2024高三數(shù)學(xué)押題預(yù)測(cè)卷1 （解析版）（新高考）

高三數(shù)學(xué)押題預(yù)測(cè)仿真卷01

數(shù)學(xué)

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考

證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。

3.回答第H卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.已知樣本數(shù)據(jù)為占、了2、鼻、乙、X5、/、X”去掉一個(gè)最大值和一個(gè)最小值后的數(shù)據(jù)與原來的數(shù)據(jù)

相比，下列數(shù)字特征一定不變的是（）

A.極差B.平均數(shù)C.中位數(shù)D.方差

【答案】C

【解析】樣本數(shù)據(jù)為了］、巧、“3、”4、尤5、、X］，

去掉一個(gè)最大值和一個(gè)最小值后的數(shù)據(jù)與原來的數(shù)據(jù)相比，

假設(shè)從小到大就是從西到尤7,極差可能變化，故A錯(cuò)；

平均數(shù)為1=%+%+B+毛+%,可能變，故B錯(cuò)；

中位數(shù)還是按從小到大排序中間位置的數(shù)，故C正確；

方差為52=1（9-元）2+（尤3-下）2+（無4-可2+伍-元）2+（尤6-元）2］，有可能變，故D錯(cuò).故選：C

2.已知機(jī)=（3,6）,n=（-3,A）,若機(jī)+〃,〃=120°,則2=（）

A.B.一2?石C.-3D.-73

【答案】D

【解析】因?yàn)楦?(3,6),n=(-3,2),所以m+〃=(0,6+4),

/\(加+町力62+221

所以cos(M+〃,〃)=-------E=------>=--

、/1m+Az?n|Z+6|-V9+22

所以6%+22<。，則-6v2v0,

（6+2）241「

故（6+彳函+TE=N解得"-6（正值舍去）.故選：D

3.已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S”.若％5+%H0=l，則$2024=（）

A.1012B.1013C.2024D.2025

【答案】A

【解析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得:al5+%0]o=2q+2023d=1,且〃i+^2024=2%+2023d=1,

2024x(q+%024)2024x1.

所以邑024----------=1012.故選：A.

22

4.設(shè)。，夕為不同的平面，a,b,。為三條不同的直線，則下列命題中為真命題的是（）

A.若e_L#,aua,acf3=c,a±c,則4，尸

B.若alip,aua,bu。,則allb

C.若a//a,bua,貝與人異面

D.若&_L/,aua,bufi,則。與b相交

【答案】A

【解析】對(duì)于A,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得A正確；

對(duì)于B,若a〃6，aua,bu0,則a//B,或。與匕異面，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若a//a,bua,貝!］。/力，或。與人異面，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若。_L/,aua,bu0,則a//Z>,或。與6異面，或。與人相交，故D錯(cuò)誤.故選：A.

5.一只小蜜蜂位于數(shù)軸上的原點(diǎn)處，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飛行一個(gè)單位或者兩個(gè)單位距離的

能力，且每次飛行至少一個(gè)單位.若小蜜蜂經(jīng)過4次飛行后，停在位于數(shù)軸上實(shí)數(shù)3的點(diǎn)處，則小蜜蜂不同

的飛行方式有（）

A.22B.28C.26D.24

【答案】D

【解析】經(jīng)過4次飛行，停在位于數(shù)軸上實(shí)數(shù)3的點(diǎn)處,

設(shè)向右飛行1個(gè)單位為事件A,向右飛行2個(gè)單位為事件3,

情況一，A45入滿足要求，此時(shí)只需安排好民司，故不同的飛行方式為A；=12種,

情況二，出弦A滿足要求，此時(shí)只需安排好瓦A,故不同的飛行方式為A：=12種,

綜上，小蜜蜂不同的飛行方式有12+12=24種.故選：D

6.在AABC中，已知ZABC=2Nfi4C,3BC=2AB,BD1AC,。為垂足，CD=2>/10,則3Z)=()

A.3娓B.6^6C.2MD.4M

【答案】B

【解析】設(shè)N54C=c，可得/4BC=2a,ZACB=it-3a,

BCAB_BC

由正弦定理得即

sin(兀一3a)sinasin3asina

因?yàn)?3c=2AB,所以sin3a=3sina,

又因?yàn)閟in3a=sin(cr+2a)=sin2acosa+cos2asina

=2sin二cosacosa+(1-2siMa)sin。=3sin。-4sin3a,

所以2(3sina-4sii?①=3sina,整理得3sina-8sin3a=0,

IT

因?yàn)?<a<5，所以O(shè)vsinorvl,所以3-8sin2c=0,

即sin2a=],解得sintz=Y^,貝!Jsin3tz=，^x[3-4(，^)2]=氧S,即sinNACB=」^5

844488

因?yàn)镹ACB為銳角，cosZACB=V1-sin2ZACB=—,

8

所以tan/ACB=^^=亞，

cosZACB5

在直角二瓦心中，tan/AC8=器，所以BD=CD.tanNACB=2Mx￥^=6#.故選：B.

7.已知cc^a—cos?/=—2,sin(。一/)=；,貝IJCOS(2Q+24)=(

)

772

A.——B.—C.--D.

9999

【答案】B

【解析】因?yàn)閏os%_cos2尸=l+；s2a1+COS2;01cc小

--------....-=—(zcos2a-coszp)=-sin(a+尸)sin(a—月)=

"12?

得至！Jsin（a+尸）sin（a-￡）=g,又sin（a-〃）=；,所以sin（a+Q）=g,

、97

所以cos（z2a+2月）=1—2sin2（a+月）=1—,故選：B.

2

8.已知點(diǎn)尸（%,為）在雙曲線/一斗=10>0）上，過點(diǎn)尸作雙曲線的漸近線的垂線，垂足分別為A,3,若與〉1,

b

21

PAPB=—,貝心()

32

A.6B.2C.布D.20

【答案】C

【解析】如圖，直線上4的方程為:

...x+by

=4(j。)，解得.00

b2+l

由，

bx+b1y'

y=bxQ0

y=b^+1

直線PB的方程為：y-%=：(x-Xo),，

b

y=-bx

1_-一如

X--------Z-------------

b2+l-bx+b2y

解得00

2b2+l-

-bx0+by0,

y一方+i

bbx

Jyo-~o如-%]座/-蛆-匕飛心0-%

PA2

一1z?+i+i7一〔從+i'^+1

b^-b2yl!yj-b24b2-b2b-

故尸4網(wǎng)=記，解得：b=V7.故選：C.

gl)2,2+1)2(/+―

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知函數(shù)/■(x)=3sinWx+°)((y>O,[a<7r)的部分圖象如圖所示，則()

A.8=3B.t

77rIT

c./(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.在-石■，-1上單調(diào)遞增

【答案】ACD

【解析】設(shè)“X）的最小正周期為T,由圖象可得到；T=謁-[弋）=《故7=個(gè)，

NJLNyHryJD

兀兀

因?yàn)棰?gt;0,所以」2=:2，解得口=3,故A正確；

①3

將卜：,3）代入〃x）=3sin（3x+0）,得3sin3x（_：）+0=3,

則一年+0=^+2E（左￡Z），解得"=苧+2E（左eZ）,

因?yàn)闊?lt;無，所以當(dāng)上=-1時(shí)，所以"x）=3si“3x-岑）故B錯(cuò)誤；

因?yàn)?Qf）=3sin]3x?[3sin7i=O,所以〃x）的圖象關(guān)于點(diǎn)借對(duì)對(duì)稱，故C正確；

當(dāng)xe時(shí)，3x-^e,因?yàn)閥=3sinx在上單調(diào)遞增，

I乙乙乙乙乙

77r7T

所以〃x）在-石■，-]上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ACD

10.已知復(fù)數(shù)z,w,則下列說法正確的是（）

A.若2=卬，貝丘=w

B.若z=3+i,w=-2i,則z+w在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限

C.若z?=1,則z=z

D.若卜-2|=1,復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,則直線OZ（。為原點(diǎn)）斜率的取值范圍為Wg

【答案】ACD

【解析】對(duì)于A,設(shè)2=々+歷（a/eR）,貝！Jz=a-歷，若z=w，則w=a+Z?i，

則狡=1一歷，所以z=w，故A正確；

對(duì)于B,若z=3+i,vv=-2i,貝ljz+w=3-i,所以z+w在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

在第四象限，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,設(shè)z=a+歷（a,bwR）,由z2=l，可得（/一/）+2。歷=1,

則4=±1,〃=。，即2=±1,則Z=L故C正確；

對(duì)于D,設(shè)z=x+W（a,Z?￡R）,貝|Jz-2=（九一2）+yi,若|z-2|=1,

則（x-2）2+產(chǎn)=1,即點(diǎn)Z在以（2,0）為圓心，1為半徑的圓上，

設(shè)過原點(diǎn)與圓相切的直線為V=丘，即"-y=0,

\2k\n

則圓心到切線的距離d==1，解得左=±與，

所以直線OZ(。為原點(diǎn))斜率的取值范圍為一冬與,故D正確.故選：ACD

11.已知定義在R上的函數(shù)/(x),g(x),其導(dǎo)函數(shù)分別為

f'(x),g'(x),f(1-x)^6-g'(1-x),f{y-x)-g'[y+x)^6,且g(x)+g(—x)=4,貝lj()

A.g'(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)中心對(duì)稱B.g'(x+4)=，(x)

c.r(6)=r(2)D./(1)+/(3)=12

【答案】BCD

【解析】由題意可得伉]_J=6+；；1+/兩式相減可得g'(l+x)=-g'(I)①，

所以g'(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(L0)中心對(duì)稱，A錯(cuò)誤；

由g(x)+g(f)=4②，②式兩邊對(duì)無求導(dǎo)可得g'(x)=g'(-x),可知g'(x)是偶函數(shù)，

以1+x替換①中的x可得g，(2+x)=-g，(f)=—g，(x),

可得g〈4+x)T(2+x)=g3,所以g'(x)是周期為4的周期函數(shù),B正確；

因?yàn)閥(x)=6-g'(x),可知“X)也是周期為4的周期函數(shù)，即y(x+4)=/(x),

兩邊求導(dǎo)可得求(x+4)=((x),所以廣⑹=廣(2),C正確；

因?yàn)槎?l+x)=—g"—x),令尤=0,則gp)=—g'⑴，即g'⑴=0,

又因?yàn)間'(x)是偶函數(shù),所以g'(—l)=g'(l)=0,

又因?yàn)間'(x)是周期為4的周期函數(shù)，則g")=g'(-l)=0,

由〃x)=6—g'(x)可得?尚=6-漏=6,所以/⑴+"3)=12,D正確.故選：BCD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.己知集合A=卜卜=&+VT金},8=（yy=］6—卜那么4（Ac3）=

【答案】{外刊

【解析】要使得y=JI+FI有意義，貝U：；：：>0，解得0WX41，即集合A={MO4X41},

1fl_J］-X土0

若丁1k有意義,則7,XVI且XW0,

l-yjl-xl-x>0

而Vi二且Vnwi,所以］_行=］且］

所以3={y|y<0或yWl},從而Ac3={l},々（Ac8）={x|xwl}.

13.1/+>+：+（］展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

【答案】630

【解析】p+y+1+|j表示7個(gè)卜+y+：+；|相乘，

則常數(shù)項(xiàng)，應(yīng)為1個(gè)/,2個(gè)工，2個(gè)y,2個(gè)上相乘,

xy

所以卜+了+^+；|展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C；C；C：C；=630.

14.已知點(diǎn)/在拋物線「：/=分上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)加的兩直線44與圓C：Y+（y-3）2=4相切，切點(diǎn)分別為

A,B,當(dāng)|4即|環(huán)?|取最小值時(shí)，直線A3的方程為.

［答案］±x-y+l=0

【解析】如圖，設(shè)叫孫才,設(shè)AB與MC交于〃，

由題意知A8AMC,AC=2,

RtACM中，|AH|-|MC|=|AC|-|M4|=2\MA\=2,CM。-4,

［fn\AB\=2\AH\,貝ij|陰.|的=2網(wǎng).|MC|=4y1CM2-4,

當(dāng)|CN|最小時(shí)，|旗卜即。取最小值.

\2

當(dāng)且僅當(dāng)其=4時(shí)，'（其-4『+8取得最小值，此時(shí)Af（±2,l）,|C0|=20,|阿=2,

則以M為圓心，|肱4|為半徑的圓的方程為：（x.2y+（y-lf=4,

與圓C:/+（y-3）2=4的方程相減，可得A3的直線方程為：y=±x+l,即土x-y+l=O,

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）

已知函數(shù)=+or-lnx,aeR.

（1）若函數(shù)y=〃x）-在（0,2］上單調(diào)遞減，求a的取值范圍:

（2）若直線丫=前與〃x）的圖象相切，求a的值.

【答案】⑴卜8,2亞］;（2）e-1

【解析】(1)記>=〃*)-2%2=ar-lnx-x2=g(x),g(x)在(0,2］上單調(diào)遞減,

/（力=〃—:—2x（。對(duì)\/%￡（0,可恒成立，

<2<f2x+—j,而2%+工22、2x。=2加,

IX）minXXX

當(dāng)且僅當(dāng)2x=’即％=也時(shí)，等號(hào)成立，

x2

所以當(dāng)x=YZ時(shí)，2x+^取得最小值為20.

2%

a<2A/2，所以a的取值范圍為20］.

（2）設(shè)直線>與〃尤）的圖象相切于P伍,片+6o-lnxo）,

17c1

/'(%)=2x+a-一,k=2XQ+〃---

x

2%+ci-----—e,(J)1

由題意可知XQa=eH------2XQ

xQ

+ax0-Inx0=ex0，②

代入②=>x；+e+-----2x0x0-lnx0=ex0,

l尤。)

/.l-Xg-lnx0=0,左邊式子關(guān)于％單調(diào)遞減且%=1時(shí)，左邊=。,「./=1

Q=e+1—2=e—1.

16.(15分)

如圖，已知ABCD為等腰梯形，點(diǎn)E為以BC為直徑的半圓弧上一點(diǎn)，平面ABCD上平面BCE,M為CE的

中點(diǎn)，BE=AB=AD=DC=2,BC=4.

My

----------/

(1)求證：￡>"http://平面ABE;

(2)求平面ABE與平面DCE所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；⑵晅.

65

【解析】(1)取BE的中點(diǎn)N,連接AN,MN,則MN〃3c且MN=」BC,

2

又:ADIIBC豆AD=gBC,:.MN//AD且MN=AD.

ANDM為平行四邊形，:.DMIIAN.

又DM<z平面ABE,4Vu平面ABE,二￡)/0〃平面ABE.

(2)取AD中點(diǎn)為尸，連接OF,因?yàn)锳SCD為等腰梯形，所以O(shè)WJ_3C,

又平面ABCD2平面8CE,平面ABCDc平面3CE=3C,Obu平面ABCD,

所以O(shè)F，平面BCE,

過點(diǎn)。作直線BC的垂線交BC于點(diǎn)G,

分別以。G,OC,。尸所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

BC為直徑，：.BEM^BC,:.ZBCE=30°,NBOE=60°,ZEOG=30°.

2

在等腰梯形ABCD中，AB=AD=DC=2,BC=4,所以。尸=卡2_[三=73,

E(V3,-1,O),C(0,2,0),0(0,1,A/3),B(0-2,0),A(0,T,?

:.CE=(>/3,-3,0),CD=(O,-1,6),BE=(>/3,1,0),84=(0,1,6).

設(shè)平面DCE的法向量為％=(X,NZ),

m-CE=0f\f3x-3y=0

則，二廠，

m-CD=0[-y+j3z=0

令》=豆貝!Jx=3,z=l.m=(3,^3,1),

設(shè)平面ME的法向量為〃=(a,仇c),

n-BE=A/3G+b=0r-

則r,取”=(1,—百,1),

n-BA=v3c+b=0

設(shè)平面ABE與平面CDE所成的角為a,

-765

貝ijcosa=

???平面ABE與平面CDE所成角的余弦值為遐

65

17.(15分)

在某數(shù)字通信中，信號(hào)的傳輸包含發(fā)送與接收兩個(gè)環(huán)節(jié).每次信號(hào)只發(fā)送。和1中的某個(gè)數(shù)字，由于隨機(jī)

因素干擾，接收到的信號(hào)數(shù)字有可能出現(xiàn)錯(cuò)誤，已知發(fā)送信號(hào)0時(shí),接收為0和1的概率分別為a（0<?<1）,

1-a；發(fā)送信號(hào)1時(shí)，接收為1和。的概率分別為尸（0<尸<1）」-￡.假設(shè)每次信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.

（1）當(dāng)連續(xù)三次發(fā)送信號(hào)均為0時(shí)，設(shè)其相應(yīng)三次接收到的信號(hào)數(shù)字均相同的概率為了（?）,求的最

小值；

（2）當(dāng)連續(xù)四次發(fā)送信號(hào)均為1時(shí)，設(shè)其相應(yīng)四次接收到的信號(hào)數(shù)字依次為大,々，三，七，記其中連續(xù)出現(xiàn)

2

相同數(shù)字的次數(shù)的最大值為隨機(jī)變量X（再，尤2,不，匕中任意相鄰的數(shù)字均不相同時(shí)，令X=1）,若￡=4，

求x的分布列和數(shù)學(xué)期望.

1OAQ

【答案】⑴"⑵分布列見解析；期望為的

【解析】（1）由題可知/（夕）="+（1一々）3=3夕2一3夕+1=3［々一（［4-1,

因?yàn)?<a<l,所以當(dāng)&=1■時(shí)，的最小值為;.

（2）由題設(shè)知，X的可能取值為1,2,3,4.

①當(dāng)X=1時(shí)，相應(yīng)四次接收到的信號(hào)數(shù)字依次為0101或1010.

mD/v212112128

因止匕，P（X=1）=—X一X—X----1----X—X—X—=—,

,,3333333381

②當(dāng)X=2時(shí)，相應(yīng)四次接收到的信號(hào)數(shù)字依次為

0010,或0100,或1101,或1011,或1001,或0110,或1100,或0011.

因此,（）（|1212c1i2212

PX=2=x—x—x2+x—x—x2+

I333?3303

③當(dāng)X=3時(shí)，相應(yīng)四次接收到的信號(hào)數(shù)字依次為1110,或0H1,或0001,或1000.

因此，P（X=3）=&i32.12

x—x2H—x

333

④當(dāng)X=4時(shí)，相應(yīng)四次接收到的信號(hào)數(shù)字依次為0000,或1111.

4

17

因此，P（X=4）=（1+

81

所以X的分布列為

X1234

842017

P

8198181

QOOf）17OHQ

因止匕，X的數(shù)學(xué)期望E（X）=lx2+2xJ+3x券+4x"=答.

olo818181

18.（17分）

已知橢圓C:5■+r=：l（a>b>0）的離心率為￥，直線/過C的上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)且與圓O：V+y2=g相切.

（1）求C的方程.

（2）過C上一點(diǎn)4（%,%）作圓。的兩條切線心（均不與坐標(biāo)軸垂直），乙，6與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為

N?,%）.證明:

①直線AM,AN的斜率之積為定值;

②&+x2=0.

丫2

【答案】(1)?+>2=1；(2)①證明見解析；②證明見解析

設(shè)橢圓的半焦距為c(c>0).依題意，離心率e=￡、仁耳=蟲，則。=勸，c=?①.

【解析】(1)

aN/2

XV,,ab2

直線/：—+；=1,W^bx+ay-ab=O,由題可知個(gè)~廣―②.

abyja+b75

聯(lián)立①②，解得。=2,b=l,故C的方程為三+y2=i.

4

(2)(i)設(shè)過點(diǎn)A且與圓。相切的直線的方程為了一%=左(%-%)/WO),

貝IJ號(hào)措=京，整理得(5x；-4/一10七為八5y；-4=0,

記直線A",AN的斜率分別為《，k2,

則…汩J_,為定值.

12-5x^-45年-44

(ii)由⑴的過程可知直線4W：y-%=A(x-%),

y-y=K（x-x）,

聯(lián)立方程得00

x2+4y2-4=0,

則有（1+4懺）/+8,（％—勺%）X+4（%_勺毛）2_4=0,故與+/=甌￡；J。）

直線⑷V:y-%=&(x-x0),同理可得馬+%=地，：。；為)

1+4^2

1

甌（左玉）-%）?8%（&玉,-%）=甌（也-%）礪…

故X[+%+x2+x=2

01+%—一1+4收1+4將

1+4

_8%；%-8勺為2x0+8勺為_2x0+8左；/

―1+4^+1+44―1+%