導數(shù)與函數(shù)的極值、最值 （學生版）-2024年高考數(shù)學一輪復習

導裁岳占裁的做值，錄值

m【考試提醒】

L借助函數(shù)圖象，了解函數(shù)在某點取得極值的必要和充分條件.2.會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值.3.掌握利

用導數(shù)研究函數(shù)最值的方法.4.會用導數(shù)研究生活中的最優(yōu)化問題.

血【知識點】

1.函數(shù)的極值

⑴函數(shù)的極小值

函數(shù)?/=/(C)在點①=a處的函數(shù)值/(a)比它在點①=a附近其他點處的函數(shù)值都小，［(a)=0;而且在點x

=a附近的左側(cè)尸(力<。右側(cè)/(,)>。則&叫做函數(shù)"=/?(力的極小值點，/(a)叫做函數(shù)2/=/(,)的極小

值.

(2)函數(shù)的極大值

函數(shù)"=/(，)在點。=6處的函數(shù)值/(b)比它在點a=b附近其他點處的函數(shù)值都大，/(6)=0；而且在點劣=

b附近的左側(cè)尸(2)>0,右側(cè)(2)<0,則b叫做函數(shù)夕=/(,)的極大值點，/⑹叫做函數(shù)u=/(rr)的極大值.

(3)極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.

2.函數(shù)的最大(小)值

(1)函數(shù)/Q)在區(qū)間［a,6］上有最值的條件：

如果在區(qū)間［a,b］上函數(shù)y=/Q)的圖象是一條連續(xù)丕斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.

(2)求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的最大(小)值的步驟：

①求函數(shù)沙=/(,)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的極值;

②將函數(shù)“=**的各極值與端點處的函數(shù)值/(a),/(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小

值.

(常用結(jié)論】

對于可導函數(shù)/Q),"/'(3)=0”是“函數(shù)/(,)在，=g處有極值”的必要不充分條件

B【核心題型】

題型一利用導數(shù)求解函數(shù)的極值問題

根據(jù)函數(shù)的極值(點)求參數(shù)的兩個要領

⑴列式：根據(jù)極值點處導數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組,利用待定系數(shù)法求解：

(2)驗證:求解后驗證根的合理性.

命題點1根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值

?M

A.1B.2C.3D.4

:題目0（23—24高三上.黑龍江.階段練習）如圖是函數(shù)片/⑸的導函數(shù)g=的圖象，下列結(jié)論正確的

A.。=/（力）在x=—1處取得極大值B.T=1是函數(shù)g=/（c）的極值點

C.力二一2是函數(shù)"=/（/）的極小值點D.函數(shù)。=/（力）在區(qū)間（一1,1）上單調(diào)遞減

遮旦?（2024高三.全國.專題練習）已知函數(shù)/Q）的導函數(shù)/Q）的圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是

A.曲線y=f（x）在點（1,/（1））處的切線斜率小于零

B.函數(shù)6,）在區(qū)間（-1,1）上單調(diào)遞增

C.函數(shù)/Q）在2=1處取得極大值

D.函數(shù)6,）在區(qū)間（-3,3）內(nèi)至多有兩個零點

命題點2求已知函數(shù)的極值

題目可（2024.寧夏銀川.一模）若函數(shù)/㈤=（x2-ax—2時在c=—2處取得極大值，則/㈤的極小值為

()

A.-6e2B.—4eC.—2e2D.—e

題目回(2023?全國?模擬預測)函數(shù)“為=2c-tanc-兀在區(qū)間(苫疊)的極大值、極小值分別為()

A.y+1,-y+1B.-y+1>+1—1+1D.g-L-^+1

r-題---目-----可---、(多選)(2024?全國?模擬預測)已知/Q)=f—，xX)"則方程產(chǎn)(,)—&+3)/(,)+3k=0

、一/一42-1,240,

可能有()個解.

A.3B.4C.5D.6

題目回(2024.遼寧鞍山.二模)/(c)=，2e『的極大值為

命題點3已知極值(點)求參數(shù)

題目瓦)(2024.全國.模擬預測)設電,0；2為函數(shù)/(2)=%(c-2)(,-a)(其中a>0)的兩個不同的極值點，若

不等式/(g)+/(g)>0成立，則實數(shù)a的取值范圍為()

A.[1,4]B.(0,4]C.(0,1)D.(4,+oo)

題目①(2024.四川綿陽.三模)若函數(shù)/(2)=^ax2-x+blnx(a*0)有唯一極值點，則下列關系式一定成

立的是()

A.a>0,fe<0B.a<0,fe>0C.abV：D.ab>0

題目①(2024遼寧?一模)已知函數(shù)/(c)=xs+ax2+bx+<?在c=—1處有極值8,則/(I)等于.

題目12)(2024.全國.模擬預測)已知函數(shù)/(2)=Ina:—x2+ax—2(a,GR).

(1)若f(x)的極值為-2,求a的值；

(2)若nz,n是/(劣)的兩個不同的零點，求證：/'(nz+n)+m+n<0.

???

題型二利用導數(shù)求函數(shù)最值

求含有參數(shù)的函數(shù)的最值,需先求函數(shù)的定義域、導函數(shù),通過對參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到

函數(shù)/Q）的最值.

命題點1不含參函數(shù)的最值

題目應（2024?陜西?模擬預測）［1,2］,有a>—+/恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）

A.[e,+8)B.[1,+8)a[言+8)D.[2e,+oo)

［題目14］（2024.四川.模擬預測）已知/（力）=/—26+Q（］nc—力）,若存在（0,e］,使得/（g）&0成立，則

實數(shù)。的取值范圍是.

〔題目口9（2024.上海徐匯?二模）如圖，兩條足夠長且互相垂直的軌道幾?2相交于點O,一根長度為8的直桿

的兩端點45分別在"4上滑動（AB兩點不與O點重合，軌道與直桿的寬度等因素均可忽略不計），

直桿上的點P滿足OP，,則△OAP面積的取值范圍是.

題目1（2。24?全國?模擬預測）己知函數(shù)/（rc）=Inc.

（1）求函數(shù)g（2）=以也的最值.

X

（2）證明：趾工―嚀與3—紗⑸>0（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）.

命題點2含參函數(shù)的最值

題目①（2024.四川成都.模擬預測）已知函數(shù)/Q）=e'—叱⑻沒有極值點，則七7的

2i\Cb\J.）a?x

最大值為（）

A.乎B.fC.eD.f

題目W（23—24高三下.重慶.階段練習）若過點（a,6）可以作曲線沙=In,的兩條切線，則（）

A.b>InaB.bVlnaC.a<0D.5>ea

題目|191（2024.全國.模擬預測）函數(shù)/（為）=（力+2）ln（6+1）—ax只有3個零點xlfg,g（劣i<劣2<劣3<3）,

則a+電的取值范圍是.

?【課后強化】

基礎保分練

一、單選題

題目口（2023?廣西?模擬預測）函數(shù)/（2）=/+加在2=1處取得極小值，則極小值為（）

A.1B.2C.—2D.—1

題目幻（2024.四川涼山.二榭若/（①）=/since+cosa;—1,①C[―。兀],則函數(shù)/（,）的零點個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

題目團（2024.黑龍江哈爾濱.一模）在同一平面直角坐標系內(nèi)，函數(shù)沙=/（為及其導函數(shù)夕=/'（，）的圖象如

圖所示，己知兩圖象有且僅有一個公共點，其坐標為（0,1）,則（）

A.函數(shù)y=/（￡）-e"的最大值為1B.函數(shù)沙=/（2）-e。的最小值為1

C.函數(shù)9=與的最大值為1D.函數(shù)9=與的最小值為1

ee

:

題目④（2024.陜西安康.模擬預測）已知函數(shù)/（乃=（??+61+22；有2個極值點，則（）

A.0<a<——B.b>0C.a<4bD.b>2a

16

題目回（2024.全國.模擬預測）已知函數(shù)/（c）=a（sin，”cos為十。在（0,兀）上恰有兩個極值點,則實數(shù)a

e

的取值范圍是（）

A.B.（―8,e兀）C.（0,e兀）D.

???

二、多選題

題目⑤（2024.全國.模擬預測）已知函數(shù)/（，）=&/+2在定義域內(nèi)既存在極大值點又存在極小值點,則

（）

A.ab>0B.;-C---

ae

C.4a-fee2>0D.對于任意非零實數(shù)a,總存在實數(shù)b滿足題意

1題目可（2024?湖北武漢?模擬預測）已知各項都是正數(shù)的數(shù)列｛冊｝的前幾項和為S”,且Sn=黑+」,則下

列結(jié)論正確的是（）

A.當771>九（772,neN）時，。九B.Sn+Sn+2<2Sn+1

C.數(shù)列｛S^｝是等差數(shù)列D.Sn-^->Inn

三、填空題

：>tJ]（2024?上海黃浦?二模）如圖是某公園局部的平面示意圖，圖中的實線部分（它由線段CE,DF與分別

以OCQD為直徑的半圓弧組成）表示一條步道.其中的點是線段AB上的動點，點。為線段AB,CD

的中點，點E,F在以AB為直徑的半圓弧上,且NOCEZODF均為直角.若AB=1百米，則此步道的最大

長度為百米.

題目3〕（2023?江西贛州?模擬預測）當①=0時，函數(shù)/（ar）=ae~x+bx取得極小值1,則a+b=.

四、解

〔題目|10）（2023.河南洛陽.一模）已知函數(shù)/⑺=#+十+y.

（1）求/（，）的圖像在點（2,〃2））處的切線方程；

⑵求/（2）在[],2]上的值域.

［題目I11［（2024?上海靜安?二模）已知keR,記/（,）=ax+k?U”（a>0且a/1）.

⑴當a=e（e是自然對數(shù)的底）時，試討論函數(shù)g=的單調(diào)性和最值；

（2）試討論函數(shù)？/=/（⑼的奇偶性；

（3）拓展與探究：

①當k在什么范圍取值時，函數(shù)y=/（0的圖象在立軸上存在對稱中心？請說明理由;

②請?zhí)岢龊瘮?shù)沙=/（2）的一個新性質(zhì)，并用數(shù)學符號語言表達出來.（不必證明）

綜合提升練

一、單領

題目2］（2024.全國.模擬預測）若函數(shù)/（①）=（a;+l）lnz-aa;+1是（0,+oo）上的增函數(shù),則實數(shù)a的取值范

圍是（）

A.（-oo,21n2］B.（0,21n2］C.（-oo,2］D.（0,2］

題目0（2024.陜西渭南.模擬預測）已知函數(shù)/（a：）=d+a在區(qū)間［0,1］上的最小值為1,則實數(shù)a的值為

（）

A.-2B.2C.-1D.1

題目§（23—24高三下.內(nèi)蒙古赤峰.開學考試）已知函數(shù)/（①）=adna;—ac有極值一e,則a=（）

A.1B.2C.eD.3

題目⑷（2024.廣東佛山.二模）若函數(shù)/（,）=alnx+~+々（a片0）既有極大值也有極小值,則下列結(jié)論一

定正確的是（

A.a<0B.b<QC.o,b>—1D.a+b>0

題目回(2023?甘肅蘭州?一模)已知函數(shù)/(乃=1+4—Inc的極值點為0,函數(shù)h(,)=用的最大值為

22x

如則()

A.Xi>X2B.X2>XiC.劣1>42D.62>/1

題目回(2024?全國?模擬預測)記函數(shù)9=/(0的導函數(shù)為？的導函數(shù)為啖，則曲線g=的曲率K=

—叨一r.則曲線V二必加的曲率的極值點為()

[i+(y)2F

A.#B.乎C.手D.#

2393

題目-7\)(2024?北京朝陽?一模)已知幾個大于2的實數(shù)的,，2,…,，”，對任意@(i=1,2,…,九)，存在例>2滿足僅

且就*=源，則使得oh+gH-----Fa?"_iW15縱成立的最大正整數(shù)ri為()

A.14B.16C.21D.23

題目回(2023?河南洛陽?模擬預測)已知函數(shù)”為及其導函數(shù)/'(為的定義域均為R,且/'(2)-/(C)=/

e汽/(0)=0,則八,)()

A.有一個極小值點,一個極大值點B.有兩個極小值點,一個極大值點

C.最多有一個極小值點，無極大值點D,最多有一個極大值點，無極小值點

二、多選題

題目⑥(2023?全國?模擬預測)對函數(shù)/(c),g(,)公共定義域內(nèi)的任意c,若存在常數(shù)MGR,使得

1/(,)—9(,)|《河恒成立，則稱/(⑼和g(⑼是河—伴侶函數(shù),則下列說法正確的是()

A.存在常數(shù)MCR,使得/(,)=log2(5c)與g(2)=logi立是”—伴侶函數(shù)

2X

B.存在常數(shù)朋rCR,使得/0)=3計1與9(為=3。-1是河—伴侶函數(shù)

C./(s)=Inc與g(c)=t+2是1—伴侶函數(shù)

D.若f(x)=g'⑸，則存在常數(shù)AfCR,使得/㈤與9同是伴侶函數(shù)

題目①(2024?全國?模擬預測)已知函數(shù)/⑸=(ax2+bx+c)e。的極小值點為0，極大值點為巾(館>0),且

極大值為0,則()

A.m—2B.b—4：a

C.存在gCR,使得/(g)>0D.直線9=3a與曲線9=/(c)有3個交點

題目F3(2024.全國.模擬預測)己知函數(shù)/⑺=(lna+b)e"—c^ec,其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則()

A.若/(,)為減函數(shù)，則〃0)<0B,若/(,)存在極值，則ae°>l

C.若/(1)=0,則6>ln2D.若/(0>0,則b>a

三、填空題

題目?(2022?廣西?模擬預測)已知函數(shù)/?(,)=近土與土工,則/(⑼的極小值為

e----------

【題目百(2023.廣東汕頭.一模)函數(shù)/(,)=a/—6,的一個極值點為1,則/(①)的極大值是.

：題目口口(2024?上海閔行?二模)對于任意的電、電6R,且%>0，不等式le^-Zil+|lna;-a;|>a恒成立,則

22?M

實數(shù)a的取值范圍為.

四、解答題

［題目［15)(2024?安徽?二模)已知函數(shù)/(①)=/—lOa；+3/'⑴Inc

(1)求函數(shù)/(，)在點(1J(1))處的切線方程；

(2)求/(,)的單調(diào)區(qū)間和極值.

題目(2024.海南.模擬預測)已知函數(shù)/(2)=?2—alna?+l,aCR.

(1)當a=1時，求曲線可=/(c)在點(1J(1))處的切線方程；

⑵當a>0時,若函數(shù)八①)有最小值2,求a的值.

題目叵)(2024?陜西西安?模擬預測)已知函數(shù)/㈤=萼一十.

(1)求/(①)的最大值；

(2)證明：當c>0時，f(x)<xex.

題目應(2024.福建?模擬預測)已知函數(shù)/Q)=a\nx—b工在(1,7(1))處的切線在y軸上的截距為-2.

⑴求a的值；

(2)若/(,)有且僅有兩個零點，求b的取值范圍.

題目?(2024?全國?模擬預測)已知函數(shù)/⑸:^^+色—河—皿

⑴若曲線y=/(c)在(0,a——)處的切線方程為4arc+2y+1=0,求a的值及/(2)的單調(diào)區(qū)間.

(2)若/(c)的極大值為/(ln2),求a的取值范圍.

(3)當a=0時，求證：/(c)+5e"—|*>^-x2+x\'n.x.

拓展沖剌練

一、單領

題目①(2023.湖南衡陽.模擬預測)若曲線/⑸=*<0)與g(c)=e。有三條公切線,則k的取值范圍為

()

題目區(qū)(2023?河南?三模)已知函數(shù)/(0=/Inc,則下列結(jié)論正確的是()

A./Q)在片心處得到極大值-支B./(X)在①=正處得到極大值y

C./(0在c=上處得到極小值-4D.f(x)在①=Ve處得到極小值-1-

趣目包(2023?湖北?模擬預測)設函數(shù)/(,)=2砂—2c，若正實數(shù)a使得存在三個兩兩不同的實數(shù)b,c,d滿

足(aj(a)),(6,/(b)),(cj(c)),(d,/(d))恰好為一個矩形的四個頂點，則a的取值范圍為()

A.(04]B.[1,1]C.仙辛]D.[哈1]

題目?(2024?湖北?二模)已知函數(shù)/(c)=W+3^(e為自然對數(shù)的底數(shù)).則下列說法正確的是

e'x-\-ex

()

A.函數(shù)/(①)的定義域為R

B.若函數(shù)/(c)在P(0,7(0))處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為彳。，則a=