教師資格認(rèn)定考試初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)真題2021年上半年

教師資格認(rèn)定考試初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)真題2021年上半年一、單項(xiàng)選擇題(在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的．)1.

在空間直角坐標(biāo)系中，直線與平面3x-2y-z+15=0的位置關(guān)系是______A.相交且垂直B.相交不垂直C.平行D.直線在平面上正確答案：D[解析]過點(diǎn)(2，11，-1)，且一個(gè)方向向量為m=(3，4，1)；平面3x-2y-z+15=0的一個(gè)法向量為n=(3，-2，-1)．由于m·n=3×3+4×(-2)+1×(-1)=0，而3×2-2×11-(-1)+15=0，故直線在平面上．

2.

下列選項(xiàng)中，使得函數(shù)一致連續(xù)的x的取值范圍是______

A．(0，1)

B．(0，1]

C．

D．(-∞，+∞)正確答案：C[解析]根據(jù)一致連續(xù)性定理，若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f(x)在[a，b]上一致連續(xù)．因?yàn)楹瘮?shù)在(-∞，0)∪(0，+∞)上是連續(xù)的，故只有C項(xiàng)滿足．

3.

方程x4-3x3+6x-4=0的整數(shù)解的個(gè)數(shù)是______A.0B.1C.2D.3正確答案：C[解析]因?yàn)槎囗?xiàng)式f(x)=x4-3x3+6x-4的首項(xiàng)系數(shù)1的因數(shù)只有±1，常數(shù)項(xiàng)-4的因數(shù)只有±1，±2，±4，所以方程x4-3x3+6x-4=0的整數(shù)解只能是：±1，±2，±4．容易驗(yàn)證，只有f(1)=0，f(2)=0，所以方程x4-3x3+6x-4=0共有2個(gè)整數(shù)解，分別是x=1和x=2．

4.

設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0的自變量的改變量為Δx，相應(yīng)的函數(shù)改變量為Δy．ο(Δx)表示Δx的高階無窮?。艉瘮?shù)y=f(x)在x0可微，則下列表述不正確的是______A.Δy=f'(x0)dxB.dy=f'(x0)dxC.Δy=f'(x0)Δx+ο(Δx)D.Δy=dy+ο(Δx)正確答案：A[解析]若y=f(x)在x0可微，則有Δy=f'(x0)Δx+ο(Δx)，其中f'(x0)Δx=f'(x0)dx=dy．

5.

拋擲兩粒正方體骰子(每個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，…，6)，假定每個(gè)面向上的可能性相同，觀察向上面的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)之和等于5的概率為______

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]將兩粒骰子向上面的點(diǎn)數(shù)組合記作(x，y)，則(x，y)所有可能的取值有6×6=36(種)，其中點(diǎn)數(shù)之和等于5的有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4種．因此，所求概率為

6.

對(duì)于m×n矩陣A，存在n×s矩陣B(B≠O)，使得AB=O成立的充要條件是矩陣A的秩r(A)滿足______A.r(A)＜nB.r(A)≤nC.r(A)＞nD.r(A)≥n正確答案：A[解析]“對(duì)于m×n矩陣A，存在n×s矩陣B(B≠O)，使得AB=O成立”等價(jià)于“n元齊次線性方程組Ax=0有非零解”等價(jià)于“系數(shù)矩陣A的秩小于未知量的個(gè)數(shù)n”，即“r(A)＜n”．

7.

以下關(guān)于一個(gè)五邊形與其經(jīng)過位似變換后的對(duì)應(yīng)圖形之間的關(guān)系的描述，不正確的是______A.對(duì)應(yīng)線段成比例B.對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線共點(diǎn)C.對(duì)應(yīng)角不相等D.面積的比等于對(duì)應(yīng)線段的比的平方正確答案：C[解析]如果兩個(gè)相似多邊形任意一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)P，P'所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn)O，且有OP'=k·OP(k≠0)，那么這兩個(gè)多邊形叫做位似多邊形．因此，五邊形與其經(jīng)過位似變換后的對(duì)應(yīng)圖形相似，從而它們對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段成比例，面積的比等于對(duì)應(yīng)線段的比的平方．

8.

試題“設(shè)，求當(dāng)時(shí)，T的值．”主要考查學(xué)生的______A.空間觀念B.運(yùn)算能力C.數(shù)據(jù)分析觀念D.應(yīng)用意識(shí)正確答案：B[解析]《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》關(guān)于運(yùn)算能力的描述是“運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力”，題干中的試題，需要學(xué)生根據(jù)運(yùn)算法則和運(yùn)算律對(duì)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕喿冃?，再代入具體數(shù)值，計(jì)算求得正確的結(jié)果，這考查的是學(xué)生的運(yùn)算能力．

二、簡答題(每小題7分，共35分)1.

已知平面上一橢圓，長半軸長為a，短半軸長為b(0＜b＜a)，求該橢圓繞著長軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體的體積．正確答案：以橢圓的長軸所在直線為x軸，短軸所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)顧客在某銀行窗口等待服務(wù)的時(shí)間X(min)的概率密度函數(shù)為fX(x)=用變量Y表示顧客對(duì)銀行服務(wù)質(zhì)量的評(píng)價(jià)值，若顧客等待時(shí)間不超過5min，則評(píng)價(jià)值Y=1；否則，評(píng)價(jià)值Y=-1，即

求：2.

X的分布函數(shù)．正確答案：

3.

Y的分布律．正確答案：由上小題知，

已知方程組有唯一解，當(dāng)且僅當(dāng)行列式不等于零，請(qǐng)回答下列問題：4.

行列式②的幾何意義是什么?正確答案：行列式②表示向量αi=(ai1，ai2，ai3)(i=1，2，3)的混合積，其值即為以α1，α2，α3為棱的平行六面體的定向體積(α1，α2，α3構(gòu)成左手系時(shí)為負(fù)，構(gòu)成右手系時(shí)為正)．

5.

上述結(jié)論的幾何意義是什么?正確答案：方程組①有唯一解表示平面πi：ai1x+ai2y+ai3z=bi(i=1，2，3)相交于一點(diǎn)．行列式②不等于零表示向量αi=(ai1，ai2，ai3)(i=1，2，3)的混合積不等于零，即向量αi=(ai1，ai2，ai3)(i=1，2，3)不共面．因此，題中結(jié)論的幾何意義是：平面πi：ai1x+ai2y+ai3z=6i(i=1，2，3)相交于一點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)它們的法向量αi=(ai1，ai2，ai3)(i=1，2，3)不共面．

6.

某教師在引領(lǐng)學(xué)生探究“圓周角定理”時(shí)，首先進(jìn)行畫圖、測量等探究活動(dòng)，獲得對(duì)圓周角和圓心角大小關(guān)系的猜想；進(jìn)一步尋找證明猜想的思路并進(jìn)行嚴(yán)格證明；最后，教師又通過幾何軟件對(duì)兩類角的大小關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證，從推理的角度，請(qǐng)談?wù)勀銓?duì)教師這樣處理的看法．正確答案：在初中數(shù)學(xué)中，經(jīng)常使用的兩種推理是合情推理和演繹推理．合情推理是從已有的事實(shí)和正確的結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納和類比，然后提出猜想的推理．演繹推理是從已有的事實(shí)(包括定義、公理、定理等)出發(fā)，按照規(guī)定的法則(包括邏輯和運(yùn)算)證明結(jié)論．

該教師首先進(jìn)行畫圖、測量等探究活動(dòng)，獲得對(duì)圓周角和圓心角大小關(guān)系的猜想，就是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷合情推理提出猜想的過程，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力．在學(xué)生給出猜想后，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生尋找證明猜想的思路．進(jìn)行嚴(yán)格證明就是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷演繹推理，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明提出的猜想的過程，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力．在整體解決問題的過程中，合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論．兩種推理方法相輔相成，更有利于學(xué)生掌握“圓周角定理”．

7.

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，為了鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，深入理解問題，教師常常在呈現(xiàn)任務(wù)后，不是立刻講解，而是留給學(xué)生足夠的思考時(shí)間，這種教學(xué)方式可稱之為“課堂留白”，請(qǐng)你談?wù)務(wù)n堂留白的必要性及意義．正確答案：(1)必要性：數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，要求以學(xué)生為主體，學(xué)生是課堂的主人，教師是引導(dǎo)者，倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流的學(xué)習(xí)方式，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)限于接受、記憶、模仿和練習(xí)．

(2)意義：①有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程，學(xué)生被動(dòng)接受變?yōu)橹鲃?dòng)探索．②課堂上長時(shí)間的“滿堂灌”不利于學(xué)生接受和理解所學(xué)知識(shí)，適時(shí)留出一點(diǎn)思考時(shí)間，反而能舒緩學(xué)生的緊張心理，集中學(xué)生的注意力，提高思維的質(zhì)量．③能極大地發(fā)揮學(xué)生主觀能動(dòng)性，激發(fā)學(xué)生積極探索、自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，激發(fā)學(xué)生的求知欲，啟迪學(xué)生的思維．

三、解答題(本大題10分)已知非齊次線性方程組1.

a為何值時(shí)，其對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解空間的維數(shù)為2?正確答案：題中非齊次線性方程組對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組為Ax=0，其中A=；x=(x1，x2，x3，x4)T．若Ax=0的解空間的維數(shù)為2，則有4-r(A)=2，即r(A)=2．為方便第2小題求非齊次線性方程組Ax=b(b=(-6，-2，-14，-8)T)的通解，這里對(duì)其增廣矩陣(A，b)作初等行變換，化成行階梯形矩陣：(A，b)=

顯然，要使r(A)=2，需令a+7=0，即a=-7．

2.

對(duì)于上小題中確定的a的值，求該非齊次線性方程組的通解．正確答案：根據(jù)上小題可知，當(dāng)a=-7時(shí)，將增廣矩陣(A，b)化成行最簡階梯形矩陣：

四、論述題(本大題15分)1.

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)需要培養(yǎng)的基本能力．學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力具體表現(xiàn)在哪些方面?請(qǐng)以整式運(yùn)算為例予以說明．正確答案：數(shù)學(xué)運(yùn)算能力主要表現(xiàn)在：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，求得運(yùn)算結(jié)果．

例如，化簡(3x+2y)(2x+5)-(3x+2y)(x+5)．一般的步驟是先去括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)，即(3x+2y)(2x+5)-(3x+2y)(x+5)=(6x2+15x+4xy+10y)-(3x2+15x+2xy+10y)=3x2+2xy．

在運(yùn)算過程中，學(xué)生首先要理解運(yùn)算對(duì)象．在上例中，3x是單項(xiàng)式，3x+2y是多項(xiàng)式，理解運(yùn)算對(duì)象是進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的起點(diǎn)，是正確進(jìn)行運(yùn)算的基礎(chǔ)．

在理解運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上正確運(yùn)用運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是計(jì)算出結(jié)果的關(guān)鍵．在上例中，整式運(yùn)算法則包括加、減、乘、除、去括號(hào)和合并同類項(xiàng)．學(xué)生只有在深刻理解并記憶這些法則的基礎(chǔ)上才能進(jìn)行正確的運(yùn)算．

運(yùn)算時(shí)根據(jù)實(shí)際問題合理利用運(yùn)算法則，拓展運(yùn)算思路是運(yùn)算能力較高級(jí)的體現(xiàn)．在上例中，通過分析發(fā)現(xiàn)(3x+2y)(2x+5)和(3x+2y)(x+5)有公因式3x+2y，可以將其提取出來，簡化運(yùn)算過程，節(jié)省運(yùn)算時(shí)間．

運(yùn)算以結(jié)果為導(dǎo)向，正確計(jì)算出結(jié)果是優(yōu)秀運(yùn)算能力的最終體現(xiàn)．在上例中無論是使用一般步驟的解法還是提取公因式的簡便算法，在運(yùn)算法則的指導(dǎo)下正確計(jì)算出結(jié)果才是最終目的．

五、案例分析題(本大題20分)下面是初中“三角形的內(nèi)角和定理”的教學(xué)案例片段．

教師請(qǐng)學(xué)生回憶小學(xué)學(xué)過的三角形內(nèi)角和是多少度，并讓學(xué)生用提前準(zhǔn)備好的三角形紙片進(jìn)行剪拼并演示．下面是部分學(xué)生演示的圖形(如圖1、圖2所示)：

圖1

圖2

在圖1中，三角形的三個(gè)內(nèi)角拼在一起后，B，C，D三點(diǎn)在一條直線上，看似構(gòu)成一個(gè)平角，教師質(zhì)疑，看上去是平角就是平角了嗎?學(xué)生的回答是“不一定”．接著，教師利用圖1啟發(fā)學(xué)生思考：

①既然不能判定B，C，D是否一定在同一條直線上(即組成平角)，可以換個(gè)角度，先構(gòu)造一個(gè)平角，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖1思考如何作輔助線——構(gòu)造平角．學(xué)生想到了作BC的延長線BD，如圖3所示．

②圖1中，∠1與∠A是什么關(guān)系?啟發(fā)學(xué)生在∠ACD內(nèi)作∠1=∠A，或過點(diǎn)C作CE∥AB，如圖4所示．

圖3

圖4

③現(xiàn)在只要證明什么?(證明∠2=∠B)

問題：1.

該教師讓學(xué)生回憶并用拼圖的方法感知三角形的內(nèi)角和，請(qǐng)簡述其教學(xué)意圖．正確答案：從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，便于建立起新舊知識(shí)之間的聯(lián)系．引導(dǎo)學(xué)生通過觀察實(shí)驗(yàn)操作，直觀地感受并發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)操作的局限性，進(jìn)而了解證明的必要性，在豐富的拼圖活動(dòng)中發(fā)展學(xué)生思維的靈活性、創(chuàng)造性，為下一步證明三角形內(nèi)角和定理提供思路和方法．這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)符合課程標(biāo)準(zhǔn)的基本要求，體現(xiàn)了學(xué)生的主體性和教師的引導(dǎo)性，使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)源于實(shí)踐生活，同時(shí)還能激發(fā)學(xué)生對(duì)新知識(shí)的好奇心．

2.

利用圖2設(shè)計(jì)問題串，使得這些問題能夠引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和定理的證法．正確答案：如圖1所示，在原圖的基礎(chǔ)上標(biāo)記點(diǎn)M，N，標(biāo)記∠3，∠4．

問題1：如圖1所示，我們把三個(gè)角拼在一起，看起來像平角，是不是就一定是平角呢?(不一定)

問題2：看起來像平角，我們是不是可以大膽猜想它是平角呢?(是)數(shù)學(xué)中很多結(jié)論和直觀認(rèn)識(shí)是一致的，但需要嚴(yán)格證明．

問題3：∠3和∠B有什么關(guān)系?(相等)

問題4：它們還有什么關(guān)系?聯(lián)系一下我們前面學(xué)過的知識(shí)．(它們是內(nèi)錯(cuò)角)

問題5：那可以得到什么結(jié)論?(AM與BC平行)

問題6：∠4和∠C有什么關(guān)系?(相等、內(nèi)錯(cuò)角)

問題7：那可以得到什么結(jié)論?(AN與BC平行)

問題8：AM與BC平行、AN與BC平行，那我們可以得到什么結(jié)論?(M，A，N在一條直線上)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行．

問題9：這是不是就可以說明∠MAN是平角呢?(是)

圖1

3.

請(qǐng)?jiān)俳o出其他兩種三角形紙片的拼法，并畫圖表示．正確答案：拼法一：如圖2所示，將△ABC中的∠B剪下來，與∠A拼到一起．

拼法二：如圖3所示，在△ABC中取AB，AC的中點(diǎn)，分別記為D，E，將∠A沿DE向下翻折，∠B沿過D點(diǎn)垂直BC的直線向右翻折，∠C沿過E點(diǎn)垂直BC的直線向左翻折，則翻折后點(diǎn)A，B，C會(huì)落到BC上的同一點(diǎn)，記為點(diǎn)F．

圖2

圖3

六、教學(xué)設(shè)計(jì)題(本大題30分)“平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2”是初中乘法公式的內(nèi)容之一．某教師教學(xué)時(shí)，將引導(dǎo)學(xué)生歸納猜想平方差公式作為教學(xué)過程的環(huán)節(jié)之一，設(shè)計(jì)思路如下：

假定b=1，問題簡化為(a+1)(a-1)=?

當(dāng)a=2，(2+1)(2-1)=3=22-1；①

當(dāng)a=3，(3+1)(3-1)=8=32-1；②

當(dāng)a=4，(4+1)(4-1)=15=42-1．③

觀察上面式子：

猜測：(a+1)(a-1)=a2-1．

取b=2，3，4，…，仿照上面，猜測等式左右兩邊的數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)而猜想一般規(guī)律：

(a+b)(a-b)=a2-b2．(證明過程略)

請(qǐng)你完成下列任務(wù)：1.

簡述該教師在該環(huán)節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)意圖．正確答案：教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從簡單到復(fù)雜，從特殊到一般猜想得出平方差公式，并組織驗(yàn)證．這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)使得學(xué)生經(jīng)歷“特例—?dú)w納—猜想—驗(yàn)證”這一數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，能夠積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)、推理能力，同時(shí)也能使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的簡潔美．

2.

簡述平方差公式在初中數(shù)學(xué)中的地位．正確答案：平方差公式是在學(xué)生掌握了多項(xiàng)式乘法之后，自然過渡到具有特殊形式的多項(xiàng)式的乘法，是從一般到特殊的認(rèn)知規(guī)律的典型范例．對(duì)它的學(xué)習(xí)和研究，不僅了解了特殊的多項(xiàng)式乘法的簡便算法，而且為以后的因式分解、分式的化簡、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函數(shù)等內(nèi)容奠定了基礎(chǔ)，同時(shí)也為學(xué)習(xí)完全平方公式提供了方法．平方差公式作為初中階段的第一個(gè)公式，同時(shí)也是最基本、用途最廣泛的公式之一，在初中數(shù)學(xué)中具有很重要的地位，起著承上啟下的作用．

3.

請(qǐng)給出平方差公式的教學(xué)目標(biāo)，并設(shè)計(jì)教學(xué)過程．正確答案：教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能目標(biāo)：了解平方差公式產(chǎn)生的背景，理解平方差公式的意義，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，會(huì)正確運(yùn)用平方差公式簡化計(jì)算和解決問題．

過程與方法目標(biāo)：經(jīng)歷探索平方差公式的過程，進(jìn)一步提升符號(hào)意識(shí)和運(yùn)算能力、推理能力．

情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：感受數(shù)學(xué)活動(dòng)的探索性和創(chuàng)造性，并在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)．

教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

問題：小明去商店買水果，橘子是5.3元每斤，他買了4.7斤，在結(jié)賬的時(shí)候，售貨員剛拿出計(jì)算器，小明馬上說出應(yīng)付24.91元，結(jié)果與售貨員用計(jì)算器算出的一致，售貨員驚訝地問：“你是怎么算這么快的?”小明說：“我利用了數(shù)學(xué)課上學(xué)過的一個(gè)數(shù)學(xué)公式，”同學(xué)們，你們想知道是什么數(shù)學(xué)公式嗎?學(xué)習(xí)完本節(jié)課之后，你就知道了．

二、探索新知

探索規(guī)