沖刺2023年高考數(shù)學(xué)考前必刷題限時(shí)集訓(xùn)練9（新高考）解析版

新高考真題限時(shí)訓(xùn)練打卡第九天

II真題限時(shí)訓(xùn)練

一、單選題

1.（2022年全國(guó)新高考n卷數(shù)學(xué)試題）（2+2i）（l-2i）=（）

A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

【答案】D

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法可求（2+2i）（l-2i）.

【詳解】（2+2i）（l-2i）=2+4-4i+2i=6-2i,

故選：D.

2.（2022年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為

我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行的人造行星,為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列｛2｝：

4=1+----------J—

包=I+—

依此類(lèi)推，其中4eN*（左=）則（

4%+——，%+-----P1,2,..)

a?H------

a2

a3

A.4B.b3<bsC.b6VbiD.64<打

【答案】D

【分析】根據(jù)QwN*（左=1,2,…），再利用數(shù)列圾｝與％的關(guān)系判斷也｝中各項(xiàng)的大小，即可求解.

【詳解】［方法一］：常規(guī)解法

因?yàn)?eN*優(yōu)=1,2,）,

1——>--------

所以%%+工,得到4濁，

11

CC,--->心H--------；_

同理4%+工，可得么<4，仇>4

-%

1111

--->-----------j—,+-------j-</+----------j-

又因?yàn)榛?/p>

%-----；-。2---------%---------------,

a3+一。3%+一

%%

故打<々，4>2；

以此類(lèi)推,可得4>4>偽>…，bi>bs，故A錯(cuò)誤;

4>4，故B錯(cuò)誤;

11

屋〉1

2

%+r，得b2Vb6,故C錯(cuò)誤；

%+…一

11

%+---------j—>%+---------------j

%+?-1%+…------「，得”<偽，故D正確.

。3-----。6-----

%%

［方法二］:特值法

.4、e-c131518113121134155

不妨設(shè)4=1，貝!1匕=2,b?=不,b3=-?b4=-,b5=—,b6=—,b7=—,b8

4<2故D正確.

3.(2022年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)(理)試題)已知等比數(shù)列｛%｝的前3項(xiàng)和為168,%=42,則/=()

A.14B.12C.6D.3

【答案】D

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛為｝的公比為4應(yīng)二0,易得qwl,根據(jù)題意求出首項(xiàng)與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的

通項(xiàng)即可得解.

【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列｛4,｝的公比為％4W。，

若〃=1,貝!］。2-。5=0，與題意矛盾,

所以#1,

4=96

貝q<q+g+a3

,解得1所以G=3.

q=-

a2-a5=axq-a^q"=42

故選：D.

4.(2022年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)(理)試題)設(shè)/為拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)3(3,0),

^\AF\=\BF\,則|朋=()

A.2B.2A/2C.3D.3亞

【答案】B

【分析】根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離相等，從而求得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得點(diǎn)A坐標(biāo)，即

可得到答案.

【詳解】由題意得,產(chǎn)(1,0),則用=網(wǎng)=2,

即點(diǎn)A到準(zhǔn)線x=-l的距離為2,所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-1+2=1,

不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸上方，代入得，4(1,2),

所以|二J(3-Ip+(0—2)2=272.

故選：B

5.(2022年全國(guó)新高考I卷數(shù)學(xué)試題)設(shè)a=0.1e叫6=c=-ln0.9,貝U()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】c

【分析】構(gòu)造函數(shù)/'(尤)=ln(l+x)-x,導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定b,C的大小.

【詳解】方法一：構(gòu)造法

1Y

?/(x)=ln(l+x)-x(x>-l),因?yàn)?⑺--1=--^,

1+X1+X

當(dāng)xe(-1,0)時(shí),f'(x)>0,當(dāng)尤e(0,+oo)時(shí)/'(x)<0,

所以函數(shù)/(x)=ln(l+尤)-x在(0,+8)單調(diào)遞減，在(-1,0)上單調(diào)遞增，

所以/(g)<"0)=0,所以缶個(gè)一^<0,故g>lnU=-ln0.9,即6>c,

191

所以/(-而)</(。)=0,所以In仿+元<0,故Q%<e--%所以自1儀。<》1

故a〈b,

設(shè)g(x)=xe*+ln(l-尤)(0<w<l),則g，(x)=(x+l)eX+^^=^~~+\

令h(x)=ex(x2—1)+1,h'(x)=e'(x2+2x-l),

當(dāng)0<尤<血-1時(shí)，h'(x)<0,函數(shù)〃(》)=/(/一1)+1單調(diào)遞減，

當(dāng)0-1<尤<1時(shí)，"。)>。，函數(shù)/2(x)=e'，-i)+i單調(diào)遞增，

又獻(xiàn)0)=0,

所以當(dāng)0(尤<應(yīng)_］時(shí),h(x)<0,

所以當(dāng)O<x<0-1時(shí)，g'(x)>0,函數(shù)g(無(wú))=xeX+ln(l-x)單調(diào)遞增，

所以g(0.1)>g(0)=。，即0.卜°」>一1110.9,所以

故選：C.

方法二：比較法

解：a=0.1e°l,。=當(dāng)7，c=-ln(l-0.1),

1—0.1

①lntz-lnZ?=0.1+ln(l-0.1),

令f(x)=x+ln(l—x),xG(0,0.1］,

1—丫

貝(1—=--<0,

L-X1-X

故f(x)在(0,0.1］上單調(diào)遞減，

可得/(0.1)</(0)=0,即Intz—lnZ?<0,所以a<b；

(2)tz-c=O.leol+ln(l-O.l),

x

令=xe+ln(l—X),XG(0,0.1],

xx

則g\x)=xe+e—-L=(l+%)(l—x)"T,

')\-x1-x

令k(.x)=(l+x)(l-x)ex-1,所以k\x)=(l-x2-2x)ex>0,

所以k(x)在(0,0.1]上單調(diào)遞增，可得k{x}>k(O)>0,即g'G)>o,

所以g(x)在(0,0.1］上單調(diào)遞增，可得g(0.1)>g(0)=0,即a-c>o，所以a〉c.

故c<a<b.

6.(2022年全國(guó)新高考I卷數(shù)學(xué)試題)已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為/,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的

體積為36%,且3W/W3百，則該正四棱錐體積的取值范圍是()

I吟27812764

A.D.[18,27]

B.T,Tc.

【答案】C

【分析】設(shè)正四棱錐的高為〃，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長(zhǎng)與高的關(guān)系，由此確定

正四棱錐體積的取值范圍.

【詳解】I?球的體積為36萬(wàn)，所以球的半徑R=3,

[方法一]:導(dǎo)數(shù)法

設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2a,高為心

則F=2a2+h2，3-=2a2+(3-h)2,

所以6//=產(chǎn)，2a2=l2-h2

ii774/21T76

所以正四棱錐的體積V=wS/z=wx4a2x/7=wx(/2-m)=T尸一

333366八36

所以『=4。/3一1

916

當(dāng)34/42遙時(shí)，丫'>0,當(dāng)2#</436時(shí)，V'<0,

所以當(dāng)/=2幾時(shí)，正四棱錐的體積V取最大值，最大值為守,

27Q1

又/=3時(shí)，V=—,/=3有時(shí)，V=—,

所以正四棱錐的體積丫的最小值為T(mén),

4

所以該正四棱錐體積的取值范圍是彳,F.

故選：C.

[方法二]:基本不等式法

L-|3

由方法一故所以V=g//z=|（6/7-爐）人=；（12-2/7）/zx/7,,2?+/2+/7（當(dāng)且僅當(dāng)場(chǎng)=4取

到），

當(dāng)退時(shí)，得/則2產(chǎn)心等于?

當(dāng)/=36時(shí)，球心在正四棱錐高線上，此時(shí)〃=：+3=|,

乎=。=筌，正四棱錐體積力=%笛）葭^=?<.,故該正四棱錐體積的取值范圍是

丑竺]

L413L

二、多選題

7.（2022年全國(guó)新高考I卷數(shù)學(xué)試題）己知正方體A8CD-A4C].,貝|（）

A.直線2G與所成的角為90。B.直線BG與CA所成的角為90°

C.直線BG與平面BBQD所成的角為45°D.直線與平面ABC。所成的角為45°

【答案】ABD

【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對(duì)所給選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】如圖，連接BC、BJ因?yàn)镺A//8C，所以直線8G與與C所成的角即為直線BG與所

成的角，

因?yàn)樗倪呅?gGC為正方形，則8CLBG，故直線BC|與D41所成的角為90。，A正確；

連接AC,因?yàn)锳片，平面B8CC,86（=平面8800,則A4，BG，

因?yàn)锽C,BC],A4B]C=B],所以平面A4C,

又ACu平面ABC,所以BG_LCA，故B正確；

連接4G，設(shè)AGBR=O,連接30,

因?yàn)?月，平面44Go-cqu平面A31GR，則

因?yàn)镃QLBQI，BRcB]B=Bi，所以CQ，平面

所以NGBO為直線BG與平面BBQD所成的角，

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,則CQ=變，BC1=丘,sinNGB。=、￡=；,

所以，直線BG與平面88QD所成的角為30,故C錯(cuò)誤；

因?yàn)镚C，平面43。，所以/GBC為直線BG與平面ABC。所成的角，易得/68。=45,故D正確.

故選：ABD

8.(2022年全國(guó)新高考I卷數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)/'(x)=x3一無(wú)+1,則()

A."X)有兩個(gè)極值點(diǎn)B.〃無(wú))有三個(gè)零點(diǎn)

C.點(diǎn)(0,1)是曲線y=/(x)的對(duì)稱(chēng)中心D.直線y=2x是曲線y=/(x)的切線

【答案】AC

【分析】利用極值點(diǎn)的定義可判斷A,結(jié)合了3的單調(diào)性、極值可判斷B,利用平移可判斷C；利用導(dǎo)

數(shù)的幾何意義判斷D.

【詳解】由題，r(x)=3x2-l,令用x)>0得x>]或一烏

3

令八幻<0得一與x<正，

33

所以“X)在(一00,-乎)，(*,+8)上單調(diào)遞增，(-孝，孝)上單調(diào)遞減，所以x=±]是極值點(diǎn)，故A

正確；

因/(-#)=1+孚>0，/冷=1一竽>0，/(-2

)=—5<0,

所以，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)3時(shí)，f(x)>f(^\>0,即函數(shù)在

-,+8上無(wú)零點(diǎn)，

7

綜上所述，函數(shù)Ax)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

3=

令〃(x)=x3-x,該函數(shù)的定義域?yàn)镽,//(-%)=(-X)_(一尤)—兀？+%=_/l(x)f

則M尤)是奇函數(shù)，(。,0)是〃⑴的對(duì)稱(chēng)中心，

將〃(無(wú))的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到了⑺的圖象，

所以點(diǎn)(0,1)是曲線y=/(無(wú))的對(duì)稱(chēng)中心，故C正確；

令/。戶3靖-1=2,可得x=±l,X/（D=/（-l）=l,

當(dāng)切點(diǎn)為（i,D時(shí)，切線方程為y=2x-i,當(dāng)切點(diǎn)為（-U）時(shí)，切線方程為y=2x+3,故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

三、填空題

9.（2022年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題）己知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2,〃），且尸（2<XW2.5）=0.36,

貝IJP（X>2.5）=.

【答案】0.14

【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)即可解出.

【詳解】因?yàn)閄N（2,4），所以P（X<2）=尸（X>2）=0.5,因此

尸（X>2,5）=P（X>2）-P（2<X<2,5）=0.5-0.36=0.14.

故答案為：0.14.

10.（2022年全國(guó)新高考H卷數(shù)學(xué)試題）設(shè)點(diǎn)A（-2,3）,3（0,a）,若直線AB關(guān)于>=。對(duì)稱(chēng)的直線與圓

（x+3）2+（y+2）2=1有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是.

【答案】

【分析】首先求出點(diǎn)A關(guān)于>=”對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可得到直線/的方程，根據(jù)圓心到直線的距離小于

等于半徑得到不等式，解得即可；

【詳解】解：A（-2,3）關(guān)于>對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為A1-2,2a-3）,磯0,a）在直線上，

所以A7?所在直線即為直線/,所以直線/為>=編x+a9即（a-3）x+2y-2a=0；

-2

圓C:(x+3)2+(y+2)2=l,圓心C(一3,—2),半徑廠=1,

依題意圓心到直線/的距1一離3（〃=一=3）=一4=一J2川

J

“a-3）2+22

即（5Hof。?a_3y□+22,解得1了a3W；,即ae「131；故答案為：「13.

五、解答題

11.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）記.C的內(nèi)角48,C的對(duì)邊分別為已知^=黑:

⑴若C=427r,求8；

（2）求匚S的最小值.

C

【答案】⑴(2)472-5.

O

cosAsin232sinBcosBsin3

【詳解】（1）因?yàn)?即

1+sinAl+cos2B2cos2BcosB

sinB-cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)=-cos^=~，而0<5<],所以3=看

所以而sin5=—cosC=sin]c—]

(2)由(1)知，sinB=—cosC>0,

所以C=；+B,即有A=5-23,所以2e(0,2J,Ce

a2+b2sin2A+sin2B_cos22B+l-cos2B

所以

sin2Ccos2B

(2cos2B-l^2+l-cos2B

=4cos2B+—4—-5>2^-5=472-5-

cos2Bcos"B

當(dāng)且僅當(dāng)8=4時(shí)取等號(hào)，所以彳。的最小值為40-5.

12.（2022年全國(guó)新高考H卷數(shù)學(xué)試題）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者

的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

（1）估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；

（2）估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20,70）的概率；

（3）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50）的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%.

從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［40,50）,求此人患這種疾病的概率.（以樣本數(shù)據(jù)中患者

的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.

【答案】（1）47.9歲；

⑵0.89；

（3）0.0014.

【分析】(1)根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對(duì)應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)值的和即可求出；

(2)設(shè)A={一人患這種疾病的年齡在區(qū)間［20,70)),根據(jù)對(duì)立事件的概率公式P(A)=1-P(A)即可解出；

(3)根據(jù)條件概率公式即可求出.

【詳解】(1)平均年齡元=(5x0.001+15x0.002+25x0.012+35x0.017+45x0.023

+55x0.020+65*0.017+75x0.006+85義0.002)x10=47.9(歲).

(2)設(shè)A={一人患這種疾病的年齡在區(qū)間［20,70)},所以

P(A)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)x10=1-0.11=0.89.

(3)設(shè)8="任選一人年齡位于區(qū)間［40,50)”，C=“從該地區(qū)中任選一人患這種疾病”，

則由已知得：

P(B)=16%=0.16,P(C)=0.1%=0.001,P(B\C)=0.023x10=0.23,

則由條件概率公式可得

從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［40,50),此人患這種疾病的概率為

P(C⑶=包=PiQPWQ=0-001x023=°0014375。0.0014

P(B)P(B)0.16

22

13.(2022年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題)已知雙曲線口亍-}=1。＞0,6＞0)的右焦點(diǎn)為尸(2,0),漸近線

方程為y=土百x.

⑴求C的方程；

⑵過(guò)尸的直線與C的兩條漸近線分別交于42兩點(diǎn)，點(diǎn)尸(4另),Q(W，%)在C上，且再＞%＞。，%＞。.過(guò)

P且斜率為-0的直線與過(guò)。且斜率為出的直線交于點(diǎn)肱從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另

外一個(gè)成立：

①〃在A3上；?PQ//AB.③|M4|=|MB|.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

2

【答案】(l)Y-J

3

(2)見(jiàn)解析

【分析】(1)利用焦點(diǎn)坐標(biāo)求得c的值，利用漸近線方程求得。涉的關(guān)系，進(jìn)而利用"。的平方關(guān)系求

得。涉的值，得到雙曲線的方程；

(2)先分析得到直線AB的斜率存在且不為零，設(shè)直線AB的斜率為k,M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等價(jià)分

析得到由直線R0和的斜率得到直線方程，結(jié)合雙曲線的方程，兩點(diǎn)間距離公式

得到直線PQ的斜率機(jī)=也，由②PQ//AB等價(jià)轉(zhuǎn)化為外。=3/，由①”在直線A2上等價(jià)于

%

2

ky0=k(x0-2),然后選擇兩個(gè)作為已知條件一個(gè)作為結(jié)論，進(jìn)行證明即可.

【詳解】（1）右焦點(diǎn)為尸（2,0）,...c=2,：漸近線方程為、=±后，...2=6,??2=扃，???

a

c1=a1+b2=4a2=4>o=1,b=5/3.

2

.?.C的方程為：/一匕=1；

3

（2）由已知得直線P。的斜率存在且不為零，直線AB的斜率不為零，

若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線AB的斜率存在且不為零；

若選①③推②，則〃為線段的中點(diǎn)，假若直線A3的斜率不存在，則由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性可知"在x

軸上，即為焦點(diǎn)P，此時(shí)由對(duì)稱(chēng)性可知P、。關(guān)于尤軸對(duì)稱(chēng)，與從而玉=9，已知不符；

總之，直線的斜率存在且不為零.

設(shè)直線AB的斜率為鼠直線AB方程為y=k（x-2）,

2

則條件①M(fèi)在A3上，等價(jià)于%=左（毛-2）=飯=k（x0-2）；

兩漸近線的方程合并為3x2-y2=0,

聯(lián)立消去y并化簡(jiǎn)整理得：伏2一3b2一軟2*+4/=。

設(shè)4伍,為）以程幻,線段中點(diǎn)為"（孫，〃）,則仆=胃血=等;,%=左區(qū)-2）=，，

乙rVJK3

設(shè)M（x。，%）,

則條件③IAM|=|BM|等價(jià)于（%-%）2+（%-%）2=（%-彳4）2+（%-%）2，

移項(xiàng)并利用平方差公式整理得：

（尤3-尤4）［2%-（尤3+/）］+（%-（%+%）］=。，

4

［2尤0-（尤3+匕）］+；_：［2%-（%+%）］=°，即%-xN+k（yo-yN）=O,

X3_%4

8左2

即無(wú)。+佻=*;

K.—J

由題意知直線加的斜率為-0，直線QM的斜率為6,

由%—%=-6（%一九0），,2一%=G（%2—犬0），

X—=一6（再+九2—2x0）,

所以直線PQ的斜率m=且二^=2%）,

玉—x2玉一x2

直線PM：y=-V3（x-x0）+y0,BPy=y0+>/3-\）-^x,

代入雙曲線的方程3尤2—丁一3=0,即（氐+?（&-〉）=3中，

得：（%+瓜o）（2岳-（%+島）］=3,

、

光0,

/

3尤o

???條件②PQ//AB等價(jià)于m=koky°=3x。,

綜上所述:

條件①M(fèi)在A3上，等價(jià)于佻=/（七一2）；

條件②PQHAB等價(jià)于ky0=3x0；

O7,2

條件③|=忸M等價(jià)于xo+kyo=等W；

選①②推③：

2

9T,只沙2

由①②解得：x0=-—~-,:.x0+ky0=4x0=—一??③成立;

K—5K—J

選①③推②：

6k2

由①③解得：Xo=》一人，ky0=-——,

K.—JK—3

.?.如）=3無(wú)o，.^.②成立；

選②③推①：

由②③解得：毛=當(dāng)，ky0=-^-,：.x0-2=-^-,

K-JK—3K—5

/.'=〃（尤o—2）,.,.①成立.

III精選模擬題預(yù)測(cè)

一、單選題

1.（2023秋.遼寧葫蘆島?高三統(tǒng)考期末）設(shè)2（z+）+5（z-同=4+10i,貝i]z=（）

A.1-iB.1+iC.l+2iD.l-2i

【答案】B

【分析】設(shè)2=。+萬(wàn)，利用共朝復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的加減法可得出關(guān)于“、6的等式，解出這兩個(gè)未

知數(shù)的值，即可得出復(fù)數(shù)z.

【詳解】設(shè)z=a+bi,貝!|彳=a—?dú)v，貝!J2（z+N）+5（z—彳）=4。+10/=4+15,

4a=4

所以‘106=10'解得7=1，因此，z=l+i.

故選：B.

2.（2022?貴州貴陽(yáng)?高三貴陽(yáng)一中?？茧A段練習(xí)）辛亥革命發(fā)生在辛亥年，戊戌變法發(fā)生在戊戌年.辛亥

年、戊戌年這些都是我國(guó)古代的一種紀(jì)年方法.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十個(gè)符號(hào)叫天

干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二個(gè)符號(hào)叫地支.按天干地支順序相組配用來(lái)

紀(jì)年叫干支紀(jì)年法.例如：天干中“甲”和地支中“子”相配即為“甲子年”，天干中“乙”和地支中“丑”相配即

為“乙丑年，，，以此紀(jì)年法恰好六十年一循環(huán).那么下列干支紀(jì)年法紀(jì)年錯(cuò)誤項(xiàng)是（）

A.庚子年B.丙卯年C.癸亥年D.戊申年

【答案】B

【分析】根據(jù)干支紀(jì)年法的規(guī)則判斷.

【詳解】干支紀(jì)年法中年份相當(dāng)于第一排把10個(gè)天干按順序排列6次（共60個(gè)），第二排把12個(gè)地支

排列5次（共60個(gè)），然后上下組合成一個(gè)年份.所有年份如下表所示：

1-10甲子乙丑丙寅丁卯戊辰己巳庚午辛未壬申癸酉

11-20甲戌乙亥丙子丁丑戊寅己卯庚辰辛巳壬午癸未

21-30甲申乙酉丙戌丁亥戊子己丑庚寅辛卯壬辰癸巳

31-40甲午乙未丙申丁酉戊戌己亥庚子辛丑壬寅癸卯

41-50甲辰乙巳丙午丁未戊申己酉庚戌辛亥壬子癸丑

51-60甲寅乙卯丙辰丁巳戊午己未庚申辛酉壬戌癸亥，故B錯(cuò)誤，

故選：B.

3.（2023秋?江蘇徐州?高二統(tǒng)考期末）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《張丘建算經(jīng)》中記載：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日

減半，疾七日，行七百里”.意思是說(shuō)有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里數(shù)是前一天的一半，

七天一共行走了700里路，則該馬第七天走的里數(shù)為（）

.350r700—1400r2800

A.B.C.------D.------

127127127127

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可知，每天行走的里程數(shù)成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式即可求得結(jié)果.

【詳解】由題意得，馬每天行走的里程數(shù)成等比數(shù)列，

設(shè)第?天行走的里數(shù)為%,則數(shù)列｛4｝是公比為4=。的等比數(shù)列；

7

q1—

由七天一共行走了700里可得％+%+...+%=——1

-二700，

1--

2

初汨44800g、1（n448001700m2格心工上，中貼心700

解得q=1k，所以%=q|-1=--------x—=——，即1該馬Tl第七天走的1V里數(shù)為77口.

127⑶12764127127

故選：B

4.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）己知拋物線C：>2=2°無(wú)（0>0）的焦點(diǎn)為b，點(diǎn)71/（如可卜尤（）>>|）是拋物

線C上一點(diǎn)，圓M與線段相交于點(diǎn)A,且被直線*=號(hào)截得的弦長(zhǎng)為君|"4^\M^=2\AF\,則

四=（）

A.2B.1C.旦D.y/5

2

【答案】C

【分析】根據(jù)點(diǎn)在拋物線上及拋物線的定義，利用圓的弦長(zhǎng)及勾股定理即可求解

【詳解】由題意可知，如圖所示，

對(duì)卜。，河）在拋物線上，則1。=2網(wǎng)=>pxQ=5①

..nA/AI??I21I2（〃、

易知，|功圖=七一不，由.=2n|MA|=2|A同==f飛+不

2AT3J\ZJ

因?yàn)楸恢本€X=|截得的弦長(zhǎng)為6|M4|,則口目=母四卜哥。+雪，

^\MA\=\ME\=r,于是在R3MDE中，

^（xo+^）2+（xo_^）2=^（xo+-1）2n%=〃②

由①②解得：x0=p=布,所以明=*<）+￡］邛.

故選：C.

5.（2023秋?遼寧沈陽(yáng)?高一沈陽(yáng)二十中校聯(lián)考期末）已知。=logs6,fe=log050.2,c=0.5°S則a,b,

c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.a<.c<ibC.b<.c<.aD.c<a<b

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，由指數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別得到。，久。的范圍，即可得到其大小關(guān)系.

【詳解】S^2=log525>log56>log55=l,即ae(l,2)

且logos0-2=log：=log25>log24=2,即6>2

23

0<0,5°8<0.5°=1,即CE(0,1),所以cvav。

故選:D

9v2

6.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)〃x)=f—lnx+尤+。有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(-oo,-l-In2]B.(-I,ln2]

C.-1--In2,ln2D.|-ln2

L2JI2」

【答案】A

【分析】解法一：設(shè)&=芥(彳>0),可將原題轉(zhuǎn)化為g3=M-'n"+mn2+g+〃在卜:上存在零

點(diǎn).根據(jù)導(dǎo)函數(shù)可知g(M)有最小值g[j=l+ln2+a.由函數(shù)有零點(diǎn)，所以有進(jìn)而根

據(jù)g(eT)>0,結(jié)合零點(diǎn)存在定理，即可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍；解法二：同構(gòu)：將原式變形為

/(x)=e*')八+|-J_[]n(2尤2)-2x+l]+a+Un2+L令加⑺=e'-』/+0+,1112+』.根據(jù)機(jī)(7)的導(dǎo)函數(shù)

研究單調(diào)性，可得⑺有最小值機(jī)(-In2)=a+l+ln2.由函數(shù)有零點(diǎn)，所以有根(一姑2卜0,?<-1,進(jìn)

而根據(jù)g(T|a|)>0,結(jié)合零點(diǎn)存在定理，即可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【詳解】解法一：

2Y2

因?yàn)镮n21=In(2兀2j-2x+l=ln2+21nx-2x+l(x>0).

721

設(shè)―含v(x>0),兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，可得lnx-x=—ln"-ln2-l)(x>0).

e2

g(沅)=〃—5(inu—In2—1)+Q=u.——lnw+~ln2+—+

對(duì)"(力殺(，>。)求導(dǎo)，得"

解M(x)=0可得，X=l.

解〃'(x)>0可得，0<x<l,所以a")在(。，1)上單調(diào)遞增;

解"'(力<0可得，%>1,所以“⑺在(1,+8)上單調(diào)遞減.

所以0<"%卜"1)=：,所以g(〃)的定義域?yàn)?/p>

若〃尤)有零點(diǎn)，則g(")有零點(diǎn).

因?yàn)?，(")=1一；=竽，解g，(〃)=0可得，

\「

解?(")>0可得，*,所以g(")在上12單-調(diào)遞增；

解5(")<0可得，0<u<1,所以g(")在上單調(diào)遞減.

所以，當(dāng)&=:時(shí)，g(")有最小值g(\=l+ln2+a.

所以，要使g⑺在(。，|上有零點(diǎn)，則必有g(shù)[m=l+ln2+aV0,

即aV—1一In2<—1.此時(shí)有e-4|a|<e^<|,

且g(e-4問(wèn))=e-4'a'-^-Ine-4'^+gln2+；+a=14同+2|a|+-^ln2+-^-+a>e-4'^+|a|>0.

根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得，使得g("0)=0,即g⑺有零點(diǎn)，

所以/(x)有零點(diǎn)，所以a?-1-ln2v-1.

解法二

2ln(2x2)

2X

由題可得，/(x)=.2%一1-Inx+-+〃=?———^lnx2—2x+In2+1)+?+—In2+—

=em。J-1[ln(2x2)-2x+l]+a+1ln2+1(x>0).

令f=ln(2尤2)-2X+1(X>0),則公/_2=_2(1).

解「=一空zD=o可得，％=i.

X

解f，=一型二Q>0,可得o<x<l,所以函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增；

X

解一=_空匚1<0,可得X>1,所以函數(shù)在(1,+8)上單調(diào)遞減.

X

所以，函數(shù)r=ln(2/)-2x+l在x=l時(shí)，取得最大值為ln2-1,所以Yln2-1.

設(shè)根(f)=e'一+a+gln2+J,?e(—oo,ln2—1],貝！j加(f)=e'一g.

解"⑺=F-g=0,可得r=lng=_ln2.

解加⑺=e'-；>0,可得r>-ln2,所以相⑺在（-In2,In2T上單調(diào)遞增;

解根'（t）=e'-g<0,可得r<-ln2,所以相⑺在（口,—In2）上單調(diào)遞減.

所以，當(dāng)f=—ln2時(shí)，

函數(shù)加（。有最小值〃7（-ln2）=g+1ln2+a+gln2+;=a+l+ln2.

要使函數(shù)/（x）有零點(diǎn)，則心⑺在（-℃,In2-1]上存在零點(diǎn).

所以，必有加（—ln2）40,BP?<-l-ln2<-l,

又機(jī)（一4同）=eT4—glne-4的+gln2+g+〃=e-4同+2|d+fn2+g+6Z〉?一胴+問(wèn)>0,

根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得，3f0e（-4|t/|,-ln2）,使得加（幻=0,即相⑺有零點(diǎn)，

所以/（x）有零點(diǎn)，所以a?-1一ln2<—1.

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：函數(shù)同構(gòu)變形，由已知可得〃尤）=eMz+，+i_；[]n（2x2）一2x+l]+a+gln2+；,

進(jìn)而可令〃（）=6'-5+4+（112+：.只需研究詞。在（y,ln2T上的零點(diǎn)即可.

二、多選題

7.（2023?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖是正方體的平面展開(kāi)圖，則在這個(gè)正方體中（）

A.A3與CD平行B.CD與G8是異面直線

C.EF與G”成60°角D.CZ）與斯平行

【答案】CD

【分析】根據(jù)正方體的平面展開(kāi)圖得到直觀圖，然后判斷即可.

【詳解】該正方體的直觀圖如下：

G(0

8與G”相交，故B錯(cuò)；因?yàn)樵搸缀误w為正方體，所以所CD,三

角形G”D為正三角形，直線GH與直線GO所成角為60。，則跖與GH所成角為60。，故CD正確.

故選：CD.

8.（2023?安徽?統(tǒng)考一模）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（2a,0）,3（2q,2/）gw0）,線段A2的中點(diǎn)M在拋物

線C:無(wú)2=20（°>0）上，連接并延長(zhǎng)，與C交于點(diǎn)N,則（）

A.C的準(zhǔn)線方程為y=-gB.點(diǎn)6為線段ON的中點(diǎn)

C.直線AV與C相切D.C在點(diǎn)〃處的切線與直線ON平行

【答案】BCD

【分析】將代入拋物線得p=2,則得到其準(zhǔn)線方程，則可判斷A,聯(lián)立直線。3的方程與拋

物線方程即可得到N（4a,4〃），即可判斷B,利用導(dǎo)數(shù)求出拋物線C在點(diǎn)N處的切線方程，令>=0,則

可判斷C,再次利用導(dǎo)數(shù)求出拋物線在M（2a,1）處的切線斜率，則可判斷D.

【詳解】對(duì)A,根據(jù)中點(diǎn)公式得M（2a,叫，將其代入C:/=2py得4a2=2〃p,則p=2,

所以拋物線C：/=4y的準(zhǔn)線方程為y=-l,故A錯(cuò)誤，

對(duì)B,8（2a,2"）（a滬0）,則直線QB的斜率為。，則直線的方程為丫=◎,

將其代入C:/=4y得爐=46,解得x=4a或0（舍去），此時(shí)y=4〃，

則N（4a,4/）,所以8為ON中點(diǎn)，故B正確；

對(duì)C,C:x2=4y,即/=工/,則/=,矛，

42

故拋物線C在點(diǎn)N處的切線的斜率為;X4a=2a,

故切線方程為丫-4/=2a（x-4a）,

令y=0得x=2a,所以直線■為C的切線，故C正確；

對(duì)D,拋物線C:無(wú)2=4y在M（2〃,/）處的切線方程的斜率為gx2a=a,

而直線ON的斜率為。，則兩直線的斜率相等，且兩直線顯然不可能重合,

所以C在點(diǎn)"處的切線與直線ON平行.

故選：BCD.

三、填空題

9.(2023?河北邢臺(tái)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))某種食鹽的袋裝質(zhì)量X服從正態(tài)分布N(400,16),隨機(jī)抽取10000

袋，則袋裝質(zhì)量在區(qū)間(396,408)的約有袋.(質(zhì)量單位：g)

附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布則P(〃—b<X<〃+b)=0.6827,

尸(〃一2cr<X<〃+2cr)=0.9545,P(〃—3cr<X<〃+3cr)=0.9973.

【答案】8186

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的概率分布原則可得尸(396<X<404)=0.6827,尸(392<X<408)=0.9545,進(jìn)而

求出尸(396<X<408)即可求解.

【詳解】由題意知，X~N(400,42),

所以P(396<X<404)=0.6827,P(392<X<408)=0.9545,

得P(396<X<408)=P(392<X<408)-P(392<X<396)

=P(392<X<408)-1[P(392<X<408)-P(396<X<404)]

=0.9545-1(0.9545-0.6827)=0.8186,

所以袋裝質(zhì)量在區(qū)間(392,408)的約有10000x0.8186=8186袋.

故答案為：8186.

10.(2022?江蘇?高二期末)已知點(diǎn)M(0,3),點(diǎn)、M、N關(guān)于直線4：y=對(duì)稱(chēng)，若直線4過(guò)點(diǎn)N且與

直線《交于點(diǎn)。若S“MN=4,且直線4的傾斜角大于乙的傾斜角，則直線4的斜截式方程為.

【答案】尸

【分析】利用兩點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)性求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，求出以及直線的方程，設(shè)點(diǎn)尸。，

利用點(diǎn)到直線的距離公式以及=4求出「的值，根據(jù)直線的斜率的取值范圍為(-1,0)得出點(diǎn)P的

坐標(biāo)，進(jìn)而可求得直線4的方程.

【詳解】設(shè)點(diǎn)N(a,6),線段MN的中點(diǎn)為等],直線4的斜率為-1,

ab+3

1------------(-

、.