湖南省2023-2024學(xué)年高一年級下冊7月期末考試數(shù)學(xué)（含解析）

湖南高一下學(xué)期期未考試

數(shù)學(xué)試卷

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、坐位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改

動，用像皮擦干凈后，再選涂其他答察標(biāo)號.回答非選撐題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

本試卷主要考議內(nèi)容：人教A版必修第一、二冊，選擇性必修第一冊第一章第3節(jié).

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知向量。=（一2,5）,/?=（7〃,4）,若4_16，則"2=（）

88

A.10B.-10C.-D.一一

55

2.已知4（—2,1,3）,5（1,—1,4）,則A3=（）

A.（3,0,1）B.（-l,-2,l）C.（-l,0,7）D.（3,-2,l）

3.已知集合A={x|x+3>2},3={x|"2-2<x<m},若Ac3=0,則加的取值范圍是（）

A.[l,+oo）B.（l,+oo）C.D.

4.已知加是一條直線，。，尸是兩個不同的平面，且加」e,貝!T加〃』”是“。，尸”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D,既不充分也不必要條件

5.已知空間問量。=（2,—1,1）為=（加,3,—3）,若a與匕的夾角是鈍角，則〃z的取值范圍是（）

A.（-00,-6）O（-6,3）B.（-oo,3）C.（3,6）D（6,-8）D.（3,+OO）

6.已知5足3+3兀）+2851=0,則tan2cr=（）

4343

A.—B.—C.——D.——

3434

7.為了推廣一種新飲料，某飲料生產(chǎn)企業(yè)開展了有獎促銷活動：將8瓶該種飲料裝一箱，其中有2瓶能夠

中獎，現(xiàn)從一箱該飲料中隨機(jī)抽取2瓶，則下列兩個事件是互斥但不對立的是（）

A.“至少1瓶中獎”與“2瓶都中獎”

B.“至多1瓶中獎”與“2瓶都中獎”

C.“恰有1瓶中獎”與“2瓶都不中獎”

D.“恰有1瓶中獎”與“至多1瓶中獎”

8.已知〃x)=](2"Dx+3a是R上的單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是()

[loga%+9a-3,%>l

A.(1,2]B.(l,3]C.]o,gu(l,3]D；o,gu(l,2]

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.己知復(fù)數(shù)z=(2+i>(l—i),則()

A.z的實部是-1

B.|z|=5^/2

C.z的共輾復(fù)數(shù)是—1—i

D.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于在第一象限

10.已知函數(shù)/(X)=ACOS(0￥+0)(A>O,0>O,O<0<71)的部分圖象如圖所示，則()

71

A.(p=—

6

B.A=2

C"(x)的圖象關(guān)于點[工,。]對稱

JTJT\

[kjt--,k7i+-(keZ)

11.有一種“蓑藜形多面體”，其可由兩個正交的正四面體組合而成(如圖1),也可由正方體切割而成(如

圖2).在如圖2所示的“痍藜形多面體”中，若A5=2,則()

A.該幾何體的表面積為12g

B.該幾何體的體積為4

TT

C.直線五M與直線GN所成的角為一

3

D.二面角5—歷―H的余弦值為工

3

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.生活質(zhì)量指數(shù)是用于衡量人們生活質(zhì)量水平的一種指標(biāo)體系.某機(jī)構(gòu)對某地進(jìn)行生活質(zhì)量指數(shù)調(diào)查，得

到該地15個地區(qū)的生活質(zhì)量指數(shù)為68,68,69,71,73,75,75,76,78,80,85,85,87,91,93,則這15個地區(qū)

的生活質(zhì)量指數(shù)的第60百分位數(shù)是.

13.如圖，在四面體A5CD中，A3,平面ACD,—ACD是邊長為4的等邊三角形，48=3,及/分別是

棱的中點，則叵卜.

14.在底面為正方形的四棱錐P—ABCD中，尸￡)，平面43。。,45=4,尸。=20，點￡在線段。。

上，PB〃平面EAC,則四面體ABCE外接球的表面積為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

已知某校初二年級有1200名學(xué)生，在一次數(shù)學(xué)測試中，該年級所有學(xué)生的數(shù)學(xué)成績?nèi)吭赱45,95]內(nèi).現(xiàn)

從該校初二年級的學(xué)生中隨機(jī)抽取10。名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，按

[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95]分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求。的值；

(2)估計該校初二年級學(xué)生這次數(shù)學(xué)測試的平均分(各組數(shù)據(jù)以該組數(shù)據(jù)的中點值作代表)；

(3)記這次測試數(shù)學(xué)成績不低于85分為“優(yōu)秀”，估計該校初二年級這次測試數(shù)學(xué)成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生人

數(shù).

16.Q5分)

如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA=PC,四邊形A3CD是正方形，E是尸。的中點.

(1)證明：PB〃平面ACE.

(2)證明：平面P5D，平面ACE.

17.(15分)

已知函數(shù)〃x)=sin2x~—+2sinxcosx.

I3j

(1)求“X)的最小正周期；

(2)求的單調(diào)遞減區(qū)間；

7兀

(3)求了(%)在區(qū)間-五,0上的值域.

18.(17分)

端午節(jié)，又稱端陽節(jié)、龍舟節(jié)、重午節(jié)，端午節(jié)是中華民族傳統(tǒng)文化的重要組成部分.某校打算舉辦有關(guān)端

午節(jié)的知識競答比賽，比賽規(guī)則如下：比賽一共進(jìn)行兩輪，每輪比賽回答一道題，每輪比賽共有A,B,

C三類題目，參賽選手隨機(jī)從這三類題目中選擇一類作答，第一輪中被選中的題目在第二輪比賽開始前

工作人員會用同一類型的題目替換，參賽選手答對一道A類題目得10分，答對一道2類題目得20分，

答對一道C類題目得40分，兩輪比賽后，若選手累計得分不低于50分，則通過比賽，已知甲、乙兩位同

33

學(xué)都參加了這次比賽，且甲答對A類題目的概率是一，答對2類題目的概率是一，答對C類題目的概率

44

13

是一，乙答對每類題目的概率都是一.假設(shè)甲、乙選擇哪類題目作答相互獨立，且每輪比賽結(jié)果也是相互

25

獨立的.

(1)求甲第一輪答對A類題目的概率；

(2)求甲通過比賽的概率；

(3)求甲、乙兩人中至少有1人通過比賽的概率.

19.(17分)

A是直線PQ外一點，點M在直線PQ上(點M與P,Q兩點均不重合)，我們稱如下操作為“由A點

\AP\smZPAM

對P。施以視角運算”：若點〃在線段PQ上,記(P,Q;川)；若點河在線段尸。

AP\sin^PAM

外,記(P,Q;M)=-

AQ\sin^MAQ

(1)若M在正方體ABC。—4月￡。1的棱AB的延長線上，且AB=28M=2,由A對AB施以視角

運算，求(A3；Af)的值;

(2)若M在正方體ABC。-的棱A3上，且48=2，由4對A3施以視角運算，得至U

AM

的值;

MB

(3)若加1，加2，加3，?，M"T是A3C邊3c的〃等分點，由A對5c施以視角運算，證明:

湖南高一期末考試

數(shù)學(xué)參考答案

1-A由題意可得a必=—2m+5x4=0，解得根=10.

2.D由題意可得43=(3,—2,1).

3.C由題意可得A={x[因為Ac3=0,所以以，-1.

4.B由。，相〃/，得aJ_〃；由w_La,a_L/?,得加〃/或mu/7.故，加〃夕”是“a_L/?”

的充分不必要條件.

2m—3—3＜0,

5.A由題意可得〈解得加＜一6或-6〈根＜3.

加w—6,

6.C因為sin(a+3;i)+2coso=0,所以-sina+2cos。=0,所以tana=2,則

c2tana4

tanzcif=------=——.

1-tana3

7.C“至少1瓶中獎”與“2瓶都中獎”可以同時發(fā)生，則“至少1瓶中獎”與"2瓶都中獎”不是互斥事件.“至

多1瓶中獎”與“2瓶都中獎”是對立事件.“恰有1瓶中獎”與“2瓶都不中獎”是互斥但不對立事件.“恰有1瓶

中獎,，與“至多1瓶中獎,，可以同時發(fā)生，貝小，恰有1瓶中獎”與“至多1瓶中獎”不是互斥事件.

2〃—1＞0,

8.D當(dāng)/（力是R上的單調(diào)遞增函數(shù)時，?！?,解得1＜④2;當(dāng)外同是R上的單調(diào)遞

2a—1+3。2,,9。-3,

2?！?＜0,

減函數(shù)時，＜0＜。＜1,解得0＜。,，L綜上，。的取值范圍是U（l,2].

2a—1+3tz..9a—3,

9.BD因為z=(2+i)2(l—i)=(4+4i+i2)(l—i)=(3+4i)(l—i)=3—3i+4i—4i?=7+i,所以z的

實部是7,|z|==5挺,彳=7—i,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點（7,1）位于在第一象限.

(7兀

10.BC由圖可知T=2|—則。=2.因為點,0在/（%）的圖象上，所以

(12

=0,所以烏+°=E+二（左eZ）,解得夕=左兀+'（左eZ）,因為

623

0＜°＜兀，所以°=三，則A錯誤.因為點（0,1）在/（力的圖象上，所以/@=Acos]=l,解得

A=2,則B正確.因為/f--j=2cosf--+—j=2cosf--j=0,所以/（x）的圖象關(guān)于點

對稱，則C正確.由/(x)>1,ip2cos+—j>1,gpcos^2%+—J>—,得2/CJI

-1<2x+|<2bi+|(Z：GZ),解得E—三<工<也優(yōu)eZ),所以不等式/(%)>1的解集是

IOeZ),則D錯誤.

x^x(V2)2=12A/3

11.ABC因為AB=2,所以BE=J5.該幾何體的表面積為24，A正確.該幾何

4

]]LL

體的體積為23—12x—X—X企大企xl=4,B正確.

32

因為HM〃BD,所以直線即/與直線GN所成的角即直線5。與直線ON的夾角，其大小為四.故直

3

7?

線與直線GN所成的角為一,C正確.

3

設(shè)石廠的中點為。，連接08,08(圖略)，4?！奔礊槎娼?—石戶—H的平面角.

CD八〃aOB-+OH2-BH-1「他、口

OB=OH=—,cos/BOH=----------------=——，D錯厭.

22OBOH3

78+80

12.79因為15x60%=9,則這15個地區(qū)的生活質(zhì)量指數(shù)的第60百分位數(shù)是-------=79.

2

13.-因為E,尸分別是棱的中點，所以AE=1AD,BF=^BC,則

222

EF=EA+AB+BF=--AD+AB+-BC=--AD+AB+-(AC-AB)=-AB+-AC--AD.

2222、>222

因為A3,平面ACD,所以所以鉆.AC=ARAO=0.因為.ACD是邊長為

4的等邊三角形，所以AC.A￡)=8.因為

-2(111八~1-2121-21------1-125

EF=-AB+-AC——AD=-AB+-AC+-AD+-ABAC——ABAD——ACAD=—

(222)4442224

,所以網(wǎng)=；.

14.3471連接3。交AC于點。，連接0E.因為尸及。后共面，且PB〃平面EAC,所以PB//

0E,易知。為3。的中點，所以￡為。。的中點.設(shè)四面體ABCE外接球的球心為。，則。平面

所以抹

ABC,設(shè)。！2=/，，則。。2+。。2=。后2,+Q6)2=(h—6)2+Q6)2,解得/1=立，

、2

故四面體ABCE外接球的表面積為4兀(?+8)=3471.

P

15.解：⑴由頻率分布直方圖可得(0.010+2a+0.025+0.035)xl0=l,解得a=0.015.

(2)由題意，估計平均分天=50x0.1+60x0.15+70x0.25+80x0.35+90x0.15=73分.

(3)由頻率分布直方圖可知這次測試數(shù)學(xué)成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的頻率為0.015x10=0.15,則該校初二年級這

次測試數(shù)學(xué)成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的頻率為0.15,

故估計該校初二年級這次測試數(shù)學(xué)成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生人數(shù)為1200x0.15=180.

16.證明：（1）記ACcBQu。，連接OE.

因為四邊形A3CD是正方形，所以。是5。的中點.

因為E是PZ）的中點，所以O(shè)E〃PB.

因為OEu平面平面ACE,所以PB〃平面ACE.

（2）連接。P.

因為四邊形A3CD是正方形，所以。是AC的中點.

因為B4=PC,所以O(shè)PLAC.

因為四邊形A3CD是正方形，所以AC，50.

因為。平面P3￡）,且OPc5￡>=O,所以ACJ_平面P5D.

因為ACu平面ACE,所以平面平面ACE.

17.解：（1）由題意可得

/(%)=—sin2x-----cos2x+sin2x=—sin2x------cos2x=Gsin|lx--

2222I6

2JT

則的最小正周期T=5=7l.

⑵令2E+巴轟如一二2foi+—(jteZ),

262

解得E+g領(lǐng)k防r+g(左eZ),

jr5兀

故"尤)的單調(diào)遞減區(qū)間為kn+-,kn+—(左eZ).

,,,7兀八~,八兀4兀兀

(3)因為X￡--^-,0,所以2x-?

_12J6|_36

當(dāng)2%—￡=-日，即1=-二時，/(%)取得最大值，最大值為了［一/^］=JGsin1-——

6312V12Joo

_3

-2

當(dāng)2%=_g即x=-y時，f(x)取得最小值，最小值為|=6sin］一5一可

626V