高考數(shù)學總復習（基礎(chǔ)知識+高頻考點+解題訓練）古典概型

古_典_概—型

1基礎(chǔ)知識要打牢強雙基I固本源I得基礎(chǔ)分I掌握程度

［知識能否憶起］

一、基本事件的特點

1.任何兩個基本事件是互用的.

2.任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.

二、古典概型的兩個特點

1.試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有直限個，即有限性.

2.每個基本事件出現(xiàn)的可能性相筆，即等可能性.

［提示］確定一個試驗為古典概型應(yīng)抓住兩個特征：有限性和等可能性.

三、古典概型的概率公式

/包含的基本事件的個數(shù)

尸（力）=-基本事件的總數(shù)--

［小題能否全?。?/p>

1.（教材習題改編）從甲、乙、丙三人中任選兩名代表，甲被選中的概率為（）

11

A.~B.~

2

C.-D.1

9

解析：選c基本事件總數(shù)為（甲、乙）、（甲、丙）、（乙、丙）共三種，甲被選中共2種.則尸

2.（教材習題改編）從1,2,3,4,5,6六個數(shù)中任取2個數(shù)，則取出的兩個數(shù)不是連續(xù)自然數(shù)的概率是

（）

解析：選D從六個數(shù)中任取2個數(shù)有15種方法，取出的兩個數(shù)是連續(xù)自然數(shù)有5種情況，則取出的

59

兩個數(shù)不是連續(xù)自然數(shù)的概率P=

100

3.甲、乙兩同學每人有兩本書，把四本書混放在一起，每人隨機拿回兩本，則甲同學拿到一本自己

書一本乙同學書的概率是（

解析：選B記甲同學的兩本書為4B,乙同學的兩本書為cD,則甲同學取書的情況有4?,AC,

AD,BC,BD、5共6種，有一本自己的書，一本乙同學的書的取法有HAD,BC,劭共4種，所求概率

2

p=-

3-

4.（?南通一調(diào)）將甲、乙兩球隨機放入編號為1,2,3的3個盒子中，每個盒子的放球數(shù)量不限，則

在1,2號盒子中各有一個球的概率為.

解析：依題意得，甲、乙兩球各有3種不同的放法，共9種放法，其中有1,2.號盒子中各有一個球的

2

放法有2種，故有1,2號盒子中各有一個球的概率為百

答案

5.（教材習題改編）從3臺甲型彩電和2臺乙型彩電中任選兩臺，其中兩種品牌的彩電齊全的概率是

H33X23

解析：J。=亨

答案：|

1.古典概型的判斷：

一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特征一一有限性和等可能性，只有

同時具備這兩個特點的概率模型才是古典概型.

2.對于復雜的古典概型問題要注意轉(zhuǎn)化為幾個互斥事件的概率問題去求.

仞_高頻考點要通關(guān)

得拔高分I掌握程度

GAOPINKA0D1ANYAO

簡單的古典概型

典題導入

[例1]（?安徽高考）袋中共有6個除了顏色外完全相同的球，其中有1個紅球、2個白球和3個黑

球.從袋中任.取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率等于（)

［自主解.答］（文）設(shè)袋中紅球用a表示，2個白球分別用力友表示，3個黑球分別用以Q,小表示,

則從袋中任取兩球所含基本事件為（a,加，（a,bi）,（.a,ci）,（a,a）,（a,c3）,（A,&）,（&,a）,

（A,C2）,（bl,C3）,（&,Cl）,（Z>1,C2）,（壇C3）,（Cl,C2）,（Cl,C3）,（C2,C3）共15個.

兩球顏色為一白一黑的基本事件有（%。），?c2）,?a）,（生。），（壇a）,（生㈤共6個.

62

因此其概率為正=E

J.u0

62

（理）從6個球中任取兩球有第=15種取法，顏色一黑一白的取法有C；C；=6種，故概率-=玄=己

L0U

［答案］B

?>一題多變

在本例條件下，求兩球不同色的概率.

解：兩球不同色可分三類：一紅一白，一紅一黑，一白一黑.

1X2+1X3+2X311

故尸=

1515-

由題悟法

計算古典概型事件的概率.可分三步：

（1）算出基本事件的總個數(shù)〃；（2）求出事件/所包含的基本事件個數(shù)必；（3）代入公式求出概率戶.

以題試法

1.數(shù)”是指每個數(shù)字比其左邊的數(shù)字大的自然數(shù)（如1469）,在兩位的“<數(shù)”中任取一個數(shù)比

36大的概率是（）

12

-R-

AC.23

34

--

4D.5

解析：選A在兩位數(shù)中，十位是1的“<數(shù)”有8個；十位是2的“〈數(shù)”有7個；……；十位是

8的“〈數(shù)”有1個.則兩位數(shù)中，“〈數(shù)”共有8+7+6+5+4+3+2+1=36個，比36大的“〈數(shù)”

共有3+5+4+3+2+1=18個.故在兩位的“<數(shù)”中任取一個數(shù)比36大的概率是II=5

復雜的古典概型

典題導入

［例2］(?江西高考)如圖所示，從4(1,0,0所示(2,0,0),區(qū)(0,1,0)

民(0,2,0),G(0,0,1),G(0,0,2)這6個點中隨機選取3個點.

(1)求這3點與原點。恰好是正三棱錐的四個頂點的概率；

(2)求這3點與原點。共面的概率.

［自主解答］(文)從這6個點中隨機選取3個點的所有可能結(jié)

x軸上取2個點的有44凡AM,44G,AM,共4種;

y軸上取2個點的有合54,BBAz,B.&G,8龍?共4種；

2軸上取2個點的有GG4,GGA2,QG&,GG&,共4種.

所選取的3個點在不同坐標軸上有AiBiG,AiBid,AiBiCi,A1.B2.C2.,AiB\Ci,AiB\Ci,A2&C1,A2,B1,Cz,共8

種.因此，從這6個點中隨機選取3個點的所有可能結(jié)果共20種.

(1)選取的這3個點與原點。恰好是正三棱錐的四個頂點的所有可能結(jié)果有A3,共2種,

21

因此，這3個點與原點。恰好是正三棱錐的四個頂點的概率為&=而=

(2)法一：選取的這3個點與原點。共面的所有可能結(jié)果有：44凡44G,44G,BBA、,B"

123

BBC、BBSGG4,GGA,GGA,GG&,共12種，因此，這3個點與原點。共面的概率為￡=m=三.

24U0

法二：選取的這3個點與原點不共面的所有可能的結(jié)果有46K,4AC,48G,AM,AM,

ABC、,A2&G,共8種，因此這3個點與原點。共面的概率為A=1-磊

乙Uu

(理)從這6個點中任取3個點可分三類：在x軸上取2個點、1個點、0個點，共有CQ+C抬+或=

20種取法.

21

⑴選取的3個點與原點。恰好是正三棱錐項點的取法有2種，概率R=—=—

123

(2)法一：選取的3個點與原點。共面的取法有心3=12種，所求概率2=m=與

乙UO

法二：選取的3個點與原點不共面的取法有C；?C；?以=8種，因此這3個點與原點。共面的概率P2

83

—1——二一

205,

由題悟法

求較復雜事件的概率問題，解題關(guān)鍵是理解題目的實際含義，把實際問題轉(zhuǎn)化為概率模型.必要時將

所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和，或者先求其對立事件的概率，進而再用互斥事件的概率加法公式或

對立事件的概率公式求解.

以題試法

2.一個小朋友任意敲擊電腦鍵盤上的0到9十個鍵，則他敲擊兩次（每次只敲擊一個數(shù)字鍵）得到的

兩個數(shù)字恰好都是3的倍數(shù)的概率為（）

解析：選A任意敲擊兩次有10X.10=100種方法，兩次都是3的倍數(shù)有4X4=16種方法，故所求概

-164

率為P=同=后

劇|解題”季W(wǎng)F、駕CAOXIAO抓速度|抓規(guī)范|拒絕眼高手低|掌握程度

4級全員必做題

1.（-惠州調(diào)研）一個袋中裝有2個紅球和2個白球，現(xiàn)從袋中取出1個球，然后放回袋中再取出1

個球，則取出的2個球同色的概率為（）

11

A."B.-

12

C-4D-5

解析：選A把紅球標記為紅1、紅2,白球標記為白1、白2,本試驗的基本事件共有16個，其中2

個球同色的事件有8個：紅1,紅1,紅1、紅2,紅2、紅1,紅2、紅2,白1、白1,白1、白2,白2、

81

白1,白2、白2,故所求概率為P二m=5

2.（?雞西模擬）在40根纖維中，有12根的長度超過30mm,從中任取一根，取到長度超過30mm的

纖維的概率是（）

33

2

C.-D.以上都不對

解析：選B在40根纖維中，有12根的長度超過30mm,即基本事件總數(shù)為40,且它們是等可能發(fā)

3

生的，所求事件包含12個基本事件，故所求事件的概率為正.

3.（?宿州質(zhì)檢）一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子，其六個面上的點數(shù)分別為1、2、3、4、5、6,將這一

顆骰子連續(xù)拋擲三次，觀察向上的點數(shù)，則三次點數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列的概率為（）

r—D—

36108

解析：選A基本事件總數(shù)為6X6X6,事件“三次點數(shù)依次成等差數(shù)列”包含的基本事件有(1,1,1),

(1,2,3),(3,2,1),(2,2,2),(1,3,5),(5,3,1),(2,3,4),(4,3,2),(3,3,3),(2,4,6),(6,4,2),(3,4,5),

181

(5,4,3),(4,4,4),(4,5,6),(6,5,4),(5,5,5),(6,6,6)共18個,所求事件的概率尸=人乂乂尸石

0A0AO1Z

4.已知某車間在三天內(nèi)，每天生產(chǎn)10件某產(chǎn)品，其中第一天，第二天分別.生產(chǎn)出了1件，〃件次品,

而質(zhì)檢部每天要從生產(chǎn)的10件產(chǎn)品中隨意抽取4件進行檢查，若發(fā)現(xiàn)有次品，則當天的產(chǎn)品不能通過.則

第一天通過檢查的概率為()

解析：選B因為隨意抽取4件產(chǎn)品檢查是隨機事件，而第一天有1件次品，所以第一天通過檢查的

概率2=標=|.

5.(?寧波模擬)設(shè)aG{1,2,3,4},bE{2,4,8,12),則函數(shù)f(x)=f+ax-6在區(qū)間［1,2］上有零點

的概率為()

15

-B-

A.28

I13

X

---

I64

XD.

解析：選C因為/>(X)=x'+ax-6,所以F'(x)=3x'+a.因為aG{1,2,3,4},因此F'(x)>0,所

1WO,

以函數(shù)f(x)在區(qū)間［1,2］上為增函數(shù).若存在零點，貝1J解得a+lW6W8+2a因此可使函

〔才2三。，

數(shù)在區(qū)間［1,2］上有零點的有a=1,2W6W10,故6=2,6=4,6=8；a=2,3W6W12,故6=4,6=8,b

=12；a=3,4W6W14,故6=4,b=8,6=12；a=4,5W6W16,故6=8,6=12.根據(jù)古典概型可得有零

點的概率為

6.某種飲料每箱裝6聽，其中有4聽合格，2聽不合格，現(xiàn)質(zhì)檢人員從中隨機抽取2聽進行檢測，則

檢測出至少有一聽不合格飲料的概率是()

解析：選B從“6聽飲料中任取2聽飲料”這一隨機試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件共有15個，而

93

“抽到不合格飲料”含有9個基本事件，所以檢測到不合格飲料的概率為戶=正=三

J.UU

7.（?南京模擬）從分別寫有0,1,2,3,4的五張卡片中取出一張卡片，記下數(shù)字后放回，再從中取出

一張卡片.則兩次取出的卡片上的數(shù)字之和恰好等于4的概率是.

解析：從0,1,2,3,4五張卡片中取出兩張卡片的結(jié)果有25種，數(shù)字之和恰好等于4的結(jié)果有.（0,4）,

（1,3）,（2,2）,（3,1）,（4,0）,所以數(shù)字和恰好等于4的概率是

0

1

答

案5-

8.（?重慶高考）某藝校在一天的6節(jié)課中隨機安排語文、數(shù)學、外語三門文化課和其它三門藝術(shù)課

各1節(jié)，則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間至少間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為（用數(shù)字作答一）.

解析：基本事件是對這6門課排列，故基本事件的個數(shù)為葭“課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間至少間

隔1節(jié)藝術(shù)課”就是“任何兩節(jié)文化課不能相鄰”，利用“插空法”，可得其排列方法種數(shù)為A認;.根據(jù)古

A3A3

典概型的概率計算公式可得事件“課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間至少間隔1節(jié)藝術(shù)課”發(fā)生的概率為六

1

-5-

1

答

案5-

9.（?江蘇高考）現(xiàn)有10個數(shù)，它們能構(gòu)成一個以1為首項，-3為公比的等比數(shù)列，若從這10個數(shù)

中隨機抽取一個數(shù)，則它小于8的概率是—.

解析：由題意得當=易知前10項中奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，所以小于8的項為第一項和

偶數(shù)項，共6項，即6個數(shù)，所以戶=白=1

J.Uu

答案

10.暑假期間，甲、乙兩個學生準備以問卷的方式對某城市市民的出行方式進行調(diào)查.如圖是這個城

市的地鐵二號線路圖（部分），甲、乙分別從太平街站（用A表示）、南市場站（用6表示）、青年大街站（用C

表示）這三站中，隨機選取一站作為調(diào)查的站點.

城市地鐵二號線路圖

一

。

中

懷

■?-*青

太

街

南

遠

年

平

站

市

門

大

街

場

站

街

站

站

站

（1）求甲選取問卷調(diào)查的站點是太平街站的概率;

(2)求乙選取問卷調(diào)查的站點與甲選取問卷調(diào)查的站點相鄰的概率.

解：(1)由題知，所有的基本事件有3個，甲選取問卷調(diào)查的站點是太平街站的基本事件有1個，所

以所求事件的概率

(2)由題知，甲、乙兩人選取問卷調(diào)查的所有情況見下表：

XAB.c

A(4A)(4B)(4。

B(B,A)(B,B)(B,。

C(C,A)(CS(C。

由表格可知，共有9種可能結(jié)果，其中甲、乙在相鄰的兩站進行問卷調(diào)查的結(jié)果有4種，分別為(4

4

面，(6,A),(B,。，(C,.因此乙選取問卷調(diào)查的站點與甲選取問卷調(diào)查的站點相鄰的概率為a

y

11.(?濟南模擬)將一個質(zhì)地均勻的正方體(六個面上分別標有數(shù)字0,1,2,3,4,5)和一個正四面體(四

個面分別標有數(shù)字1,2,3,4)同時拋擲1次，規(guī)定“正方體向上的面上的數(shù)字為a,正四面體的三個側(cè)面上

的數(shù)字之和為6”.設(shè)復數(shù)為z=a+bi.

(1)若集合A={z|z為純虛數(shù)},用列舉法表示集合A；.

(2)求事件“復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點(a,?滿足a?+(6-6)2《9”的概率.

解：(1)71={6i,7i,8i,9i}.

(2)滿足條件的基本事件的個數(shù)為24.

設(shè)滿足“復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點(a,6)滿足(6-6)2W9”的事件為B.

當a=0時,6=6,7,8,9滿足/+(力-6)2/9；

當a=l時，6=6,7,8滿足￡+(6-6)2?9；

當a=2時，6=6,7,8滿足a?+(6-6)2W9；

當a=3時，6=6滿足J+(6-6)2W9.

即一為(0,6),(0,7),(0,8),(0,9),(1,6),(1,7),(1,8),(2,6),(2,7),(2,8),(3,6)共計11

個.

所以所求概率P=^.

12.(?福州模擬)已知/、B、C三個箱子中各裝有2個完全相同的球，每個箱子里的球，有一個球標

著號碼1,另一個球標著號碼2.現(xiàn)從4B、C三個箱子中各摸出1個球.

⑴若用數(shù)組(x,Z力中的x,y,z分別表示從4B、C三個箱子中摸出的球的號碼，請寫出數(shù)組(x,

y,力的所有情形，并回答一共有多少種；

(2)如果請您猜測摸出的這三個球的號碼之和，猜中有獎，那么猜什么數(shù)獲獎的可能性最大？請說明

理由.

解：(1)數(shù)組(X,y,Z)的所有情形為(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),⑵1,2),(2,2,1),

(2,2,2),共8種.

(2)記“所摸出的三個球號碼之和為F為事件4(?=3,4,5,6),易知，事件4包含有1個基本事件，

事件4包含有3個基本事件，事件4包含有3個基本事件，事件4包含有1個基本事件，所以，戶(4)=1,

331

戶(4)=-,戶(4)P(A)=-.故所摸出的兩球號碼之和為4或5的概率相等且最大.

OOO

故猜4或5獲獎的可能性最大.

B級重點選做題

22

1.(?溫州十校聯(lián)考)從其中見{-1,2,3})所表示的圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)

方程中任取一個，則此方程是焦點在x軸上的雙曲線方程的概率為()

14

A.B.y

23

C.gDq

Xy

解析：選B當方程刀-亍=1表示橢圓、雙曲線、拋物線等圓錐曲線時，不能有〃<0,n>Q,所以方

x2v2

程刀-彳=1表示橢圓雙曲線、拋物線等圓錐曲線的E,血有⑵-1),(3,-1),(2,2),(3,2),(2,3),

(3,3),(-1,-1)共7種，其中表示焦點在x軸上的雙曲線時,貝IJR>0,7?>0,有(2,2),(3,2),(2,3),

4

⑶3)共4種，所以所求概率尸

2設(shè)連續(xù)擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為以〃則直線與圓(x-3)，/=1相交的概率為.

解析：由題意知,0G{1,2,3,4,5,6},nE{1,2,3,4,5,6},故(@/所有可能的取法共36種.

由直線與圓的位置關(guān)系得，d=產(chǎn)1，即?〈坐共有;，7.I,I,I,5種，所以直線y=%

/勿+/JII+OT：OOOII

5

與圓(x-3)2+/=1相交的概率為詬.

答案,—

口木.36

3.(?天津高考)某地區(qū)有小學21所，中學14所，大學7所，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學校中

抽取6所學校對學生進行視力調(diào)查.

(D求應(yīng)從小學、中學、大學中分別抽取的學校數(shù)目；

(2)若從抽取的6所學校中隨機抽取2所學校做進一步數(shù)據(jù)分析，

①列出所有可能的抽取結(jié)果；

②求抽取的2所學校均為小學的概率.

91

解：⑴由分層抽樣定義知，從小學中抽取的學校數(shù)目為6X―^=3；從中學中抽取的學校數(shù)目

147

為6*=2；從大學中抽取的學校數(shù)目為6X=1因此，從小學、中學'大學中分別抽

乙5_L十￡工4勺：十+(7乙1.十J.一：“十/+14+7?

取的學校數(shù)目為3,2,1.

(2)①在抽取到的6所學校中，3所小學分別記為4,4,4.2所中學分別記為4,4,大學記為4,

則抽取2所學校的所有可能結(jié)果為{4,4},{4,A3},{Ai,4},{4,4},{4,4},{4,4},{4,4},

{A,4},{4,4},{4,4},{4,4},{4,4},{4,4},{4,4},{4,4}共