2024年高考數學專項復習：圓錐曲線中的二級結論及應用（解析版）

2024年高考數學專項復習圓錐曲線中的二級

結論及應用(解析版)

圓錐曲線中的二級結論及應用

圓錐曲線有許多形式結構相當漂亮的結論,記住圓錐曲線中一些二級結論，能快速擺平一切

圓錐曲線壓軸小題。

L設P點是橢圓考■+%=l(a>6>0)上異于長軸端點的任一點，E、后為其焦點,記/瓦PE=依則

ab~

(1)|P)|P￡|=J：4；(3)e-.

1+cosJ2smZPr^2+smZ

2.設P點是雙曲線考■—<=l(a>0,b>0)上異于實軸端點的任一點，用，區(qū)為其焦點，記NF[PF2=e,則

ab

⑴冏"%⑵S'?產心；⑶

3.設4B為圓錐曲線關于原點對稱的兩點，點P是曲線上與4石不重合的任意一點，則

4.設圓錐曲線以,yo)(y°于0)為中點的弦AB所在的直線的斜率為k.

(1)圓錐曲線為橢圓至^+=1(Q>b>0)，則kAB=5^AB'^OM~e2—1.

abaJ。

2

(2)圓錐曲線為雙曲線馬—%—l(a>0,b>0),則kAB=&"o,kAB-kOM=e—1.

abay0

⑶圓錐曲線為拋物線y2=2Pxe>0)，則kAB=￡.

y。

5.過橢圓名+￡=l(a>b>0)的右焦點F且傾斜角為a(a/90°)的直線交橢圓于A,B兩點，且|力|=

a2b2

4屈I,則橢圓的離心率等于八弋1—.

(只+IJcosdf

6.過雙曲線蕓—%=l(a>0,6>0)的右焦點F且傾斜角為a(a豐90°)的直線交雙曲線右支于A,B兩點，

ab

且I瓦^|=可麗I,則雙曲線的離心率等于一，二1—.

+ljcosdf

7.過拋物線y2=2Pxe>0)的焦點F傾斜角為，的直線交拋物線于A,B兩點,則兩焦半徑長為,,“,

1—cost/

P1.1-22P_p2

l+cos^wW7'12^?"

1.已知雙曲線E的中心為原點，F(xiàn)(3,0)是E的焦點，過戶的直線Z與E相交于A,B兩點，且AB的中點為“

(―12,—15),則E的方程為()

2222221

AX#_1XyXyXy

A-9一瓦—1BR.7—豆—1Cn.g—9—1nD.口—彳―1

2.已知雙曲線E的中心為原點，F(xiàn)(l,0)是E的焦點，過F的直線Z與E相交于A,6兩點且AB的中點為

N(—4,—5),則雙曲線E的漸近線的方程為()

A.Vbx±2y=0B.2x±V5y—0C.4±±59=0D.5x+4：y—0

3.已知橢圓A+學=l(a>b>0)的離心率為e=坐，經過右焦點且斜率為k(k>0)的直線交橢圓于4

ab2

B兩點，已知力=3而，則％=()

A.1B.V2C.V3D.2

4.如圖,過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于點A,B,交其準線，于點。，若F是AC的中

點，且以同=4,則線段AB的長為()

「16D.日

A.5B.6C-T

O

5.(2021.貴州.遵義師范學院附屬實驗學校高二期末(文))已知A,B分別為雙曲線C：名-￡■=l(a>0,b

ab

>0)的左、右頂點，P是。上一點,且直線AP,BP的斜率之積為2,則。的離心率為

A.V2B.V3C.V5D.V6

6.已知雙曲線。：孚—率=l(k>0)的左、右焦點分別為月，月,且/月/與=等，則△用P￡的面積為(

K53

).

A.V2B.V3C.5V3D.6

7.設橢圓與+*=l(a>b>0)的左,右頂點分別為A,5,點P在橢圓上異于A,8兩點，若AP與BP的斜

ab

率之積為一］，則橢圓的離心率為()?M

A.：B。C.卓D.

Jz/

8.在橢圓9=1上，△PR月為焦點三角形，如圖所示.

23y

(1)若。=60°,則4PFM的面積是；

(2)若&=45°,B—75°,則橢圓離心率e=.

9.(2022.荊州模擬)已知P是橢圓(+y2：1上的一點，回，月是橢圓的兩個焦點，當中邑=時，則

△PEE的面積為.

10.已知橢圓。:考■+*=l(a>b>0)的左口右頂點分別為A、B,點P在橢圓上且異于A、B兩點，。為坐標

CLb2

原點,若直線AP與BP的斜率之積為-十,則橢圓。的離心率為

11.已知一條過點P(2,l)的直線與拋物線y2=2c交于4B兩點，P是弦AB的中點,則直線AB的斜率為

12.已知橢圓E的中心為原點，F(xiàn)(3,0)是E的焦點，過F的直線，與E相交于46兩點，且AB中點為

M(2,-l)，則E的離心率e=.

13.過雙曲線—蕓=1的右焦點歹，作直線I交C的兩條漸近線于48兩點，A,B均位于9軸右側，且

a2b2

滿足AF=V3FB,O為坐標原點，若AOFA=120°,則雙曲線C的離心率為

14.設F為拋物線C：靖=3,的焦點,過F且傾斜角為30。的直線交。于4B兩點，。為坐標原點,則為

15.設F為拋物線C-.靖=16x的焦點，過F且傾斜角為？的直線交。于A、B兩點，。為坐標原點，則△AOB

0

的面積為O

???

圓錐曲線中的二級結論及應用

圓錐曲線有許多形式結構相當漂亮的結論,記住圓錐曲線中一些二級結論，能快速擺平一切

圓錐曲線壓軸小題。

1.設P點是橢圓4+*=l(a>6>0)上異于長軸端點的任一點，E、后為其焦點,記/理?同=依則

ab~

2

(1)|PE||P￡|=J：(2)SApF1F2=fetan4；(3)e=.

1+cosJ2smZFr^2+smZ

2.設P點是雙曲線考■—4=l(a>0,b>0)上異于實軸端點的任一點，用，耳為其焦點,記4F[PF2=e,則

ab

⑴冏"%=f；⑵S'?尸心；⑶-J詈瑞西.

3.設為圓錐曲線關于原點對稱的兩點，點P是曲線上與4B不重合的任意一點，則%收《成=62—1.

4.設圓錐曲線以M(x0,%0)為中點的弦AB所在的直線的斜率為k.

2272

=2

(1)圓錐曲線為橢圓~\Q—1(Q>b>0)，則kAB=丁匕^AB,^OM6—1.

abaJ。

2

(2)圓錐曲線為雙曲線馬—%—1(。>0,b>0),則kAB=匕*o，kAB-kOM=e—1.

abay0

⑶圓錐曲線為拋物線y2=2PMp>0)，則kAB=￡.

y。

5.過橢圓名+%=l(a>b>0)的右焦點F且傾斜角為a(a/90°)的直線交橢圓于A,B兩點，且|力|=

a2b2

4屈I,則橢圓的離心率等于八弋1—.

(只+IJcosdf

6.過雙曲線考■—%=l(a>0,6>0)的右焦點F且傾斜角為a(a豐90°)的直線交雙曲線右支于A,B兩點，

ab

且|力|=可麗I,則雙曲線的離心率等于一，二1—.

+ljcosdf

7.過拋物線y2=2Pxe>0)的焦點F傾斜角為。的直線交拋物線于A,B兩點,則兩焦半徑長為,,“,

1—cost/

P1.1-22P_p2

l+cos^WW-7'12^?"

1.已知雙曲線E的中心為原點，F(xiàn)(3,0)是E的焦點，過戶的直線Z與E相交于A,B兩點，且AB的中點為“

(―12,—15),則E的方程為()

AX2#_1X2y2X2y2X2y1

A-9一瓦—1BR.7—豆—1Cn.g—9—1Dn.口—彳―1

【答案】B

【解析】由題意可知k=-方-?=i,k=-q■，由雙曲線中點弦中的斜率規(guī)律得%。?卜廿

AB—12—oMO—12—U4

與■，即,=與■，又9=/+/,聯(lián)立解得a2=4,b2—5,故雙曲線的方程為鄉(xiāng)=L

2

a4a45

2.已知雙曲線E的中心為原點，F(xiàn)(l,0)是E的焦點，過F的直線Z與E相交于A,B兩點且AB的中點為

N(—4,—5),則雙曲線E的漸近線的方程為()

A.Vbx+2y—0B.2a?±V5y—0C.4c±5y=0D.5a:±4y=0

【答案】A

2

【解析】kAB=一7?=1,kON=二^，由結論kOM=e-l

e?—1=■|~看=4b2=5a2,可得雙曲線的漸近線方程為c±2g=0,故選：A.

3.已知橢圓《+鳥=l(a>b>0)的離心率為e=空,經過右焦點且斜率為fc(fc>0)的直線交橢圓于4

ab2

B兩點，已知血=3屈，則％=()

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】B

【解析】=3,由結論可得，e=^~,由規(guī)律得^^-cosa=-|—y,cosa=^~,fc=tana=V2.

乙ZD十_LO

4.如圖,過拋物線/=2Pxe>o)的焦點F的直線交拋物線于點4B,交其準線,于點。，若F是AC的中

點,且以同=4,則線段的長為()

【答案】C?M

【解析】因為+總寸=2,|4F|=4,所以|朋=所以|AB|=\AF\+|期=4+今=當

\AF\\BF\p333

5.（2021.貴州.遵義師范學院附屬實驗學校高二期末（文））已知A,B分別為雙曲線C：名—學=l（a>0,6

ab

>0）的左、右頂點，P是。上一點,且直線AP,BP的斜率之積為2,則。的離心率為

A.V2B.V3C.V5D.V6

【答案】B

2

【解析】由結論可得KAP-kPB=e-l=2,e=故選B

6.已知雙曲線C：單-*=l（k>0）的左、右焦點分別為用，且/取字=等,則△取坐的面積為（

K53

）.

A.V2B.V3C.5V3D.6

【答案】。

【解析】由<—當=>0）,6=0，/號P￡=4.由結論可知=5V3.

k53tanf

7.設橢圓司+烏=l（a>b>0）的左,右頂點分別為A,5,點P在橢圓上異于A,8兩點，若AP與BP的斜

率之積為一方,則橢圓的離心率為（）

A.[B.4C.乎D.容

3222

【答案】空

22

【解析】kAP-kBP="e—1="e=e=

8.在橢圓1+4=1上，△?用E為焦點三角形，如圖所示.

259

⑴若。=60°,則4PFE的面積是；

（2）若^=45°,0=75°,則橢圓離心率e=.

【答案】（1）3/（2）汽短

2

【解析】⑴由結論得S^=,即SAP”2=3A/3.

PF1F26tan???

(2)由公式e=sin(a+0)_等2「=①手.

sina+sm￡sin45+sin752

2

9.(2022.荊州模擬)己知P是橢圓與+y=1上的一點，耳,月是橢圓的兩個焦點，當AFXPF2=看時，則

4O

△PE月的面積為.

【答案】空

O

【解析】由結論可得：S=b2tan-^-，可得S=1-tan-^-=

263

10.已知橢圓。：弓+與=1(。>b>0)的左口右頂點分別為4點P在橢圓上且異于A、B兩點，O為坐標

ab

原點,若直線AP與BP的斜率之積為-十,則橢圓。的離心率為.

【答案】乎

【解析】kAP-kBp=-■:

22

KAP-kPB=e—1=—■手,e=e=,所以橢圓的離心率e=

11.己知一條過點F(2,l)的直線與拋物線y2=2/交于4B兩點，P是弦AB的中點,則直線AB的斜率為

【答案】1

【解析】由結論可知kAB=—=1

yo

12.已知橢圓H的中心為原點，F(xiàn)(3,0)是E的焦點，過