江蘇省四校聯(lián)合2024屆高三新題型適應(yīng)性考試《數(shù)學(xué)》試題（解析版）

第第頁(yè)江蘇省四校聯(lián)合2024屆高三新題型適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.采用斜二測(cè)畫法作一個(gè)五邊形的直觀圖，則其直觀圖的面積是原來(lái)五邊形面積的A.倍 B.倍 C.倍 D.倍【答案】D【解析】【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法中原圖形面積與直觀圖面積的關(guān)系式即可得出答案.【詳解】解：斜二測(cè)畫法中原圖形面積與直觀圖面積的關(guān)系式所以故選：D2.已知是兩個(gè)不共線的單位向量，向量（）．“，且”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】舉例驗(yàn)證必要性，通過(guò)向量運(yùn)算來(lái)判斷充分性.【詳解】當(dāng)，且時(shí)，，充分性滿足；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，是可以大于零的，即當(dāng)時(shí)，可能有，，必要性不滿足，故“，且”是“”的充分而不必要條件.故選：A.3.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列中成等差數(shù)列求解即可.【詳解】在等差數(shù)列中，，，所以，故構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，所以，即.故選：C4.設(shè)為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分子分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，再根據(jù)純虛數(shù)的概念得到答案.【詳解】，所以且，解得.故選：B5.甲、乙、丙、丁四人參加垃圾分類競(jìng)賽，四人對(duì)于成績(jī)排名的說(shuō)法如下：甲：乙在丙之前；乙：我在第三；丙：丁不在第二或第四；丁：乙在第四.若四人中只有一人說(shuō)法是錯(cuò)誤的，則甲的成績(jī)排名為（）A.第一名 B.第二名 C.第三名 D.第四名【答案】B【解析】【分析】根據(jù)四人說(shuō)法，逐一分析，舍去矛盾，即可確定選項(xiàng).【詳解】若甲說(shuō)法是錯(cuò)誤的，則乙在第三與丁說(shuō)法（乙在第四）矛盾，所以舍去；若乙說(shuō)法是錯(cuò)誤的，則乙在第四，與甲說(shuō)法（乙在丙之前）矛盾，所以舍去；若丙說(shuō)法是錯(cuò)誤的，則乙在第三與丁說(shuō)法（乙在第四）矛盾，所以舍去；若丁說(shuō)法是錯(cuò)誤的，則乙在第三，丁在第一，丙在第四，甲在第二；故選：B【點(diǎn)睛】本題考查合情推理，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.6.已知為拋物線上一點(diǎn)，過(guò)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，由取得最小值，則最大，最小求解.【詳解】如圖所示：因?yàn)椋?，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)最大，最小，且，故C正確.故選：C7.設(shè)全集為定義集合與的運(yùn)算：且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)定義用交并補(bǔ)依次化簡(jiǎn)集合，即得結(jié)果.【詳解】且故選：B【點(diǎn)睛】本題考查集合新定義、集合交并補(bǔ)概念，考查基本分析轉(zhuǎn)化能力，屬中檔題.8.設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用和以及，再進(jìn)行合理賦值即可.【詳解】，設(shè)，，則，則在上單調(diào)遞增，則，則在上恒成立，則，即，設(shè)，，則在上恒成立，則，則在上恒成立，令，則，則，設(shè)，在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，則，即在上恒成立，令，則，則，即，故，故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若，為正整數(shù)且，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)和排列數(shù)的計(jì)算公式和性質(zhì)，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一計(jì)算即可判斷.【詳解】對(duì)A：由組合數(shù)性質(zhì)：可知，A正確；對(duì)B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：，，故，C錯(cuò)誤；對(duì)D：，故D正確.故選：AD.10.設(shè)函數(shù)，則（）A.是偶函數(shù) B.在上單調(diào)遞增C.的最小值為 D.在上有個(gè)零點(diǎn)【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)A：利用奇偶性定義，即可判斷；對(duì)B：根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，判斷即可；對(duì)C：令，利用換元法即可求得結(jié)果；對(duì)D：先求在上的零點(diǎn)，結(jié)合其奇偶性即可判斷.【詳解】對(duì)A：的定義域?yàn)?，又，故為偶函?shù)，A正確；對(duì)B：令，顯然是關(guān)于的單調(diào)增函數(shù)；此時(shí)，其對(duì)稱軸為，故是關(guān)于的單調(diào)增函數(shù)；根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，在單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)C：由A可知，為偶函數(shù)，故在上的最小值即為其在上的最小值；令，，則，故的最小值也即的最小值；又，當(dāng)時(shí)，取得最小值為；故的最小值為，C正確；對(duì)D：由A可知，為偶函數(shù)，故只需先判斷在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；當(dāng)，令，即，解得或，故可得，或，有個(gè)零點(diǎn)；故在有個(gè)零點(diǎn)，D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.已知定圓，點(diǎn)A是圓M所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)P是圓M上的動(dòng)點(diǎn)，若線段的中垂線交直線于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的軌跡可能為（）A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓【答案】ABD【解析】【分析】是線段的中垂線上的點(diǎn)，可得．對(duì)點(diǎn)的位置分類討論，利用線段垂直平分線的定義與性質(zhì)、圓錐曲線的定義即可判斷出結(jié)論．【詳解】因?yàn)槭蔷€段的中垂線上的點(diǎn)，，若在圓內(nèi)部，且不為圓心，則，，所以點(diǎn)軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，故A正確；若在圓外部，則，，所以點(diǎn)軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線，故B正確；若在圓上，則的中垂線恒過(guò)圓心，即的軌跡為點(diǎn)．若為圓的圓心，即與重合時(shí)，為半徑的中點(diǎn)，所以點(diǎn)軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，故D正確，不存在軌跡為拋物線的可能，故C錯(cuò)誤，故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.有一組按從小到大順序排列的數(shù)據(jù)：3，5，，8，9，10，若其極差與平均數(shù)相等，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為_(kāi)__________.【答案】##【解析】分析】由極差和平均數(shù)求出，即可求出中位數(shù).【詳解】依題意可得極差為，平均數(shù)為，所以，解得，所以中位線為.故答案為：13.圍棋起源于中國(guó)，至今已有多年的歷史．在圍棋中，對(duì)于一些復(fù)雜的死活問(wèn)題，比如在判斷自己?jiǎn)蝹€(gè)眼內(nèi)的氣數(shù)是否滿足需求時(shí)，可利用數(shù)列通項(xiàng)的遞推方法來(lái)計(jì)算．假設(shè)大小為的眼有口氣，大小為的眼有口氣，則與滿足的關(guān)系是，，.則的通項(xiàng)公式為_(kāi)_________．【答案】.【解析】【分析】根據(jù)遞推公式，利用累積法，即可求得通項(xiàng)公式.【詳解】根據(jù)題意，，當(dāng)時(shí)，可得，即；又當(dāng)時(shí)，不滿足；故.故答案為：.14.，，，四點(diǎn)均在同一球面上，，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則面積的最大值為_(kāi)_________，四面體體積最大時(shí)球的表面積為_(kāi)__________．【答案】①.②.【解析】【分析】①由于，求面積的最大值即是求的最大值，利用余弦定理結(jié)合重要不等式即可求解②當(dāng)面面時(shí)四面體的體積最大，確定出球心后計(jì)算出球的半徑即可求解【詳解】①因?yàn)樗杂旨此运约疵娣e的最大值為②過(guò)作，垂足為,則面積的最大時(shí)，最大，的最大值為，此時(shí)為等腰三角形，為中點(diǎn)，則當(dāng)平面時(shí),最大，此時(shí)面面如圖,設(shè)為四面體外接球的球心,，分別為，的外接圓的圓心.平面，平面,在中四面體外接球的半徑外接球的表面積為四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，二面角為直二面角.（1）求證：；（2）當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，進(jìn)而得出.然后即可根據(jù)線面垂直的判定定理得出平面，然后即可得出；（2）取中點(diǎn)為，連結(jié).取中點(diǎn)為，連結(jié).由已知可證平面，.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的一個(gè)法向量，即可根據(jù)向量法求出答案.【小問(wèn)1詳解】由題意知平面平面，又平面平面，，平面，所以平面.因?yàn)槠矫?，所?又因?yàn)椋?，平面，平面，所以平面因?yàn)槠矫?，所?【小問(wèn)2詳解】取中點(diǎn)為，連結(jié).取中點(diǎn)為，連結(jié).因?yàn)?，點(diǎn)是中點(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平?因?yàn)辄c(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，所以，則.則，.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，.設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，取，則，所以是平面的一個(gè)法向量.設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成的角的正弦值為.16.在游戲中，玩家可通過(guò)祈愿池獲取新角色和新武器．某游戲的角色活動(dòng)祈愿池的祈愿規(guī)則為：①每次祈愿獲取五星角色的概率；②若連續(xù)次祈愿都沒(méi)有獲取五星角色，那么第次祈愿必定通過(guò)“保底機(jī)制”獲取五星角色；③除觸發(fā)“保底機(jī)制”外，每次祈愿相互獨(dú)立．設(shè)表示在該祈愿池中連續(xù)祈愿直至獲取五星角色為止的祈愿次數(shù)．（1）求的概率分布；（2）求的數(shù)學(xué)期望（保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）．參考數(shù)據(jù)：．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分析可知，的所有可能取值為、、、、，計(jì)算出在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的概率分布列；（2）利用錯(cuò)位相減法可求得的值.【小問(wèn)1詳解】解：將每次祈愿獲取五星角色的概率記為，的所有可能取值為、、、、．則，，，，，，所以的概率分布為.【小問(wèn)2詳解】解：的數(shù)學(xué)期望，①，②①②得，，，因?yàn)?，所以?7.已知函數(shù)，其中．（1）若，證明；（2）討論的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，判斷的單調(diào)性，求得最小值，即可證明；（2）求得，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，判斷的單調(diào)性，即可求得函數(shù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù).【小問(wèn)1詳解】證明：當(dāng)時(shí)，，，，，又易知在上為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，從而.【小問(wèn)2詳解】由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?，，設(shè)，，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，與同號(hào)，①當(dāng)時(shí)，，，所以函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，且，，，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；所以函數(shù)在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，由（1）知，函數(shù)在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)?，所以，，又，所以函?shù)在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，且，，，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；所以函數(shù)在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；綜上所述，函數(shù)在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)．18.已知等軸雙曲線的頂點(diǎn)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)、.（1）求等軸雙曲線的方程；（2）為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為，和，，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）直接由橢圓焦點(diǎn)得雙曲線的定點(diǎn)，再根據(jù)可得解；（2）設(shè)，，,,設(shè)直線的方程為，直線的方程為，分別與橢圓聯(lián)立得韋達(dá)定理，進(jìn)而可表示弦長(zhǎng)，聯(lián)立直線和可得焦點(diǎn)，代入雙曲線化簡(jiǎn)得，進(jìn)而得展開(kāi)利用基本不等式求解即可.【詳解】（1）由橢圓可得，所以等軸雙曲線的頂點(diǎn)為，設(shè)等軸雙曲線為，所以，所以等軸雙曲線的方程為；（2）設(shè)，，,,設(shè)直線的方程為，直線的方程為，由得：，所以顯然成立，所以，同理可得，所以，，聯(lián)立直線和：，解得，所以，因?yàn)樵陔p曲線上，所以，解得，所以，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵有兩個(gè)，一個(gè)是聯(lián)立直線和得，代入雙曲線得，另一個(gè)是處理最值時(shí)用到了基本不等式，由，展開(kāi)利用基本不等式.19.交比是射影幾何中最基本的不變量，在歐氏幾何中亦有應(yīng)用．設(shè)，，，是直線上互異且非無(wú)窮遠(yuǎn)的四點(diǎn)，則稱（分式中各項(xiàng)均為有向線段長(zhǎng)度，例如）為，，，四點(diǎn)的交比，記為．（1）證明：；（2）若，，，為平面上過(guò)定點(diǎn)且互異的四條直線，，為不過(guò)點(diǎn)且互異的兩條直線，與，，，的交點(diǎn)分別為，，，，與，，，的交點(diǎn)分別為，，，，證明：；（3）已知第（2）問(wèn)的逆命題成立，證明：若與的對(duì)應(yīng)邊不平行，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于同一點(diǎn)，則與對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)在一條直線上．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題干所給交比的定義即可證；（2）把交比轉(zhuǎn)化成面積之比，在利用面積公式把面積之比轉(zhuǎn)化為邊之比；（3）把三點(diǎn)共線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為其中一個(gè)點(diǎn)在另外兩個(gè)點(diǎn)所構(gòu)成的直線上.再利用第（2）問(wèn)的結(jié)論得到兩組交比相等，根據(jù)逆命題也成立即可證明三點(diǎn)共線.【小問(wèn)1詳解】；【小問(wèn)2詳解】；【小問(wèn)3詳解】設(shè)與交于，與交于，與交于，連接，與交于，與交于，與交于，欲證，，三點(diǎn)共線，只需證在直線上．考慮線束，，，，由第（2）問(wèn)知，再考慮線束，，，，由第（2）問(wèn)知，從而得到，于是由第（2）問(wèn)的逆命題知，，，交于一點(diǎn)，即為點(diǎn)，從而過(guò)點(diǎn)，故在直線上，，，三點(diǎn)共線．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查射影幾何中交比