整式與因式分解 講義-2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)原卷版

考點(diǎn)02.整式與因式分解(精講)

【命題趨勢(shì)】

整式與因式分解在各地中考數(shù)學(xué)中難度中下，每年考查3題左右，分值為12分左右，主要考查整式的

加減、乘除法則及幕的運(yùn)算，難度一般不大，偶爾考察整式的基本概念。因式分解作為整式乘法的逆運(yùn)算，

在數(shù)學(xué)中考中占比不大，但是依然屬于必考題，常以簡(jiǎn)單選擇、填空題的形式出現(xiàn)，難度不大。對(duì)于整式

與因式分解的復(fù)習(xí)，需要學(xué)生熟練掌握相關(guān)概念及運(yùn)算法則等，探究與表達(dá)規(guī)律、乘法公式的相關(guān)運(yùn)用偶

爾考查難度相對(duì)較大，望同學(xué)們多加注意！

【知識(shí)清單】

1：代數(shù)式的相關(guān)概念(☆☆)

(1)代數(shù)式：用基本的運(yùn)算符號(hào)把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來(lái)的式子叫做上數(shù)

(2)代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式中的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算得出的結(jié)果叫做代數(shù)式的值。

2：整式的相關(guān)概念(☆☆☆)

(1)單項(xiàng)式：由數(shù)與字母或字母與字母相乘組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式，所有字母指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的

次數(shù)，數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)。

(2)多項(xiàng)式：由幾個(gè)單項(xiàng)式相加組成的代數(shù)式叫做多項(xiàng)式，多項(xiàng)式里次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)叫做這個(gè)多項(xiàng)

式的次數(shù)，其中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。

(3)整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。

3:整式的運(yùn)算(☆☆☆)

(1)同類(lèi)項(xiàng)：多項(xiàng)式中所含字母相同并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng),叫做同類(lèi)項(xiàng)。

(2)整式的加減：一般地，幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類(lèi)項(xiàng)。

(3)易的運(yùn)算：am-an=a",+n；(am)n=amn；(ab)n=anbn；am^an=gm~no

(4)整式的乘法：1)單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里

含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。2)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：機(jī)(a+b+c)=ma+mb+mc。

3)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。

(5)乘法公式：(1)平方差公式：(a+0)(a—3：(2)完全平方公式：=。2±2船+。2。

（6）整式的除法：（1）單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，把系數(shù)、同底數(shù)的幕分別相除，作為商的因式：對(duì)于只在被

除式含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的因式.（2）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以單

項(xiàng)式，再把所得的商相加。

（7）整式的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號(hào)時(shí)先算括號(hào)里面。

（8）探究與表達(dá)規(guī)律常見(jiàn)類(lèi)型：

1）一列數(shù)的規(guī)律：把握常見(jiàn)幾類(lèi)數(shù)的排列規(guī)律及每個(gè)數(shù)與排列序號(hào)〃之間的關(guān)系。

2）一列等式的規(guī)律：用含有字母的代數(shù)式總結(jié)規(guī)律，注意此代數(shù)式與序號(hào)〃之間的關(guān)系。

3）圖形（圖表）規(guī)律：觀察前幾個(gè)圖形，確定每個(gè)圖形中圖形的個(gè)數(shù)或圖形總數(shù)與序號(hào)w之間的關(guān)系。

4）圖形變換的規(guī)律：找準(zhǔn)循環(huán)周期內(nèi)圖形變換的特點(diǎn)，然后用圖形變換總次數(shù)除以一個(gè)循環(huán)變換周期，進(jìn)

而觀察商和余數(shù)。

5）數(shù)形結(jié)合的規(guī)律：觀察前〃項(xiàng)（一般前3項(xiàng)）及利用題中的已知條件，歸納猜想一般性結(jié)論。

4：因式分解（☆☆☆）

（1）因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)因式積的形式，叫因式分解，因式分解與整式乘法是互逆運(yùn)算.

（2）因式分解的基本方法：1）提取公因式法：ma+mb+me=m（a+b+c）；

2）運(yùn)用公式法：平方差與完全平方公式；3）十字相乘：cf+（p+q）a+pq={a+p\a+q）-4）分組分解。

（3）分解因式的一般步驟：“一提二套三檢查

1）如果多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式，應(yīng)先提取公因式；2）如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式，可以嘗試使用公式法：為兩項(xiàng)

時(shí)，考慮平方差公式；為三項(xiàng)時(shí)，考慮完全平方公式或十字相乘；為四項(xiàng)時(shí)，考慮利用分組的方法進(jìn)行分

解；3）檢查分解因式是否徹底，必須分解到每一個(gè)多項(xiàng)式都不能再分解為止。

【易錯(cuò)點(diǎn)歸納】

1.規(guī)范書(shū)寫(xiě)格式：列代數(shù)時(shí)要按要求規(guī)范地書(shū)寫(xiě).像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號(hào)不寫(xiě)，數(shù)與

數(shù)相乘必須寫(xiě)乘號(hào)；除法可寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式，帶分?jǐn)?shù)與字母相乘需把代分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，書(shū)寫(xiě)單位名稱什么

時(shí)不加括號(hào)，什么時(shí)要加括號(hào).注意代數(shù)式括號(hào)的適當(dāng)運(yùn)用.

2.單項(xiàng)式的指數(shù)只和字母的指數(shù)有關(guān)，與系數(shù)的指數(shù)無(wú)關(guān)。如單項(xiàng)式-的次數(shù)是2+3+4=9。

3.合并同類(lèi)項(xiàng)一定要完全、徹底，不能有漏項(xiàng)，而且合并同類(lèi)項(xiàng)結(jié)果可能是單項(xiàng)式，也可能是多項(xiàng)式。

4.因式分解分解對(duì)象是多項(xiàng)式，分解結(jié)果必是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個(gè)要素缺一不可。

【核心考點(diǎn)】

核心考點(diǎn)1.代數(shù)式的相關(guān)概念

例1:（2023?吉林長(zhǎng)春?統(tǒng)考中考真題）2023長(zhǎng)春馬拉松于5月21日在南嶺體育場(chǎng)鳴槍開(kāi)跑，某同學(xué)參加了

7.5公里健康跑項(xiàng)目，他從起點(diǎn)開(kāi)始以平均每分鐘x公里的速度跑了10分鐘，此時(shí)他離健康跑終點(diǎn)的路程為

公里.（用含x的代數(shù)式表示）

變式1.（2023?河北石家莊?統(tǒng)考三模）某校舉辦的知識(shí)競(jìng)賽，共10道題，規(guī)定答對(duì)一道題加x分，答錯(cuò)一道

題（不答按錯(cuò)）扣（*-2）分，小明答錯(cuò)了2道題，他得到的分?jǐn)?shù)是（）

A.6x+4B.6x—4C.8x+4D.8x—4

變式2.（2023?河北滄州??？级＃┘住⒁?、丙三個(gè)盒中分別放有不同數(shù)量的棋子，其中甲盒中棋子個(gè)數(shù)為

機(jī)，乙盒中棋子的個(gè)數(shù)是甲盒中棋子個(gè)數(shù)的2倍，丙盒中棋子的個(gè)數(shù)比乙盒中棋子的個(gè)數(shù)少g.

QQQ

甲乙四

（1）請(qǐng)用含加的代數(shù)式表示乙盒中棋子的個(gè)數(shù);丙盒中棋子的個(gè)數(shù):

（2）現(xiàn)從三個(gè)盒中分別拿出一些棋子后，使每個(gè)盒中剩下的棋子個(gè)數(shù)均相等，若從丙盒中拿出的棋子個(gè)數(shù)

比甲盒中拿出的棋子個(gè)數(shù)多3個(gè)，從乙盒中拿出的棋子個(gè)數(shù)是其剩下棋子個(gè)數(shù)的2倍，則從三個(gè)盒中共拿

出的棋子個(gè)數(shù)是.

例2：（2023上?山東泰安?九年級(jí)?？计谀└鶕?jù)如圖所示的程序，計(jì)算y的值，若輸入x的值是-1時(shí)，則

輸出的y值等于

變式1.（2023?安徽?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示為一金字塔運(yùn)算程序，其中箭頭為數(shù)字的移動(dòng)方向，字母表示

限制條件，序號(hào)為運(yùn)算方式，已知x>2；①：忑x；b：y>l；②：/+1;c：|z|>2；③：z-j；

d：y<l;④：y2_2y；e：|z|<4；/：尤<2,若某層中的數(shù)字達(dá)到限制條件，就可以通過(guò)相應(yīng)的運(yùn)算

方式進(jìn)入新一層，安安將輸入的數(shù)字定為2,則最后輸出的結(jié)果為（）

21

c.D.無(wú)法得到

25

例3：（2023年山東省濟(jì)寧市中考數(shù)學(xué)真題）已知實(shí)數(shù)機(jī)滿足療一〃-i=o,貝12加3一34一機(jī)+9=.

變式1.（2023年江蘇省南通市中考數(shù)學(xué)真題）若°2-4a-12=0,則2/-8°-8的值為（）

A.24B.20C.18D.16

變式2.（2023-江蘇泰州?統(tǒng)考中考真題）若2a—6+3=0,貝U2（2。+。）-46的值為.

核心考點(diǎn)2.整式的相關(guān)概念

例4：（2022?廣東?中考真題）單項(xiàng)式3孫的系數(shù)為.

變式1.（2023.廣東?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）下列結(jié)論中正確的是（）

A.單項(xiàng)式華的系數(shù)是次數(shù)是4B.單項(xiàng)式機(jī)的次數(shù)是1,系數(shù)為0

C.多項(xiàng)式2x?+/+3是二次三項(xiàng)式口.在L2尤+y,卜,匕，孚，0中整式有4個(gè)

x3341

變式2.（2020?四川綿陽(yáng)市?中考真題）若多項(xiàng)式孫即2?2/+1是關(guān)于x,y的三次多項(xiàng)式，則冽〃=

例5：（2023?廣東東莞?統(tǒng)考一模）若-3尤和:尤2yl是同類(lèi)項(xiàng)，則“=.

變式1.（2022?湖南湘潭?中考真題）下列整式與勘2為同類(lèi)項(xiàng)的是（）

A.a2bB.—2ab2C.abD.ab2c

變式2.（2023?江蘇??？寄M預(yù)測(cè)）已知單項(xiàng)式2。%-2〃，+7與3a2”,夕+2是同類(lèi)項(xiàng)，則〃?+〃=

核心考點(diǎn)3.整式的運(yùn)算

例6:（2023?遼寧丹東?統(tǒng)考中考真題）下列運(yùn)算正確的是（）

A.(3J^)2=9x2y2B.(y3)2=/C.x2-x22x2D.x6-?%2=x3

變式1.(2023?山東泰安?統(tǒng)考中考真題)下列運(yùn)算正確的是()

A.2a+3b=SabB.(a-b)2=a2-b2C.(aZ?2)-a3b5D.3a3-(^-4a2)=-12a5

變式2.(2023?浙江杭州??？寄M預(yù)測(cè))電子文件的大小常用昆等作為單位,其中

1GB=2WMB,1MB=210KB,1KB=210B,某視頻文件的大小約為1GB,IGfi等于()

A.230BB.83OBc.Sxio105D.2X1030B

例7：(2023?湖南?統(tǒng)考中考真題)先化簡(jiǎn)，再求值：(a-3b)(a+3b)+(a-3b)2,其中。=-3,b=g.

變式1.（2023?山東青島?統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：8/產(chǎn)（2x）2=

變式2.（2023?陜西西安??？级＃┫然?jiǎn)，再求值：［（x+2y）（x-2y）+（x+2y）2-2引+2x,其中x=5,>=-8.

例8：（2023年江蘇省鎮(zhèn)江市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在甲、乙、丙三只袋中分別裝有球29個(gè)、29個(gè)、5個(gè),

先從甲袋中取出2,個(gè)球放入乙袋，再?gòu)囊掖腥〕觯?*+2，）個(gè)球放入丙袋，最后從丙袋中取出2y個(gè)球放入

甲袋，此時(shí)三只袋中球的個(gè)數(shù)相同，則2*+，的值等于（）

丙袋

D.16

變式1.（2023?四川樂(lè)山?統(tǒng)考中考真題）若出”滿足3瓶-〃一4=0,貝的"+2"=

變式2.（2023.江蘇,?？寄M預(yù)測(cè)）已知。-2戶=1,則x的值為—.

變式3.（2022?湖南長(zhǎng)沙?中考真題）當(dāng)今大數(shù)據(jù)時(shí)代，"二維碼”具有存儲(chǔ)量大.保密性強(qiáng)、追蹤性高等特點(diǎn)，

它己被廣泛應(yīng)用于我們的日常生活中，尤其在全球“新冠"疫情防控期間，區(qū)區(qū)"二維碼"己經(jīng)展現(xiàn)出無(wú)窮威

力.看似“碼碼相同"，實(shí)貝「碼碼不同通常，一個(gè)“二維碼”由1000個(gè)大大小小的黑白小方格組成，其中

小方格專(zhuān)門(mén)用做糾錯(cuò)碼和其他用途的編碼，這相當(dāng)于1000個(gè)方格只有200個(gè)方格作為數(shù)據(jù)碼.根據(jù)相關(guān)數(shù)

學(xué)知識(shí)，這200個(gè)方格可以生成220°個(gè)不同的數(shù)據(jù)二維碼，現(xiàn)有四名網(wǎng)友對(duì)22。。的理解如下：

1TDS（永遠(yuǎn)的神）：22°°就是200個(gè)2相乘，它是一個(gè)非常非常大的數(shù)；

。。。。（懂的都懂）：22°°等于ZOO?；

JXND（覺(jué)醒年代）：2200的個(gè)位數(shù)字是6；

QGKW（強(qiáng)國(guó)有我）：我知道產(chǎn)=1024,103=1000,所以我估計(jì)220°比1（）6。大.

其中對(duì)2z。。的理解錯(cuò)誤的網(wǎng)友是（填寫(xiě)網(wǎng)名字母代號(hào)）.

例9：（2023?江蘇宿遷?統(tǒng)考中考真題）若實(shí)數(shù)相滿足（m-2023）2+（2024-機(jī)y=2025,則

（772—2023）（2024-77?）=.

變式1.（2023年四川省涼山州數(shù)學(xué)中考真題）已知好一〃9+1是完全平方式，則加的值是.

變式2.（2022?黑龍江大慶?中考真題）已知代數(shù)式/+（2-1）必+4"是一個(gè)完全平方式，則實(shí)數(shù)/的值為

變式3.（2023年河北省中考數(shù)學(xué)真題）若左為任意整數(shù)，貝1］（2%+3）2-4/的值總能（）

A.被2整除B.被3整除C.被5整除D.被7整除

例10：（2023年四川省攀枝花市中考數(shù)學(xué)真題）我們可以利用圖形中的面積關(guān)系來(lái)解釋很多代數(shù)恒等式.給

出以下4組圖形及相應(yīng)的代數(shù)恒等式：

③(a+b)(a-b)=a2④(a-b]2={a+b)2-4ab

其中，圖形的面積關(guān)系能正確解釋相應(yīng)的代數(shù)恒等式的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

變式1.（2023年湖北省隨州市中考數(shù)學(xué)真題）設(shè)有邊長(zhǎng)分別為a和b（a>>）的A類(lèi)和2類(lèi)正方形紙片、長(zhǎng)

為a寬為〃的C類(lèi)矩形紙片若干張.如圖所示要拼一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b的正方形，需要1張A類(lèi)紙片、1張8

類(lèi)紙片和2張C類(lèi)紙片.若要拼一個(gè)長(zhǎng)為3a+6、寬為2a+26的矩形，則需要C類(lèi)紙片的張數(shù)為（）

9

變式2.（2022?湖北隨州?中考真題）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽著作，是數(shù)學(xué)發(fā)展史

的一個(gè)里程碑.在該書(shū)的第2幕"幾何與代數(shù)”部分，記載了很多利用幾何圖形來(lái)論證的代數(shù)結(jié)論，利用幾何

給人以強(qiáng)烈印象將抽象的邏輯規(guī)律體現(xiàn)在具體的圖形之中.

⑴我們?cè)趯W(xué)習(xí)許多代數(shù)公式時(shí)，可以用幾何圖形來(lái)推理，觀察下列圖形，找出可以推出的代數(shù)公式，（下面

各圖形均滿足推導(dǎo)各公式的條件，只需填寫(xiě)對(duì)應(yīng)公式的序號(hào)）

公式①：(a+b+c^d=ad+bd+cd公式②：(a+b)(c+d^=ac+ad+bc+bd

公式③：=a2-2ab+b2公式④：（a+6y="+

圖1對(duì)應(yīng)公式，圖2對(duì)應(yīng)公式圖3對(duì)應(yīng)公式,圖4對(duì)應(yīng)公式

⑵《幾何原本》中記載了一種利用幾何圖形證明平方差公式（。+與（。-與=。2-/的方法，如圖5,請(qǐng)寫(xiě)出

證明過(guò)程；（已知圖中各四邊形均為矩形）

圖5

⑶如圖6,在等腰直角三角形ABC中，/R4c=90。，。為BC的中點(diǎn)，E為邊AC上任意一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重

合），過(guò)點(diǎn)E作EGLBC于點(diǎn)G,作EH±ADF點(diǎn)H過(guò)點(diǎn)B作BF//AC交EG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.記ABFG與4CEG

的面積之和為S-AAB。與的面積之和為邑.

①若E為邊AC的中點(diǎn)，則稱的值為_(kāi)______；②若E不為邊AC的中點(diǎn)時(shí)，試問(wèn)①中的結(jié)論是否仍成立？

d2

若成立，寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

例11：（2023?四川德陽(yáng)?統(tǒng)考中考真題）在"點(diǎn)燃我的夢(mèng)想，數(shù)學(xué)皆有可衡”數(shù)學(xué)創(chuàng)新設(shè)計(jì)活動(dòng)中，"智多星"

小強(qiáng)設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)：對(duì)依次排列的兩個(gè)整式山，“按如下規(guī)律進(jìn)行操作：

第1次操作后得到整式串機(jī)，n,n-m,第2次操作后得到整式串機(jī)，"，n-m,-m.第3次操作后…

其操作規(guī)則為：每次操作增加的項(xiàng)，都是用上一次操作得到的最末項(xiàng)減去其前一項(xiàng)的差，小強(qiáng)將這個(gè)活動(dòng)

命名為"回頭差”游戲.則該"回頭差"游戲第2023次操作后得到的整式中各項(xiàng)之和是（）

A.m+nB.mC.n-mD.2n

變式1.（2023年湖南省岳陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)真題）觀察下列式子：

l2-l=lx0;22—2=2x1;32-3=3x2；42-4=4x3;52-5=5x4;...

依此規(guī)律，則第"（"為正整數(shù)）個(gè)等式是.

變式2.（2023年湖南省常德市中考數(shù)學(xué)真題）觀察下邊的數(shù)表（橫排為行，豎排為列），按數(shù)表中的規(guī)律,

分?jǐn)?shù)赤若排在第。行6列，則。―6的值為（）

1

1

￡2

2T

123

-

32-1-

1234

-

43-2-1-

A.2003B.2004C.2022D.2023

變式3.（2023年黑龍江省大慶市中考數(shù)學(xué)真題）1261年，我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》

中提到了如圖所示的數(shù)表，人們將這個(gè)數(shù)表稱為〃楊輝三角〃.

1

）1

12I

13312H3a

14641分■?■6a2護(hù)

??????

觀察''楊輝三角〃與右側(cè)的等式圖，根據(jù)圖中各式的規(guī)律，（。+））7展開(kāi)的多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為一.

例12：（2023年四川省綿陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)真題）如下圖，將形狀、大小完全相同的〃?〃和線段按照一定規(guī)律擺

成以下圖形，第1幅圖形中“?〃的個(gè)數(shù)為內(nèi)，第2幅圖形中〃?〃的個(gè)數(shù)為々，第3幅圖形中〃?〃的個(gè)數(shù)為〃3,??.，

以此類(lèi)推，那么一+—+—+???+—的值為（）

q

第1幅圖第2幅圖第3幅圖

2061589431

A.一B.—

2184840760

變式1.（2023年重慶市中考數(shù)學(xué)真題）用圓圈按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有2個(gè)圓圈,

第②個(gè)圖案中有5個(gè)圓圈，第③個(gè)圖案中有8個(gè)圓圈，第④個(gè)圖案中有11個(gè)圓圈，…，按此規(guī)律排列下

去，則第⑦個(gè)圖案中圓圈的個(gè)數(shù)為（）

OOOOOO

OOOOOOOOOOOOOO

OOOOOO

(1)(2)(3)

A.14B.20C.23D.26

變式2.（2023年黑龍江省綏化市中考數(shù)學(xué)真題）在求1+2+3++100的值時(shí)，發(fā)現(xiàn)：1+100=101,

2+99=101,從而得到1+2+3++100=101x50=5050.按此方法可解決下面問(wèn)題.圖（1）有1個(gè)

三角形，記作弓=1;分別連接這個(gè)三角形三邊中點(diǎn)得到圖（2）,有5個(gè)三角形，記作出=5;再分別連接

圖（2）中間的小三角形三邊中點(diǎn)得到圖（3）,有9個(gè)三角形，記作名=9;按此方法繼續(xù)下去，則

.（結(jié)果用含”的代數(shù)式表示）

例13：（2021?湖北鄂州市?中考真題）數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組的同學(xué)在學(xué)習(xí)了完全平方公式之后，針對(duì)兩個(gè)正數(shù)

之和與這兩個(gè)正數(shù)之積的算術(shù)平方根的兩倍之間的關(guān)系進(jìn)行了探究，請(qǐng)閱讀以下探究過(guò)程并解決問(wèn)題.

猜想發(fā)現(xiàn)：由5+5=27^?=10；|+1=2^|x|=|；0.4+0.4=2-0.4x02=0.8；

—H5>2./—x5=2；0.2+3.2>2Jo.2x3.2=1.6;—I—>2.-x—=—

5V528V282

猜想：如果a〉0,b>0,那么存在o+匕22j拓（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立）.

猜想證明：團(tuán)（&—揚(yáng)『20

回①當(dāng)且僅當(dāng)—=0，即a=b時(shí)，a—2y[ab+Z>=0>^a+b=2y[ab；

②當(dāng)—揚(yáng)w0，即疝b時(shí)，。一2A/^+0>0，^a+b>2sfab-

綜合上述可得：若a〉0,b>0,則拓成立（當(dāng)日僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立）.

猜想運(yùn)用：（1）對(duì)于函數(shù)丁=%+!口>0）,當(dāng)X取何值時(shí)，函數(shù)y的值最小？最小值是多少？

變式探究：（2）對(duì)于函數(shù)y=-^+x（x>3）,當(dāng)了取何值時(shí)，函數(shù)y的值最小？最小值是多少？

x3

拓展應(yīng)用：（3）疫情期間、為了解決疑似人員的臨隔離問(wèn)題.高速公路榆測(cè)站入口處，檢測(cè)人員利用檢測(cè)

站的一面墻（墻的長(zhǎng)度不限），用63米長(zhǎng)的鋼絲網(wǎng)圍成了9間相同的長(zhǎng)方形隔離房，如圖.設(shè)每間離房的

面積為S（米2）.問(wèn)：每間隔離房的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，可使每間隔離房的面積S最大？最大面積是多少？

/////////////////////1//（埔）

變式1.（2023上?浙江嘉興?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）代數(shù)式孫（尤-2乂、+6）+12尤2-24X+3V+18〉+36的最小值為（）

A.5B.6C.7D.8

變式2.（2023上?廣西河池??？寄M預(yù)測(cè)）閱讀下列材料：我們把多項(xiàng)式片+2必+片及〃一2而+廿叫做完

全平方公式，如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方公式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出

現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法.配方法是一種重要的解決問(wèn)

題的數(shù)學(xué)方法，可以求代數(shù)式的最大值或最小值.

例如：求代數(shù)式V+2X-3的最小值.

解：X2+2X-3=X2+2X+12-12-3=（X2+2.X+12）-4=（X+1）2-4

0（x+l）2>0,0（X+1）2-4>-4,回當(dāng)x=-l時(shí)，x?+2x-3的最小值為一4；

再例如：求代數(shù)式-無(wú)2+4x-l的最大值.

解：-彳?+4x-1=-（x?-4x+1）=-（x?-4x+2--2?+1）=_[（尤?_4x+2?）_3]=+3

團(tuán)（無(wú)一2）220,回一（無(wú)一2丫40,0-（X-2）2+3<3；13當(dāng)x=2時(shí)，一d+4x-l的最大值為3.

菜地

（1）【直接應(yīng)用】代數(shù)式Y(jié)+4X+3的最小值為;（2）【類(lèi)比應(yīng)用】若川=〃+/一20+46+2023,試

求M的最小值；⑶