘法的三點說明

⑴類比多項式運算：復(fù)數(shù)的乘法運算與多項式乘法運算很類似，可仿多項式乘法進(jìn)行，但結(jié)果要將實部、

虛部分開片換成一1).

(2)運算律：多項式乘法的運算律在復(fù)數(shù)乘法中仍然成立，乘法公式也適用.

(3)常用結(jié)論

①(a士歷)2=層±2而i-廬(a,Z?ER)；

?(a+bi)(a-bi)^a2+b2(a,Z>GR)；

③(l±i)2=±2i.

④j4"=l,j4"+l=i,i4n+2=_1>i4"+3=_i(〃GN).

⑤

i4"+i4"+l+i4"+2+i4"+3=0(〃eN).

2、共物復(fù)數(shù)

(1)定義：當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共物復(fù)數(shù).虛部不等于0的兩

個共軻復(fù)數(shù)也叫共朝虛數(shù)

(2)表示：z的共軌復(fù)數(shù)用z表示，即若z=a+歷(a,Z(CR),則z—a—bi

注：共趣與模是復(fù)數(shù)的重要性質(zhì)，運算性質(zhì)有：

22

(l)zl±z2=zl+z2；(2)z1xz2=z1xz2；(3)z-z=|z|=|z|；(4)忖—㈤歸歸士/《㈤+㈤；

z

⑸上闖=卜卜闖；(6)i=?！眧=1z

Z2

3、復(fù)數(shù)的除法

(1)復(fù)數(shù)的除法法則

a+歷ac+Z>d?be-ad：

設(shè)+歷，

zi=aZ2=c+di(c+d#0),c+dic2+摩c2+(P1"

注：對復(fù)數(shù)除法的兩點說明

①實數(shù)化：分子、分母同乘以分母的共加復(fù)數(shù)c—辦化簡后即得結(jié)果，這個過程實際上就是把分母實數(shù)化,

這與根式除法的分母“有理化”很類似.

②代數(shù)式：注意最后結(jié)果要將實部、虛部分開.

特別提醒：復(fù)數(shù)的除法類似于根式的分母有理化.

(2)記住以下結(jié)果，可提高運算速度：①(1+評=方，(l-i)2=-2i；②岳=-3罟="@|=-i.

知識點8復(fù)數(shù)的三角表示式及復(fù)數(shù)的輻角和輻角的主值

1、復(fù)數(shù)的三角表示式

(1)定義：

r(cos8+isin，)叫做復(fù)數(shù)z=a+歷的三角表示式,簡稱三角形式.其中，r是復(fù)數(shù)z的模；，是以x軸的

非負(fù)半軸為始邊，向量成所在射線(射線0Z)為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)z=a+歷的輻角.為了與三角形式區(qū)分

開來，。+歷叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡稱代數(shù)形式.

注意：復(fù)數(shù)三角形式的特點：模非負(fù)，角相同，余弦前，加號連

(2)非零復(fù)數(shù)z輻角，的多值性

以x軸正半軸為始邊，向量也所在的射線為終邊的角3叫復(fù)數(shù)z^a+bi的輻角，因此復(fù)數(shù)z的輻角

是，+2M(&ez)(?ez).

(3)輻角主值

①表示法：用argz表示復(fù)數(shù)Z的輻角主值.

②定義：適合［0,2力的角，叫輻角主值.即0Wargz<2m

③唯一性：復(fù)數(shù)z的輻角主值是確定的、唯一的.

2、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的互化

復(fù)數(shù)z=a+bi=r(cos，+isin，)的兩種表示式之間的關(guān)系為<b=r-sm0,

,r=yja2+b2.

注：復(fù)數(shù)的代數(shù)形式可以轉(zhuǎn)化為三角形式，三角形式也可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式.我們可以根據(jù)運算的需要，將

復(fù)數(shù)的三角形式和代數(shù)形式進(jìn)行互化.

復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化三角形式的步驟：

①先求復(fù)數(shù)的模；

②決定輻角所在的象限；

③根據(jù)象限求出輻角(常取它的主值)；

④寫出復(fù)數(shù)的三角形式.

3、兩個用三角形式表示的復(fù)數(shù)相等的充要條件

兩個非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們模與輻角的主值分別相等.

4、復(fù)數(shù)三角形式的乘法及其幾何意義

設(shè)Z]、z?的三角形式分別是：=/](cos^+zsin^),z2=^(cos6^,+zsin6,).

rr

貝!-z2~\2[cos(q+60+7sin(q+6^)]

簡記為：模數(shù)相乘，幅角相加.

幾何意義：把復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量oz繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)2。的一個輻角，長度乘以z0的模，所得向量對

應(yīng)的復(fù)數(shù)就是z?z0.

5、復(fù)數(shù)三角形式的除法及其幾何意義

設(shè)Z]、z2的三角形式分別是：z1=r1(cos^+zsin^),z2=r2(cos^+zsin^).

則Z14-Z2=4「cos(a_&)+isin(a-2)].

LJ

一r2-

簡記為：模數(shù)相除，幅角相減

幾何意義：把復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量oz繞原點順時針旋轉(zhuǎn)z0的一個輻角，長度除以z0的模，所得向量對

應(yīng)的復(fù)數(shù)就是三7.

Z0

含,高頻考點

復(fù)數(shù)的運算r

卜考點三復(fù)數(shù)的四則運算純虛數(shù)

復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程根的問題,

非純虛數(shù)

考點四復(fù)數(shù)的幾何意義

第

真題熱身

2—i

1.(2U23?新問否11，旻奴1回內(nèi)MJ曳總歷任叫家P艮為()

1-3i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.(2023?北京)若復(fù)數(shù)z滿足(1-i)?z=2,則N==()

A.-1-iB.1+iC.1-iD.1+i

3.(2023?浙江)已知a￡R,(1+切)i==3+i(力為虛數(shù)單位)，則a=()

A.-1B.1C.-3D.3

4.(2023?乙卷)設(shè)2(z+力+3(z-z)=4+6i,則z=()

A.1-2iB.1+2/C.l+iD.1-i

5.(2023?新高考I)已知z=2-1,則z(z+/)()

A.6-2iB.4-2ic.6+2iD.4+2i

6.(2023?甲卷)已知(1-i)2z=3+2i,則z=()

33-加n3.

A.-1-JiB.-l+.il

c.2十'D.~2~

7.(2023?北京)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)是(1,2),則麗=()

A.l+2iB.-2+iC.1-2iD.-2-i

8.(2023?新課標(biāo)I)若z=1+2在汽則團=()

A.0B.1C.V2D.2

9.(2023?新課標(biāo)I)若z=l+i,則|z2-2z\=()

A.0B.1C.V2D.2

10.(2023?新課標(biāo)D)(1-i)4=()

A.-4B.4C.-4iD.4i

考點一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

解題方略：

酸宜麗怒病麗凍藐熹詢

⑴求一個復(fù)數(shù)的實部與虛部，只需將已知的復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式z=“+歷3,6GR),則該復(fù)數(shù)的實部為a,

虛部為b；

⑵求一個復(fù)數(shù)的共朝復(fù)數(shù)，只需將此復(fù)數(shù)整理成標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式，實部不變，虛部變?yōu)橄喾磾?shù)，即得原復(fù)

數(shù)的共物復(fù)數(shù).復(fù)數(shù)zi=a+歷與Z2=c+di共物0z=c,b=-d(a,b,c,dWR).

⑶復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為

代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可.所以解題時一定要先看復(fù)數(shù)是否為a+bi(a,

OCR)的形式，以確定實部和虛部.

①復(fù)數(shù)是實數(shù)的條件:①z=a+bieR<=i>=O(a,beR)；②zeRo=N;③zeR?K2>0.

②復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的條件:①z=a+bi是純虛數(shù)ua=0且由^⑺方仁2:②％是純虛數(shù)C+N=0(z#));③z是純虛數(shù)

—<0.

（-）復(fù)數(shù)的實部與虛部

【例1-1］（2023?黑龍江?哈爾濱三中三模（理））已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=1■的虛部是（）

1—1

A.-iB.-1C.2D.2i

【例1-2］（2023?全國?贛州市第三中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知復(fù)數(shù)z=l+2i,那么d的虛部為（）

A.-3B.-3iC.4D.4i

【例1-3］（2023?江西?南昌十中高三階段練習(xí)（文））復(fù)數(shù)，滿足=則復(fù)數(shù)z的實部是（）

A.-1B.iC.—iD.—

22

【例1-4】（2023?安徽?巢湖市第一中學(xué)高三期中（文））設(shè)復(fù)數(shù);的實部與虛部分別為則6=（）

-3-1

A.-2B.-1C.1D.2

3_Ai

【例1-5】（2023?天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z=~（beR）的實部和虛部相等，

貝（l|z卜?

【題組練透】

1、（2023?福建南平?三模）已知復(fù)數(shù)z=2+j,則復(fù)數(shù)z的虛部為（）

2+1

11812

A.一—B.-C.-D.—

5555

2、（2023?四川?內(nèi)江市教育科學(xué)研究所三模（文））若復(fù)數(shù)z滿足z（l+i）=l-i,則z的虛部為（）

A.-iB.-1C.iD.1

3、（2023?河南?寶豐縣第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=W（aeR）的實部是虛

部的2倍，則4=（）

4、（2023?陜西陜西?二模（理））設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z|=|z-l|=l,且z的實部小于虛部，則2=（）

A61.口1石.

2222

rV31.n1

C.-----1D.—d---1

2222

（二）共軌復(fù)數(shù)

【例1-6］（2023?山東泰安?三模）已知復(fù)數(shù)z=——,i為虛數(shù)單位，則z的共物復(fù)數(shù)為（）

【例1-7］（2023?安徽黃山?二模（理））已知復(fù)數(shù)z滿足d+i）z=3+2i,貝氏的虛部為（）

【例1-8］（2023?重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知a,bwR,i是虛數(shù)單位，若“-2i與3-歷互為共輾復(fù)

數(shù)，則（。+歷）2=（）

A.5+6iB.5-6iC.5+12iD.5-12i

【例1-9］（2023?河南商丘?三模（理））已知z=l-《，貝「在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

r

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【題組練透】

1、（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足z-（2-i2）=i+l,則共朝復(fù)數(shù)三在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2、【多選】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z,則下列結(jié)論正確的是（）

A.z+W是實數(shù)B.|z|=|z|C.z」是純虛數(shù)D.|z|2=z2

3、（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z“z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱，且z=3-2i,

貝UZ2=?

（三）復(fù)數(shù)相等

【例1-10】（2023?山西晉中?模擬預(yù)測（理））已知aeR,（2+ai）i=l+2i（i為虛數(shù)單位），貝!等于（）

A.1B.-1C.2D.-2

【例1-11】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知i是虛數(shù)單位,若云^=a+6i（a,beR）,貝！Jlg（，+b）的值為.

【例1-12】（2023?陜西咸陽?三模（理））設(shè)（l+i）x=l+W,其中i為虛數(shù)單位，羽，是實數(shù)，則,+訓(xùn)=（）

A.1B.V2C.6D.2

【例1-13］（2023?浙江?高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)4=m+（4—根2）iw,

z2=2cos0+（2+3sin0）i（2,O^R）,并且4=%，則之的取值范圍是（）.

【題組練透】

1、（2023?河南洛陽?三模（理））已知色了=6+1（〃/￡對，其中i是虛數(shù)單位，貝!Ja+b=（）

A.3B.1C.-1D.-3

/7h

2、（2023?全國,高二專題練習(xí)）已知Q/ER,----1----=1貝！!〃+/?=（）

1+zl-i9

A.2B.小C.后D.1

3、（2023?全國?高三專題練習(xí)（理））若復(fù)數(shù)Z1=sin2e+icos。，z?=cosO+i6sing（6>GA）,=z2,則

。等于（）

JI

A.kn（左cZ）B.lk7i-\—（GZ）

k

JTTT

C.2kn±-（左￡Z）D.2k兀+—（左wZ）

k6

（四）復(fù)數(shù)分類

【例1-14］（2023?全國?高三階段練習(xí)（理））已知復(fù)數(shù)2=a-歷（i為虛數(shù)單位，6eR）為實數(shù)，貝!）6=

2+1

（）

A.-1B.0C.1D.2

【例1?15】（2023?云南?昆明一中高三階段練習(xí)（文））若（2+i）（a-i）>0,其中awR,i為虛數(shù)單位，則實

數(shù)〃的值為（）

A.4B.3C.2D.1

【例1.16】（2023?全國,高三專題練習(xí)（文））若z=/n+2+而為純虛數(shù)，其中meR,則^~-=（）

z

A.---2iB.--+2i

22

C.-+2iD.--2i

22

【例1?17】（2023?全國?高三專題練習(xí)（理））已知命題〃：〃=-1,命題,復(fù)數(shù)z=二為純虛數(shù)，則命題

“是q的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【題組練透】

1、（2023?浙江?慈溪中學(xué)模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)，滿足z（2-i）=“+i（其中。為實數(shù)，i為虛數(shù)單位）.若zeR,

則實數(shù)〃=（）

A.-2B.--C.《D.2

22

2、Q023?浙江?舟山中學(xué)高三階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)z=e（2eR.i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù),則實數(shù)2的值

為（）

A.3B.-3C.12D.-12

3、（2023?寧夏?銀川一中二模（理））已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足iz-5為純虛數(shù)，貝!Jz的虛部為（）

A.5B.5iC.-5iD.-5

4、（2023?江蘇?華羅庚中學(xué)高三階段練習(xí)）若馬,4為復(fù)數(shù)，貝！|“z-Z2是純虛數(shù)”是“為,為互為共飄復(fù)數(shù)”

的（）

A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

（五）待定系數(shù)求復(fù)數(shù)

【例1-18］（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)二滿足z（l+2i）=i（l+z）,貝！|z=（）

A.-+-iB.---iC.1+iD.1-i

2222

【例1-19］（2023?云南昆明?模擬預(yù)測（文））已知復(fù)數(shù)z滿足z+W=2,且（z二）"=4,則|z|=（）

A.V2B.73C.2D.75

【題組練透】

1、（2023?全國?高三專題練習(xí)（文））設(shè)2（z-7）+12=3（z+7）+8i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)二的虛部為（）

A.2iB.2C.-2iD.-2

2、（2023?河北?高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足條件z?z+z=6+2i,則慟=（）

A.75B.272C.石或2&D.若或新

3、（2023?新疆?三模（理））若復(fù)數(shù)z滿足z1+2z=l+20i.則z等于（）

A.-l+72iB.-1-V2iC.1+V2iD.1一幅

4、（2023?福建寧德?模擬預(yù)測）若,（l+i）卜通，則zl的值為（）

A.拒B.2C.73D.3

考點二復(fù)數(shù)的模

解題方略：

（1）復(fù)數(shù)的模

設(shè)成對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=a+歷，則向量應(yīng)的長度叫做復(fù)數(shù)z=a+Z>i的模，|z|=|a+M|=

y!a2+b2

（2）兩個復(fù)數(shù)的差的模|Z「Z2I的幾何意義

兩個復(fù)數(shù)的差的模Iz-z21的幾何意義是：復(fù)平面內(nèi)與這兩復(fù)數(shù)對應(yīng)的兩點之間的距離.

即設(shè)復(fù)數(shù)Z1^a+bi,z2=c+力（a,4c,deR）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別是A（a,Z?）,5（Gd），貝!J

\Z-Z2\^\AB\=4a_c￥+d￥

一般地，設(shè)復(fù)數(shù)Z]=a+bz；Z2=c+di（a,b,c,deR）對應(yīng)的點分別是,則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的

點Z的軌跡如下：

①若|z—z"=r,則為圓；

②若（<|z-2，則為圓環(huán)，但不包括邊界；

③若|Z-Z]|=|2-Z21,則為垂直平分線；

④若|z-zj+lz-z2|=常數(shù)，則當(dāng)常數(shù)大于AB時，為橢圓；當(dāng)常數(shù)等于AB時，為線段；當(dāng)常數(shù)小于

AB時，不存在；

⑤若|z-z?|=常數(shù)，則當(dāng)常數(shù)大于AB時，不存在；當(dāng)常數(shù)等于AB時，為一條射線；當(dāng)常數(shù)

小于AB時，為雙曲線的一支.

一口病藪版

【例2-1]（2023?天津三中二模）已知復(fù)數(shù)2=曰，貝!1口|=___________.

2+1

【例2-2]（2023?北京市十一學(xué)校高三階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足z+37=4-2i,則|z|=（）

A.1B.2C.V3D.V2

【例2-3】【多選】（2023?江蘇?新沂市第一中學(xué)模擬預(yù)測）若4,z?為復(fù)數(shù)，則（）

A.Z+Z2=Z+Z2B.ZjZ2=z,z2

C.Z/=|zjD.Z[Z]=[Z]|同

【題組練透】

1、（2023?重慶南開中學(xué)模擬預(yù)測汨知復(fù)數(shù)z滿足：（l+2i）z=3-4i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的模忖=（）

A.1B.V3C.2D.75

2、（2023?陜西西安?三模（理））已知復(fù)數(shù)z滿足z（l-i）=2i,則|z+i卜（）

A.41B.A/5C.y/10D.V13

z

3、（2023?山西?模擬預(yù)測（文））已知z=—l+2i,貝！|彳+二=（）

1

A.0B.1C.2D.72

4、（2023?上海市實驗學(xué)校高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)二滿足z（l+i）=2/i（reR）,若目=20,貝"的值為

（-）求點的軌跡

【例2-4】（2023?云南師大附中高三階段練習(xí)（文））設(shè)復(fù)數(shù)z滿足Iz-1|=2,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（x，y）,

則（）

A.（x-l）2+y2=4B.（X+1）2+/=4C.x2+（y-l）2=4D.x2+（y+l）2=4

【例2-5］（2023?廣東?金山中學(xué)高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足2-3+4=忖，若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為

（%、），則（）

A.6x-4y+13=0B.6x-4y+5=0

C.6x-4y-13=0D.6%+4y+13=0

【例2-6］（2023?江蘇南通?模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z滿足14-（一）/2,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點Z所

在區(qū)域的面積為（）

A.nB.InC.37rD.47r

【題組練透】

1、（2023?全國?高三專題練習(xí)（理））若復(fù)數(shù)z滿足Iz+l-i|=|l-i|,其中i為虛數(shù)單位，則z對應(yīng)的點（x,y）滿

足方程（）

A.（x-l）2+（y-l）2=2B.（x-l）2+（y+l）2=2

C.（x+l）2+（y-l）2=2D.（x+l）2+（y+l）2=2

2、（2023?全國?高三專題練習(xí)）復(fù)數(shù)z滿足|z-（5+5i）|=2,則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3、（2023?全國?高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足|z-l+i|=3,則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的軌跡圍成圖形的面積等于（）

A.3B.9C.67tD.9兀

（三）求模的最值

【例2-7］（2023?江西萍鄉(xiāng)?二模（理））復(fù)數(shù)二滿足|”例=1,則忖的最大值為（）

A.3B.4C.5D.6

【例2-8］（2023?陜西?長安一中模擬預(yù)測（理））已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足忖=1,則|z+l+i|的最小值

為（）

A.72-1B.y/2C.2>/2-2D.1

【例2-9】（2023?湖南?岳陽一中一模）若i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足忖VI,則|z-（l+i）|的最大值為（）

A.后-1B.y/2C.V2+1D.2V2

【題組練透】

1、（2023?全國?高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足zi=l，貝!llz-2i|的最大值是.

2、（2023?全國?高三專題練習(xí)）如果復(fù)數(shù)z滿足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+l|的最小值是（）

A.1B.gC.2D.5/5

3、（2023?廣東茂名?模擬預(yù)測）設(shè)復(fù)數(shù)4，Z。滿足121T=1,卜+到=2,則|z「Zz|的最大值為（）

A.3+2石B.2MC.6D.3+V10

考點三復(fù)數(shù)的四則運算

解題方略：

1、復(fù)數(shù)代數(shù)形式運算問題的解題策略

在進(jìn)行復(fù)數(shù)的加減法運算時，可類比合并同類項，運用法則（實部與實部相加減，

復(fù)數(shù)的加減法

虛部與虛部相加減）計算即可

復(fù)數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不

復(fù)數(shù)的乘法

含i的看作另一類同類項，分別合并即可

復(fù)數(shù)的除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軌復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的募寫成最簡形

除法式

；2、復(fù)數(shù)范圍內(nèi)實系數(shù)一元二次方程ax2+Bx+c=0（存0）的求根公式為

、“.—b±\lb2—4ac

（1）當(dāng)/K）時，x=-------看-----；

-b±\j-（b2—4ac）i

（2）當(dāng)/<0時，x=2a.

注：實系數(shù)方程的虛數(shù)根必共物成對出現(xiàn)

3、復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程的一般思路是：

依據(jù)題意設(shè)出方程的根，代入方程，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件求解.對于一元二次方程，也可以利用

求根公式求解，要注意在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)負(fù)數(shù)是能開方的，此外，根與系數(shù)的關(guān)系也是成立的（依然滿足韋達(dá)

定理）.注意求方程中參數(shù)的取值時，不能利用判別式求解.

注：由于虛數(shù)單位i的特殊性，不能用判別式判斷復(fù)系數(shù)一元二次方程有無實數(shù)根.

4、在含有z,z,|z|中至少兩個的復(fù)數(shù)方程中，可設(shè)z=a+bi,a,bGR,變換方程，利用兩復(fù)數(shù)相等的充

要條件得出關(guān)于a,b的方程組，求出a,b,從而得出復(fù)數(shù)z.

（-）復(fù)數(shù)的運算

【例3-1］（2023?陜西寶雞?二模（理））若z（l+i）=l-i,則z=（）

A.1-iB.1+iC.-iD.i

【例3-2］（2023?河北?高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z=2+i,則二=()

z-i

13.

A.l+-iB.---------1c?泊D.l--i

2442

【例3-3］（2023?全國?高三專題練習(xí)）i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z（2-i）=i2022,則下列說法正確的是（）

..1?,21.

A.\z\=—B.z=---------1

11555

C.Z的虛部為一5D.Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限

【題組練透】

1、（2023?貴州貴陽?二模（理））已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)Z滿足(l+i)2-z=4,貝?。輟=(

A.2B.2iC.-2D.-2i

z+3

2、（2023?福建莆田?三模）若復(fù)數(shù)z=l+2i,則一二=（)

Z+1

A.1-iB.3-iC.l+3iD.3+3i

/??\2022

3、（2023?江蘇?新沂市第一中學(xué)模擬預(yù)測）復(fù)數(shù)號=()

A.iB.-iC.1D.-1

（二）復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程根的問題

【例3-4】（2023?四川?宜賓市教科所三模（理））已知i是虛數(shù)單位，1+i是關(guān)于x的方程d-2x-租=0（meR）

的一個根，則機=（）

A.4B.-4C.2D.-2

【例3-5］（2023?全國?高三專題練習(xí)（理））已知復(fù)數(shù)3-2,是關(guān)于x的方程2/7儂+〃=o的一個根，則實

數(shù)m,n的值分別為（）

A.6,5B.12,10C.12,26D.24,26

【例3-6］（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知方程「+x+”=0（”eR）有兩個虛根若卜-4=3,則加的

值是（）

A.—2或—B.—2C.—D.—

222

【例3-7】（2023?全國?高三專題練習(xí)）若關(guān)于x的實系數(shù)一元二次方程d-”+3根-8=0有兩個共物虛數(shù)根,

則m的取值范圍是.

【題組練透】

1、（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)6、ceR,若2-i（i為虛數(shù)單位）是一元二次方程尤?+法+C=。的一個

虛根，貝！1（）

A.6=4,c=5B.b=4,c=3

C.b=T,c=5D.b=T,c=3

2、（2023?全國?高三專題練習(xí)）若l-i是實系數(shù)一元二次方程Y+px+4=0的一個根，則夕4=.

3、（2023?山東棗莊?一模）設(shè)4，Z2是方程f+x+l=0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩個解，貝!I（）

A.\zt-z2\=s/2B.團=0

1

C.Zj+z2=D.ZjZ2=1

考點四復(fù)數(shù)的幾何意義

解題方略:

對復(fù)數(shù)幾何意義的再理解

⑴復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點Z及向量市相互聯(lián)系，即々="+歷（a,5GR）電（a,b）^OZ；

⑵由于復(fù)數(shù)、點、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時

可運用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀.

【例4-1］（2023?山東?德州市教育科學(xué)研究院二模）已知i是虛數(shù)單位，a,6均為實數(shù)，且竽絲=l-i,則

3+1

點（a,m所在的象限為（）

A.-B.二C.三D.四

【例4-2］（2023?四川南充?三模（理））若復(fù)數(shù)z=3,則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第象限.

【例4-3］（2023江西省景德鎮(zhèn)一中月考）在復(fù)平面內(nèi)，平行四邊形ABC。的三個頂點，A,B,C對應(yīng)的

復(fù)數(shù)分別為—l+2i,3-i,l+2i（i為虛數(shù)單位），則點。對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）

A.-3+5iB.1-iC.l+3iD.-3+i

【題組練透】

1、（2023?山東泰安?二模）已知復(fù)數(shù)z=普，i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)之一4在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

1-21

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2、（2023?貴州畢節(jié)?三模（理））已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點與復(fù)數(shù)3-2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于虛軸

對稱，則復(fù)數(shù)z的共物復(fù)數(shù)7=（）

A.3+2iB.2-3iC.-3-2iD.-3+2i

3、（2023?寧夏?石嘴山市第一中學(xué)三模（理））設(shè)復(fù)數(shù)z=a+歷（a,6>0,a,beR）,若復(fù)數(shù)z（l+i）對應(yīng)的點在

直線x+3y-2=0上，貝!］女2+；1的最小值為___________

ab

4、（2023?湖南岳陽?三模）已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（-2,1）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.復(fù)數(shù)z的共物復(fù)數(shù)是2-iB.z-i3=-l+2i，

C.目=5D.z2的虛部是~4

第3講復(fù)數(shù)