2024年中考數(shù)學(xué)知識 三角形(解析版)(全國版)

知識必備06三角形（公式、定理、結(jié)論圖表）

|全等三角形|一

「、知識梳理;

考點(diǎn)一、三角形的邊角關(guān)系

三角形任意兩邊之和大于第三邊.

三角形任意兩邊的之差小于第三邊.

三角形的內(nèi)角和為180°.

典例1:（2022?畢節(jié)市）如果一個三角形的兩邊長分別為3,7,則第三邊的長可以是（）

A.3B.4C.7D.10

【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系，兩邊之和第三邊，兩邊之差小于第三邊即可判斷.

【解答】解：設(shè)第三邊為x,則4cx<10,

所以符合條件的整數(shù)為7,

故選：C

【點(diǎn)評】本題考查三角形三邊關(guān)系定理，記住兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，屬于基礎(chǔ)題,

中考?？碱}型.

典例2：（2022?北京）下面是證明三角形內(nèi)角和定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明.

三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180。.

已知：如圖，△48C,求證：AA+AB+AC=180°.

方法一方法二

證明：如圖，過點(diǎn)/作。￡〃BC.證明：如圖，過點(diǎn)C作CD〃45.

A

【分析】方法一：由平行線的性質(zhì)得：AB=ABAD,ZC=ACAE,再由平角的定義可得4A乙8/C+

ACAE=180°,從而可求解；

方法二：由平行線的性質(zhì)得：AA=AACD,ZS+Z.5C￡>=180°,從而可求解.

［解答】證明：方法一：「DE〃夕C,

AB=ABAD,ZC=ACAE,

?--ABAD+ABAC+ACAE=\?,O°,

AB+ABAC+AC=180°；

方法二：■.-CD//AB,

AA=AACD,/LB+ABCD=ISQ°,

AB+AACB+AA=180°.

【點(diǎn)評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)并靈活運(yùn)用.

考點(diǎn)二、等腰三角形

1.等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

2.性質(zhì)：

⑴具有三角形的一切性質(zhì).

（2）兩底角相等（等邊對等角）

⑶頂角的平分線，底邊中線，底邊上的高互相重合（三線合一）

⑷等邊三角形的各角都相等，且都等于60°.

3.判定:

⑴如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（等角對等邊）；

⑵三個角都相等的三角形是等邊三角形；

⑶有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形.

要點(diǎn)詮釋：

⑴腰、底、頂角、底角是等腰三角形特有的概念；

（2）等邊三角形是特殊的等腰三角形.

典例3：（2022?蘇州）定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍長三角形”.若

等腰△N3C是“倍長三角形"，底邊的長為3,則腰N3的長為6.

【分析】由等腰△48C是“倍長三角形"，可知=或2C=24B,若4B=2BC=6,可得48的長

為6；若BC=3=2”，因16+1.5=3,故此時不能構(gòu)成三角形，這種情況不存在；即可得答案.

【解答】解：?.?等腰A/BC是“倍長三角形”，

:.AB=2BC或BC=2AB,

若4B=2BC=6,則△A8C三邊分別是6,6,3,符合題意，

.,.腰的長為6；

若30=3=2/3,貝1]/3=1.5,△/2C三邊分另11是1.5,1.5,3,

；16+1.5=3,

??.此時不能構(gòu)成三角形，這種情況不存在；

綜上所述，腰48的長是6,

故答案為：6.

【點(diǎn)評】本題考查三角形三邊關(guān)系，涉及新定義，解題的關(guān)鍵是分類思想的應(yīng)用及掌握三角形任意兩邊

的和大于第三邊.

典例4：(2022?溫州)如圖，3。是△NBC的角平分線，DE//BC,交48于點(diǎn)E.

(1)求證：乙EBD=乙EDB.

(2)當(dāng)=時，請判斷與的大小關(guān)系，并說明理由.

【分析】(1)利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；

(2)利用平行線的性質(zhì)可得4AAED,則AD=/E,從而有CD=BE,由(1)得，AEBD=AEDB,

可知BE=。及等量代換即可.

【解答】(1)證明：?.?8。是△/BC的角平分線，

2CBD=乙EBD,

■.■DE//BC,

：.乙CBD=AEDB,

乙EBD=AEDB.

(2)解：CD=ED,理由如下：

■：AB=AC,

ZC=乙ABC,

-：DE//BC,

AADE=AC,AAED=AABC,

/_ADE=乙AED,

.t.AD=AE,

CD=BE,

由（1）得，乙EBD=乙EDB,

?，.BE=DE,

：,CD=ED.

【點(diǎn)評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義等知識，熟練掌握

平行與角平分線可推出等腰三角形是解題的關(guān)鍵.

典例5：（2022?鄂州）如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，D、E分別為邊3C、NC上的點(diǎn)，4D與3E相交

于點(diǎn)P,若BD=CE=2,貝I]△NAP的周長為_42+18/7_

—7-

【分析】根據(jù)&4s證得出乙/尸3=120。，在C2上取一點(diǎn)尸使。尸=CE=2,則2尸=

BC-CF=4,證△APB"BFE,根據(jù)比例關(guān)系設(shè)AP=x,則/尸=2%,作延長線于"利用勾

股定理列方程求解即可得出BP和AP的長.

【解答】解：^ABC是等邊三角形，

：.AB=BC,乙ABD=AC=60°,

在和△BCE中，

'AB=BC

<ZABD=ZC

LBD=CE

△ABgdBCE（SAS）,

ABAD=乙CBE,

lAPE=AABP+zLBAD=乙ABP+乙CBE=乙ABD=60°,

AAPB=nO°,

在C3上取一點(diǎn)/使CF=CE=2,則5/=5C-C尸=4,

AC=60°,

.?.△CM是等邊三角形，

ABFE=120°,

即44尸5=乙BFE,

XAPB—MBFE,

.APBF_4_9

BPEF2

設(shè)BP=x,貝Ij/P=2x,

作延長線于H,

VABPD=AAPE=60°,

；."BH=30°,

:.PH=上,877=叵*，

22

.AH=AP+PH=2x+—=—x,

22

在RtAASH中，AH2+BH2=AB2,

即（區(qū)）2+（）2=62,

22

解得工=旦反或-旦叵（舍去），

77

：.AP=12^,BP=^J-,

77

AABP的周長為AB+AP+BP=6+⑶'年+&萬=6+jW7_=42+18行,

7777

故答案為：42+18近

7

【點(diǎn)評】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形

等知識，熟練掌握這些基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)三、直角三角形

L直角三角形：有一個角是直角的三角形叫做直角三角形.

2性質(zhì):

⑴直角三角形中兩銳角互余.

⑵直角三角形中，30°銳角所對的直角邊等于斜邊的一半.

⑶在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°.

⑷勾股定理：直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

⑸勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c滿足a?+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形.

⑹直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.

3.判定：

⑴有兩內(nèi)角互余的三角形是直角三角形.

⑵一條邊上的中線等于該邊的一半，則這條邊所對的角是直角，這個三角形是直角三角形.

⑶如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這個三角形是直角三角形，第三邊為斜邊.

典例6:（2022?紹興）如圖，把一塊三角板/5C的直角頂點(diǎn)3放在直線所上，ZC=30°,AC//EF,則4

1=（）

A.30°B.45°C.60°D,75°

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，可以得到乙匿尸的度數(shù)，再根據(jù)aN2C=90°,可以得到乙1的度數(shù).

【解答】解：.??/C〃跖，ZC=30°,

ZC=Z.C5F=30°,

AABC=9Q°,

...41=180°-AABC-ZC5F=180°-90°-30°=60°,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用平行線的性質(zhì)

解答.

典例7：（2022?十堰）【閱讀材料】如圖①，四邊形ABCD中，AB=AD,乙2+乙。=180°,點(diǎn)E,尸分別在

BC,CD±,若乙BAD=2LE4F,貝U昉=8￡+。尸.

【解決問題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形/Ben已知c〃=C3=io（）〃?，

AD=60°,AABC=120°,乙BCD=150°,道路4D,上分別有景點(diǎn)M,N,且?！?100加，BN

=50（我-1）加，若在N之間修一條直路，則路線〃—N的長比路線*N-N的長少370m

（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：V3=1.7）.

圖①圖②

【分析】解法一：如圖，作輔助線，構(gòu)建直角三角形，先根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理證明4G=90°,分

別計(jì)算4D,CG,AG,3G的長，由線段的和與差可得和ZN的長，最后由勾股定理可得的長,

計(jì)算AM+AN-A/N可得答案.

解法二：構(gòu)建【閱讀材料】的圖形，根據(jù)結(jié)論可得的長，從而得結(jié)論.

【解答】解：解法一：如圖，延長。C45交于點(diǎn)G,過點(diǎn)N作于

...乙。=60。,AABC=120°,ABCD=150°,

AAA=360°-60°-120°-150°=30°,

'.AG=90°,

..AD=2DG,

RtZ\CG5中，ABCG=180°-150°=30°,

:.BG=^BC=50,CG=50?,

：.DG=CD+CG=100+50煦，

：.AD=IDG=200+100VS-NG=?DG=150+100我,

?:DM=100,

：.AM=AD-DM=200+100V3-100=100+100愿,

■.-BG=50,BN=50（正-1）,

：.AN=AG-BG-BN=150+1OO-v/S-50-50(A/3-1)=150+50遍

RtA4NH中，AA=30°,

:.NH=^AN=15+2542,/〃=%A7/=75愿+75,

由勾股定理得：MN=VNH2+MH2=V(75+25V3)2+(25V3+25)2=50(^3+1),

：.AM+AN-MN=1OO+1OOV3+15O+5OVS-50(?+l)=200+100^3^370(m).

答：路線M—N的長比路線M—A—N的長少370m.

解法二：如圖，延長。C,A8交于點(diǎn)G,連接CN,CM,則Z.G=90°,

：CD=DM,乙。=60°,

.?.△8CM■是等邊三角形，

ADCM=60°,

由解法一可知：CG=50?,GN=BG+BN=50+50(Vs-1)=50我，

ACGN是等腰直角三角形，

AGCN=45°,

:.乙BCN=45°-30°=15°,

AMCN=150°-60°-15°=75°=工乙BCD,

2

由【閱讀材料】的結(jié)論得：MN=DM+BN=100+50(禽-1)=50爪+50,

■：AM+AN-MN=100+100A/3+150+50V3-50(Vs+l)=200+100%#370(m).

答：路線M—N的長比路線MH的長少370m.

故答案為：370.

【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查了含30°的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，二次根式的混合運(yùn)算等知識與方法,

解題的關(guān)鍵是作出所需要的輔助線，構(gòu)造含30°的直角三角形，再利用線段的和與差進(jìn)行計(jì)算即可.

典例8：(2022?杭州)如圖，在RtA4C3中，乙NC3=90。，點(diǎn)"為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)￡在線段/四上,

斯_L/C于點(diǎn)尸，連接CM,CE.已知4/=50。,乙ACE=30：

(1)求證：CE=CM.

(2)若42=4,求線段FC的長.

【分析】(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得“C=M4=M2,根據(jù)外角的性質(zhì)可得乙腔。=AA+AACE,

AEMC=AB+AMCB,根據(jù)等角對等邊即可得證；

(2)根據(jù)C￡=CN先求出CE的長，再解直角三角形即可求出FC的長.

【解答】(1)證明：,.2/C8=90°,點(diǎn)”為邊的中點(diǎn)，

：.MC=MA=MB,

AMCA=乙A,乙MCB=乙B,

,.24=50。，

/.AMCA=50°,AMCB=AB=40°,

:.乙EMC=LMCB+乙B=80°,

??,乙ACE=30°,

/.AMEC=AA+AACE=80°,

乙MEC=乙EMC,

：.CE=CM；

(2)解：-.-AB=4,

：.CE=CM=^-AB=2,

2

■.■EFLAC,AACE=30°,

.-.FC=C￡?cos30°=VS.

【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，涉及三角形外角的性質(zhì)，解直角三角形等，熟練掌握并靈活運(yùn)

用直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)四、全等三角形基本概念

1.全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.

2.全等三角形的性質(zhì)

(1)全等三角形對應(yīng)邊相等；

(2)全等三角形對應(yīng)角相等.

要點(diǎn)詮釋：

全等三角形的周長、面積相等；對應(yīng)的高線，中線，角平分線相等.

3.全等三角形的判定方法

(1)三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(SSS)；

(2)兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(ASA)；

(3)兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(AAS)；

(4)兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等(SAS)；

(5)斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等(HL).

典例9:(2022?銅仁市)如圖，點(diǎn)。在AD上，ABLBD,ED1BD,ACLCE,AB=CD.求證：NABg\

【分析】根據(jù)一線三垂直模型利用445證明即可.

【解答】證明：-.-ABLBD,EDVBD,AC1,CE,

AB=AD=/LACE=90°,

:.乙DCE+乙DEC=90°,乙BCA+乙DCE=9Q°,

乙BCA=2DEC,

在和△COE中，

，ZBCA=ZDEC

-ZB=ZD,

,AB=CD

???AABC^/XCDE(AAS).

【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握一線三垂直模型是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)五、靈活運(yùn)用三角形全等定理

三角形全等是證明線段相等，角相等的最基本、最常用的方法，這不僅因?yàn)槿热切斡泻芏嘀匾?/p>

角相等、線段相等的特征，還在于全等三角形能把已知的線段相等、角相等與未知的結(jié)論聯(lián)系起來.

應(yīng)用三角形全等的判別方法注意以下幾點(diǎn)：

1.條件充足時直接應(yīng)用判定定理

要點(diǎn)詮釋：在證明與線段或角相等的有關(guān)問題時，常常需要先證明線段或角所在的兩個三角形全等.這種情

況證明兩個三角形全等的條件比較充分，只要認(rèn)真觀察圖形，結(jié)合已知條件分析尋找兩個三角形全等的條

件即可證明兩個三角形全等.

2.條件不足，會增加條件用判定定理

要點(diǎn)詮釋：此類問題實(shí)際是指條件開放題，即指題中沒有確定的已知條件或已知條件不充分，需要補(bǔ)充三

角形全等的條件.解這類問題的基本思路是：執(zhí)果索因，逆向思維，即從求證入手，逐步分析，探索結(jié)論

成立的條件，從而得出答案.

3.條件比較隱蔽時，可通過添加輔助線用判定定理

要點(diǎn)詮釋：在證明兩個三角形全等時，當(dāng)邊或角的關(guān)系不明顯時，可通過添加輔助線作為橋梁，溝通邊或

角的關(guān)系，使條件由隱變顯，從而順利運(yùn)用全等三角形的判別方法證明兩個三角形全等.

常見的幾種輔助線添加：

①遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”；

②遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形利用的思維模式是全等變

換中的“旋轉(zhuǎn)”；

③遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的

“對折”，所考知識點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理；

④過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)

折疊”；

⑤截長法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之

與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明.這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、

分之類的題目.

典例10：(2022?黃石)如圖，在△N3C和△/￡>￡中，AB=AC,AD=AE,2BAC=2DAE=90°,且點(diǎn)。

在線段上，連CE.

(1)求證：△ABD*ACE；

(2)若乙區(qū)4c=60°,求乙CEO的度數(shù).

C

D

A

【分析】(1)可利用SNS證明結(jié)論；

(2)由全等三角形的性質(zhì)可得44CE=4/AD,利用等腰直角三角形的性質(zhì)可求得乙NCE=乙

AED=45°,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求解4/￡C的度數(shù)，進(jìn)而可求可求解

【解答】(1)證明：［,△A4c=乙八4￡=90°,

ABAC-ACAD=/.DAE-ACAD,即乙

在△48。和△/(?￡1中，

，AB=AC

?NBAD=/CAE，

,AD=AE

/\ABD"4ACE(SAS\

(2)解：???/XABD^/XACE,

/_ACE=乙ABD,

???△NBC和都是等腰直角三角形，

AACE=AABD=AAED=45°,

VAEAC=60°,

AAEC=180°-AACE-AEAC=180°-45°-60°=75°,

ZCED=AAEC-AAED=75°-45°=30°.

【點(diǎn)評】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，掌握

全等三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵.

典例11:(2022?百色)校園內(nèi)有一塊四邊形的草坪造型，課外活動小組實(shí)地測量，并記錄數(shù)據(jù)，根據(jù)造型

畫如圖的四邊形48cD,其中N2=CD=2米，4D=2C=3米，乙2=30。.

(1)求證：

(2)求草坪造型的面積.

【分析】（1）利用全等三角形的判定方法，結(jié)合三邊關(guān)系得出答案；

（2）直接利用全等三角形的性質(zhì)以及直角三角形中30度所對邊與斜邊的關(guān)系的得出對應(yīng)邊長，進(jìn)而得

出答案.

［解答］（1）證明：在△45C和△CD/中，

'AB=DC

,■,<AC=AC.

BC=DA

???AABC^/XCDA（SSS）；

(2)解：過點(diǎn)/作AEL5C于點(diǎn)￡,

,??48=2米，43=30°,

：.AE=1米，

???S?BC=L3X1=色(平方米)，

22

則S^CDA=春（平方米）,

草坪造型的面積為：2x3=3（平方米）.

【點(diǎn)評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的應(yīng)用，正確掌握全等三角形的判定

方法是解題關(guān)鍵.

考點(diǎn)六、角的平分線定理

角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

要點(diǎn)詮釋：

用符號語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：

若CD平分心ADB,點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且PELAD于點(diǎn)E,PFLBD于點(diǎn)F,貝UPE=PF.

角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.

要點(diǎn)詮釋：

用符號語言表示角的平分線的判定：

若PE_LAD于點(diǎn)E,PF_LBD于點(diǎn)F,PE=PF,則PD平分心ADB

典例12：已知，如圖，CE±AB,BD±ACXB=AC,BF=CF.求證：AF為ZBAC的平分線.

【答案與解析】

證明：?.?CE1AB,BD1AC（已