2024年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)題型訓(xùn)練：圓的方程（解析版）【藝體生專供】(新高考)

專題19圓的方程

一、考向解讀

考向：高考中圓的方程一般與直線結(jié)合考查，選擇題填空題都有，基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)是圓的方

程，直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系等。作為平面解析幾何的基礎(chǔ)內(nèi)容，也會(huì)

綜合圓錐曲線考查，比較重要！

考點(diǎn)：圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系。

導(dǎo)師建議：重視圓的方程的求法，掌握基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)即可！

二、知識(shí)點(diǎn)匯總

L直線與圓的位置關(guān)系

設(shè)圓C：（x—a）2+（y—。）2=/，直線/：Ax+By+C=Q,圓心C（a,0）到直線/的距離為d,由

（X—。）2+（y—Z?）2=r2,

\Ax+By+C=0消去〉（或x）,得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，其判別式為4

位置關(guān)系相離相切相交

A

圖形務(wù)、

方程/<0J=0/>0

量化

幾何d>rd=rd<r

2.圓與圓的位置關(guān)系

設(shè)兩圓的半徑分別為R,兩圓圓心間的距離為d,則兩圓的位置關(guān)系可用下表表示:

位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含

g⑨

圖形后）

R一r<

量的關(guān)系d>R+rd=R+rd=R~rd<R-r

R+r

公切線條數(shù)43210

【常用結(jié)論】

直線被圓截得的弦長(zhǎng)的求法

(1)幾何法：運(yùn)用弦心距小半徑廠和弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成的直角三角形，計(jì)算弦長(zhǎng)=戶一冊(cè)

(2)代數(shù)法：設(shè)直線丁=日+機(jī)與圓好+產(chǎn)+,+石丁+R二。相交于點(diǎn)〃，N,將直線方程代入圓

的方程中，消去y,得關(guān)于x的一元二次方程，求出XM+XN和XM-XN,則\MN\=

W+pq(%M+%N)2~4XM-XN.

三、題型專項(xiàng)訓(xùn)練

目錄一覽

①圓的方程的求法

②圓與圓的位置關(guān)系

③直線與圓的位置關(guān)系

④圓的弦長(zhǎng)

⑤關(guān)于直線和圓的距離問(wèn)題

⑥多選題與填空題

高考題及模擬題精選

題型精練，鞏固基礎(chǔ)

①圓的方程的求法

一、單選題

1.圓2f+2y2+6%—4＞一3=0的圓心坐標(biāo)和半徑分另|J為()

A.和4B.(3,2)和4

C.［一|,1］和叵D.［一|,1］和M

【答案】C

【分析】利用圓的一般方程的圓心和半徑公式，即得解

3

【詳解】2犬2+2產(chǎn)+6%一4丁-3=0可化為工2+y2+3x-2y--=0,

由圓心為1半徑/=；，9+爐-4尸,易知圓心的坐標(biāo)為］半徑為

故選：C

2.圓心為(1,2),且過(guò)(。,0)的圓的方程為()

A.(x+l)2+(y+2)2B.x2+y2=5

C.(x-l)2+(y-2)2=5D.x2+j2=-s/5

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件求出圓的半徑，再直接寫出方程作答.

【詳解】因圓的圓心為(L2),且過(guò)(0,0),則圓的半徑一小豆=石，

所以所求圓的方程為：(尤-丁+(-2)2=5.

故選：C

3.過(guò)A(0,0),C(4,2)三點(diǎn)的圓的一般方程是()

A.x2+y2+8x+6y=0B.%2+y2-8x-6y=0

C.x2+y2+8x-6y=0D.x2+_y2-8x+6_y=0

【答案】D

【分析】設(shè)所求的圓的方程為/+/+m+跌+尸=0,代入已知點(diǎn)得方程組，求解可得圓的方程.

【詳解】解：設(shè)所求的圓的方程為/+/+為+跌+尸=0,因?yàn)?(0,0),5(1,1),44,2)三點(diǎn)在圓上，所以

F=0,D=-8,

22

O+E+F+2=0,解得E=6,于是所求圓的一般方程是x+y-8x+6y=0.

4D+2E+F+20=0,F=0,

故選：D.

4.已知ABC的頂點(diǎn)&(0,0),3(0,2),C(-2,2),則其外接圓的方程為()

A.(x+l)2+(y-l)2=2B.(x-l)2+(y+l)2=2

C.(x-l)2+(y-l)2=2D.(x+l)2+(y+l)2=2

【答案】A

【分析】先設(shè)圓的方程為(無(wú)-療+⑶-4=戶，根據(jù)題意，列出方程組求解，即可求出結(jié)果.

【詳解】設(shè)ABC的外接圓的方程為(x-4+(y-牙一汽

因?yàn)锳BC的頂點(diǎn)4(0,0),B(0,2),C(-2,2),

a2+b2=r2a=-1

所以卜2+(23=產(chǎn),解得卜=1,因此(尤+1)2+g)2=2即為所求圓的方程.

—2

(2—a)+(2—by=r~r_

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用待定系數(shù)法求解即可，屬于基礎(chǔ)題型.

5.求過(guò)兩點(diǎn)4(0,4),8(4,6),且圓心在直線x-2y-2=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

A.(x+4)2+(y+l)2=25B.(x+4)2+(j-l)2=25

C.(X-4)2+(J+1)2=25D.(尤-4)2+(y-l)2=25

【答案】D

【分析】由圓心在直線x-2y-2=0上，可設(shè)圓心C(2b+2,b),再根據(jù)圓心到兩點(diǎn)A(0,4)、B(4,

6)的距離相等，求出b的值，即得圓心和半徑，從而求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為C(2b+2,b),由圓過(guò)兩點(diǎn)A(0,4),B(4,6),可得|AC|=|BC|,

即[(26+2)-0丁+°-4)2=[(22+2)-47+0-6)2,解得b=l,

可得圓心為(4,1),半徑為5,則所求圓的方程為(*-4+0-1)2=25.

故選：D.

6.圓(x-iy+(y+2)2=2關(guān)于直線/：x+y-2=0對(duì)稱的圓的方程為()

A.(^-4)2+(y-l)2=2B.(%+4)2+(y+l)2=2

C.(A:-4)2+(J+1)2=2D.(A：+4)2+(y-l)2=2

【答案】A

【分析】首先求出圓(x-丁+(尹2)2=2的圓心坐標(biāo)與半徑，再設(shè)圓心(1,-2)關(guān)于直線/:無(wú)+y-2=0對(duì)稱的

點(diǎn)的坐標(biāo)為(。力)，即可得到方程組，求出b,即可得到圓心坐標(biāo)，從而求出對(duì)稱圓的方程；

【詳解】解：圓口-吁+(尹2)2=2的圓心為(1,-2),半徑一夜，設(shè)圓心(1,-2)關(guān)于直線/:尤+k2=0對(duì)

稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(。,6),

b+27、

h(T=-i

\ci=4.

則，解得〃一，即圓（xT）、（尹2）=2關(guān)于直線/：x+y-2=0對(duì)稱的圓的圓心為（z4,1）,

*+工2=。\U-L

I22

半徑r=C>

所以對(duì)稱圓的方程為（x-4）2+（y-l）2=2；

故選：A

②圓與圓的位置關(guān)系

7.已知圓。一與圓Q的半徑分別為2和6,圓心距為4,則這兩圓的位置關(guān)系是（）

A.相離B.外切C.相交D.內(nèi)切

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用圓心距與兩圓半徑和差大小關(guān)系判斷作答.

【詳解】依題意，圓與圓4的圓心距4等于圓儀的半徑6減去圓的半徑2,所以圓。內(nèi)切于圓儀.

故選：D

8.已知圓C]:尤?+=1和C?:Y+廠-5x+4=。，則兩圓的位置關(guān)系是（）

A.內(nèi)切B.相交C.外切D.外離

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，由圓的方程求出兩個(gè)圓的圓心和半徑，求出圓心距，由圓與圓的位置關(guān)系分析可得答

案.

【詳解】由題意，知圓G的圓心￡（o,o）,半徑廠=1.

圓c2的方程可化為[尤一（J+>2=；,則其圓心C2《,0；半徑R

53

因?yàn)閮蓤A的圓心距IGC2I=2=1+Q=R+r,故兩圓外切.

故選：C.

9.已知圓G：無(wú)2+丁=1與圓G：（x-3）2+（y-4）2=4,則圓G與C2的位置關(guān)系是（）

A.內(nèi)含B.相交C.外切D.相離

【答案】D

【分析】根據(jù)兩圓心距離與兩半徑關(guān)系確定兩圓位置關(guān)系.

【詳解】圓G：f+y2=i的圓心為￡(0,0),半徑4=1,

2

圓G:(x-3)+(y-4>=4的圓心為G(3,4),半徑r2=2,

因?yàn)镴ee?]=J?。+4?=5>4+弓=3,所以兩圓相離，

故選：D.

10,圓。1：/+,2=1與圓O?：》2+>2-4苫+1=0的位置關(guān)系為()

A.相交B.相離C.外切D.內(nèi)切

【答案】A

【分析】根據(jù)圓心距以及圓的半徑確定正確選項(xiàng).

【詳解】圓。I：V+y2=i的圓心為q(o,o),半徑為11.

圓。2：/+/一4.》+1=0的圓心為Q(2,0),半徑為

|。02卜2,馬口<|GQ|y+弓，所以兩圓相交.

故選：A

11.兩個(gè)圓G：x2+y2+2x+2廠2=。與C2：/+/一4x-2y+l=0的公切線有且僅有()

A.1條B.2條C.3條D.4條

【答案】B

【分析】先求兩圓的圓心和半徑，判定兩圓的位置關(guān)系，即可判定公切線的條數(shù)

【詳解】將兩圓化為標(biāo)準(zhǔn)式可得￡：(x+l)2+(y+l)2=4C：(x-2)2+(y-l)2=4

即兩圓的圓心分別是(2,1)泮徑分別是2,2

兩圓圓心距離：0〈存涯=屈<4,說(shuō)明兩圓相交，因而公切線只有兩條.故選：B.

③直線與圓的位置關(guān)系

12.圓Y+(y+l)2=l與直線x+2y+3=0的位置關(guān)系是()

A.相交B.相切C.相離D.不能確定

【答案】A

【分析】運(yùn)用幾何法d與廠的關(guān)系判斷圓與直線位置關(guān)系即可.

【詳解】圓尤2+(y+1『=1的圓心為(0,-1),半徑為1,

所以圓心到直線x+2y+3=。的距離4=下空=當(dāng)＜1,所以直線與圓的位置關(guān)系為相交.

故選：A.

13.直線4無(wú)一3y+ll=0與圓(x+l)2+(y+l『=4的位置關(guān)系是()

A.相離B.相切C.相交D.不確定

【答案】B

【分析】求得圓心到直線的距離和半徑之間的關(guān)系，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】圓心坐標(biāo)為(-1,-1),半徑為2,

圓心到直線的距離為斯,』=2,所以直線4x-3y+H=0與圓(x+l『+(y+l)2=4相切.

故選：B

14.已知圓C的圓心為(1,0),且與直線，=2相切，則圓C的方程是()

A.(x-l)2+y2=4B.(X+1)2+/=4

C.(尤-1)2+丁=2D.(x+l)2+/=2

【答案】A

【分析】由直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑即：d=r,列式可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)圓方程為(彳-1『+/，

?.?直線＞=2與圓相切，圓心(L0)到直線y=2的距離為d=|2-0|=2,.?.「=1=2,

二圓的方程為：(x—l)2+y2=4.

故選：A.

15.直線x+機(jī)＞一1=0與圓/+_/_2.丫_4、=0的位置關(guān)系是()

A.相切B.相交C.相離D.不確定

【答案】B

【分析】直線恒過(guò)定點(diǎn)。,0),而此點(diǎn)在圓的內(nèi)部，故可得直線與圓的位置關(guān)系.

【詳解】直線工+〃沙-1=0恒過(guò)定點(diǎn)(L0),

而F+02-2X1-4x0＜0,故點(diǎn)。,0)在圓的內(nèi)部，故直線與圓的位置關(guān)系為相交，

故選：B.

16.設(shè)zneR,則直線/：+y-，"—1=。與圓x2+V=2的位置關(guān)系為()

A.相離B.相切C.相交或相切D.相交

【答案】C

【分析】求出直線恒過(guò)的定點(diǎn)，根據(jù)定點(diǎn)與圓的關(guān)系可得答案.

【詳解】因?yàn)椤ㄊ?、一機(jī)-1=。，所以l)+y-l=O,即直線恒過(guò)定點(diǎn)(1,1)；

因?yàn)辄c(diǎn)(U)恰在Y+丁=2上，所以直線和圓的位置關(guān)系是相交或相切.

故選：C.

17.已知直線y+2=。與圓C：/+y2—2y—2機(jī)=0相離，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

1

A.(-<?,0)B.——,+00

2

1

C.—00,-------D.

42，-4

【答案】D

【分析】由圓心到直線的距離大于半徑即可求解.

【詳解】由一+產(chǎn)一2y一2根=0,得/+(y_1)2=2m+1,

12m+1>0,

????實(shí)數(shù)m的取值范圍是W

?.?匕4>k？解得

故選:D.

18.以點(diǎn)(-3,1)為圓心，且與直線3x+4y=。相切的圓的方程是()

22

A.(x-3)+(y+l)=4B.(尤+3)2+"1)2=4

C.(^-3)2+(y+l)2=l

【答案】D

【分析】求出圓心到直線的距離即得圓的半徑，即得圓的方程.

|-3x3+lx4|

【詳解】由題得圓心到直線的距離d==1=「，所以圓的方程為(％+3)2+(y-1)2=1.

73^

故選：D.

19.已知圓》2+_/+4》=0與直線、=履+1相切,則()

B.

34.、

C.k=—,或左=0D.左二一§,或左二0

4

【答案】A

【分析】由直線與圓相切，根據(jù)d=r即可求得，要注意斜率為0的情況.

【詳解】將一+丁+4了=0化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x+2>+y2=4,所以圓心將2,0),半徑廠=2,因?yàn)?/p>

/+丁+4.》=0與直線>=丘+1相切，(1)當(dāng)％=0時(shí)，了=1不合題意；(2)當(dāng)左片0時(shí)，由d=嗅+憶2得,

收+1

,3

k=—.

4

故選：A

20.若曲線與直線y=Z(x—2)+4有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)人的取值范圍是()

A.I」[B.

C.(1,4-oo)D.(1,3]

【答案】A

【分析】畫出圖象，轉(zhuǎn)化為直線與半圓的交點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合來(lái)進(jìn)行求解.

【詳解】根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示.由題意可得，曲線y=67的圖象為以(0,0)為圓心，2為半徑

14-2fcI

的半圓，直線1恒過(guò)A(2,4),由圖當(dāng)直線1與半圓相切時(shí)，圓心到直線1的距離d=r,即^^=2,解

得k=J3；當(dāng)直線1過(guò)B點(diǎn)時(shí)，直線1的斜率k=4F-0^=l,則直線1與半圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k

42-(-2)

故選：A.

④圓的弦長(zhǎng)

21.直線/：3x+4y-1=0被圓UY+j?一2x-4y-4=0所截得的弦長(zhǎng)為（）

A.2石B.4C.2#>D.20

【答案】C

【分析】利用圓的一般方程得出圓心坐標(biāo)和半徑，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式與勾股定理即可求解.

【詳解】由題意知，圓心C（l,2）,圓C的半徑為3,

故C至！]/：3元+4y—1=0的距離為善日

=2,故所求弦長(zhǎng)為253?-2?=2亞.

V32+42

故選：C

22.圓尤2+/+4x-2y+l=0與直線x=-l的相交弦的長(zhǎng)度等于（）

A.275B.4C.273D.2

【答案】C

【分析】由圓心到直線％=-1的距離，結(jié)合勾股定理得出相交弦的長(zhǎng)度.

【詳解】圓/+/+4尤一2,+1=0可化為（x+2『+（y-l）2=4,即圓心為（一2,1）,半徑廠=2

圓心（-2,1）到直線%=-1的距離d=|-2-（-1）|=1,即所求相交弦的長(zhǎng)度為2"1=2曲.

故選：C

23.已知直線/：2無(wú)一＞一2=0被圓C:d+y2-2x+4y+〃z=0截得的線段長(zhǎng)為乎，貝lj加=（）

A.2B.4C.D.5

【答案】B

【分析】由圓的一般方程可確定圓心和半徑，根據(jù)直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2戶彳可構(gòu)造方程求得結(jié)果?

【詳解】由圓C方程得：圓心C（l,-2）,半徑r=,J4+16—=

|2+2-2|2石

圓心C到直線/的距離d=萬(wàn)+（以=2\lr2—d1=215—%,=2個(gè),解得:m=4.

故選：B.

24.已知直線/：x-@-5=0與圓。：/+丁=]0交于A、8兩點(diǎn)且|AB|=26，貝！|左=（）

A.0B.±1C.±2D.±3

【答案】C

【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式與圓的垂徑定理求解.

【詳解】圓/+/=10的圓心為(0,0),半徑為r=可，

圓心(0,0)到直線工一外一5=。的距離：［=-/『，由/=/+(四］得10=Ey+5,解得人=±2.

y/l+k2I2J1+V

故選：C

25.若直線、=爪+2-3左與圓Y+y2+4y-57=0相交于不同兩點(diǎn)A,B,則弦A8長(zhǎng)的最小值為()

A.10B.12C.14D.16

【答案】B

【分析】先求出直線過(guò)的定點(diǎn)"(3,2),且M在圓內(nèi)，然后求出圓心C和半徑，根據(jù)圓的性質(zhì)得，弦過(guò)

加且A3,CM時(shí)弦長(zhǎng)最短，從而可以求解.

［詳解］由直線戶區(qū)+2-3%—)+2,

令x=3,解得y=2,所以直線過(guò)定點(diǎn)M(3,2),

X32+22+4X2-57<0,故M(3,2)在圓內(nèi).

由V+y?+4y-57=0=>x?+(y+2>=61,記圓心為C(0,-2),半徑r=

所以|CM|=J(3-0)2+(2+2)2=5,

根據(jù)圓的性質(zhì)，當(dāng)弦AB過(guò)股且時(shí)弦長(zhǎng)最短，此時(shí)弦長(zhǎng)|48|=2價(jià)2_|。刈2=2j61-25=12.

故選：B.

26.直線，:mr+y-w+l=0被圓C:(x+iy+(y—l)2=16所截得弦長(zhǎng)的最小值為()

A.472B.372C.272D.尤

【答案】A

【分析】先判斷直線與圓的位置關(guān)系，再由圓心與直線過(guò)的定點(diǎn)與直線垂直求解.

【詳解】解：易知直線1過(guò)定點(diǎn)A。,T),圓心C(-U),

因?yàn)?+1)2+(-1-；1)2<16,所以直線1與圓C相交,

當(dāng)/J_AC時(shí)，1被圓C所截得的弦最短，此時(shí)弦長(zhǎng)4=2142-|4。2=2，16-8=4后.

故選：A.

⑤關(guān)于直線和圓的距離問(wèn)題

27.已知圓C:d+y2-4x=0和直線/:履-y+1-2左=0,則圓心C到直線/的最大距離為()

A.1B.2C.3D.V2

【答案】A

【分析】根據(jù)直線方程確定所過(guò)的定點(diǎn)，再由定點(diǎn)與圓心的距離即可得圓心C到直線1的最大距離.

【詳解】由直線1得：則直線1恒過(guò)定點(diǎn)4（2,1）,

由圓C:（x-2）2+y2=4,則圓心C（2,0）,

故圓心C到直線1的最大距離d=7（2-2）2+（1-0）2=1.

故選：A

28.圓（％-2）2+9=2上動(dòng)點(diǎn)到直線x+y+2=0的距離的最小值為（）

A.72B.2A/2C.3亞D.472

【答案】A

【解析】求出圓心與半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離d,由d-r即可求解.

【詳解】???圓（x-2y+/=2,圓心（2,0）,半徑r=0,

圓心到直線的距離d=百=2應(yīng)，.?.圓（x-2）z+y2=2上的點(diǎn)到

直線x+y+2=0的距離最小值為20-72=72,

故選：A.

29.已知M是圓（彳-1）2+產(chǎn)=1上的動(dòng)點(diǎn)，則加到直線y=6+l（/reR）距離的最大值為（）

A.2B.72+1C.3D.25/2+1

【答案】B

【分析】根據(jù)圓上的點(diǎn)到一條直線距離的最大值等于圓心到此直線距離與半徑和，根據(jù)，=履+1供eR）恒

過(guò)的定點(diǎn)過(guò)圓心A。,。）作直線、=丘+1（壯陽(yáng)的垂線，垂足為8,得知點(diǎn)8的軌跡為以AC為直

徑的圓，則%4mx+1=亞+1求解.

【詳解】設(shè)圓（x-l『+y2=l的圓心為A（l,0）,點(diǎn)M到直線、=近+1（左eR）的距離為d,過(guò)點(diǎn)A作直線

y=丘+1伏eR）的垂線，垂足為B,

則點(diǎn)A到直線>=履+1%eR）的距離為|,所以41ax=|明峰+1,

又因?yàn)橹本€V=履+1伏wR）恒過(guò)定點(diǎn)C（0,l）,則垂足B的軌跡為以AC為直徑的圓，

則|ML=|AC|=E=3,所以鼠=1皿L+1=0+1

故選：B

30.圓。:/+/一2尤一4=0上一點(diǎn)P到直線/:2x-y+8=0的最大距離為()

A.2B.4C.2^/5D.3也

【答案】D

【分析】根據(jù)圓的一般方程寫出圓心坐標(biāo)和半徑，則點(diǎn)P到直線的最大距離為圓心到直線的距離加上半徑

即可求得結(jié)果.

【詳解】由圓C:尤2+丁_2x_4=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程(x-1-+/=5可知，

圓心坐標(biāo)為C(L0),半徑一石；

|2+8|_10

則圓心C(l,0)到直線/:2%-〉+8=0的距離為4=J2；+(T)2-小=2百,

所以，圓C上一點(diǎn)P到直線/：2尤-y+8=0的最大距離為〃+廠=3店.

故選：D.

31.已知直線/：3x-4y+6=0,圓C：(x-4)2+(y-2)2=16,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

3

A.直線/的縱截距為:

B.C上的點(diǎn)到直線/的最大距離為5

C.C上的點(diǎn)到點(diǎn)(-2,-4)的最小距離為6立-4

D.C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線/的距離為2

【答案】B

【分析】根據(jù)直線方程的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，依次判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】對(duì)選項(xiàng)A,直新31>6=。，縱截距為-三總故A正確

對(duì)選項(xiàng)B,圓C：(x-4)2+(y-2y=16,圓心(4,2),半徑廠=4,

|12-8+6|

C上的點(diǎn)到直線/的最大距離為+4=《+4=6,故B錯(cuò)誤.

^32+42

對(duì)選項(xiàng)C,因?yàn)?-2-4)2+(T-2)2>16,所以點(diǎn)(-2T)在圓C夕卜,

所以C上的點(diǎn)到點(diǎn)(-21)的最小距離為J[4-(-2)++[2-(-4)丁-4=6后-4,

故C正確.

對(duì)選項(xiàng)D,圓心(4,2)到直線/：3龍-4y+6=。的距離d=葉上8=2,

V32+42

因?yàn)?-2=2,所以C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線/的距離為2,故D正確.

故選：B

32.已知A,3分別為x軸，y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以AB為直徑的圓與直線2x+y-4=0相切，則該圓面積的

最小值為()

n-2兀八4乃一

A.—B.—C.——D.萬(wàn)

555

【答案】C

【分析】由已知可得以4B為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)0,由。向直線2尤+y-4=。作垂線，垂足為。，當(dāng)。為

切點(diǎn)時(shí)，圓的半徑最小，此時(shí)直徑為點(diǎn)。到直線的距離，進(jìn)而求解.

【詳解】加為直徑，ZAOB=90°,

點(diǎn)必在圓上，

由點(diǎn)。向直線2x+y-4=0作垂線，垂足為。，

當(dāng)點(diǎn)。恰好為圓與直線的切點(diǎn)時(shí)，圓的半徑最小，

此時(shí)圓直徑為0(0,0)到直線2x+y-4=。的距離]=展?=半，

即半徑r=迪，所以圓的最小面積%n="=與，

55

故選：C.

⑥多選題與填空題

二、多選題

33.經(jīng)過(guò)四點(diǎn)(0,0),(U),(2,0),(0,2)中的三點(diǎn)的圓的方程可能為()

A.尤2+y2_2x=0B.尤2+(,_1)-=]

C.x2+(j-l)2=2D.(x-l)2+(j-l)2=2

【答案】ABD

【分析】將點(diǎn)代入各方程，判斷是否滿足圓的方程，即可得出答案.

【詳解】選項(xiàng)A：點(diǎn)(0,0),(1,1),(2,0)在圓/一2x=0上，點(diǎn)(0,2)不在該圓上，故A正確;

選項(xiàng)B：點(diǎn)(0,0),(1』)，(0⑵在圓d+(y-l)2=l上,點(diǎn)(2,0)不在該圓上，故B正確；

選項(xiàng)C點(diǎn)(0,0),(1,1),(2,0),(0,2)都不在圓/+(y-iy=2上，故C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D：點(diǎn)(0,0),(2,0),(0⑵在圓(x-l)2+(y_l>=2上，點(diǎn)(1』)不在該圓上,故D正確；

故選：ABD.

34.已知圓C:f+y2-6x+4y-3=0,則下列說(shuō)法正確的是()

A.圓C的半徑為18

B.圓C截x軸所得的弦長(zhǎng)為4括

C.圓C與圓E:(尤-6)2+。-2)2=1相外切

D.若圓C上有且僅有兩點(diǎn)到直線3x+4y+”?=0的距離為1,則實(shí)數(shù)加的取值范圍是(19,24)"-26,-21)

【答案】BC

【分析】先運(yùn)用配方法將一般式方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可確定其圓心個(gè)半徑;根據(jù)點(diǎn)到弦的距離可求出弦長(zhǎng);

圓心距和半徑的關(guān)系可確定圓與圓的位置關(guān)系；圓心到直線的距離與半徑之間的數(shù)量關(guān)系可確定圓C上有

且僅有兩點(diǎn)到直線的距離為1

【詳解】A：將一般式配方可得：(x-3『+(y+2)2=16,.?.%=4,A錯(cuò);

B：圓心到x軸的距離為2,弦長(zhǎng)為244?-2?=46，B對(duì)；

22

C：由題意2=4,七=1,^￡|=^(6-3)+(2+2)=5=rc+rE,所以圓C與圓E外切，C對(duì)；

D：圓C上有且僅有兩點(diǎn)到直線3x+4y+〃z=0的距離為1,d表示圓心與直線的距離，

:.r-l<d<r+l,則313x3+4x(-2)+嘰5,解之：we(14,24)u(-26,-16),D錯(cuò)；

<32+42

故選：BC.

35.已知圓C的方程為(尤-=4,直線/的方程為彳+g-相-2=。，下列選項(xiàng)正確的是()

A.直線/恒過(guò)定點(diǎn)(2,1)

B.直線與圓相交

C.直線被圓所截最短弦長(zhǎng)為

D.存在一個(gè)實(shí)數(shù)加，使直線,經(jīng)過(guò)圓心C

【答案】ABC

【分析】化簡(jiǎn)直線/的方程為x-2+見y-l)=O,結(jié)合方程組的解，可判定A正確；求得圓心到定點(diǎn)(2,1)的

距離，得到點(diǎn)尸在圓內(nèi)，進(jìn)而得到直線與圓相交，可判定B正確；根據(jù)圓的性質(zhì)，得到當(dāng)直線和直線PC垂

直時(shí)，此時(shí)截得的弦長(zhǎng)最短，求得最短弦長(zhǎng)，可判定C正確；將圓心坐標(biāo)代入直線/的方程，可判定D不

正確.

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)：由直線/的方程x+沖-加-2=0,可化為x-2+加(y-l)=O,

(x—2=0/、

聯(lián)立方程組.JO,解得x=2,y=l,即直線/恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(2,l),所以A正確；

對(duì)于B項(xiàng)：由圓C的方程(尤-1?+(y-仔=4,可得圓心C(1,D,半徑廠=2,

又由|PC|=l<2=r,可得尸(2,1)在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，所以B正確；

對(duì)于C項(xiàng)：由|尸。=1,根據(jù)圓的性質(zhì)，可得當(dāng)直線和直線PC垂直時(shí)，此時(shí)截得的弦長(zhǎng)最短，最短弦長(zhǎng)為

2#不阡'=2萬(wàn)=F=2g,所以C正確；

對(duì)于D項(xiàng)：將圓心C(l,l)代入直線/的方程工+四-加-2=0,可得1+機(jī)-〃?-2=-1工0,所以不存在一個(gè)實(shí)

數(shù)加，使得直線/過(guò)圓心C,所以D不正確.

故選：ABC.

36.下述四個(gè)結(jié)論正確的是()

A.過(guò)點(diǎn)B(l,石)與圓/+y=4相切的直線方程為x+返y-4=0

B.直線無(wú)-，+左=。與圓V+y2=l相交的充分不必要條件是k=1

C.直線6+、+1=0表示過(guò)點(diǎn)(o,-l)的所有直線

D.過(guò)點(diǎn)4(1,1)且在坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程是x+y-2=0

【答案】AB

【分析】A選項(xiàng)設(shè)過(guò)點(diǎn)8(1,g)與圓的切線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求出直線的斜率即可，選

項(xiàng)B利用充分不必要條件進(jìn)行判斷即可，選項(xiàng)C利用反例即可驗(yàn)證，選項(xiàng)D分截距為0,或不為0的情況討

論求出即可.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,設(shè)過(guò)點(diǎn)8(1,石)與圓尤2+^=4相切的直線方程為：

y—^3=k(x—1)kx—y+\/3—k=Q,

即3r+2Gt+1=0,解得上=-走,

由題設(shè)得:=2,

3

所以過(guò)點(diǎn)8(1,6)與圓1+丁=4相切的直線方程為x+"y-4=0,故A正確,

則裳41=一金左40

選項(xiàng)B,若直線x—y+左=0與圓/+/=1相交,

所以k=1是直線x-y+左=。與圓V+y2=i相交的充分不必要條件，故B正確,

選項(xiàng)c,點(diǎn)(0,-1)在>軸上，但是無(wú)論。取何值，直線"+>+1=。不能表示y軸上的直線，故c不正確,

選項(xiàng)D,若截距為0時(shí)，設(shè)直線方程為了=丘,

將點(diǎn)A?！?代入y=依得：k=l,所以方程為：x-y=o,

若截距不為0時(shí)，設(shè)在坐標(biāo)軸上的截距為加，

則設(shè)直線方程為：-+2=h將點(diǎn)A。/)代入得：。=2,

aa

所以所求方程為：x+y-2=0.故選項(xiàng)D不正確，

故選：AB.

37.已知圓G：(無(wú)一1)2+(k3)2=12與圓C?：(x+l)，(yr〃)2=4,則下列說(shuō)法正確的是()

A.若圓C?與x軸相切，則能=±4

B.直線丘-丁-2左+1=0與圓G始終有兩個(gè)交點(diǎn)

C.若機(jī)=-3,則圓G與圓C2相離

D.若圓G與圓C2存在公共弦，則公共弦所在的直線方程為4*+(6-2〃7力+4+2=0

【答案】BC

【分析】選項(xiàng)A：若圓C?與x軸相切，則帆等于圓的半徑；

選項(xiàng)B：直線恒過(guò)定點(diǎn)(2,1),點(diǎn)(2,1)在圓G內(nèi)部，故直線與圓G始終有兩個(gè)交點(diǎn)；

選項(xiàng)C利用圓心距與半徑之和的關(guān)系，判斷兩圓是否外離；

選項(xiàng)D：若圓G與圓C?有公共弦，聯(lián)立兩個(gè)圓的方程可得公共弦所在的直線方程為.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：圓Cz：(x+l)2+(y-/n)2=4,半徑為2,若圓C?與x軸相切，則加=±2,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：直線區(qū)一y一2左+1=0,即了一1=左(％-2),恒過(guò)定點(diǎn)(2,1),

又由(2-1)2+(1-3)2=5<12,則點(diǎn)(2,1)在圓G內(nèi)部，故直線米-〉-2左+1=0與圓G始終有兩個(gè)交點(diǎn)，故

B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：若=-3,圓G為(x+l)2+(y+3)2=4,其圓心為(-L-3),半徑r=2,

圓G：(I.+"3)2=12,其圓心為(L3),半徑咫三2代,

圓心距d=|C]C2]=^4+36=2^/13>R+r,兩圓外離，故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：若圓G與圓&有公共弦，聯(lián)立兩個(gè)圓的方程可得4x+(6-2m)y+療-1=。

即公共弦所在的直線方程為4x+(6-2m)y+m2-l=0,故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

38.已知圓C:Y+y2+6x=0,直線/:履一y+5左+1=0,下列結(jié)論正確的是()

A.直線/恒過(guò)點(diǎn)(-5,1)

B.若直線/平分圓C,則A=1

C.圓心C到直線/的距離的取值范圍為［o,班］

D.若直線/與圓C交于點(diǎn)A,B,則/1BC面積的最大值為日

【答案】AD

【分析】根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)、直線和圓的位置關(guān)系、圓的幾何性質(zhì)等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答

案.

【詳解】尸1=/+5),令x=-5,得y=l,即直線1恒過(guò)點(diǎn)(-5,1),A正確.

圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x+3)2+y2=9,所以圓心C(-3,0).

因?yàn)橹本€1平分圓C,所以直線1過(guò)圓C的圓心，

所以—3%+5左+1=0,解得上=-；，B錯(cuò)誤.

圓心C到直線1的距離的最大值為J(-5+3)2+(l-0)2=6,最小值為0.

因?yàn)橹本€1不能表示x=-5,所以圓心C到直線1的距離不能為2,

故圓心C到直線1的距離的取值范圍為［0,2)u(2,指］,C錯(cuò)誤.

設(shè)圓心C到直線1的距離為d,ASC的面積為gxdx2,2-筋=的儲(chǔ)一不,

當(dāng)屋=:時(shí)，AfiC面積的最大值為］,D正確.

故選：AD

39.已知直線/：y=Mx+2)交y軸于點(diǎn)P,圓、：(了-2)2+丁=1,過(guò)點(diǎn)P作圓M的兩條切線，切點(diǎn)分別為

A,B,直線43與交于點(diǎn)C,則()

A.若直線/與圓M相切，貝|k=±巫

15

B.當(dāng)左=2時(shí)，四邊形的面積為2a

C.直線A?經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)

D.已知點(diǎn)Q［：。)，則|CQ|為定值

【答案】ACD

【分析】根據(jù)圓心到直線距離等于半徑建立等式，解出左即可判斷A；根據(jù)左求出尸（。,4）,進(jìn)而求出伊河|,

根據(jù)相切可得四邊形面積等于兩個(gè)全等的直角三角形面積和，根據(jù)三角形面積公式即可求出結(jié)果；根據(jù)相

切可知瓦尸四點(diǎn)共圓，且為直徑，求出圓的方程即可得弦所在的直線方程，進(jìn)而判斷C；根據(jù)直

線A3過(guò)定點(diǎn)及用fAB可得/MCN=90，即C在以肱V為直徑的圓上，求出圓的方程可發(fā)現(xiàn)圓心為點(diǎn)Q,

即可判斷D.

【詳解】解：對(duì)于A,若直線1與圓M相切，則圓心到直線的距離亡?=1,

解得太=土巫，所以A正確；

15

對(duì)于B,當(dāng)左=2時(shí)，尸（0,4）,M（2,0）,|PM|=716+4=275,

因?yàn)闉閳A的兩條切線，所以NPAM=ZP8M=9O,

所以四邊形的面積S=2%叢”=MMJ尸川=1?而皆W=曬，

所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)槭?,2左），M（2,0）,S.ZPAM=ZPBM=90,

所以四點(diǎn)共圓，且尸”為直徑，

所以該圓圓心為。㈤，半徑為亞丁1=仄記，

所以圓的方程為：（x—l）2+（y/）2=l+/,

因?yàn)锳B是該圓和圓〃的相交弦，

所以直線AB的方程為兩圓方程相減，

即（％—1）2+（y—左）2_（%_2）2_y2=]+左2,

化簡(jiǎn)可得：A5:-2x+2@+3=0,

所以直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)所以C正確；

對(duì)于D,因?yàn)樗訬MC4=90,

因?yàn)樵谥本€AB上，所以/MCN=90

即點(diǎn)C在以MN為直徑的圓上，因?yàn)镸（2,0）,N1,0）

所以圓心為[8],半徑為族=工,

I；-T"4

所以圓的方程為：］工一（：+9=5,圓心為。匕,0）,

11

因?yàn)辄c(diǎn)C在該圓上，所以|CQ|=a為定值I，所以D正確.

故選：ACD

40.已知圓C:/+（y_l）2=i,點(diǎn)。為直線/：丘+y_2左-3=0上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.圓心C到直線/的最大距離為8

B.若直線/平分圓C的周長(zhǎng)，則％=-1

C.若圓C上至少有三個(gè)點(diǎn)到直線/的距離為:，則十一同＜、＜一16+回

21515

D.若左=1,過(guò)點(diǎn)。作圓C的兩條切線，切點(diǎn)為A,B,當(dāng)點(diǎn)。坐標(biāo)為（2,3）時(shí)，有最大值

【答案】BD

【分析】由圓C:/+（y_i）2=i,知圓心C（0,l）,半徑r=1,由直線過(guò)圓心可求3從而判斷B；

/:丘+y-2"3=0恒過(guò)定點(diǎn)尸（2,3），可求點(diǎn)C到直線I的最大距離，判斷A；由已知圓心到直線的距離dVg,

r1

可求％的范圍判斷C；利用sinNAQC=R@=再，從而可求|QC|最小時(shí)。的位置判斷D.

【詳解】由圓C:無(wú)2+（y-1）2=1,知圓心C（0,l）,半徑廠=1,

對(duì)于A,直線/：立+V-2左-3=0恒過(guò)定點(diǎn)F（2,3），:.點(diǎn)C到直線/的最大距離為IFC|=*=20,故A不正確；

對(duì)于B,直線/平分圓C的周長(zhǎng)，則直線過(guò)圓心C,1-2左-3=0,解得左=-1,故B正確；

對(duì)于C,若圓C上至少有三個(gè)點(diǎn)到直線/的距離為1,則圓心到直線的距離d＜\,

z2

/°+能7"弓,解得力-亞QT6+?,故c錯(cuò)誤；

〃+121515

r1

對(duì)于D,ZAQ8=2ZAQC,要使NAQ8最大，只需要NAQC最大即可，又sin/AQC=n5=畫，故需|℃|

最小，此時(shí)QC與直線/垂直，故此時(shí)Q與定點(diǎn)產(chǎn)（2,3）重合，故Q（2,3）,故D正確，

故選：BD.

三、填空題

41.的三個(gè)頂點(diǎn)分別是4（2,0）,0（。,0）,8（0,2）,則其外接圓的方程為.

【答案】（尤一1），（廣1）2=2

【分析】求得圓心和半徑，進(jìn)而求得圓的方程.

【詳解】由于NAO3=90。，所以43是外接圓的直徑，

所以圓心為(1,1),半徑為用==

所以外接圓的方程為(x-以+(y-l)2=2.

故答案為：(x-l)2+(y-l)2=2

42.已知圓C:(x-2y+y2=i.若圓心c到直線/的距離為1,則直線/的方程為.(寫一個(gè)即可).

【答案】％=3(答案不唯一，符合題意即可)

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系寫出符合題意的答案即可.

【詳解】由題意知直線/與圓C相切，所以直線/的方程可以為x=3.

故答案為：x=3(答案不唯一，符合題意即可).

43.早在兩千多年前，我國(guó)的墨子給出了圓的定義——一中同長(zhǎng)也.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸(-1,百).若；O,

P的“長(zhǎng)”分別為1，廠，且