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黑龍江省齊齊哈爾市龍江縣二中2025屆高三高考最后一卷數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.2.若命題p:從有2件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為三分之一;命題q:在邊長為4的正方形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)M,則∠AMB>90°的概率為π8A.p∧qB.(?p)∧qC.p∧(?q)D.?q3.已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為,且與雙曲線的漸近線相同,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B. C. D.4.如圖,在棱長為4的正方體中,E,F(xiàn),G分別為棱AB,BC,的中點(diǎn),M為棱AD的中點(diǎn),設(shè)P,Q為底面ABCD內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),滿足平面EFG,,則的最小值為()A. B. C. D.5.據(jù)國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的數(shù)據(jù),2019年11月全國CPI(居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)),同比上漲4.5%,CPI上漲的主要因素是豬肉價(jià)格的上漲,豬肉加上其他畜肉影響CPI上漲3.27個(gè)百分點(diǎn).下圖是2019年11月CPI一籃子商品權(quán)重,根據(jù)該圖,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.CPI一籃子商品中所占權(quán)重最大的是居住B.CPI一籃子商品中吃穿住所占權(quán)重超過50%C.豬肉在CPI一籃子商品中所占權(quán)重約為2.5%D.豬肉與其他畜肉在CPI一籃子商品中所占權(quán)重約為0.18%6.如圖,內(nèi)接于圓,是圓的直徑,,則三棱錐體積的最大值為()A. B. C. D.7.已知函數(shù)是上的偶函數(shù),且當(dāng)時(shí),函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù),則,,的大小關(guān)系是()A. B.C. D.8.已知m,n為異面直線,m⊥平面α,n⊥平面β,直線l滿足l⊥m,l⊥n,則()A.α∥β且∥α B.α⊥β且⊥βC.α與β相交,且交線垂直于 D.α與β相交,且交線平行于9.已知數(shù)列an滿足:an=2,n≤5a1A.16 B.17 C.18 D.1910.已知定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足(且),若,則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B. C. D.11.已知函數(shù),則函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為()A. B. C. D.12.已知雙曲線的一條漸近線方程是,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若,且,則的最小值是______.14.某學(xué)習(xí)小組有名男生和名女生.若從中隨機(jī)選出名同學(xué)代表該小組參加知識(shí)競賽,則選出的名同學(xué)中恰好名男生名女生的概率為___________.15.已知非零向量,滿足,且,則與的夾角為____________.16.雙曲線的焦距為__________,漸近線方程為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某商場舉行優(yōu)惠促銷活動(dòng),顧客僅可以從以下兩種優(yōu)惠方案中選擇一種.方案一:每滿100元減20元;方案二:滿100元可抽獎(jiǎng)一次.具體規(guī)則是從裝有2個(gè)紅球、2個(gè)白球的箱子隨機(jī)取出3個(gè)球(逐個(gè)有放回地抽取),所得結(jié)果和享受的優(yōu)惠如下表:(注:所有小球僅顏色有區(qū)別)紅球個(gè)數(shù)3210實(shí)際付款7折8折9折原價(jià)(1)該商場某顧客購物金額超過100元,若該顧客選擇方案二,求該顧客獲得7折或8折優(yōu)惠的概率;(2)若某顧客購物金額為180元,選擇哪種方案更劃算?18.(12分)已知圓O經(jīng)過橢圓C:的兩個(gè)焦點(diǎn)以及兩個(gè)頂點(diǎn),且點(diǎn)在橢圓C上.求橢圓C的方程;若直線l與圓O相切,與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),且,求直線l的傾斜角.19.(12分)已知點(diǎn),直線與拋物線交于不同兩點(diǎn)、,直線、與拋物線的另一交點(diǎn)分別為兩點(diǎn)、,連接,點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn),連接、.(1)證明:;(2)若的面積,求的取值范圍.20.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)當(dāng)時(shí),求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線C:,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為().(1)求拋物線C的極坐標(biāo)方程;(2)若拋物線C與直線l交于A,B兩點(diǎn),求的值.22.(10分)如圖,四棱錐的底面為直角梯形,,,,底面,且,為的中點(diǎn).(1)證明:;(2)設(shè)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)直線與直線所成的角最小時(shí),求三棱錐的體積.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】
結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和模長公式求解即可【詳解】∵復(fù)數(shù),∴,,則,故選:A.本題考查復(fù)數(shù)的除法、模長、平方運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題2.B【解析】因?yàn)閺挠?件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為P1=1C42=16,即命題p是錯(cuò)誤,則?p是正確的;在邊長為4的正方形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)M點(diǎn)睛:本題將古典型概率公式、幾何型概率公式與命題的真假(含或、且、非等連接詞)的命題構(gòu)成的復(fù)合命題的真假的判定有機(jī)地整合在一起,旨在考查命題真假的判定及古典概型的特征與計(jì)算公式的運(yùn)用、幾何概型的特征與計(jì)算公式的運(yùn)用等知識(shí)與方法的綜合運(yùn)用,以及分析問題解決問題的能力。3.B【解析】
根據(jù)焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸和漸近線方程設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)求解.【詳解】∵雙曲線與的漸近線相同,且焦點(diǎn)在軸上,∴可設(shè)雙曲線的方程為,一個(gè)焦點(diǎn)為,∴,∴,故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:B此題考查根據(jù)雙曲線的漸近線和焦點(diǎn)求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,易錯(cuò)點(diǎn)在于漏掉考慮焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸導(dǎo)致方程形式出錯(cuò).4.C【解析】
把截面畫完整,可得在上,由知在以為圓心1為半徑的四分之一圓上,利用對(duì)稱性可得的最小值.【詳解】如圖,分別取的中點(diǎn),連接,易證共面,即平面為截面,連接,由中位線定理可得,平面,平面,則平面,同理可得平面,由可得平面平面,又平面EFG,在平面上,∴.正方體中平面,從而有,∴,∴在以為圓心1為半徑的四分之一圓(圓在正方形內(nèi)的部分)上,顯然關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為,,當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號(hào),∴所求最小值為.故選:C.本題考查空間距離的最小值問題,解題時(shí)作出正方體的完整截面求出點(diǎn)軌跡是第一個(gè)難點(diǎn),第二個(gè)難點(diǎn)是求出點(diǎn)軌跡,第三個(gè)難點(diǎn)是利用對(duì)稱性及圓的性質(zhì)求得最小值.5.D【解析】
A.從第一個(gè)圖觀察居住占23%,與其他比較即可.B.CPI一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,再判斷.C.食品占19.9%,再看第二個(gè)圖,分清2.5%是在CPI一籃子商品中,還是在食品中即可.D.易知豬肉與其他畜肉在CPI一籃子商品中所占權(quán)重約為2.1%+2.5%=4.6%.【詳解】A.CPI一籃子商品中居住占23%,所占權(quán)重最大的,故正確.B.CPI一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,權(quán)重超過50%,故正確.C.食品占中19.9%,分解后后可知豬肉是占在CPI一籃子商品中所占權(quán)重約為2.5%,故正確.D.豬肉與其他畜肉在CPI一籃子商品中所占權(quán)重約為2.1%+2.5%=4.6%,故錯(cuò)誤.故選:D本題主要考查統(tǒng)計(jì)圖的識(shí)別與應(yīng)用,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.6.B【解析】
根據(jù)已知證明平面,只要設(shè),則,從而可得體積,利用基本不等式可得最大值.【詳解】因?yàn)?,所以四邊形為平行四邊?又因?yàn)槠矫?,平面,所以平面,所以平?在直角三角形中,,設(shè),則,所以,所以.又因?yàn)?,?dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,所以.故選:B.本題考查求棱錐體積的最大值.解題方法是:首先證明線面垂直同,得棱錐的高,然后設(shè)出底面三角形一邊長為,用建立體積與邊長的函數(shù)關(guān)系,由基本不等式得最值,或由函數(shù)的性質(zhì)得最值.7.D【解析】
利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得,再根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?,,?又,故.因?yàn)楫?dāng)時(shí),函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù),所以.因?yàn)闉榕己瘮?shù),故,所以.故選:D.本題考查抽象函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性在大小比較中的應(yīng)用,比較大小時(shí)注意選擇合適的中間數(shù)來傳遞不等關(guān)系,本題屬于中檔題.8.D【解析】
試題分析:由平面,直線滿足,且,所以,又平面,,所以,由直線為異面直線,且平面平面,則與相交,否則,若則推出,與異面矛盾,所以相交,且交線平行于,故選D.考點(diǎn):平面與平面的位置關(guān)系,平面的基本性質(zhì)及其推論.9.B【解析】
由題意可得a1=a2=a3=a4=a5=2,累加法求得a62+【詳解】解:an即a1=an?6時(shí),a1a1兩式相除可得1+a則an2=由a6a7…,ak2=可得aa1且a1正整數(shù)k(k?5)時(shí),要使得a1則ak+1則k=17,故選:B.本題考查與遞推數(shù)列相關(guān)的方程的整數(shù)解的求法,注意將題設(shè)中的遞推關(guān)系變形得到新的遞推關(guān)系,從而可簡化與數(shù)列相關(guān)的方程,本題屬于難題.10.D【解析】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性用方程法求出的解析式,進(jìn)而求出,再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,即可求出結(jié)論.【詳解】依題意有,①,②①②得,又因?yàn)?,所以,在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選:D.本題考查求函數(shù)的解析式、函數(shù)的性質(zhì),要熟記復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法,屬于中檔題.11.A【解析】
首先求得時(shí),的取值范圍.然后求得時(shí),的單調(diào)性和零點(diǎn),令,根據(jù)“時(shí),的取值范圍”得到,利用零點(diǎn)存在性定理,求得函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間.【詳解】當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),為增函數(shù),且,則是唯一零點(diǎn).由于“當(dāng)時(shí),.”,所以令,得,因?yàn)?,,所以函?shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選:A本小題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì),考查符合函數(shù)零點(diǎn),考查零點(diǎn)存在性定理,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.12.D【解析】雙曲線的漸近線方程是,所以,即,,即,,故選D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.8【解析】
利用的代換,將寫成,然后根據(jù)基本不等式求解最小值.【詳解】因?yàn)椋慈〉忍?hào)),所以最小值為.已知,求解()的最小值的處理方法:利用,得到,展開后利用基本不等式求解,注意取等號(hào)的條件.14.【解析】
從7人中選出2人則總數(shù)有,符合條件數(shù)有,后者除以前者即得結(jié)果【詳解】從7人中隨機(jī)選出2人的總數(shù)有,則記選出的名同學(xué)中恰好名男生名女生的概率為事件,∴故答案為:組合數(shù)與概率的基本運(yùn)用,熟悉組合數(shù)公式15.(或?qū)懗桑窘馕觥?/p>
設(shè)與的夾角為,通過,可得,化簡整理可求出,從而得到答案.【詳解】設(shè)與的夾角為可得,故,將代入可得得到,于是與的夾角為.故答案為:.本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算,向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0是解決本題的關(guān)鍵,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力,分析能力及計(jì)算能力.16.6【解析】由題得所以焦距,故第一個(gè)空填6.由題得漸近線方程為.故第二個(gè)空填.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)選擇方案二更為劃算【解析】
(1)計(jì)算顧客獲得7折優(yōu)惠的概率,獲得8折優(yōu)惠的概率,相加得到答案.(2)選擇方案二,記付款金額為元,則可取的值為126,144,162,180.,計(jì)算概率得到數(shù)學(xué)期望,比較大小得到答案.【詳解】(1)該顧客獲得7折優(yōu)惠的概率,該顧客獲得8折優(yōu)惠的概率,故該顧客獲得7折或8折優(yōu)惠的概率.(2)若選擇方案一,則付款金額為.若選擇方案二,記付款金額為元,則可取的值為126,144,162,180.,,則.因?yàn)?,所以選擇方案二更為劃算.本題考查了概率的計(jì)算,數(shù)學(xué)期望,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.18.(1);(2)或【解析】
(1)先由題意得出,可得出與的等量關(guān)系,然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程,可求出與的值,從而得出橢圓的方程;(2)對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論,當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),可求出,然后進(jìn)行檢驗(yàn);當(dāng)直線的斜率存在時(shí),可設(shè)直線的方程為,設(shè)點(diǎn),先由直線與圓相切得出與之間的關(guān)系,再將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,由韋達(dá)定理,利用弦長公式并結(jié)合條件得出的值,從而求出直線的傾斜角.【詳解】(1)由題可知圓只能經(jīng)過橢圓的上下頂點(diǎn),所以橢圓焦距等于短軸長,可得,又點(diǎn)在橢圓上,所以,解得,即橢圓的方程為.(2)圓的方程為,當(dāng)直線不存在斜率時(shí),解得,不符合題意;當(dāng)直線存在斜率時(shí),設(shè)其方程為,因?yàn)橹本€與圓相切,所以,即.將直線與橢圓的方程聯(lián)立,得:,判別式,即,設(shè),則,所以,解得,所以直線的傾斜角為或.求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法一般為待定系數(shù)法,根據(jù)條件確定關(guān)于的方程組,解出,從而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題,其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消元、化簡,然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程,解決相關(guān)問題.涉及弦中點(diǎn)的問題常常用“點(diǎn)差法”解決,往往會(huì)更簡單.19.(1)見解析;(2).【解析】
(1)設(shè)點(diǎn)、,求出直線、的方程,與拋物線的方程聯(lián)立,求出點(diǎn)、的坐標(biāo),利用直線、的斜率相等證明出;(2)設(shè)點(diǎn)到直線、的距離分別為、,求出,利用相似得出,可得出的邊上的高,并利用弦長公式計(jì)算出,即可得出關(guān)于的表達(dá)式,結(jié)合不等式可解出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)設(shè)點(diǎn)、,則,直線的方程為:,由,消去并整理得,由韋達(dá)定理可知,,,代入直線的方程,得,解得,同理,可得,,,,代入得,因此,;(2)設(shè)點(diǎn)到直線、的距離分別為、,則,由(1)知,,,,,,同理,得,,由,整理得,由韋達(dá)定理得,,,得,設(shè)點(diǎn)到直線的高為,則,,,,解得,因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.本題考查直線與直線平行的證明,考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法,考查拋物線、直線方程、韋達(dá)定理、弦長公式、直線的斜率等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想,是難題.20.(1)(2)當(dāng)時(shí),的取值范圍為;當(dāng)時(shí),的取值范圍為.【解析】
(1)當(dāng)時(shí),分類討論把不等式化為等價(jià)不等式組,即可求解.(2)由絕對(duì)值的三角不等式,可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取“”,分類討論,即可求解.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,不等式可化為或或,解得不等式的解集為.(2)由絕對(duì)值的三角不等式,可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取“”,所以
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