黑龍江省大慶市某中學2023-2024學年高一年級下冊7月期末考試數(shù)學試題（含答案）

大慶中學2023-2024學年度下學期期末考試

高一年級數(shù)學試題

考試時間：120分鐘；試卷總分：150分

注意事項：

1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息

2.請將答案正確填寫在答題卡上

一、單選題（本題共8個小題，每題5分，共40分）

1.已知z=l-i是方程z?+2QZ-Z?=0（Q,GR）的根，則Q+6=（）

A.-3B.-1C.2D.3

2.若向量2=（G,3）,b=（n,吟,若G與B所成角為銳角，則”的取值范圍是（）

A.n>lB.〃>一3且〃wl

C.n>-3D.-3<〃<1且"0

3.將一個骰子拋擲一次，設事件/表示向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不超過2,事件8表示向上的一面出現(xiàn)的點

數(shù)不小于3,事件C表示向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點，則（）

A.4與3是對立事件B.4與8是互斥而非對立事件

C.2與C是互斥而非對立事件D.2與C是對立事件

4.一組數(shù)據(jù)：1,1,3,3,5,5,7,7,x,y,其中x,y為正整數(shù)，且XWy.若該組數(shù)據(jù)的40%分位

數(shù)為2.5,則該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為（）

A.1B.3C.5D.7

5.已知直三棱柱4BC—44cl的各個頂點都在球。的球面上，且4B=NC=1,BC=6球。的體

32

積為一兀，則該三棱柱的體積為（）

3

31

A.-B.1C.-D.3

22

6.如圖，在△48。中，。，片是上的兩個三等分點，45=12,AC=9,/氏4。=60。，則近?亞

的值為（）

A.50B.80C.86D.110

7.在棱長為2的正方體48co-48￡A中，M,N分別是棱N8,8c上的動點，且BN=AM,當三棱

錐g-肱VB的體積最大時，直線AS與平面所成角的正弦值為（）

22V5V5

A.-B.——C.—D.--

3333

8.如圖所示，A,B,P,。在同一個鉛垂面，在山腳/測得山頂P的仰角NQ4P為60°,ZQAB=30°,

斜坡長為加，在5處測得山頂尸的仰角NC8P為a,則山的高度尸。為（）

Q

V3msina+30。)sin(?-30°)

2sin(a+602sin(?+60°)

J5msina-30°)

2sin(a-60。)2sin(tz-60°)

二、多選題（本題共3個小題，每題6分，共18分）

9.在空間中，設加，"是不同的直線，a,，表示不同的平面，則下列命題錯誤的是（）

A.若a〃,，mlla,則加〃直B.若a_L〃，mLa,則加〃分

C.若a_L〃，mlla,則加_L〃D.若a_L〃，mLa,nL(3,則加_L〃

10.下列說法正確的是（）

A.用簡單隨機抽樣的方法從含有50個個體的總體中抽取一個容量為5的樣本，則個體加被抽到的概率是

0.1

B.數(shù)據(jù)X，x2,…，X"的平均數(shù)為90,方差為3；數(shù)據(jù)必，為，…，,5的平均數(shù)為85，方差為5,則

x1,x2,???,x10,必，y2,",必5的平均數(shù)為87，方差為10.2

C.數(shù)據(jù)13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位數(shù)是23

D.2,…，6,2,2%+1,…，2%+1

已知數(shù)據(jù)再，》飛的極差為方差為則數(shù)據(jù)2X2+1,的極差和方

差分別為12,8

11.某不透明盒子中共有5個大小質地完全相同的小球，其中有3個白球2個黑球，現(xiàn)從中隨機取兩個球,

甲表示事件“第一次取到黑球”，乙表示事件“第二次取到白球”，則下列說法錯誤的是（）

A.若不放回取球，則甲乙相互獨立B.若有放回取球，則甲乙相互獨立

C.若不放回取球，則甲乙為互斥事件D.若有放回取球，則甲乙為互斥事件

三、填空題（本題共3個小題，每題5分，共15分）

12.若復數(shù)21,滿足閔=㈤=2.且4+22=百—i（i為虛數(shù)單位），則匕1—Z21=.

13.己知向量萬=（cos35°,sin35°）,b=（cos5°,sin5°），則向量萬一2分在］上投影向量的模為

7T

14.在三棱錐尸—4SC中，PA=PB=PC=2,48=1,NNC3=々，若該三棱錐的所有頂點均在球。

6

的表面上，則球。的表面積為.

四、解答題（本題共5個小題，共77分）

15.（本題13分）

在△4SC中，內角/,B,C的對邊分別為a,b,c,且b（l+cosC）=ccos5-a.

（1）求角C；

（2）若c=2拒,且^^+^^=4,求△Z8C的面積.

sinAsinB

16.（本題15分）

如圖，在四棱錐尸—48C。中，四邊形48co是矩形，平面尸481.平面/BCD,E,尸分別為3C,NP的

中點，且4D=AP=PB=JAB=2.

2

（1）求證：BP工DF；

（2）求三棱錐P-DEF的體積.

17.（本題15分）

隨著人們環(huán)保意識的日益增強，越來越多的人開始關注自己的出行方式，綠色出行作為一種環(huán)保、健康的

出行方式，正逐漸受到人們的青睞，在可能的情況下，我們應當盡量采用綠色出行的方式，如步行、騎自

行車或使用公共交通工具.某單位統(tǒng)計了本單位職工兩個月以來上下班的綠色出行情況，繪制出了如圖所

示的頻率分布直方圖.

頻率

（1）求頻率分布直方圖中。的值，并由頻率分布直方圖估計該單位職工兩個月以來上下班的綠色出行天數(shù)

的中位數(shù)；

（2）若該單位有職工200人，從綠色出行天數(shù)大于25的3組職工中用分層隨機抽樣的方法選取6人參加

綠色出行社會宣傳活動，再從6人中選取2人擔任活動組織者，求這2人的綠色出行天數(shù)都在區(qū)間（25,30]

的概率.

18.（本題17分）

在△4BC中，內角B,C的對邊分別為a,b,c,且j=sin'

csin5+sinA

（1）求角2；

（2）若△4BC為銳角三角形，AC=2,。是線段/C的中點，求2。的長的取值范圍.

19.（本題17分）

如圖，多面體/BCD斯中，四邊形/BCD為矩形，二面角Z—CD—E為60。，DE//CF,CD1DE,

AD=2,DE=DC=3,CF=6.

（1）求證：BE〃平面4DE；

（2）求直線NC與平面COE尸所成角的正弦值.

大慶中學2023-2024學年度下學期期末考試

高一年級數(shù)學答案

一、單選題（本題共8個小題，每題5分，共40分）

1.A2.B3.A4.A5.A6.B7.A8.D

二、多選題（本題共3個小題，每題6分，共18分）

9.ABC10.ABD11.ACD

三、填空題（本題共3個小題，每題5分，共15分）

16K

12.2G13.V3-114.-----

3

四、解答題（本題共5個小題，共77分）

15.（本題13分）

解：(1)因為6(1+cosC)=ccos3，4+3+C=兀，

所以由正弦定理得，sin5(1+cosC)=sinCcosB-sinA=sinCcosB-sin(5+C)

=sinCcosB一(sinBcosC+sinCcosB)=-sinBcosC,

[2兀

又sin8＞0,所以cosC=——，又0＜。＜兀，所以

23

(2)由。=26，則^^=-^=^^=羋=4,

sin4sin5sinCJ3

~2

14141144

故一^=2,—=所以一^+―=?+工=4,所以6

sin4asin5bsin/sin5ab

272_21

XcosC=---------=——，整理得/+/+M-12=0,

2ab2

則(a+b)2-ab-12=(ab)2-ab-12=(ab-4)(ab+3)=0,解得=4,

-11o

所以AABC的面積為S=—absinC=—x4xsin-=G.

223

16.(本題15分)

解：(1)?.?四邊形4BCD是矩形，

又?.?平面尸48_L平面/BCD,平面48cDC平面48尸=48,/必匚平面/臺^^^,/必工平面/出3,

又8尸(=平面48尸，DALBP,

?;AP=BP=2,AB=2V2,AP2+BP2=AB2,BPLAP,

?：DAC\AP=A,DA,4Pu平面D4P,.1B尸J_平面。/P,

?/DFu平面DAP,BP_LDF；

(2)因為四邊形48co是矩形，所以40,48,ADIIBC,

因為4Du平面P4D,8C(t平面尸40,所以BC〃平面PAD,

所以點E到平面PAD的距離等于點B到平面PAD的距離，

由(1)得平面48尸，8尸，平面D4P,則S人=LxPFx4D=Lxlx2=l,

△PDF22

112

所以Vp-DEF=%-PDF=§S^PDF'BP=_xlx2=j,

2

所以三棱錐P-DEF的體積為一.

3

17.（本題15分）

解:（1）由題意得（0.008+0.024+0.032+a+0.040+0.032+0.008+0.008）x5=1,解得

a=0.048.

由（0.008+0.024+0,032）x5=0.32<0,5,（0.008+0.024+0.032+0.048）x5=0,56>0,5,

知中位數(shù)位于（15,20］內.

設中位數(shù)為15+x,則0.008x5+0.024x5+0.032x5+0.048x=0.5,解得x=3.75,

則中位數(shù)為15+3.75=18.75.

（2）綠色出行天數(shù)大于25的共有（0.032+0.008+0.008）x5x200=48（人），

32

則在區(qū)間（25,30］中的有200x0.032x5=32（人），抽取人數(shù)為6x,=4,

8

在區(qū)間（30,35］中的有200x0.008x5=8（人），抽取人數(shù)為6x一

48

在區(qū)間（35,40］中的有200x0.008x5=8（人），抽取人數(shù)為6x一

48

設從綠色出行天數(shù)在（25,30］中抽取的職工為4，4,4，4，

從綠色出行天數(shù)在（30,35］中抽取的職工為8,從綠色出行天數(shù)在（35,40］中抽取的職工為C,

全部可能的結果有（4,4），（4,4），（4,4），（4,3），（4，。），（4,4），（4,4），（4*），

（4，c）,（4,4），（4,8）,（4，c），（4,8）,（4，。），（B,C）,樣本點總數(shù)〃=15,

滿足要求的樣本點個數(shù)機=6,

加62

則兩人均來自（25,30］的概率為P=—=—=—,

n155

2

故2人的綠色出行天數(shù)都在區(qū)間（25,30］的概率為1.

18.（本題17分）

功"、sinC-sinAb-ac-a匚匕“2,2

解：（1）因為----=------------，由正弦定理得-----二-----，所以。2+。一6=