中考數(shù)學一輪復習精講精練第三講 全等三角形 （解析版）

模塊四三角形

第三講全等三角形

知識梳理夯實基礎

知識點1:全等三角形的定義和性質

1.定義

能夠完全重合的兩個三角形是全等三角形

2.全等三角形的性質：

(1)全等三角形的對應邊相等，對應角相等；

(2)全等三角形的周長相等，面積相等；

(3)全等三角形對應的中線、高線、角平分線、中位線都相等.

知識點2：全等三角形的判定

1.全等三角形的判定

(1)邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等(可簡寫成“邊角邊”

或“SAS”)；

(2)角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等(可簡寫成“角邊角”

或“ASA”)；

(3)角角邊定理：有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等(可間寫成“角角

邊”或“AAS”)

(4)邊邊邊定理：有三邊對應相等的兩個三角形全等(可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”)；

(5)對于特殊的直角三角形，判定它們全等時，還有HL定理(斜邊、直角邊定理)：有

斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等(可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”).

2.證明三角形全等的思路

(找夾角一S4s

(已知兩邊找直角一出

(找另一邊一SSS

,邊為角的對邊一找任一角f4As

證明已知

邊為(找夾角的另一邊一S4s

三角形＜一邊

'角的一找夾邊的另一角—4S4

全等

和一角.鄰邊?找邊的對角

找夾邊f(xié)4s4

I已知兩角

找其他任一邊f(xié)4As

3.全等三角形模型

模型圖形示例歸納總結

可看成是由一個三角形沿其一條邊所在直線

平移

平移得到.

模型

兩個三角形關于某一直線對稱，即這條直線兩

對稱e慫A邊的部分能完全重合，重合的頂點就是全等三

模型KA角形的對應頂點.

可看成由三角形繞某一個點旋轉而成，故一般

旋轉有一對相等的角隱含在平行線、對頂角、某些

模型角的和或者差中.

把角平分線看成一條公共邊所在的射線，在角

角平

的兩邊截取相等的線段，就可以構造出全等三

分線

角形.

模型

也叫雙直角三角形，其中的證明多數(shù)可以用到

三垂

同（等）角的余角相等這一結論,相等的角就是

直模

JV<]對應角.

型

直擊中考勝券在握

1.（2023?山東省淄博中考）如圖，若國ABC釀ADE,則下列結論中一定成立的是（）

A.AC=DEB.EIBAD=I3CAEC.AB=AED.EABC=EIAED

【答案】B

【詳解】

根據(jù)全等三角形的性質即可得到結論.

【解答】解：00ABC00ADE,

0AC=AE,AB=AD,EABC=0ADE,0BAC=fflDAE,

00BAC-0DAC=0DAE-EIDAC,

即回BAD=E1CAE.故A,C,D選項錯誤，B選項正確，

故選：B.

【點評】本題考查了全等三角形的性質，熟練掌握全等三角形的性質是解題的關鍵.

2.（2023?重慶市（A卷）中考）如圖，點B,F,C,E共線，EB=ffl￡,BF=EC,添加一個條件，不能判斷團DEF

的是（）

A.AB=DEB.EL4=fflDC.AC=DFD.ACfflFD

【答案】C

【分析】

根據(jù)全等三角形的判定與性質逐一分析即可解題.

【詳解】

解：BF=EC,

:.BC=EF

A.添加一個條件AB=DE,

又?BC=EF,NB=NE

：.△ABC空ADEF(SAS)

故A不符合題意；

B.添加一個條件加=團。

又?BC=EF,ZB=ZE

ABC^DEF(AAS)

故B不符合題意；

C.添加一個條件AC=DF,不能判斷MBC0回DEF,故C符合題意；

D,添加一個條件AGFD

:.ZACB=ZEFD

又?BC=EF,ZB=ZE

ABC§DEF(ASA)

故D不符合題意，

故選：C.

【點睛】

本題考查添加條件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關

鍵.

3.如圖，在AABC中，D,E為AABC外兩點,若AD=CE,BD=AE,ZD=ZE,ABAC=68°,則NA8C

的大小是()

A.56°B.46°C.68°D.66°

【答案】A

【分析】

通過證明4ADB/△CEA(SAS),得到A8=AC,再根據(jù)等邊對等角及三角形內角和定理求解.

【詳解】

AD=CE

解：回在AAD3和ACE4中，＜ZD=NE,

BD=AE

0AADB^ACEA(SAS),

SAB^AC,

WABC=SACB,

BZBAC=68°,

180°-68°―。

EEMBC=a4CB=------------=56°,

2

故選：A.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質，等邊對等角及三角形內角和定理，熟練掌握全等三角形的判定和性

質是解題關鍵.

4.如圖，ADLBC垂足為D,BF±AC,垂足為F,AD與BF交于點E,AD=BD=5＞DC=2＞則AE的

長為()

A.2B.5C.3D.7

【答案】C

【分析】

先證明IBACDEEBED,得到CD=ED=2,即可求出AE的長度.

【詳解】

解：^ADYBC,BF±AC,

BZAFE=ZBDE=ZADC=90°,

^ZAEF=ZBED,

SZEAF=ZEBD,

團AD=BD=5,

團團ACD團團BED,

團CD=ED=2,

SAE=AD-ED=5-2=3；

故選：C.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質，余角的性質，解題的關鍵是掌握全等三角形的判定和性質，從而進

行解題.

5.（2023?齊齊哈爾中考）如圖，AC=AD,Z1=Z2,要使"BC之△AED,應添加的條件是.（只

需寫出一個條件即可）

【答案】=或NC=4＞或鉆=鎰（只需寫出一個條件即可，正確即得分）

【分析】

根據(jù)已知的如前2,可知姐AC=囪EAD,兩個三角形已經具備一邊一角的條件，再根據(jù)全等三角形的判定方法,

添加一邊或一角的條件即可.

【詳解】

解：如圖所所示，

001=02,

5E1+SBAD=S2+S\BAD.

SSBAC^EAD.

（1）當回8=近時,

NB=NE

，ABAC=ZEAD

AC=AD

：.AABC=/\AED（AAS）.

（2）當*=回。時，

2C=ND

<AC=AD

ABAC=ZEAD

：.AABC=^AED（ASA）.

（3）當AB=AE時，

AB=AE

<ABAC=NEAD

AC=AD

：.AABC^AAED（SAS）.

故答案為：0B=0￡或配=回。或八8=AE

【點睛】

本題考查的是全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的各種判定方法及適用條件是解題的關鍵.

6.（2023?濟寧中考）如圖，四邊形ABCD中，ABAC=ADAC,請補充一個條件,使/XABC四△ADC.

【答案】ND=NB（答案不唯一）

【分析】

本題是一道開放型的題目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可.

【詳解】

解：添加的條件為ND=4,

理由是：在ABC和‘ADC中,

ABAC=ADAC

<ND=NB,

AC=AC

0AABC^AADC（AAS）,

故答案為：ZD=ZB.

【點睛】

本題主要考查全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解決本題的關鍵，注意：全等三角

形的判定定理有S4SASA,AAS,SSS,兩直角三角形全等還有HL.

7.如圖，已知NA=NC,且NABD=/BDC,要得出AB=CD,先判定ABD=,CDB,用到的判定方法是

【答案】A4S（或角角邊）

【解析】

【詳解】

0ZA=ZC,ZABD=NBDC,BD=DB,EZ\ABD=ACDB（A4S）,0AB=CD,所以應填AAS或角角

邊.

故答案為：AAS（或角角邊）

8.（2023?遼寧省中考）如圖，在AABC中，M,N分別是和AC的中點，連接點E是CN的中

點，連接ME并延長，交3C的延長線于點。，若3c=4,則CD的長為.

【答案】2

【分析】

依據(jù)三角形中位線定理，即可得至!!MN=3BC=2,MN//BC,依據(jù)回MNEH3DCE(AAS),即可得至UCD=MN=2.

【詳解】

解:13M,N分別是AB和AC的中點，

0MN是E1ABC的中位線，

0MN=yBC=2,MN0BC,

EI0NME=ED,0MNE=[3DCE,

回點E是CN的中點，

EINE=CE,

00MNEEEDCE(AAS),

0CD=MN=2.

故答案為：2.

【點睛】

本題主要考查了三角形中位線定理以及全等三角形的判定與性質，全等三角形的判定是結合全等三角形的

性質證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件.

.如圖所示，是回的平分線，于點則的長是.

9BDABCDEI3ABE,AB=36cm,BC=24cm,SEABC=144cm,DE

【答案】4.8cm

【詳解】

如圖，過點D作DF回BC于點F,

0BD平分EIABC,DEBAB于點E,

0DF=DE.

團SEIABC=SiaABD+SaBCD=~~AB,DE+gBC,DF=(AB+BC)xDE=144,

(36+24)xDE=144,解得：DE=4.8(cm.)

10.(2023?湖北省鄂州中考)如圖，在AO3和△COD中，OA=OB,OC=OD,OA<OC,

ZAOB=/COD=36°.連接AC、3。交于點連接。河.下列結論：

(DZAMB=36°;②AC=BD；③平分ZAC?；④MO平分N/VWD

其中正確的結論個數(shù)有()個.

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】

由SAS證明回AOO3國BOD,得至崛OAC=I3C)BD,由三角形的夕卜角T生質得：回AMB+l3OBD=l3AOB+l3OAC,得出I3AMB

=0AOB=36°,①正確；

根據(jù)全等三角形的性質得出國OCARODB,AC=BD,②正確；

作0GI3AC于G,0HE1BD于H,如圖所示：貝崛OGC=EIOHD=90",由AAS證明EIOCGHSODH(AAS),得出OG

=OH,由角平分線的判定方法得出MO平分/加外，④正確；

由國AOB=I3COD,得出當EIDC)M=EIAOM時，OM才平分EIBOC,假設IBDOM=EIAOM,由回AOCEBBOD得出EICOM

=0BOM,由MO平分I3BMC得出回CMO=I3BMO,推出13coMEHBOM,得OB=OC,而0A=OB,所以OA=

0C,而Q4<OC,故③錯誤；即可得出結論.

【詳解】

00AOB=0COD=36°,

00AOB+0BOC=ECOD+0BOC,

IP0AOC=0BOD,

在國AOC和?IBOD中,

OA=OB

，ZAOC=ZBOD,

OC=OD

00AOCEEBOD(SAS),

00OCA=0ODB,AC=BD,②正確；

00OAC=0OBD,

由三角形的外角性質得：0AMB+0OBD=EAOB+0OAC,

00AMB=0AOB=36°,②正確；

作0GI3AC于G,0HE1BD于H,如圖所示：

貝峋OGC=[3OHD=90°,

在回OCG和EIODH中，

ZOCA=ZODB

-ZOGC=ZOHD,

OC=OD

00OCG00ODH(AAS),

0OG=OH,

EIMO平分/AMD,④正確；

00AOB=0COD,

團當EIDOM=I3AOM時，0M才平分I3B0C,

假設回DOM=E1AOM

00AOCE0BOD,

00COM=EBOM,

0MO平分I3BMC,

00CMO=EBMO,

在E1C0M和E1BOM中,

/COM=ZBOM

OM^OM,

ZCMO=ZBMO

^COMfflBOM(ASA),

團OB=OC,

團OA=OB

團OA=OC

與。4Voe矛盾，

回③錯誤；

正確的有①②④；

故選B.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質、三角形的外角性質、角平分線的判定等知識；證明三角形全等是解

題的關鍵.

11.（2023?甘肅蘭州中考）如圖，點、E,C在線段8/上，ZA=ZD,ABIIDE,BC=EF,求證：AC=DF.

【答案】見解析

【分析】

由AB〃DE可得，ZABC=NDEF,進而根據(jù)AAS證明,即可證明AC=Z）F.

【詳解】

AB//DE,

:.ZABC=ZDEF,

在，ABC與一中,

ZA=ZD

</ABC=ZDEF

BC=EF

：.,ABC^.DEF（AAS）,

AC=DF.

【點睛】

本題考查了三角形全等的性質與判定，掌握三角形全等的性質與判定是解題的關鍵.

12.（2023?吉林中考）如圖，點。在AB上，點E在AC上，AB=AC,0B=EC.求證：AE=AD.

【答案】證明見解析

【分析】

結合題意，根據(jù)全等三角形的性質，通過證明△ABEZZVVCD,即可得到答案.

【詳解】

^AB=AC,0B=0C

Z=NA

團＜AB=AC

/B=/C

aAABE^AACDCASA）

BAE=AD.

【點睛】

本題考查了全等三角形的知識；解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的性質，從而完成求解.

13.（2023?福建省中考）如圖，在A5c中，。是邊BC上的點，DE±AC,DF±AB,垂足分別為E,F,

旦DE=DF,CE=BF.求證：ZB=ZC.

B

【答案】見解析

【分析】

由。E_LAC,得出“EC=ND￡B=90。，由SAS證明DEC%DFB,得出對應角相等即可.

【詳解】

證明：^DELAC,DFLAB,

^ZDEC=ZDFB^90°.

DE=DF,

在.DEC和△DFB中，,NOEC=NDFB,

CE=BF,

0DE8DFB,

EINB=NC.

【點睛】

本小題考查垂線的性質、全等三角形的判定與性質、等基礎知識，考查推理能力、空間觀念與幾何直觀.

14.（2023?西藏中考）如圖，ABliDE,B,C,D三點在同一條直線上，04=90",EC0BD,且AB=CD.求證:

AC=CE.

【答案】證明見解析.

【分析】

由平行線的性質得出回B=M,再由垂直的定義得到回。?！?90。=骷，即可根據(jù)ASA證明蜘8cH3CDE,最后根

據(jù)全等三角形的性質即可得解.

【詳解】

證明：EWB0DF,

00B=0D,

0EC0SD,蜘=90°,

00DCE=90°=EM,

在EMBC和回CDE中,

NB=ND

<AB=CD,

ZA=ZDCE

0EMeC00CDE(ASA),

MC=CE.

【點睛】

此題考查了平行線的性質，全等三角形的判定與性質，根據(jù)證明蜘8CMCDE是解題的關鍵.

15.(2023廣西百色中考)如圖，點。、E分別是AB、AC的中點，BE、CD相交于點。，0B=0C,BD=CE.求

證：

(1)OD=OE；

(2)SABE^ACD.

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【分析】

⑴根據(jù)I3B=EIC,EDOB=0EOC,BD=CE可以用"AAS"證明EIDOBEBEOC,再由全等三角形的性質，即可得到OD=OE；

(2)根據(jù)D、E分別是AB、AC的中點，可以得到JB=2BD,AC=2CE,AD=BD,AE=EC,再根據(jù)BD=CE,即可得

到A8=AC,AD=AE,再由蜘=蜘即可用"SAS”證明兩個三角形全等.

【詳解】

解：(1)00B=0C,WOB^EOC,BD=CE

ffiDOBEHEOC(AAS)

回0。二0￡；

(2)回。、E分別是48、47的中點

加8=28。，AC=2CEfAD=BD,AE=EC

又團BD=CE

M8=4C,AD=AE

BEMBEI3EWCD(SAS)

【點睛】

本題主要考查了全等三角形的性質與判定，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解.

16.(2023?廣東廣州中考)如圖，點E、F在線段8c上，ABHCD,N4=ND,BE=CF,證明：AE=DF.

【答案】見解析

【分析】

利用AA5證明蜘BEH3DCF,即可得到結論.

【詳解】

證明：0AB//CD,

ffl0B=0C,

EIN4=ND,BE=CF,

0EMBE0E1DCF(AAS),

0AE=DF.

【點睛】

此題考查全等三角形的判定及性質，熟記全等三角形的判定定理是解題的關鍵.

17.(2023?湖南湘西中考)如圖，在AABC中，點。在A3邊上，CB=CD,將邊C4繞點C旋轉到CE的位

置，使得NEC4=NDCB,連接。E與AC交于點F,且NB=70。，ZA=10°.

(1)求證：AB=ED;

(2)求NA莊的度數(shù).

E

【答案】(1)見詳解；(2)ZAFE=50°

【分析】

(1)由題意易得NECD=NACB,AC=EC,則有△ACB/△ECD,然后問題可求證；

(2)由(1)可得NE=NA=10。，然后可得NEC4="CS=40。，進而根據(jù)三角形外角的性質可進行求解.

【詳解】

(1)證明：SZECA^ZDCB,

SZECA+ZACD=ZDCB+ZACD,即NECD=ZACB,

團AC=EC,CB=CD,

0ACB^,ECD(SAS),

0AB=ED；

(2)解：^CB=CD,NB=70°,

0ZCDB=ZB=70°,

團根據(jù)三角形內角和可得/3CD=180。—2/8=40。，

SZECA=ZDCB=40°,

由(1)可得△ACS四△ECO,

0ZA=1O°,

ElNE=NA=10。，

0ZAFE=ZE+ZACE=50°.

【點睛】

本題主要考查等腰三角形的性質及全等三角形的性質與判定，熟練掌握等腰三角形的性質及全等三角形的

性質與判定是解題的關鍵.

18.(2023?貴州黔東南中考)在四邊形ABCD中，對角線AC平分國845.

D

D

（探究發(fā)現(xiàn)）

（1）如圖①，若MAD=120。，a4BC=EL4DC=90°.求證：AD+AB^AC；

（拓展遷移）

（2）如圖②，若I3BAD=12O。，M8C+MDC=180。.

①猜想AB、AD,AC三條線段的數(shù)量關系，并說明理由；

②若AC=10,求四邊形ABCD的面積.

【答案】（1）見解析；（2）@AD+AB=AC,見解析；②25出

【分析】

（1）根據(jù)角平分線的性質得到即AC=回847=60°,然后根據(jù)直角三角形中30。是斜邊的一半即可寫出數(shù)量

關系；

（2）①根據(jù)第一問中的思路，過點C分別作CE0AD于E,CFEMB于F,構造A4s證明EICFB=EICED,根據(jù)全

等的性質得到FB=DE,結合第一問結論即可寫出數(shù)量關系；

②根據(jù)題意應用60°的正弦值求得CE的長，然后根據(jù)S四邊形鉆8=；A。*CE+gA8xb=g（A￡>+A8）xCE

的數(shù)量關系即可求解四邊形A8CD的面積.

【詳解】

（1）證明：平分回8/W,08/10=120%

^\DAC=^1BAC=60°,

WBADC=BABC=900,

D

圖①

團MCD=MCB=30。，

^AD=-AC,AB^-AC.

22

^AD+AB=AC,

(2)@AD+AB=AC,

理由：過點c分別作CB3AD于E,CFSAB于F.

圖②

EL4C平分EIBAD,

EICF=CE,

^ABC+^\ADC=180°,H￡DC+EMDC=180°,

^EFBC=^EDC,

又EICFB=2]CED=90”,

^ECFB=SCED(AAS),

*8=DE,

^\AD+AB=AD+FB+AF=AD+DE+AF=AE+AF,

在四邊形AFCE中，由El題知：AE+AF=AC,

^AD+AB^AC；

②在RfflLACE中，回AC平分EIRAD,回&4D=120°

^EDAC=S\BAC=60°，

又MC=10,

0CE=4sinZDAC=10sin600=5A/3,

0CF=C￡,AD+AB=AC,

團S四邊形加8=：4OxCE+：ABxb=；（AO+AB）xCE

=1ACXCE=LX10X56=254.

22

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的性質和應用，解直角三角形，關鍵是辨認出本題屬于角

平分線類題型，作垂直類輔助線.

19.如圖，CA=CD,CB=CE,ELflCD=EBCF,AB與DE交于點/W.

（1）求證：AB=DE；

（2）連/WC,求證：/WC平分團B/WD.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【分析】

（1）根據(jù)SAS證明AABC和ADEC全等，進而利用全等三角形的性質解答即可；

（2）根據(jù)A4s證明AAGC和AD8C全等，進而利用全等三角形的性質解答即可.

【詳解】

證明：（1）［ZACD=NBCE,

NBCE+ZACE=ZACD+ZACE,

:.ZBCA=ZECD,

在AABC和ADEC中，

BC=EC

{ZBCA=ZECD,

AC^DC

:.AABC蘭ADEC(SAS),

AB=DE；

(2)過C作CG_LAB于G,CHLDE于H,

BC

AABC^ADEC,

:.ZA=ND,AC=DC,

ZAGC=ZDHC=90°,

在AAGC和ADHC中，

ZA=ZD

{ZAGC=ZDHC,

AC=DC

NAGC=NDHC(AAS),

:.CG=CH,

：.MC平分NBA/D.

【點睛】

本題考查全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是根據(jù)SAS證明AABC和ADEC全等解答.

20.(2023?北京中考)如圖，在ABC中，AB=AC,NBAC=%M為BC的中點，點。在MC上，以點A為

中心，將線段AD順時針旋轉a得到線段AE,連接BEQE.

(1)比較44E與NC4D的大??；用等式表示線段BE之間的數(shù)量關系，并證明；

(2)過點M作的垂線，交OE于點N,用等式表示線段NE與A?的數(shù)量關系，并證明.

【答案】(1)ZBAE=ZCAD,BM=BE+MD,理由見詳解；(2)DN=EN,理由見詳解.

【分析】

(1)由題意及旋轉的性質易得N&4C=/E4D=a,AE=AD,然后可證△ABE■二△ACD,進而問題可求

解；

(2)過點E作EH^AB,垂足為點Q,交A8于點H,由(1)可得ZABE=ZACD,BE=CD,易證BH=BE=CD,

進而可得=然后可得-DMNsQHE,最后根據(jù)相似三角形的性質可求證.

【詳解】

(1)證明：ElZBAC=ZEAD=a,

ISZBAE+ZBAD=ZBAD+ZCAD=a,

S1ZBAE=ZCAD,

由旋轉的性質可得/a=AD,

B1AB=AC,

0ABE^.ACD(SAS),

SBE=CD,

回點M為BC的中點，

SBM=CM,

^CM=MD+CD=MD+BE,

團BM=BE+MD；

(2)證明：DN=EN,理由如下：

過點E作EHMB,垂足為點Q,交AB于點H,如圖所示：

E|NEQB=NHQB=9O。，

由(1)可得△ME四△ACO,

SZABE=ZACD,BE=CD,

SAB=AC,

SZABC=ZC^ZABE,

SBQ=BQ,

0BQE^BQH(ASA),

SBH=BE=CD,

mHM=DM,

團MTV_LAB,

⑦DMNsDHE,

DMDN1

團----==-9

DHDE2

田DN=EN.

【點睛】

本題主要考查全等三角形的性質與判定、相似三角形的性質與判定及等腰三角形的性質、旋轉的性質，熟

練掌握全等三角形的性質與判定、相似三角形的性質與判定及等腰三角形的性質、旋轉的性質是解題的關

鍵.

21.如圖，已知國AOB=60。，在回AOB的平分線0M上有一點C,將一個120。角的頂點與點C重合，它的兩

條邊分別與直線OA、OB相交于點D、E.

（1）當國DCE繞點C旋轉到CD與OA垂直時（如圖1）,請猜想OE+OD與OC的數(shù)量關系，并說明理由；

（2）當團DCE繞