2024高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識梳理與鞏固訓(xùn)練：空間向量

模塊十三:空間向量

1、空間向量的有關(guān)概念

1.與平面向量一樣，在空間中,我們把具有大小和方向的量叫做空間向量.

2.空間向量的長度（模）:空間向量的大小叫做向量的

■B

a

A

長度或模，如圖，其模記為|a|或\AB\.

3.空間向量的表示方法（1）即利用黑體a,手寫用之；（2）空間向量

1）用有向線段表示.也可用有向線段表示，有向線段的長度

2）用字母a,b等表示.表示空間向量的模.

1）長度為0的向量叫做零向量，記為0.

2）模為1的向量稱為單位向量.

3）方向相同且模相等的向量稱為相等向量.

在空間中,同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量。

4）與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為-a.類似實(shí)數(shù)a的

相反數(shù)為-%

2、空間向量的線性運(yùn)算

L空間向量的加減法及數(shù)乘運(yùn)算:空間任意兩個(gè)向量都可以平

。向量加法模的性質(zhì)

IIa|-|b||<|a+b|<|a|+|b|.

當(dāng)a,b同向時(shí)，右等號成立;當(dāng)a,b反向時(shí)，左等號成立;當(dāng)a,b中有零向量時(shí)，兩等

號均成立.當(dāng)a,b不共線時(shí),上式的幾何意義是三角形任意一邊小于另兩邊之和,大

于另兩邊之差.

移到同一平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的向量.如圖1,旦知空I'%量a,b,我們可以把它

們移到同一平面a內(nèi)，以任意點(diǎn)。為起點(diǎn)，作向量力？=a,OB=b.類似于平面向量,

定義空間向量的加法、減法及其數(shù)乘運(yùn)算(如圖2、3).

^Aa(A<0)

A

a

圖3

l)a+b=01+AB=0B;2)a-b=01-0C=G4;

3)當(dāng);I>0時(shí)，丸a與向量a的方向相同；當(dāng);I<0時(shí),;la與向量a的方向相反，長度

是a的長度的|川倍.|狙=|A||a|.

。溫馨提示

證明平面向量加法的結(jié)合律時(shí)三個(gè)向量在同一個(gè)平面內(nèi)，證明空間向量加法的結(jié)合

律時(shí)三個(gè)向量不在同一個(gè)平面內(nèi).

2.空間向量線性運(yùn)算滿足以下運(yùn)算律與實(shí)數(shù)加法交換律類似.

交換律:a+b=b+a;與實(shí)數(shù)加法結(jié)合律類似.

結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c),A(|xa)=(A|i)a；

分配律：(丸+四)a-Aa+pia,A(a+b)=Aa+Ab.其中A,/zGR.

與實(shí)數(shù)乘法分配律類似.

3、共線向量與共面向量

。溫馨提示

1.零向量和任一空間向量是共線向量.

2.共線向量不具有傳遞性，如a〃仇〃/c,但a//c不一定成立,因?yàn)楫?dāng)b=0時(shí)，雖然

a//b,b//c，但a與c不一定共以

共線向量一定共面，共面向量不一定共線.

4、空間向量數(shù)量積

?易錯(cuò)易混

易將向量的夾角(a,b)與點(diǎn)的坐標(biāo)(a,b)混淆;防止混淆圖中的兩個(gè)向量的夾角；

圖(a)中，乙40B=(OA,OB).

圖(b)中，ZAOB=兀一(而，0B).

AA

-H"0~B

圖(a)圖(b)

1.共線向量

1)定義:如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合,那么這些向量

.為共線向量(或平行向量).

2)共線向量定理:對任意兩個(gè)空間向量a,b(b*O),a//b的充要條件是存在實(shí)數(shù)A,

使a=2b.若b=0,而a。0,這樣就不存在2.共面向量實(shí)數(shù)2,使&=油

1)定義:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.

2)共面向量定理:如果兩個(gè)向量a,b不共線，那么向量p與向量a,b共面的充要條件

是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y)，使p=xa+yb.

L空間向量的夾角兩個(gè)向量的夾角是唯色,且〈a必=(b,a).1)夾角的定義：已知

兩個(gè)非零向量a,b,在空間任取一點(diǎn)。，作不？=a,OB=b，則乙40B叫做向量a,b

的夾角，記作〈a,b).

2)夾角的范圍:空間任意兩個(gè)向量的夾角的取值范圍是0W〈a,b〉W兀.當(dāng)〈a,b)=

0時(shí)，兩向量同向共線;當(dāng)(a,b)=7i時(shí)，兩向量反向共線；當(dāng)〈a,b)=時(shí),兩向量垂直,

記作alb.2.向量的數(shù)量積

1)定義：已知兩個(gè)非零向量a,b,則|a||b|cos(a,b)叫做向量a,b的數(shù)量積，記作a-

b,即a?b=|a||b|cos(a,b).規(guī)定:零向量與存何向量的數(shù)量積為0.0?a=0.

2)幾何意義:數(shù)量積a-b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos(a,b)

的乘積，或b的長度|b|與a在b的方向上的投影|a|cos(a,b)的乘積.

3.向量數(shù)量積的性質(zhì)兩非零向量才有垂直關(guān)系。

1)由a?a=|a|2可得向量自身的數(shù)量積就是其模的平方.2)a?b=0的充要條件是

alb(a,b為非零向量入.

3)兩個(gè)非零向量a,b的夾角可由a,b的數(shù)量積表示:cos〈a,b>

a?b

=麗‘

4)對于任意向量a,b,總有|a-b|<|a|-|b|,并且只有當(dāng)a//b時(shí),等號成立.

4.向量數(shù)量積的運(yùn)算律

數(shù)乘結(jié)合律:(Aa)-b=A(ab)；

交換律:a-b=ba；

分配律:a(b+c)=ab+ac.

【拓展】

由定義得(a-b)c=(|a||b|cos,a,b>)c,即(a-b)c—丸遙,a(b-c)=

a(|b||c|cos(b,c))，即a(b-c)=A2a.

1,由a?b=b?c(b豐0)不能得到a=c.

2.向量數(shù)量積運(yùn)算只適合交換律、加乘分配律及數(shù)乘結(jié)合律，但不適合乘法結(jié)合律,

即(ab)c不一定等于a(b?c).這是因?yàn)?a-b)c表示一個(gè)與向量c共線的向量，而

a(b.c)裝示一個(gè)與向量a共線的向量

3.空間向量沒有除法運(yùn)算.對于兩個(gè)非零向量a,b及實(shí)數(shù)c,由a?b=c不能得到

a=;及b=二

ba

5、空間向量基本定理

(1)空間向量基本定理

如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對任意一個(gè)空間向量p,

。歸納總結(jié)

1.空間任何三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底,因此空間的基底有無窮

多個(gè).

2.空間的基底是不共面向量,故都不是0.

3.基底選定后,空間中的任何向量均可由基底唯一表示.

存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，使得p=xa+yb+zc.(1)

證明設(shè)向量a,b,c不共面(如圖)，過點(diǎn)

。作a=a,痂=b，前==p，過點(diǎn)P作直線PP'平行于0C交平面O4B于

點(diǎn)P,在平面。內(nèi)，過P作直線〃。4分別與直線04、0B相交

于點(diǎn)A、B',于是存在三個(gè)實(shí)數(shù)久,y,z,使而=xOA=%a,兩=yOB=yb,討=

zc,OP—OA'4-OB'+P'P—xOA4-yOB4-zOC，即OP—p—xa+yb+zc.{V\

如果p=%a+yb+zc=x'a+y'b+z'c，可推出x—x',y—y',z-z'，這也證明了

表達(dá)式(1)是唯一的..

由此可知,如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么所有空間向量組成的集合就是｛p|p=

xa+yb+zc,x,y,zER｝.這個(gè)集合可看作由向量a,b,c生成的，我們把｛a,b,c｝叫

做空間的一個(gè)基底（base）,a,b,c都叫做基向量（basevectors）.空間任意三個(gè)不共面

的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底.

⑵正交分解

如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量兩兩垂直,且長度都為1,那么這個(gè)基底叫做單

位正交基底，常用表示.三個(gè)向量互相垂直，

且都是單位向量.

由空間向量基本定理可知,對空間中的任意向量a，都可以分解為三個(gè)向量xi,yj,zk,

使a=妞+yj4-zk.像這樣，把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量,叫做把空

間向量進(jìn)行正交分解.

6、空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示（右手直角坐標(biāo)系）

（1）空間直角坐標(biāo)系

類似地，在空間選定一點(diǎn)。和一個(gè)單位正交基底｛i,力3（圖1.3-2）.以點(diǎn)。為原點(diǎn)，分

別以的方向?yàn)檎较?、以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸:x軸、y軸、z

軸，它們都叫做坐標(biāo)軸.這時(shí)我們就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系。久yz,。叫做

圖1.3-2

原點(diǎn),ijk都叫做坐標(biāo)向量，通過每兩條坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為。孫

平面,Oyz平面,Ozx平面，它們把空間分成八個(gè)部分.

畫空間直角坐標(biāo)系Oxyz時(shí),一般使ZxOy=135。（或45°/.yOz=90°.

⑵空間向量的坐標(biāo)表示

一般地，如果空間向量的基底｛e1,e2,e3｝中,elfe2,e3都是單位向量,而且這三個(gè)向量

兩兩垂直,就稱這組基底為單位正交基底;在單位正交基底下向量的分解稱為向量

的單位正交分解，而且，如果p=xer+ye2+ze3，則稱有序?qū)崝?shù)組(居y,z)為向量p

的坐標(biāo)，記作

P=("*),

其中陽y,z都稱為p的坐標(biāo)分量.

(3)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

設(shè)

a二(。1，。2,“3)力=b3),

與平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示一樣,我們有：

a+b=。3+人3)，

a—b=(%—blfa2—b2>CL3—b3),

4a—(4。］,入€R,

a-b=內(nèi)瓦+a2b2+ct3b3.

當(dāng)bW0時(shí),a〃b=a=Ab=a】=A.blfa2=Xb2t的=Ab3(AER);

alb=a?b=O=a1b1+a2b2+a3b3=0;

|a|=Va-a=小.+堵+通；

a?bab+ab+ctb

cos〈a,b)=~...-―/11=2~2/33=.

Ia11b|J苗+境+a.J必+留+必

⑷空間向量的夾角與距離公式

1.夾角公式

設(shè)非零向量a=(%i，yi，zi),b=(x2/2*2),則cos(a,b)

_久1肛+y/2+Z1Z2

J好+尤+z.?J好+龍+z：

2.距離公式

在空間直角坐標(biāo)系中，已知24(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)，則A,

B兩點(diǎn)間的距離dAB=J02-%1)2+。2-丫1)2+(Z2—Z1+

7、空間向量的應(yīng)用

(1)空間中點(diǎn)、直線、平面的向量表示

如圖L4-1，在空間中,我們?nèi)∫欢c(diǎn)。作為基點(diǎn)，那

么空間中任意一點(diǎn)P就可以用向量而來表示.我們把向量而稱為點(diǎn)P的位置向

量.

一般地，如果1是空間中的一條直線，〃是空間中的一個(gè)非零向量,且表示U的有向線

段所在的直線與I平行或重合，則稱V為直線I的一個(gè)方向向量.此時(shí)，也稱向量V與

直線1平行，記作〃

用向量表示直線I，就是要利用點(diǎn)A和直線I的方向向

圖1.4-2

量表示直線上的任意一點(diǎn).

如圖1.4-2,a是直線I的方向向量,在直線1上取后=a，設(shè)P是直線I上的任意一

點(diǎn)，由向量共線的條件可知,點(diǎn)P在直線I上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使得

AP=ta,即9=tAB.

進(jìn)一步地，如圖1.4-3,取定空間中的任意一點(diǎn)。，可

圖1.4-3

以得到點(diǎn)P在直線I上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使

0P-0A+ta,

⑴

將南=a代人(1)式，得

OP=01+LAB

(1)式和(2)式都稱為空間直線的向量表示式.由此可知，

空間任意直線由直線上一點(diǎn)及直線的方向向量唯一確定.你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？

我們知道，平面a可以由a內(nèi)兩條相交直線確定.如圖L4-4,設(shè)兩條直線相交于點(diǎn)0,

它們的方向向量分別為a和4P為平面a內(nèi)任意一點(diǎn),由平面向量基本定理可知,存

在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y)，使得

-->

0P—xa+yb.

這樣，點(diǎn)。與向量a,b不僅可以確定平面a,還可以具體表示出a內(nèi)的任意一點(diǎn).這

種表示在解決幾何問題時(shí)有重要作用.

圖1.4-4

圖1.4-5

進(jìn)一步地，如圖L4-5,取定空間任意一點(diǎn)。，可以得到，空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)

的充要條件是存在實(shí)數(shù)％,y,使

OP=0A+xAB+yAC

⑶

你能證明這個(gè)結(jié)論嗎?

我們把(3)式稱為空間平面ABC的向量表示式.由此可

⑵平面的法向量

如圖1.4-6,直線I1a.取直線，的方向向量a,我們稱向量a為平面a的法向量

(normalvector).給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)向量a,那么過點(diǎn)A，且以向量a為法向量的平

面完全確定，可以表示為集合{PIa?9=0}.

圖1.4-6

如果另有一條直線mLa，在直線m上任取向量b,b與a有什么關(guān)系?

⑶空間直線、平面位置關(guān)系判定

如圖1.4-8,設(shè)unu2分別是直線的方向向量.由方向向量的定義可知，如果兩條

直線平行,那么它們的方向向量一定平行;反過來，如果兩條直線的方向向量平行,那

么這兩條直線也平行.所以

11//12<=>u1//u20皿eR,使得Ui=AU2.

圖1.4-9

圖1.4-10

類似地，如圖1.4-9,設(shè)u是直線/的方向向量,n是平面a的法向量,1Ca則

///a=uln=u?n=0.

如圖1.4-10,設(shè)nnn2分別是平面a,p的法向量，則

a//p<=>n1//n20三2eR,使得n】=An2.

一般地,直線與直線垂直,就是兩直線的方向向量垂直;直線與平面垂直,就是直線的

方向向量與平面的法向量平行;平面與平面垂直,就是兩平面的法向量垂直.

如圖1413(1),設(shè)直線的方向向量分別為Ui，l>2，則

(1)

圖1.4-13

如圖1.4-13(2),設(shè)直線I的方向向量為u,平面a的法向量為n，則

Z1a?u//n?3AeR,使得u=An.

如圖14-13(3),設(shè)平面a，B的法向量分別為由,

n2，則

a13=叫1%=%?%=0?

⑷利用空間向量研究空間距離與夾角⑴空間中的距離

如圖L4-16,向量9在直線/上的投影向量為而，則

P

AQ~~/

圖1.4-16

△APQ是直角三角形.因?yàn)?P都是定點(diǎn)，所以\AP\,AP與u的夾角/.PAQ都是確定

的.于是可求\AQ\.再利用勾股定理，可以求出點(diǎn)P到直線I的距離PQ.

設(shè)9=a，則向量AP在直線I上的投影向量筋=(a?u)u.

在Rt△APQ中,由勾股定理得

PQ-J|AP|2_|而廣-Ja2-(a.11)2.

如圖1.4-17,已知平面a的法向量為n,A是平面a內(nèi)的定點(diǎn),P是平面a外一點(diǎn).過

點(diǎn)P作平面a的垂線I，交平面a于點(diǎn)Q，則n是直線I的方向向量，且點(diǎn)P到平面a

的距離就是標(biāo)在直線I上的投影向量麗的長度因此

―>nAPn府.n|

PQ2同=

|n|

類似地,請同學(xué)們研究如何求兩個(gè)平行平面的距離.

(2)空間中的夾角

一般地，兩條異面直線所成的角,可以轉(zhuǎn)化為兩條異面直線的方向向量的夾角來求

得.也就是說，若異面直線",I2所成的角為e，其方向向量分別是u,v,則

U?V|u?v|

COS。=|COS〈U,V)|=T-77-7=.

|u||v||u||v|

類似地,直線與平面所成的角，可以轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角.

如圖1.4-20,直線AB與平面a相交于點(diǎn)B，設(shè)直線AB與平面a所成的角為9直線

AB的方向向量為u,平面a的法向量為n,則

u-n|u-n|

sin。=|cos〈u,n)|==.,,

|u||n||u||n|

A

圖1.4-20

圖1.4-21

如圖1.4-21,平面a與平面0相交，形成四個(gè)二面角,我們把這四個(gè)二面角中不大于

90°的二面角稱為平面a與平面0的夾角.

類似于兩條異面直線所成的角,若平面a,13的法向量分別是由和n2，則平面a與平

面0的夾角即向量由和n2的夾角或其補(bǔ)角.設(shè)平面a與平面0的夾角為。，則

%叫Hsi

COS0=Icosg,口2〉1=

|nil|n2|

三垂線定理如果平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直,則它

也和這條斜線垂直.

三垂線定理的逆定理如果平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線垂直，則它也

和這條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直.

【課本優(yōu)質(zhì)習(xí)題匯總】

新人教A版選擇性必修一P9

3.如圖，在平行六面體但BCD-AB（7y中,AB=4,AD=3,44'=5,/.BAD=

90°,^BAA'=/.DAA'=60°,求：

（1）加?荏；（2）AB'的長;（3）AC的長.

（第2題）

（第3題）

（第4題）

4.如圖，線段在平面a內(nèi),1AB,AC1a,且AB=a,BD=b,AC=c，求

C,。兩點(diǎn)間的距離.

新人教A版選擇性必修一P9

4.如圖，已知四面體ABC。的所有棱長都等于a,E,F,G分別是

(第4題)

棱48,4。,的中點(diǎn).求：

(1);(2)AD-DB;(3)GF-ZC;

(4)￡F-BC;(5)FG-;(6)-GF.

新人教A版選擇性必修一PIO

6.如圖,已知E,F,G,H分別為四面體ABCD的棱AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),求證:E,

F,G,H四點(diǎn)共面.

A

（第6題）

新人教A版選擇性必修一P10

9.如圖，在四面體OABC中，041BC,OB1AC.求證:0C1AB.

（第9題）

（第10題）

10.如圖，在四面體。ABC中,04=0B,CA=CB,E,F,G,H分別是。A,,C4的

中點(diǎn).求證:四邊形EFGH是矩形.

新人教A版選擇性必修一P14

1.已知四面體0ABC,0B=OC,^AOB=^AOC=6.求證:。41BC.

新人教A版選擇性必修一P15

6.如圖，平行六面體ABCD-的底面ABCD是菱形，且zQCB=zQCD=

乙BCD=60°,CD=CCi,求證:CAr1辛面CrBD.

ByAi

(第6題)

新人教A版選擇性必修一P15

7.如圖，在棱長為1的正方體ABC。一4/停1。1中,E,F分別為

(第7題)

DD^BD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在CD上，且CG"CD.

⑴求證:EF1B]C;

(2)求EF與CiG所成角的余弦值.

8.已知四面體中三組相對棱的中點(diǎn)間的距離都相等，求證:這個(gè)四面體相對的棱兩

兩垂直.

新人教A版選擇性必修一P35

2.如圖，在棱長為1的正方體ABC。-中,E為線段。4的中點(diǎn)，尸為線段

BBi的中點(diǎn).

(1)求點(diǎn)兒到直線BiE的距離；

(2)求直線FC1到直線AE的距離；

(3)求點(diǎn)兒到平面ABrE的距離；

(4)求直線FG到平面ABrE的距離.

新人教A版選擇性必修一P38

4.如圖,△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD/CBA

(第4題)

=乙DBC=120°.求：

(1)直線AD與直線BC所成角的大??；

(2)直線AD與平面BCD所成角的大?。?/p>

(3)平面ABD和平面BDC的夾角的余弦值.

新人教A版選擇性必修一P41

1.如圖,二面角a-1-p的棱上有兩個(gè)點(diǎn)4B,線段BD與AC分別在這個(gè)二面角的

兩個(gè)面內(nèi),并且都垂直于棱L若AB=4,AC=6,=8,CO=2V17，求平面a與平

面0的夾角.

1題）

M

BD

（第2題）

2.如圖，在三棱雉Z—BCD中=AC=BD=CD=3fAD=BC=2,M,N分別是

ADfBC的中點(diǎn),求異面直線ANfCM所成角的余弦值.

新人教A版選擇性必修一P44

13.如圖，已知正方體ABC。-&B1QD1的棱長為1,E為CD的中點(diǎn)，求點(diǎn)名到平面

AEQ的距離.

（第15題）

14.如圖,正方體ABCD-&B1GD1的棱長為1.M是棱441的中點(diǎn),0是BD1的中

點(diǎn).求證:0M分別與異面直城AA1,BD1垂直，并求0M的長.

15.如圖，已知正方體ABCO的棱長為1,Q為殳心的中點(diǎn)，點(diǎn)P在棱441

上,AP-.441=1:3.求平面ABCD與平面BQP夾角的余弦值.

新人教A版選擇性必修一P44

17.在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量u=(a,b,c)(abc豐0),點(diǎn)

20(&，丫0,2()),點(diǎn)「(汽,丫,Z).)

(1)若直線I經(jīng)過點(diǎn)P。,且以U為方向向量,P是直線I上的任意一點(diǎn),求證:寧=

y-y。_z-zo.

bc'

(2)若平面a經(jīng)過點(diǎn)P(),且以u為法向量,P是平面a內(nèi)的任意一點(diǎn),求證：

a(x-%0)+b(y-y0)+c(z-z。)=0.

18.在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架ABCD,ABEF的邊長

(第18題)

都是1,且它們所在的平面互相垂直.活動(dòng)彈子M,N分別在正方形對角線AC和BF

上移動(dòng)，且CM和BN的長度保持相等，記CM=BN=a(0<a<V2).

(1)求MN的長；

(2)a為何值時(shí),MN的長最??？

(3)當(dāng)MN的長最小時(shí),求平面MNA與平面MNB夾角的余弦值.新人教A版選擇性

必修一P48

8.如圖，在棱長為1的正方體ABC。-中,E,F,G分別是。的中

點(diǎn).

(1)求證:EFLCF;

(2)求EF與CG所成角的余弦值；

(3)求CE的長.

(第8題)

(第9題)

9.如圖，在直三棱柱/B4-&B1Q中,G4=CB=1,/.BCA=90°,AA1=2,M,N分

別是&殳,41a的中點(diǎn).

(1)求BN的長；

(2)求cos(西，函)的值；

(3)求證:1QM.

新人教A版選擇性必修一P48

10.如圖,在平行六面體ABCD-A'B'C'D'中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)棱

AA'的長為b,且^A'AB=^A'AD=120°.求:(1)AC的長;(2)直線BD'與AC所

成角的余弦值.

(第10題)

(第11題)

(第12題)

11.如圖，在長方體ABCD-中，點(diǎn)E,F分別在BB1,DD1上，且AE1A$,

AF1A±D.

⑴求證:4C，平面AEF;

(2)當(dāng)AB=4,AD=3,44i=5時(shí),求平面AEF與平面D^BD的夾角的余弦值.

12.如圖，在四棱雉S—ABC。中，底面ABC。滿足AB1AD,ABIBC,SA1底面

ABCD，且SA=AB=BC=1,AD=0.5.

(1)求四棱雉S-ABCD的體積；

(2)求平面SCD與平面SAB的夾角的余弦值.新人教A版選擇性必修一P49

13.如圖,把正方形紙片ABCD沿對角線AC折成直二面角,E,

(第13題)

F分別為AD.BC的中點(diǎn),0是原正方形ABCD的中心，求折紙后乙EOF的大小.

14.在正四棱雉S-ABCD中，。為頂點(diǎn)S在底面內(nèi)的射影,P為側(cè)棱S。的中點(diǎn)，且

SO=OD.求直線BC與平面PAC所成的角.

新人教A版選擇性必修一P49

16.如圖，在棱長為a的正方體OABC-O'A'B'C中,E,F分別是棱AB.BC上的動(dòng)點(diǎn),

且AE=BF.

(1)求證:AF1CE；

(2)當(dāng)三棱雉B'-BEF的體積取得最大值時(shí)，求平面B'EF與平面BEF的夾角正切

值.

(第16題)

(第17題)

17.如圖,兩條異面直線a,b所成的角為8，在直線a,b上分別取點(diǎn)A',E和點(diǎn)4尸,使

AAr1a,RAA'1b.已知A'E=m,AF=n,EF=I，求線段AA'的長.新人教B版選

擇性必修一P12

如果a,b都是空間向量，判斷

I|a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|

是否成立,并說明等號何時(shí)成立.

(6)已知|a|=4,向量e為單位向量,〈a,e)=與，求向量a在向量e方向上的投影的

數(shù)量.新人教B版選擇性必修一P17'

(4)已知平行六面體ABC。-49廣。中，點(diǎn)E是上底面4*廣。的中心，求下列各

題中x,y的值：

⑴宿=x(AB+~BC+CC);(2)版=而+xAB+yAD.

(5)已知直三棱柱ABC-&殳心中,Z4BC=60°,AB=2,BC==1,求福?

BC[.

新人教B版選擇性必修一P28

(3)已知空間直角坐標(biāo)系中,平行六面體486-41當(dāng)。1。1滿足:4(一2,1,3),

8(2,2,1),。(3,4,2),。(一1,3,4)，且平行六面體的體對角線的交點(diǎn)為M(l,l,l)，求

A1,B1,C1,D1的坐標(biāo).

新人教B版選擇性必修一P29

(2)已知4是空間中不共線的三點(diǎn),0是空間中任意一點(diǎn),求證:P在平面ABC

內(nèi)的充要條件是，存在滿足％+y+z=1的實(shí)數(shù)x,y,z,使得

0P—xOA+yOB4-zOC.

新人教B版選擇性必修一P54

(第3題)

(2)已知正三棱雉S-ABC的所有棱長都為1,求其側(cè)面與底面所成角的余弦值.

(3)如圖，已知是圓的直徑，且AB=4,P4垂直于圓所在的平面，且R4=2遮,M

是圓周上一點(diǎn)，且^ABM=30。,求二面角A-BM-P的大小.

新人教B版選擇性必修一P60

(第5題)

⑸如圖所示，已知Rt^ACB在平面a內(nèi),。是斜邊的中點(diǎn),OC1a,且0到平面

a的距離為12cm,AC=6cm,BC=8cm,求線段CM,OB,。。的長.

新人教B版選擇性必修一P60

(4)已知正四面體ABC。的棱長都為1,點(diǎn)M,N分別是的