江蘇省鹽城2024高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月聯(lián)考試題

江蘇省鹽城2024高三上學(xué)期四校聯(lián)考

數(shù)學(xué)試卷

（考試時(shí)間：120分鐘，滿分：150分）2024.12.15

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知集合4={彳|-1<%<3},B=,則Ac3=（）

A.（-l,+oo）B.（L3）C.（-1,1）D.（1,+co）

2.下列說法正確的是（）

A.圓（x-iy+（y-2）2=5的圓心為（1,2）,半徑為5

B.圓（x+2）2+y2=Zj2（bwO）的圓心為（-2,0）,半徑為6

C.圓（x-石『+卜+夜『=2的圓心為（血「后），半徑為血

D.圓（％+2）2+（丁+2）2=5的圓心為（2,2）,半徑為百

3.已知向量m”（2,小，〃〉O,b>0,則下列說法正確的是（）

A.若Q+/?=1,則加.〃有最小值5+26B.若必=1,則“九有最小值幾

C.若m〃n，則叫式次,）的值為TD.若加則的值為1

3

4.2024年4月29日，中國空間站天和核心艙放射升空，這標(biāo)記著中國空間站在軌組裝建立全

面綻開，我國載人航天工程“三步走”戰(zhàn)略勝利邁出第三步.到今日，天和核心艙在軌已經(jīng)九個(gè)

多月.在這段時(shí)間里，空間站關(guān)鍵技術(shù)驗(yàn)證階段完成了5次放射、4次航天員太空出艙、1次載人

返回、1次太空授課等任務(wù).一般來說，航天器繞地球運(yùn)行的軌道近似看作為橢圓，其中地球的

球心是這個(gè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，我們把橢圓軌道上距地心最近（遠(yuǎn)）的一點(diǎn)稱作近（遠(yuǎn)）地點(diǎn)，近

（遠(yuǎn)）地點(diǎn)與地球表面的距離稱為近（遠(yuǎn)）地點(diǎn)高度.已知天和核心艙在一個(gè)橢圓軌道上飛行，

它的近地點(diǎn)高度大約351km,遠(yuǎn)地點(diǎn)高度大約385km,地球半徑約6400km,則該軌道的離心率為

（）

,17.17八385r6785

A.----B.---C.---D.-----

676836873613536

5.把一條線段分為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比，其比值是一

個(gè)無理數(shù)避二1,由于按此比例設(shè)計(jì)的造型非常漂亮柔軟，因此稱為黃金分割，黃金分割不僅

2

僅體現(xiàn)在諸如繪畫、雕塑、音樂、建筑等藝術(shù)領(lǐng)域，而且在管理、工程設(shè)計(jì)等方面也有著不行忽

視的作用在一ASC中，點(diǎn)。為線段BC的黃金分割點(diǎn)（3￡>>DC）,AB=2,AC=3,ZBAC=60°,

AD-BC=（）

,76-9R9-76R9A/5-7n7-96

2222

6.如圖，由于建筑物的底部8是不行能到達(dá)的，/為建筑物的最高點(diǎn)，須要測量43先實(shí)行

如下方法，選擇一條水平基線的,使得〃，G,8三點(diǎn)在一條直線上，在G,〃兩點(diǎn)用測角儀測得

4的仰角為a,P,CD=a,測角儀器的高度是力，則建筑物46的高度為（

asinPasma

A'sin(a_Q)B，sin((z-^)+h

asinasin￡asinasin0

C——----3+/7z+h

?sin(a一夕)D.COS(6Z-y0)

7.已知數(shù)列｛4｝是公比不等于±1的等比數(shù)列，若數(shù)列｛。“｝,｛（-1）

,2的前2024項(xiàng)的和分別為如8-m,20,則實(shí)數(shù)r的值（

A.只有1個(gè)B.有2個(gè)C.無法確定D.不存在

8.若x,ye(0,+oo),x+lnx=e>+siny,則()

A.ln(%—y)<0B.ln(y-x)>0C.x<eyD.y<lnx

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.已知數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，則（）

A.數(shù)列。2，&，。8成等比數(shù)列

B.數(shù)列4%?4成等比數(shù)列

C.數(shù)列q+的，%+4，為+4成等比數(shù)列

D.數(shù)列弓+%+/，%+%+&，%+4+。9成等比數(shù)列

TT

10.函數(shù)/（x）=Asin（s+e）（0＞0,0＜。＜乃），力＞）圖像一個(gè)最高點(diǎn)是A（§,2）,距離點(diǎn)/最

TT

近的對稱中心坐標(biāo)為（7,0）,則下列說法正確的有（）

4

A.。的值是6

TTTT

B.xe（-二，/）時(shí)，函數(shù)/（x）單調(diào)遞增

1212

13乃

C.x=時(shí)函數(shù)"X）圖像的一條對稱軸

12

D.Ax）的圖像向左平移。（。＞0）個(gè)單位后得到g（x）圖像，若g（元）是偶函數(shù)，則。的最小

值是g

6

11.已知函數(shù)無），g（x）的定義域均為R,它們的導(dǎo)函數(shù)分別為（（無），g'（x）.若—1）

是奇函數(shù)，g'（x）=cos（G）,/（%）與8（尤）圖象的交點(diǎn)為（孫川，（如明），…，（為“，%,），

則（）

A.f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（TO）對稱B.尸⑺的圖象關(guān)于直線x=l對稱

c.g(x)的圖象關(guān)于直線X=g對稱D.Z(x,+M)=7”

i=\

12.已知正四面體/靦的棱長為2拒，其外接球的球心為"點(diǎn)￡滿意4E=XAB(O<4<1),

CF=juCD(O<〃<1),過點(diǎn)￡作平面?平行于/C和BD,平面a分別與該正四面體的棱BC,CD,

49相交于點(diǎn)四G,H,則()

A.四邊形砌組的周長為是改變的

64

B.四棱錐A-的體積的最大值為

781T

C.當(dāng)2=1時(shí)，平面a截球。所得截面的周長為叵兀

42

14

D.當(dāng)4=〃=萬時(shí)，將正四面體/及力繞斯旋轉(zhuǎn)90。后與原四面體的公共部分體積為1

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知i為虛數(shù)單位，且復(fù)數(shù)z滿意：z.i=l-2i,則復(fù)數(shù)z的模為.

14.若直線心2x+ay-2=0與直線小尤-y+a=0平行，則直線人與4之間的距離為

15.已知曲在尤=1處的切線與直線》u+y+2=0垂直，則實(shí)數(shù)機(jī)=.

16.有一張面積為8近的矩形紙片A5cD，其中。為AB的中點(diǎn)，為8的中點(diǎn)，將矩形

ABC。繞。?旋轉(zhuǎn)得到圓柱。Q,如圖所示，若點(diǎn)M為8C的中點(diǎn)，直線AM與底面圓。所

成角的正切值為正，跖為圓柱的一條母線(與AD,BC不重合)，則當(dāng)三棱錐

4

的體積取最大值時(shí)，三棱錐A-■/外接球的表面積為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.已知函數(shù)f(x)=cosx(sin,r-A/3COSX)(XeR).

⑴求〃力的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間;

⑵在ABC中，角A,3,C的對邊分別為a,6,c.若(。=_字b=6,求ABC的面積的

最大值.

13

18.在①S"=”2+］“+/；②％=3,4,4,%成等比數(shù)列；③2s.=片+%-2；這三個(gè)條件中

任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面試題的空格處中并作答.

已知｛%｝是各項(xiàng)均為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為乂，且___________.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)定義在數(shù)列｛4｝中，使Iog3(%+1)為整數(shù)的叫做“調(diào)和數(shù)”，求在區(qū)間［1,2024］內(nèi)全部

“調(diào)和數(shù)”之和

19.如圖所示，在三棱錐/-比》中，已知平面平面BCD,且BD=?AD=6,AB=2叵,

BCLAC.

(1)證明：兆工平面4①；

⑵若點(diǎn)尸為棱"的中點(diǎn)，AE=2EF，且CD=6,求平面

。應(yīng)與平面夾角的余弦值.

20.如圖，半徑為1的光滑圓形軌道圓。?、圓5外切于點(diǎn)M，點(diǎn)”是直線°02與圓02的交點(diǎn),

在圓形軌道。I、圓。2上各有一個(gè)運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)P，Q同時(shí)分別從點(diǎn)"、”起先逆時(shí)針繞軌道做勻

速圓周運(yùn)動，點(diǎn)尸，Q運(yùn)動的角速度之比為2：1,設(shè)點(diǎn)。轉(zhuǎn)動的角度為6,以。為原點(diǎn)，。。2

為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.

(1)若6為銳角且sin(6-=求尸、Q的坐標(biāo);

⑵求|尸。|的最大值.

21.定義橢圓+4=1(。＞6＞0)的''蒙日圓”的方程為爐+12=/+廿，已知橢圓c的長軸

ab

長為4,離心率為e=1.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和它的“蒙日圓”￡的方程；

⑵過“蒙日圓”￡上的隨意一點(diǎn)〃作橢圓C的一條切線M4,4為切點(diǎn)，延長協(xié)與“蒙日圓”￡

交于點(diǎn)。，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線隔切的斜率存在，且分別設(shè)為勺，&,證明：4?融為定值.

22.已知函數(shù)/(x)=2e*sinx-冰.(e是自然對數(shù)的底數(shù))

(1)若。=0,求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若0＜。＜6,試探討AM在(0,萬)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).(參考數(shù)據(jù)：一々4.8)

數(shù)學(xué)試卷參考答案

1.B2.C3.A4.A5.A6.C7.B8.C

解：設(shè)/(x)=x-sinx,x>0,則/(x)=l-cosx上。(不恒為零)，

故在(0,+刈上為增函數(shù)，故/(x)>/(0)=0,

所以x>sinx,故y>siny在(0,+oo)上恒成立，所以x+lnx<e>+y=e，+lne1

但g(x)=x+lnx為(0,+8)上為增函數(shù)，故無<e》即lnx<y,所以C成立，D錯(cuò)誤.

取了=€,考慮l+e=e>+siny的解，若yNe+1,貝ije，26叩>5>e+221+e-siny,沖突，

故y<e+l即y-尤<1,此時(shí)ln(y-x)<0,故B錯(cuò)誤.

取y=l,考慮尤+lnx=e+sinl,若x42,貝ljx+ln尤V2+ln2<3<e+,<e+sinl,沖突，

2

故x>2,此時(shí)此時(shí)ln(x-y)>0,故A錯(cuò)誤，

故選：C.

9.BD10.AD11.BC12.BD

【詳解】對于邊長為2的正方體ABCR-4臺￡。，則/頗為棱長為2&的正四面體，則球心

。即為正方體的中心，連接g2，設(shè)ACI42=N

,/BB,DD-8旦=。2，則B8QD為平行四邊形二3。用2,

又,：BD平面。，四，①平面a,，BQ平面a,

XVAC，平面1，ACIB,D,=N,AC,耳D/平面ABCQ,.?.平面a平面A耳CQ,

對A：如圖1,

?.?平面a;平面ABC",平面a「,平面ABC=EM,平面AgCp一平面ABC=AC,

：.EMAC,則生=二=1一X,即￡河=(1—X)AC=2夜(1一九)，

ACAB

同理可得：HEGMB、D\,HE=GM=2應(yīng)九，EMGHAC,EM=GH=26(1-入),

二四邊形包儂的周長L=EM+MG+G//+EH=4A6(定值)，A錯(cuò)誤；

對B：如圖1,由A可知：HEGMBR,HE=GM=2A/2A-EMGHAC,

EM=GH=2A/2（1-2）,

?.?ABCA為正方形，則AC，4A，為矩形,

依據(jù)平行可得：點(diǎn)4到平面。的距離［=4明=22,

故四棱錐A-EMGH的體積V=；x2Xx2仞義2&（1一#=T（3一分），則V'=g2（2-3彳），

VO<A<1,則當(dāng)0<4<］時(shí)，則S>0,V在［0,§J上單調(diào)遞增，當(dāng)］<2<1時(shí)，則V'<0,V

在［jl［上單調(diào)遞減，.?.當(dāng)2=|時(shí)，V取到最大值棟，

故四棱錐A-EMG"的體積的最大值為暮，B正確；

對C：正四面體4以力的外接球即為正方體A8|CR-A8G。的外接球，其半徑R=G，

設(shè)平面0截球。所得截面的圓心為a，半徑為廠，當(dāng)力=:時(shí)，則oq=；,

VOO；+r2=R2,則產(chǎn)一oo：=誓,

，平面a截球。所得截面的周長為2“=而n，C錯(cuò)誤；

對D：如圖2,將正四面體四（力繞環(huán)旋轉(zhuǎn)90。后得到正四面體ABiGS，設(shè)

A.IAD=P,AiCtIBD=K,BiClIBC=Q,BRIAC=N,

2=〃=g,則E,F,P,Q,K,N分別為各面的中心，

...兩個(gè)正四面體的公共部分為跳PQKN,為兩個(gè)全等的正四棱錐組合而成，

依據(jù)正方體可得：EP=M，正四棱錐K-PE。尸的高為:44,=1,

故公共部分的體積V=2匕^即/=2xgxlx0x0=：,D正確；

故選：BD.

解：設(shè)圓柱的高為〃，底面半徑為,，貝I2歷=80，即所=4點(diǎn).

因?yàn)橹本€■與底面圓。所成角的正切值為手，所以"手，即9叵

rh=4母

.連接BE,由題意得AELBE,AEVEF,

又BE「EF=E,所以A￡_L平面聞所，而A￡u平面A￡下，所以平面AER_L平面ME/.

過點(diǎn)“作MN_L跖于點(diǎn)N,則MN_L平面A￡戶.

設(shè)AE=a,BE=b,則1+62=16,

a+b

于是三棱錐A-￡W的體積匕EFM=-x-a^2^/2xb=—ab<—x~=^-,

EM323323

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=20時(shí)取等號，

設(shè)此時(shí)三棱錐A-￡W外接球的球心到平面AEF的距離為x,外接球半徑為R,

則1+4=2+(2行-x『，解得才二手，于是氏2=『+4=|+4=%，

所以當(dāng)三棱錐A-EFM的體積取最大值時(shí)，

三棱錐A—EFM外接球的表面積S=4兀R~=—n.故答案為：—兀.

22

17.解：(1)/(x)=cosxsinx-^/3cos2x=^sin2x-A/3x+C°S

cos2x-JmD-g???/(尤)的周期T=7l，

=lsin2v_V3

222I2

JIjijijIj?

由---F2far<2x<—+2kn,kwZ,得----\-kn<x<---卜hi,keZ

2321212

兀5兀

所以/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間是kn-—,hi+—,kez.

(2)==gpsin^--|^=0,又Be(0,兀)，二8=三，

,上=」=上=，=4若

由正弦定理有sinAsinCsin3sin三'

SAABC=—acsinB=—?4V3sinA?4括sinCsinB=12V3sinAsinC

=12A/3sinAsinf—7i-A|=12V3sinAcosA+—sinA=18sinAcosA+6gsin2A

=9sin2A+6gxi°s2A=6石sin[2A-工]+3出

???3』=9』，

當(dāng)2A-=g,即A=g時(shí)取得最大值.

623

另解：卜in[--*-*即sin（B-]）=O,又3?0,兀），：.2=三,

由弦定知：〃=Q2+c2-2QCCOS836=Q2+—2QCCOS—=a?+c2—etcN2ac—ac—cic,

3

即ac<36,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=6時(shí)，等號成立.

AS.ARC=—acsinB=^-ac<9A/3,?,?當(dāng)a=c=6時(shí)，（S=96.

△A6C24V''^max

i3

18.解：（1）選①解：因?yàn)?〃=/九之+^^十^,所以當(dāng)〃=1時(shí)，"I=S]=2+￡,

]3（13）

當(dāng)〃22,時(shí)=S“一S"_1=不〃2+-n+Z--（^-l）2+-（n-l）+r="+],

乙乙\乙乙J

因?yàn)椋?｝是各項(xiàng)均為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列，所以f=0,an=n+l.

選②解:因?yàn)閷ν?%成等比數(shù)列，所以解=%?%，

因?yàn)椋麨椋歉黜?xiàng)均為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,

a=a+d=3[勾=2,、

所以]（q2+2x"j.（q+6d）'所以口=1'所以％i+（〃T）dr+L

選③解：因?yàn)?3〃=%+〃〃—2,所以當(dāng)九=1時(shí),2s1=aj+4-2.

所以。；一％-2=0,所以〃1=2或4=-1,

因?yàn)椋?｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，所以。1=2,

又當(dāng)z?=2時(shí)，2s2=Q；+%—2,所以2（%+%）=〃；+2—2,所以2（2+g）=?；+2—2,

所以蠟一%-6=0,所以2=3或〃2=-2（舍去），

其公差1=%-4=1,所以%=4+（〃—l）d=〃+l.

（2）設(shè)b=log3（a“+l）,所以?！?3、-1,令1功42022,且6為整數(shù),

6767

又由log33=l,log33=729,log33=2187,log33<2022<log33,

所以6可以取1,2,3,4,5,6,此時(shí)為分別為3,一次一13-1,3,-13-13-1,

所以區(qū)間［1,2024］內(nèi)全部“調(diào)和數(shù)”之和

2345623456

Tn=（3'-1）+（3-l）+（3-l）+（3-l）+（3-l）+（3-1）=（3*+3+3+3+3+3）-6

U.6=1。86.

1-3

19.⑴證明：由條件可得%>2+A￡>2=Afi2,所以4?_L劭.

因?yàn)槠矫?應(yīng)LL平面及刀，平面力劭n平面及力=初，

所以兒LL平面及所以4LL及7.XBCLAC,AC^AD=A,所以比人平面4az

⑵解：因?yàn)榧?_L平面/切，所以員工".所以叱目.

以「為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CD,"分別為x,y軸，過點(diǎn),且垂直于平面版的直線為z軸建立如圖

所示的空間直角坐標(biāo)系，

則C(0,0,0),。(括,0,0),2(0,石,0),A(A/3,0,^2),F0,-^-,0,E

\7\/

-~，-Q--o-1,

則cr)=(若,0,0),CE=

I355

n-CD==0

設(shè)平面建的法向量為H=(%y,z),則73V3V2

n?CE=——x+-^―yH-----z=0

I333

取＞=&,貝i」〃=(O,0,-?

A5=（一0,6,-啦）,AD=（0,0,-行），設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為m=（a,b,c）,

m?AD=-A/2C=0

取a=l,次=(1,1,0),

m-AB=-A/3(2+A/3Z?-后c=0

設(shè)平面67處與平而/初的夾角為夕，.

EI八I/\i\m'n\V2A/5

貝！Jcos0=cos(m,力=-----=—f=——尸=——

1'〃|m||H|75x725

故平面。陽與平而/必的夾角的余弦為好.

5

兀

20.解：（1）因?yàn)?，為銳角，所以夕一

因?yàn)閟in[e_四]=走，所以cos(e」]=Jl_sin21e_2]=仁二=述,

I4)10I4)丫4Jv10010

所以sin6=sin[0-^\+—=^-x^-+x^-=—,所以cos。=J1-sin＞。,

4j4j10210255

247(1341(724

所以sin2e=2sin6cose=—,cos20=2cos20-1=----,所以。一,P\----,一

252515I2525.

(2)因?yàn)辄c(diǎn)尸，Q分別運(yùn)動的角速度之比為2：1,

所以當(dāng)點(diǎn)。轉(zhuǎn)動的角度為。時(shí)，P轉(zhuǎn)動角度為26,

因此尸(cos26,sin2。)，2(2+cos0,sin^).|°尸「=(cos2夕一cos夕一+(sin26—sin。)?

=cos220+cos28+4—2cos26cos0-4cos28+4cos^+sin22^+sin20-2sin20sin0

=6-2(cos2。cos0+sin20sin一4cos26+4cos6=6—4cos29+2cos0

=—8cos28+2cose+io,

所以當(dāng)cos6=g時(shí)，|尸0『取得最大值一j+2x"+10=￡,所以|PQ|的最大值為尊.

「1丫2、，

21.解：（1）由題意知2a=4,e=—=；；.?.，=：!,〃=3,故橢圓的方程土+匕=1,

a243

“蒙日圓”E的方程為尤2+/=4+3=7,即尤?+丁=7

(2)當(dāng)切線M4的斜率存在且不為零時(shí),設(shè)切線的方程為1=辰+機(jī)，則

y=kx+m

由y2，消去y得(3+4燈d+8"依+4帆2-12=°

,T+T-

A=64%*-4(3+4/)(4療-12)=0I=3+4/,

由，消去y得(1+/)/+2mkx+m2-7=0

A=4用標(biāo)—40+左2)(m2_7)=16+12左2>0

設(shè)產(chǎn)區(qū),％),Q(X2,必)，貝I]占+々=3^,占尤2=貯?，

1+k21+k2

72加之一71…-2mk?…2

22m2+m2

%%_(句+m)(H2+m)_kxlx2+km(xi+x2)+m_五產(chǎn)+\+k_府一7k

[八22r72r7

XyX2XjX2XjX27/i-zm-7

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.m2=3+4左2,kK=——；----=------、---=—,

-m2-73+4