高考數(shù)學一輪復習：集合與常用邏輯用語

第一章集合與常用邏輯用語

第一節(jié)集合

明1知

課標：教考

要求，導向

1.了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關系，能用自然語言、圖形語言、集合語言（

列舉法或描述法）描述不同的具體問題.

2.理解集合間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集.在具體情境中，了解全集與空

集的含義.

3.理解兩個集合的并集、交集與補集的含義，會求兩個簡單集合的并集、交集與補集.

能使用Venn圖表示集合的關系及運算.

課前——教材溫顧學習"2方案”

11主干知識回顧一遍

1.集合與元素

元素的特性確定性、互異性、無序性

若〃屬于集合A,記作組A；

元素與集合的關系

若萬不屬于集合A,記作處1

集合的表示法列舉法、描述法、圖示法

2.常見數(shù)集的記法

自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

NN*（或N+）ZQR

3.集合間的基本關系

表示

文字語言記法

關系

子集集合A中任意一個元素都是集合3中的元素4U3或

集合

集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元

間的真子集A3或3A

素不屬于A

基本

集合A中的每一個元素都是集合5中的元素，集

關系相等A=B且3=404=3

合3中的每一個元素也都是集合A中的元素

空集空集是任何集合的壬集，任何非空集合的真子集

4.集合的基本運算

文字語言圖形表示符號語言

所有屬于集合A或者屬于集合B的

并集

元素構(gòu)成的集合00

所有屬于集合A且屬于集合B的元

交集AC5={x|xGA,且xGB}

素構(gòu)成的集合

補集若全集為U,則集合4的補集為(:以u&[.uA={x\x^U,Kx^A)

5.集合的運算性質(zhì)

API0=0,

交集AQB=BQAfAQBQA,AQBQB,AQA=AfAQB^AQB=A

AU0=A,

并集AUB=BUA,AUB^A,AUB^B,AUA=A9A^B<F>AUB=B

Ct/(Ct/A)=A,C^0=LZ,CuU=An(Ct/A)=0,

補集。，AU([jUA)=U

二級結(jié)論與微點提醒

(1)若有限集4中有"個元素，則A的子集有2"個，真子集有2"—1個，非空子集有2"

—1個，非空真子集有2"一2個.

(2)4既說明A中任何一個元素都屬于3,也說明3中至少存在一個元

素不屬于A.

(3)在涉及集合之間的關系時，若未指明集合非空，則要考慮空集的可能性.

(4)CiXAnB)=(CrA)U(CvB),cv(AU5)=([MC&B).

(5)0,{0},0,{0}之間的關系：0#{。},0G{。},0a{05040,o4{0},oe{o},0a{o}.

z2經(jīng)典小題練悟一遍

1.若集合M={x|*3=x},N={x|*2=l},則下列式子中正確的是()

A.M=NB.MJNC.N=MD.MCN=。

答案：C

2.已知集合4={m一l<x<2},B={x|l<x<3},則ACI3=.

答案：(1,2)

3.設全集U={xCN*|x<9},集合A={3,4,5,6},則[:以=.

答案：{1,2,7,8}

4.已知集合4={”，團，a-2},若3CA,則實數(shù)。的值為.

解析：由集合中元素的互異性得aW|a|,故a<0,則a—2<0,又3CA,所以|a|=—。=3,

解得a=-3.

答案：一3

5.由實數(shù)x,-x,|x|,p,一於所組成的集合中，最多含有元素的個數(shù)為.

解析：由于A/P=|X|,—y[j?=—x9因此當x=0時，x=\x\=y[j?=—y[j?=—x=Of集

合含有1個元素；當x>0時，x=|x|=^/P>0,—^/P=—x<0,集合有2個元素；當xvO時，

—x=|x|=qp=—qF>0,x<0,集合有2個元素；所以集合中最多含有元素的個數(shù)為2.

答案：2

nnnBBBBnnBB課堂-------輪深化學習“3層級”

層級一/基礎點——自練通關(省時間)

基礎點(一)集合的含義與表示

[題點全訓]

1.已知集合4={{0},0},下列選項中均為A的元素的是()

(1){。}(2){{0}}(3)0(4){{。},0}

A.⑴⑵B.⑴⑶

C.⑵⑶D.⑵(4)

解析：選B集合A有兩個元素：{0}和0.

2.已知集合4={1,2,3},B={(x,y)\x^A,y^A,|x—y|G4}中所含元素的個數(shù)為()

A.2B.4C.6D.8

解析：選C因為A={1,2,3},所以“{(2,1),(3,1),(3,2),(1,2),(1,3),(2,3)},3中

含6個元素.故選C.

3.設集合A={(x,y)|x+y=3,xGN*,yCN*},則用列舉法表示集合A為.

[x>0,

解析：由x+y=3,x￡N*,y￡N*,可得彳貝汁0vxv3,又?."￡N*,Ax=l,

j=3—x>0,

y=2或x=2,y=l,.-.A={(1,2),(2,1)).

答案：{(1,2),(2,1)}

4.已知集合4={12,a2+4a,a-2},一3GA,貝Ja=.

解析：,；一3GA,二一3="2+4”或一3="一2.若-3=“2+4a,解得“=-i或”=-3.

當a=-1時，a2+4a=a—2=—3,不滿足集合中元素的互異性，故舍去；當”=—3時，集

合A=[12,-3,-5},滿足題意.若一3=。-2,解得a=~l,不滿足題意，故舍去.綜

上所述，a=—3.

答案：一3

L"點”就過]

解決集合含義問題的關鍵點

⑴確定構(gòu)成集合的元素.

（2）確定元素的限制條件.

（3）根據(jù)元素的特征（滿足的條件）構(gòu)造關系式解決相應問題.含字母的集合問題，在求出

字母的值后，需要驗證集合的元素是否滿足互異性.

基礎點（二）集合間的基本關系

［題點全訓］

1.已知集合尸={無}="，一1},集合。=皿=5—1},貝!1（）

A.P=QB.PQ

C.QQPD.PC0=0

解析：選B因為P={xly=dx-1},所以*一1'0,即x2l,故「=口，+°°）,因為

Q={y\y=\lx-i},且產(chǎn)山一1》0,得。=［0,+°°）,所以且尸。。=尸，因此尸

Q,故選B.

2.已知集合{1,2}=AC{1,2,3,4,5,6},則滿足條件的A的個數(shù)為（）

A.16B.15C.8D.7

解析：選A因為{1,2}GAC{1,2,3,4,5,6},

所以集合A中必須含有1,2兩個元素，可以含有元素3,4,5,6,因此滿足條件的集合A有

24=16（個）.

3.集合{x|-l<x<3且xGN}的所有非空真子集的個數(shù)為.

解析：因為{x|—l<x<3且XGN}={0,1,2},所以該集合的所有非空真子集的個數(shù)為23—2

=6.

答案：6

4.已知集合{1,a,置={0,“2,a+b］）則。2022+方2023=.

解析：易知a,詈={0,a2,a+b},

卜

.'.-=o,即Z>=0,.*.a2=l,a=±l.

又由集合中元素的互異性，知

：.a=~l,故，。22+廬023=（_1）2022,）_02023=L

答案：1

［一“點”就過］

判斷集合間關系的3種方法

根據(jù)題中限定條件把集合元素表示出來，然后比較集合元素的異同，從而找出集

列舉法

合之間的關系

結(jié)構(gòu)法從元素的結(jié)構(gòu)特點入手，結(jié)合通分、化簡、變形等技巧，從元素結(jié)構(gòu)上找差異進

行判斷

在同一個數(shù)軸上表示出兩個集合，比較端點之間的大小關系，從而確定集合與集

數(shù)軸法

合之間的關系

層級二/重難點——逐一精研(補欠缺)

重難點(一)集合的基本運算

［典例］(1)(2022?全國甲卷)設全集。={-2,—1,0,1,2,3},集合4={-1,2},B={x|x2

-4x+3=0},貝!KU(AU3)=()

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

(2)(2022?新高考I卷)若集合M={xg<4},N={x|3xNl},則MDN=()

A.{x|0WxV2}B.卜|

C.{x|3^x<16}D.卜|<尤V16)

［解析］(1)集合8={1,3},所以AU3={-1,1,2,3},所以Cu(AU3)={-2,0}.故選D.

(2)因為M={xg<4},所以M={x|0WxV16};因為N={x|3x》l},所以N=］xk

所以MCN=jx1^x<16}.故選D.

［答案］(1)D(2)D

［方法技巧］集合的基本運算問題的求解策略

先“簡”進行集合的基本運算之前要先對其進行化簡，化簡時要準確把握元素的性

后“算”質(zhì)特征，區(qū)分數(shù)集與點集等

遵“規(guī)”定義是進行集合基本運算的依據(jù)，交集的運算要抓住“公共元素”；并集

守“矩”的運算中“并”是合并的意思；補集的運算要關注“你有我無”的元素

借“形”在進行集合的運算時要盡可能地借助Venn圖或數(shù)軸便抽象問題直觀化，用

助“數(shù)”數(shù)軸表示時要注意端點值的取舍

［針對訓練］

1.(2022?全國乙卷)設全集。={1,2,3,4,5},集合M滿足加拉={1,3},貝!!()

A.2GMB.3GMC.44MD.5陣M

解析：選A由題意知"={2,4,5},故選A.

2.已知集合5=集1=2"+1,nGZ},T={t\t=4n+1,?eZ},則SCI7=()

A.。B.SC.TD.Z

解析：選C集合S是由奇數(shù)組成的集合，集合T是由被4除余1的整數(shù)組成的集合,

所以TCS,則SCT=T.故選C.

3.設集合4={-1,1,2,3,5,6},B={2,3,4},C={xGR|lWx<3},貝!1(40。U8=()

A.{2}B.{2,3}

C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4)

解析：選D因為A={-1,1,2,3,5,6},C={xGR|lWx<3},所以ACC={1,2},又8=

{2,3,4},所以(AD0U3={1,2,3,4}.故選D.

重難點(二)根據(jù)集合的運算或關系求參數(shù)

［典例］設集合4={*|/-4忘0},5=32丫+。?0},且4。5=3—2<:?<1},則4=()

A.-4B.-2C.2D.4

［解析］易知A={x|-2WxW2},

5=卜|xW-1},

因為An3={x|-2WxWl},

所以一^=1,解得。=-2.故選B.

［答案IB

［方法技巧］

求參問題的4個注意點

(1)注意兩個轉(zhuǎn)化

ACIB=A^A^B;AUS=A^B^A.

(2)注意空集的特殊性

①若3=4,則分8=0和3六0兩類進行討論.

②若408=0,則集合A,3可能的情況有：

A,5均為空集；A與3中只有一個空集；

A,8雖然均為非空集合但無公共元素.

(3)注意結(jié)合數(shù)軸分析端點值的大小.

(4)注意對結(jié)果進行檢驗，以避免集合中元素重復.

［針對訓練］

1.設集合A={0,2,4},B={x|x2—/nx+"=0},若AU5={0,l,2,3,4},貝!Jm+n的值是()

A.1B.3C.5D.7

解析：選D因為集合A={0,2,4},B={x\x2—mx+n=0},AUB={0,l,2,3,4},則3=

l+3=?i,

{1,3},所以1,3是方程x2—?ix+"=0的兩根，所以"j因此nz+"=4+3=7.

lX3=n,

2.已知集合4={1,a,a2~l},B={0,l},且3UA,貝!Ja=()

A.0或一1B.0或1

C.1或一1D.0

2

解析：選AV{O,1}=BCA={1>a,a-l),

.,.a=0或a2-1=0,

.,.a=0或a=±l,

又由于集合元素的互異性，應舍去1,

/.a=0或a=—1.故選A.

層級三/細微點——優(yōu)化完善（掃盲點）

1.（忽視元素的互異性）已知3d{a+2,a2+2],則實數(shù)。的值為（）

A.1或一1B.1

C.-1D.-1或0

解析：選C當a+2=3時，得a=l,此時/+2=3,不滿足集合中元素的互異性，不

合題意；當層+2=3時，得a=±1,若。=1,則a+2=3,不滿足集合中元素的互異性，不

合題意；若”=-1,則a+2=l,滿足3G{a+2,a2+2].

2.（易混淆集合的代表元素）已知集合4={丫}=1082（*3—1）},B={y\y=\[^2],則AA3

=（）

A.（1,+8）B.（-1,2]

C.[2,+8）D.0

解析：選AA={xly=log2（x3—1）}={X|X3—1>0}={X|X>1},B={y\y=\[x-2]={y\y^0],

所以405=（1,+8）.

3.（忽視空集致誤）已知集合A={x|-l《xW3},集合5={x|l-/nWxWl+M.若3UA,

則m的取值范圍是（）

A.（一8,2]B.[-1,3]

C.[-3,1]D.[0,2]

解析：選A當雨<0時，5=0,滿足3=4;

當機》0時，若只需,一解得0WmW2.

、l+mW3,

綜上，機的取值范圍是（一8,2].

4.（創(chuàng)新解題思維?排除法）已知集合21/=q62|—2。<3},Af={x|x2+x-6<0},則

=（）

A.{x|-3<x<3}B.{x|-2<x<2}

C.{-1,0,1}D.{0,1,2）

解析：選C由集合M中的元素為整數(shù)可排除選項A和B,由2陣N可排除選項D,故

選C.

5.（結(jié)合新定義?開放性問題）定義集合A和8的運算為A*B={x|xeA,對團，試寫出含

有集合運算符號“*”“U”“C”，并對任意集合A和B都成立的一個式子：

解析：如圖所示，利用Venn圖，由題中的定義可得，A*(ADB)={x|x

GA,x^(AnB)}={x|xG(AUB),x^B}=(AUB)*B.

故符合題意的式子為A*(AnB)=(AUB)*B.

答案：A*(A05)=(AU5)*5(答案不唯一)

［課時驗收評價］

1.(2022?浙江高考)設集合A={1,2},5={2,4,6},則AU5=()

A.{2}B.{1,2}

C.{2,4,6}D.{1,2,4,6)

解析：選D由集合并集的定義，得AU3={1,2,4,6},故選D.

2.(2022?北京高考)已知全集。={劃一3<*<3},集合A={x|-2<xWl},貝比以=()

A.(-2,1]B.(-3,-2)U[1,3)

C.[-2,1)D.(-3,-2]U(1,3)

解析：選D因為全集。=(一3,3),A=(-2,l],所以]%=(一3,—2]U(1,3),故選D.

3.(2022?全國甲卷)設集合4={-2,-l,0,l,2},0?|},則ACB=()

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0)

C.{0,1}D.{1,2}

解析：選A因為集合8={x0?|},所以集合5中的整數(shù)有0,1,2,所以API"

(0,1,2}.故選A.

4.設集合A={1,2,4},B={x\x2-4x+m=0].若AC3={1},則5=()

A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}

解析：選C因為ACI5={1},所以leg,所以1是方程X2-4X+?”=O的根，所以i

—4+，”=0,m=?>,方程為好—4X+3=0,解得X=1或X=3,所以5={1,3}.

5.已知集合4={*舊<4},3={—1,0,1,2,3},則AC5=()

A.{0,1}B.{0,1,2}

c.{-1,0,1}D.{-l,o,1,2)

解析:選C由/<4得一2Vx<2,故4={x|-2<x<2},又因為5={-1,0,1,2,3},所以AC3

={-1,0,1},故選C.

6.設N={x|-2<工<2},M={x|a-l<x<a+l},若M是N的真子集，則實數(shù)。的取值范

圍是()

A.(-1,1)B.[-1,1)C.(-1,1]D.[-1,1]

“一一

122,或1+0,解得T&W1,

解析：選D顯然MW。，由已知，得,

a+l<2

a=±l時符合題意.故選D.

7.已知集合4,B,若4={-1,1},AUB={-1,O,1},則一定有（）

A.AQBB.B^A

C.AQB=e>D.OGB

解析：選D當集合5={0}時，A^B,B^A,故A、B錯誤；當集合3={0,1}時，AQB

={1}#0,故C錯誤；因為AUB={-l,0,l},0G{-l,0,l},且0C4,所以0G3,故D正確.故

選D.

8.(2023?湛江一模)已知([⑷05=0,則下列選項一定成立的是()

A.AC\B=AB.AQB=B

C.AUB=BD.AUB=R

解析：選B對于A選項，由AnB=A得AU5,不妨設A={x|x>l},B={x|x>0},

則(CRA)nB={x|OVxWl}W0,故A不滿足題意；對于B選項，由4門5=5得5QA,顯然

(]RA)C5=0,故B滿足題意；對于C選項，由AU3=5得同A選項，故C不滿足

題意；對于D選項，不妨設A={x|xWl},B={x|x>0},則故D不

滿足題意.故選B.

9.已知A={x||x|Wl},B={X(X-Q2^O]-,則An([M)=()

A.[-1,1]B.0

C.[-1,加g1D.(-1,1)

解析：選CVA={x||x|^l}=[—1,1],02勺}=圖，.?/R5=—8,1u1,

+8,.?.40(1/)=[—1,1,故選C.

10.已知集合M={(x,了)舊+了242,xGZ,yGZ},則集合M的真子集的個數(shù)為()

A.29-lB.28-lC.25D.24+l

解析:選A集合M={(x,y)\x2+y2^2,x￡Z,yGZ}={(T,0),(-1,1),(-1,-1),

(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1)},所以集合拉中的元素個數(shù)為9,故其真子

集的個數(shù)為29-1.

11.已知x,y,z為非零實數(shù)，代數(shù)式三+己+5+器的值所組成的集合是M,則下列

判斷正確的是()

A.4GMB.2GM

C.0住MD.一44M

解析：選A根據(jù)題意，分4種情況討論；

①x,y,z全部為負數(shù)時，則盯z也為負數(shù)，則畝+木+而+靛=-4;

②x,y,z中有一個為負數(shù)時，則孫z為負數(shù)，則畝+市+畝+/=°；

③x,y,z中有兩個為負數(shù)時，則到z為正數(shù)，則吉+己+lfi+器=0；

@X,y,z全部為正數(shù)時，則孫z也為正數(shù)，則由+立+畝+靛=4；

則河={4,0,-4）;分析選項可得A符合.

12.定義集合的商集運算為:=*卜=々，m^A,n^B）,已知集合A={2,4,6},B=

卜|工=/-1,A-GAJ-,則集合苧U5中的元素個數(shù)為（）

A.6B.7C.8D.9

解析：選B由題意知，B={0,1,2},

B1111

---1-

A=不63

2J

則如“上,1,

共有7個元素，故選B.

13.已知集合4={1,a2},B={a,一1},若AU5={-1,a,1},則a=.

解析：因為A={1,a2},B={a,—1},AUB={—1,a,l},所以a=42,解得”=（）或”

=1（舍去，不滿足集合元素的互異性）.故a=0.

答案：0

14.設集合M={x|-3Wx<7},N={x|2x+AW0},若MCNW。，貝!]k的取值范圍是

K

解析：因為N={x|2x+左W0}=2

且MAN#。，所以一32一3,解得上<6.

所以上的取值范圍是（-8,6].

答案：（一8,6]

2

15.若集合A={（x,y）\y=3x-3x+l],B={（x,y）\y=x}9則集合APb中的元素個數(shù)

為.

解析：由集合的意義可知，ACI6表示曲線y=3x2—3x+l與直線y=x的交點構(gòu)成的集

合.

v=3x2-3x+l,

聯(lián)立得方程組

所以405中含有2個元素.

答案：2

16.已知集合4={利08*42},3={*|*<。},若4=比則實數(shù)。的取值范圍是.

解析：由log2xW2,得0VxW4,

即A={x|0VxW4},而B={x|x<a},

由于AU3,在數(shù)軸上標出集合A,B,如圖所示，則a>4.04。，

答案：（4,+°°）

第二節(jié)命題及其關系、充分條件與必要條件

明：知

課標:教考

要求；導向

1.理解命題的概念，了解“若小則/形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會

分析四種命題的相互關系.

2.理解必要條件、充分條件與充要條件的含義.

nnnBBBBnnBB課前——教材溫顧學習“2方案”

i1主干知識回顧一遍

i.命題的概念

用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題.其中判斷為真的語句叫

做真命題，判斷為假的語句叫做假命題.

2.四種命題及相互關系

3.四種命題的真假關系

⑴若兩個命題互為逆否命題，則它們有相同的真假性；

⑵兩個命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關系.

4.充分條件與必要條件的相關概念

記p,g對應的集合分別為A,B,則

。是q的充分條件p0qA^B

P是0的必要條件q=pA^B

P是0的充要條件p0q且6PA=B

P是〃的充分不必要條件pOq且q￥>pAB

P是q的必要不充分條件pAq且戶pAB

P是g的既不充分條件也不必要條件p弁q且pA叁且雇5

二級結(jié)論與微點提醒

（1）四種命題的等價關系：原命題等價于逆否命題，否命題等價于逆命題，所以在命題不

易證明時往往找等價命題進行證明.

（2）否命題與命題的否定：否命題是既否定條件，又否定結(jié)論，而命題的否定是只否定命

題的結(jié)論.

（3）區(qū)分4是5的充分不必要條件（A05且3冷A）,與A的充分不必要條件是5（50A

且兩者的不同.

（4）4是B的充分不必要條件臺解B是解A的充分不必要條件.

（5）在判斷充分、必要條件時，小可以推大，大不可以推小，如x>2（小范圍）=>x>l（大范

圍），x>l（大范圍）弁x>2（小范圍）.

z2經(jīng)典小題練悟一遍

i.下列命題是假命題的有（）

A.三角形角平分線上的點到角的兩邊距離相等

B.所有平行四邊形都不是菱形

C.任意兩個等邊三角形都是相似的

D.3是方程好一9=0的一個根

答案：B

2.已知命題p：”正數(shù)a的平方不等于0”，命題g：”若。不是正數(shù)，則它的平方等

于0”,貝！Ig是p的（）

A.逆命題B.否命題

C.逆否命題D.否定

解析：選B命題p:“正數(shù)a的平方不等于0”可寫成“若a是正數(shù)，則它的平方不

等于0”,從而g是p的否命題.

3.設x>0,j>0,貝?。荨氨貫槿缡恰啊?gt;u，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案：C

4.若命題“VxGR,好+1>機，，是真命題，則實數(shù)機的取值范圍是.

答案：（一8,1）

5.有下列三個命題：

①“若a>b,則牌”的否命題；

②“若x+y=O,則x,y互為相反數(shù)”的逆命題；

③“若|x|<4,貝!的逆否命題.

其中真命題的序號是.

答案：②③

課堂----輪深化學習“3層級”

層級一/基礎點——自練通關（省時間）

基礎點四種命題及其真假判斷

［題點全訓］

1.（2023?合肥模擬）設x,yCR,命題“若好+產(chǎn)母，則/>1或產(chǎn)>1”的否命題是（）

A.若爐+y+2,則或y24l

B.若爐+產(chǎn)>2,則》2W1或ywi

C.若一+產(chǎn)+2,則*2wi且ywi

D.若好+爐>2,則且VW1

答案：C

2.（2023?安順模擬）命題''若x,y都是奇數(shù)，則x+y是偶數(shù)”的逆否命題是（）

A.若x,y都是偶數(shù)，則x+j是奇數(shù)

B.若*,y都不是奇數(shù)，則x+y不是偶數(shù)

C.若x+y不是偶數(shù)，則y都不是奇數(shù)

D.若x+y不是偶數(shù)，則x,y不都是奇數(shù)

答案：D

3.在下列四個說法中，與“不經(jīng)冬寒，不知春暖”意義相同的是（）

A.若經(jīng)冬寒，必知春暖B.不經(jīng)冬寒，但知春暖

C.若知春暖，必經(jīng)冬寒D.不經(jīng)春暖，必歷冬寒

解析：選C"不經(jīng)冬寒，不知春暖”的逆否命題為“若知春暖，必經(jīng)冬寒”.故選

4.有下列命題：

①“若x+y>0,貝！Ix>0且y>0”的否命題;

②”矩形的對角線相等”的否命題；

③“若機》1,則mx2-2(m+l)x+/n+3>0的解集是R”的逆命題；

④“若a+7是無理數(shù)，則“是無理數(shù)”的逆否命題.

其中正確命題的序號是.

解析：對于①“若x+y>0,則x>0且y>0”的逆命題為“若x>0且y>0,則x+y>0”，

逆命題為真命題，則否命題也為真命題，故①正確；對于②“矩形的對角線相等”的逆命題

為“對角線相等的四邊形是矩形”為假命題，故其否命題也為假命題，故②錯誤；對于③其

逆命題為：若：加於-2(ai+l)x+nz+3>0的解集是R,則機>1,當機=0時，解集不為R,不

m>0,

合題意，由，，,解得機>1,故逆命題為假命題，即③錯誤；對于

J=4(/71+l)2—4m(m+3)<o,

④，原命題為真命題，故逆否命題也為真命題，故④正確，即正確的序號為①④.

答案：①④

［一“點”就過］

判斷命題真假的2種方法

直接判斷一個命題為真命題，要給出嚴格的推理證明；說明一個命題是假命題，只需舉

判斷出一個反例即可

間接根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當直接

判斷判斷一個命題的真假不易進行時，可轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題的真假

(1)對于不是“若p,則q”形式的命題，需先改寫；

提醒

(2)當命題有大前提時，寫其他三種命題時需保留大前提

層級二/重難點——逐一精研(補欠缺)

重難點(一)充分、必要條件的判斷

［典例］(1)(2022?浙江高考)設xGR,則“sinx=l”是“cosx=0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

(2)(2023?福建高三階段練習)在四邊形ABCD中，AB//CD,則“N5A￡>=90°”是“四

邊形ABC。為直角梯形”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

［解析］⑴法一：由sinx=l,得X=2ATT+5/￡Z),貝可cos(2E+aJ=cosj=0,故充分

性成立；又由cosx=0,得*=k7t+3(AeZ),

而sin(A：7t+^=l或一1,故必要性不成立.

所以"sinx=l"是"cosx=0”的充分不必要條件，故選A.

法二：由sinx=l,得x=2k;t+7(k￡Z),

則cos(2A；7r+2)=cos2=°，故充分性成立；

又cos^=0,sin^?=~1,故必要性不成立.

所以"sinx=l"是"cosx=0"的充分不必要條件，故選A.

(2)若NR4O=90。，則四邊形ABC。為矩形或直角梯形，若四邊形ABCZ>為直角梯形，

則NR4O不一定為90°,所以"N5AO=90?！笔恰八倪呅蜛BCD為直角梯形”的既不充分

也不必要條件.故選D.

［答案］(1)A(2)D

［方法技巧］判斷充分、必要條件的2種方法

直接判斷“若p,則q”“若q,則p”的真假.在判斷時，確定條件是什么、結(jié)

定義法

論是什么

利用集合中包含思想判定.抓住“以小推大”的技巧，即小范圍推得大范圍，即

集合法

可解決充分必要性的問題

［針對訓練］

1.(2019?浙江高考)設”>0,Z?0,貝！)“a+5W4”是“ab44”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解析：選AVa>0,b>0,

若a+bW4,；.2

：.abW4,此時充分性成立.

當a>0,b>0,ab44時，

令a=4,b=l,貝I。+力=5>4,

這與“+6W4矛盾，因此必要性不成立.

綜上所述，當”>0,》>0時，"a+5W4”是“aBW4”的充分不必要條件.故選A.

2.已知p：g)<l，Q-log2X<0,則p是g的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析：選B由知x>。，所以P對應的x的范圍為(0,+°°),由log2X<0知0<x<l,

所以q對應的x的范圍為(0,1),顯然(0,1)(0,+8),所以p是0的必要不充分條件.

重難點(二)充分、必要條件的應用

［典例］（2023?鄭州模擬）設a：2a<xW3a+l,0：—2Wx47,若a是的充分不必要條

件，則實數(shù)a的取值范圍是.

［解析］因為《是/?的充分不必要條件，（2°,3°+1］是［-2,7］的真子集，

所以，當（2a,3a+l］=。時，2a23a+l,解得aW-l,

當（2a,3a+l］W。時，-2W2a<3a+l<7,解得一l<aW2.

綜上，實數(shù)a的取值范圍是（-8,2］.

［答案］（一8,2］

［方法技巧］由充分、必要條件求參數(shù)范圍的策略

把充分、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合的包含、相等關系，然后根據(jù)

巧用轉(zhuǎn)化求參數(shù)

集合之間的關系列出有關參數(shù)的不等式（組）求解，注意條件的等價變形

端點值慎取舍在求參數(shù)范圍時，要注意區(qū)間端點值的檢驗，從而確定取舍

［針對訓練］

（2023?西安模擬）已知條件p：（X—m）（x—3）>0；條件q：》2+3*—4<0.若p是q的必

要不充分條件，則實數(shù)機的取值范圍是（）

A.［-7,1］B.（-8,-7］U［1,+°o）

C.（-7,1）D.（-8,-7）U（1,+°0）

解析：選B設集合P={x|x<機或丫>機+3},

2={x|—4<x<l}.

因為p是q的必要不充分條件，

則。是P的真子集，所以/n+3W—4或

即mW—7或mNl,故選B.

層級三/細微點——優(yōu)化完善（掃盲點）

1.（混淆條件與結(jié)論致誤）設xCR,則x>2的一個必要不充分條件是（）

A.x<lB.x>lC.x>4D.x>3

解析：選B由于x>20x>l,但*>1戶>*>2,故選B.

2.（弘揚傳統(tǒng)文化）荀子曰：“故不積鞋步，無以至千里；不積小流，無以成江海.”這

句來自先秦時期的名言闡述了做事情不一點一點積累，就永遠無法達成目標的哲理.由此可

得，“積鞋步”是“至千里”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析：選B荀子的名言表明積蹉步未必能至千里，但要至千里必須積蹉步，故”積珪

步”是“至千里”的必要不充分條件.

3.（對命題中條件與結(jié)論否定不全面）命題“若彥+"二。，“，則“=》=（）”的逆

否命題是.

答案：若“WO或a,Z>GR,則層+"^。

4.（忽視大前提致誤）已知命題”對任意a,6GR,若面>0,則“>0”，則它的否命題是

答案：對任意a,Z?GR,若則“W0

5.（強化開放思維）能夠說明“若而>4,則a>2,b>2”是假命題的一組有序數(shù)對（a,b）

是.

解析：當a=l,b=5,滿足而>4,而a>2,%>2不成立.

答案：（1,5）（答案不唯一）

［課時驗收評價］

1.命題''若x>0,則力>1”的否命題是（）

A.若x>0,則2、W1B.若xWO,則2*>1

C.若xWO,則D.若2工>1,則x>0

答案：C

2.命題“若x+y=3,則x=2且y=l"的逆否命題是（）

A."若xW2且yWl,則x+yW3”

B.“若xW2或yWL貝！Jx+yW3”

C."若xW2且則x+y=3"

D.“若xW2或yWL則x+y=3"

答案：B

3."x=l”是“l(fā)g2x—lgx=0”成立的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析：選A因為Ig2x—lgx=0,所以lgx=0或lgx=l,解得x=l或x=10,所以由

UX=r可以推出“l(fā)g2x—lgx=o”成立；但由“l(fā)g2x-lgx=o”不能推出“x=l"，所以

UX=r是“l(fā)g2A—lgX=0”成立的充分不必要條件.

4.已知命題“若雨>0,則機力一,在它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的

個數(shù)是（）

A.0B.1

C.2D.3

解析：選B由原命題與逆否命題、逆