2023年初三數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)圓的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)和?？碱}型練習(xí)題

圓知識(shí)點(diǎn)

一、圓的概念

集合形式的概念：1、圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)口勺點(diǎn)日勺集合；

2、圓目勺外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離不小于定長(zhǎng)的點(diǎn)口勺集合；

3、圓日勺內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)口勺距離不不小于定長(zhǎng)日勺點(diǎn)日勺集合

軌跡形式的概念：

1、圓：到定點(diǎn)時(shí)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓;

（補(bǔ)充）2、垂直平分線：到線段兩端距離相等日勺點(diǎn)日勺軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫中垂線）;

3、角的平分線：到角兩邊距離相等日勺點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線;

4、到直線的距離相等的點(diǎn)日勺軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長(zhǎng)的兩條直線;

5、到兩條平行線距離相等時(shí)點(diǎn)的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等日勺一條

直線。

二、點(diǎn)與圓日勺位置關(guān)系

1、點(diǎn)在圓內(nèi)=>d<r=>點(diǎn)。在圓內(nèi)；

2、點(diǎn)在圓上=>d=rn點(diǎn)5在圓上；

3、點(diǎn)在圓外=>d〉r=>點(diǎn)A在圓外；

三、直線與圓日勺位置關(guān)系

1、直線與圓相離口>d>rn無交點(diǎn)；

2、直線與圓相切=>d=rn有一種交點(diǎn);

d<r=>有兩個(gè)交點(diǎn);

四、垂徑定理

垂徑定理：垂直于弦日勺直徑平分弦且平分弦所對(duì)日勺弧。

推論1：（1）平分弦（不是直徑）日勺直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)日勺兩條弧;

（2）弦口勺垂直平分線通過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條??；

（3）平分弦所對(duì)日勺一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧

以上共4個(gè)定理，簡(jiǎn)稱2推3定理：此定理中共5個(gè)結(jié)論中，只要懂得其中2個(gè)即可推出其他3個(gè)結(jié)論,

即:

①A3是直徑②③CE=DE④瓠BC=弧8。⑤弧AC=弧4。

中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。

推論2：圓日勺兩條平行弦所夾的弧相等。

即：在。。中，?：AB//CD

.?.弧AC=弧3。

五、圓心角定理

圓心角定理：同圓或等圓中，相等口勺圓心角所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弧相

等，弦心距相等。此定理也稱1推3定理，即上述四個(gè)結(jié)論中,

只要懂得其中的1個(gè)相等，則可以推出其他日勺3個(gè)結(jié)論，

即：①AAOB=NDOE；②AB=DE；

③OC=OF；④弧BA=弧8。

六、圓周角定理

1、圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心日勺角的二分之一。

即:NAOB和ZACB是弧A3所對(duì)時(shí)圓心角和圓周角

/.ZAOB=2ZACB

2、圓周角定理的推論:

推論1：同弧或等弧所對(duì)日勺圓周角相等；同圓或等圓中,相等口勺圓周角所對(duì)日勺弧是

等弧;

即：在。。中，?；NC、/￡＞都是所對(duì)日勺圓周角

NC=ND

推論2：半圓或直徑所對(duì)日勺圓周角是直角；圓周角是直角所對(duì)日勺弧是半圓，所

對(duì)的弦是直徑。

即：在。。中，:AB是直徑或?.?NC=90°

ZC=90°：.AB是直徑

BA

0

推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的二分之一，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

即：在^ABC中，,:0C=0A=OB

.1△ABC是直角三角形或NC=90°

注：此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上日勺中

線等于斜邊的二分之一日勺逆定理。

七、圓內(nèi)接四邊形

圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。

即：在。。中，

?/四邊形ABCD是內(nèi)接四邊形

ZC+ZBAD=1SO0ZB+ZD=180°

NDAE=NC

八、切線日勺性質(zhì)與鑒定定理

(1)切線口勺鑒定定理：過半徑外端且垂直于半徑口勺直線是切線;

兩個(gè)條件：過半徑外端且垂直半徑，兩者缺一不可

即：：MN_1_04且MN過半徑0A外端

.?.加乂是。?？谏浊芯€

(2)性質(zhì)定理：切線垂直于過切點(diǎn)時(shí)半徑(如上圖)

推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。

推論2：過切點(diǎn)垂直于切線口勺直線必過圓心。

以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理:

即：①過圓心；②過切點(diǎn)；③垂直切線，三個(gè)條件中懂得其中兩個(gè)條件就能推出最終一種。

九、切線長(zhǎng)定理

切線長(zhǎng)定理：

從圓外一點(diǎn)引圓日勺兩條切線，它們口勺切線長(zhǎng)相等，這點(diǎn)和圓心

的連線平分兩條切線日勺夾角。

即：?.?/%、PB是曰勺兩條切線

：.PA=PB

尸。平分/BE4

十、圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算

(1)正三角形

在。。中△ABC是正三角形，有關(guān)計(jì)算在RtABOD中進(jìn)行：

0D:BD:0B=l：32；

(2)正四邊形7

同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在RtAOAE中進(jìn)行，A

OE:AE:OA=l:l：y/l：

(3)正六邊形

同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在MAOLB中進(jìn)行，AB:OB:OA=l:j3:2.

十一、扇形、圓柱和圓錐日勺有關(guān)計(jì)算公式

,nnR

1＞扇形：(1)弧長(zhǎng)公式：I=；

loO

c"兀氏21f

(2)扇形面積公式：S=——=-lR

3602

n,圓心角R：扇形多對(duì)應(yīng)的圓日勺半徑/：扇形弧長(zhǎng)S：扇形面積

(1)圓柱側(cè)面展開圖(選學(xué))

底面圓周長(zhǎng)

S=S+2S=2兀泌+2?！?

表底

(2)圓錐側(cè)面展開圖(選學(xué))

(1)S=S+S=兀氏廠+兀廠2

表他底

AB

十二、圓與圓的位置關(guān)系（選學(xué)）

外離（圖1）=>無交點(diǎn)二d>R+r；

外切（圖2）=>有一種交點(diǎn)nd=R+r；

相交（圖3）=>有兩個(gè)交點(diǎn)=>R~r<d<R+r

內(nèi)切（圖4）n有一種交點(diǎn)nd=R-r;

內(nèi)含（圖5）二>無交點(diǎn)=>d<R-r-

圓練習(xí)

一.選擇題

1.在。0中，弦AB<CD,OE、OF分別是0到AB和CD日勺距離，則（）

A.OE>OFB.OE=OFC.OE<OFD.無法確定

2.如圖,AB是。。的直徑，CD是弦，若AB=1Ocm,CD=8cm,則A、B兩點(diǎn)到直線CD曰勺距離之和為（）

6cm

3.下列命題對(duì)時(shí)的是（）

A.相等日勺圓心角所對(duì)日勺弧是等弧B.等圓周角對(duì)等弧

C.任何一種三角形只有一種外接圓D.過任意三點(diǎn)可以確定一種圓

4.如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AC、BD交于E點(diǎn)，且BC=DC,則圖中共有相似三角形（）

A.2對(duì)B.4對(duì)C.6對(duì)D.8對(duì)

5.如圖，弦AB〃CD,E為弧CD上一點(diǎn)，AE平分則圖中與4政相等（不包括』近）口勺角共有

（）

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

Qoc—tt—

6.兩個(gè)扇形口勺面積相等，其圓心角分別為a、0,且2~,則兩個(gè)扇形日勺弧長(zhǎng)之比：：一（）A.1:2

B.2：1C.4:1D.1：④

7.一段鐵路彎成圓弧形，圓弧的半徑是2km,一列火車以每小時(shí)28km日勺速度行駛，通過10s通過彎

道，那么彎道所對(duì)的圓心角口勺度數(shù)為（）

A.4.4°B.44°C.2.2°D.22°

8.在半徑為4日勺圓中，垂直平分半徑日勺弦長(zhǎng)為（）

A.6B.2^C,3百D,4g

9.如圖4,AD,8C是。。日勺兩條互相垂直的直徑，點(diǎn)尸從點(diǎn)。出發(fā)，沿O—CT。一。的路線勻速運(yùn)動(dòng),

設(shè)（單位：度），那么y與點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)日勺時(shí)間x（單位：秒）日勺關(guān)系圖是（）

二、填空題

1.若三角形日勺三條邊長(zhǎng)分別為5,12,13,則這個(gè)三角形外接圓日勺半徑為.

2.一條弦把圓提成2:3兩部分，那么這條弦所對(duì)日勺圓周角日勺度數(shù)為.

3.如圖,A、B、C是。0上順次三點(diǎn)，若/OAB=44。，貝1/ACB=

4.如圖AABC是圓內(nèi)接三角形，AB是直徑，BC=4cm,NA=30°,則AC=.

5.如圖，NAOB=IOO。，則圓周角/ACB=,

6.已知扇形周長(zhǎng)為14cm，面積為12cm2,則扇形的半徑為cm.

7.如圖，以正方形ABCD的邊AD、BC、CD為直徑畫半圓，陰影部分日勺面積記為m,空白部分的面積記為n,

貝ijm與n的關(guān)系為.

8.若。0是4ABC的外接圓，OD_LBC于D,且/BODM^OJIJZBACM.

9.如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為1,以AB為直徑作半圓，點(diǎn)尸是CD中點(diǎn)，2尸與半圓交于點(diǎn)Q,連結(jié)。。.給

出如下結(jié)論：①。。=1；②；③鼠戶以=;?cosZADQ=.其中對(duì)的結(jié)論是

.(填寫序號(hào))

三、解答題

1.如圖27T3,某排水管模截面，已知原有積水口勺水平面寬CD=O.8m時(shí)最大水深0.2m,當(dāng)水面上升0.2m

時(shí)水面寬多少？

2.已知圓環(huán)內(nèi)直徑為acm,外直徑為bcm，將50個(gè)這樣口勺圓環(huán)一種接一種環(huán)套環(huán)地連成一條鎖鏈，那

么，這條鎖鏈拉直后的長(zhǎng)度為多少？

3.如圖，一只狗用皮帶系在10X10日勺正方形狗窩的一角上，皮帶長(zhǎng)為14,在狗窩外面狗能活動(dòng)的范圍面

積是多少？

4.如圖，在△ABC中，AB=AC,D是BC中