中考數學一輪復習第一講多邊形和平行四邊形（解析版）

模塊五四邊形

第一講多邊形和平行四邊形

知識梳理夯實基礎

知識點1:多邊形

1.多邊形的相關概念

(1)定義：在平面內，由一些段線首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.

(2)對角線：從〃邊形的一個頂點可以引(〃-3)條對角線，并且這些對角線把多邊形分成

了(〃-2)個三角形；〃邊形對角線條數為網".

2.多邊形的內角和、外角和

(1)內角和：〃邊形內角和公式為(〃-2)?180。；

(2)外角和：任意多邊形的外角和為360。.

3.正多邊形

(1)定義：各邊相等，各角也相等的多邊形.

(2)正〃邊形的每個內角為(“一2"80,每一個外角為國，

nn

(3)正〃邊形有〃條對稱軸.

(4)對于正〃邊形，當〃為奇數時，是軸對稱圖形；當〃為偶數時，既是軸對稱圖形，又

是中心對稱圖形.

知識點2:平行四邊形

1.平行四邊形的定義

兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形用”表示.

2.平行四邊形的性質

(1)邊：兩組對邊分別平行且相等.

(2)角：對角相等，鄰角互補.

(3)對角線：互相平分.

(4)對稱性：中心對稱但不是軸對稱.

3.注意：

利用平行四邊形的性質解題時一些常用到的結論和方法:

(1)平行四邊形相鄰兩邊之和等于周長的一半.

(2)平行四邊形中有相等的邊、角和平行關系，所以經常需結合三角形全等來解題.

(3)過平行四邊形對稱中心的任一直線等分平行四邊形的面積及周長.

4.平行四邊形中的幾個解題模型

(1)如圖①，AE平分/BAD,則可利用平行線的性質結合等角對等邊得到龐為等腰三

角形，即幺后座.

(2)平行四邊形的一條對角線把其分為兩個全等的三角形，如圖②中應廷△口厲；

兩條對角線把平行四邊形分為兩組全等的三角形，如圖②中勿如,山;

根據平行四邊形的中心對稱性，可得經過對稱中心。的線段與對角線所組成的居于中心對

稱位置的三角形全等，如圖②△/好△如:圖②中陰影部分的面積為平行四邊形面積的一

半.

(3)如圖③，已知點￡為/〃上一點，根據平行線間的距離處處相等，可得S△緲而SZWE+SAOA

(4)如圖④，根據平行四邊形的面積的求法，可得幺￡?除2外功.

5.平行四邊形的判定

(1)方法一(定義法)：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.

(2)方法二：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.

(3)方法三：有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

(4)方法四：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

(5)方法五：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.

直擊中考勝券在握

1.(2023?宜賓中考)下列說法正確的是()

A.平行四邊形是軸對稱圖形B.平行四邊形的鄰邊相等

C.平行四邊形的對角線互相垂直D.平行四邊形的對角線互相平分

【答案】D

【分析】

根據平行四邊形的性質，逐一判斷各個選項，即可得到答案.

【詳解】

解：A.平行四邊形是中心對稱圖形不是軸對稱圖形，故該選項錯誤，

B.平行四邊形的鄰邊不一定相等，故該選項錯誤，

C.平行四邊形的對角線互相平分，故該選項錯誤，

D,平行四邊形的對角線互相平分，故該選項正確.

故選D.

【點睛】

本題主要考查平行四邊形的性質，熟練掌握平行四邊形的性質，是解題的關鍵.

2.（2023?四川眉山中考）正八邊形中，每個內角與每個外角的度數之比為（）

A.1：3B.1：2C.2：1D.3：1

【答案】D

【分析】

根據正八邊形的外角和等于360。，求出每個外角的度數，再求出每個內角的度數，進而即可求解.

【詳解】

解：正八邊形中，每個外角=360。+8=45。，每個內角=180。-45。=135。，

回每個內角與每個外角的度數之比=135。：45。=3：1,

故選D.

【點睛】

本題主要考查正多邊形的內角和外角，熟練掌握正多邊形的外角和等于360。，是解題的關鍵.

3.如圖，在AABC中，ZABC=70°,AB=AC點。在AC邊上，以CB,CD為邊作「BCDE,則/E的度

數是（）

EB

AC

D

A.70°B.60°C.50°D.40°

【答案】A

【分析】

先利用等邊對等角求出/C的度數，再根據平行四邊形的性質得出=即可得出答案.

【詳解】

SAB=AC,ZABC=1Q°

0ZACB=ZABC=70°

又回四邊形BCDE為平行四邊形

EIEB//DC,ED//SC

EIZEBC+ZC=180o,Z￡BC+ZE=180°

0ZC=ZE=7O°

故答案選擇A.

【點睛】

本題考查的是平行四邊形和等腰三角形，熟悉并掌握平行四邊形和等腰三角形的性質是解決本題的關鍵.

4.五邊形ABCDE中，ZA+ZB+ZE=300°,如圖，DP、C尸分別平分N￡DC、ZBCD,則NP=()

A.45°B.60°C.90°D.120°

【答案】B

【分析】

先根據五邊形內角和求得E1EDC+EIBCD,再根據角平分線求得E1PDC+回PCD,最后根據三角形內角和求得13P的

度數.

【詳解】

解：團在五邊形ABCDE中，0A+0B+0E=3OO°,

fflEDC+0BCD=54Oo-3OO°=24O°,

又IBDP、CP分另Ij平分IBEDC、0BCD,

00PDC+0PCD=12O",

EBCDP中，EIP=180°-(回PDC+E1PCD)=18O°；2O°=6O°.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了多邊形的內角和以及角平分線的定義，解題時注意：多邊形內角和=（12）x180°（n23且n

為整數）.

5.（2023?四川瀘州中考）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE平分團BAD且交BC于點E,團D=58。，則MEC的

大小是（）

A.61°B.109°C.119°D.122°

【答案】C

【分析】

根據四邊形ABC。是平行四邊形，得到對邊平行，再利用平行的性質求出/區(qū)4￡>=180。-"=122。，根據角

平分線的性質得：AE平分鼬AD求再根據平行線的性質得/AEC,即可得到答案.

【詳解】

解:回四邊形ABCD是平行四邊形

SAB//CD,AD//BC

0ABAD=180°—=180°-58°=122°

EL4E平分國加。

0ZDAE=-ZBAD=-xl22°=61°

22

0ADHBC

回ZAEC=180°—NZME=180°—61°=119°

故選C.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的性質，角平分線的性質，能利用平行四邊形的性質找到角與角的關系，是解答此

題的關鍵.

6.（2023?湖北省恩施中考）如圖，在ABC。中，AB=13,A￡?=5,ACL8C,貝！|ABCQ的面積為（）

A.30B.60C.65D.——

2

【答案】B

【分析】

先根據平行四邊形的性質可得3C=AD=5,再利用勾股定理可得AC=12,然后利用平行四邊形的面積公

式即可得.

【詳解】

解：四邊形ABCD是平行四邊形，AD=5,

BC=AD=5,

AC±BC,AB=13,

:.AC7AB2_BC?=12,

則ABC。的面積為3cAe=5x12=60,

故選：B.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的性質與面積公式、勾股定理，熟練掌握平行四邊形的性質是解題關鍵.

7.如圖，在AABC中，。，石分別是AB,8C的中點，點尸在延長線上，添加一個條件使四邊形ADBC為

平行四邊形，則這個條件是（）

A.ZB=ZFB.NB=/BCFC.AC=CFD.AD=CF

【答案】B

【分析】

利用三角形中位線定理得到DEAC,DE=|AC,結合平行四邊形的判定定理進行選擇.

【詳解】

團在AABC中，分別是的中點，

回?！晔茿ABC的中位線，

0DE//-AC.

=2

A、根據="不能判定AC//。尸，即不能判定四邊形ATRC為平行四邊形，故本選項錯誤.

B、根據4=可以判定CF//AB,即Cb〃A。，由“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”得到

四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項正確.

C、根據4。=。/不能判定AC//。尸，即不能判定四邊形同C為平行四邊形，故本選項錯誤.

D、根據AO=CF,ED//AC不能判定四邊形ADR?為平行四邊形，故本選項錯誤.

故選B.

【點睛】

本題三角形的中位線的性質和平行四邊形的判定.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且

等于第三邊的一半.

8.（2023?湖南婁底中考）如圖，點區(qū)尸在矩形ABCD的對角線3。所在的直線上，BE=DF,則四邊形AEC尸

是（）

A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形

【答案】A

【分析】

利用三角形全等的性質得，對應邊相等及對應角相等，得出一組對邊平行且相等，即可判斷出形狀.

【詳解】

解：由題意：

AD//BC,ZADB=ZCBD,

:,ZFDA=ZEBC.

又，AD=BC,BE=DF,

:_ADF—CBE（SAS）,

:.AF=EC,

ZAFD=/CEB,AFHEC,

.??四邊形AECT為平行四邊形，

故選：A.

【點睛】

本題考查了矩形的性質，三角形全等的判定定理及性質、平行四邊形的判定，解題的關鍵是：掌握平行四

邊形判定定理，利用三角形全等去得出相應條件.

9.（2023?自貢中考）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2,AB=?是銳角，AE上BC于點E,F

是的中點，連接。尸、EF；若NEFD=90，則A￡的長為（）

A2Rnr3忘343

A.乙D?7DL?------------nLz?----------

22

【答案】B

【分析】

延長EF,DA交于G,連接DE,先證明EIAFGEBBFE,進而得到BE=AG,F是GE的中點，結合條件BFI3GE進

而得到BF是線段GE的垂直平分線，得到GD=DE,最后在Rt0AED中使用勾股定理即可求解.

【詳解】

解：延長EF,DA交于G,連接DE,如下圖所示:

EIF是AB的中點，0AF=BF,

團四邊形ABCD是平行四邊形，

0ABEBC,EEGAB=I3EBF

且OGFA=EIEFB,00AFG00BFE（ASA）,

設3E=AG=x,

由GF=EF,且I3DFE=9O°知，

DF是線段GE的垂直平分線，

團DE=DG=AG+AD=x+2,

2

在RtEGAE中，AE2=AB2-BE2=函*-%.

在RtEIAED中，AE2=DE2-AD2=（X+2）2-22,

ia（x+2）2-22=6-x2,解得X=l,

EIA￡=J（府-F=5

故選：B.

【點睛】

本題考查了三角形全等的判定與性質、平行四邊形的性質、勾股定理等知識點，能正確作出輔助線是解題

的關鍵.

10.（2023?貴州安順中考）如圖，在ABCD中，ZABC的平分線交AD于點E,NBCD的平分線交于

點若AB=3,AD=4,則跖的長是（）

B.2C.2.5D.3

【答案】B

【分析】

根據平行四邊形的性質證明DF=CD,AE=AB,進而可得八F和ED的長，然后可得答案.

【詳解】

解：團四邊形A8CD是平行四邊形，

團CB,AB=CD=3,AD=BC=4,

釀DFC=*CB,

又團CF平分團BCD,

團團。CF=IEFC3,

^\DFC=^\DCFf

回DF=DC=3,

同理可證：AE=AB=3,

加。=4,

[?L4F=4-3=1,DE=4-3=1,

團EF=4—1-1=2.

故選:B.

【點睛】

本題主要考查了平行四邊形的性質，在平行四邊形中，當出現角平分線時，一般可利用等腰三角形的性質

解題.

11.（2023?江蘇蘇州中考）如圖，在平行四邊形ABC。中，將ABC沿著AC所在的直線翻折得到VA5C,

EC交AD于點E,連接長D,若NB=60。，ZACB=45°,AC=瓜,則楂D的長是（）

BC

A.1B.JiC.V3D.—

2

【答案】B

【分析】

利用平行四邊形的性質、翻折不變性可得為等腰直角三角形，根據已知條件可得CE得長，進而得出

E。的長，再根據勾股定理可得出87);

【詳解】

解：回四邊形A3CD是平行四邊形

EMB=CDEIB=EMDC=60o,SACB=SCAD

由翻折可知：BA=AB'=DC,E14CB=EMC8=45°,

團蜘EC為等腰直角三角形

5iAE=CE

EIRtELAE8何RtElCOE

0EB=DE

回在等腰RtEMEC中，AC=46

E1CE=6

回在RtHDEC中，CE=y/3,SADC=60°

00DCE=3O°

0D￡=1

在等腰RtEIDEB'中，EB'=DE=1

^B'D=s/2

故選：B

【點睛】

本題考查翻折變換、等腰三角形的性質、勾股定理、平行四邊形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基

本知識，屬于中考?？碱}型.

12.(2023?泰安中考)如圖，在平行四邊形ABCD中，E是3。的中點，則下列四個結論：?AM=CN；

@^MD=AM,ZA=90°,則=@^MD=2AM,貝！J;④若AB=MN,貝!JAMTW

與△DFC全等.其中正確結論的個數為()

M

AD

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】

依次分析各選項，進行推理論證即可；其中①可通過證明進一步轉換后可以得到結

論，②可先得到該平行四邊形是矩形，利用矩形的性質等得到/WN垂直平分8C,即可完成求證，③可以

先證明兩個三角形的共線邊上的高的關系，再利用三角形面積公式即可完成證明，④可以先證明

VMND^DCM(SAS)后可進一步證明VMNFKDCF〈AAS),即可完成求證.

【詳解】

解:團平行四邊形A3CD中，E是的中點，

BBE=DE,AD//BC,AD=BC,

0ZMDE=ZNBE,ZDME=ZBNE,

WDMEABNE(AAS),

QDM=BN,

^\AM=CN,

故①正確；

若ZA=90。，

則平行四邊形ABCD是矩形，

由矩形的對角線相等，而點E是矩形的對角線的交點可知，

E點到8、C兩點的距離相等，

0E點在BC的垂直平分線上，

由可得8N=CN,

所以N點是BC的中點,

團M/V垂直平分BC,

故②正確；

若MD=2AM,貝?。軧N=2CN,

如圖1,分別過。、E兩點向8C作垂線，垂足分別為Q點和P點,

I3E點是8。中點，

EIDQ=2EP,

回SAMNC=NN-DQ=*N-2EP=CN-EP,

S、BNE=：BN,EP=1x2CN-EP=CN-EP

0S^MNC=S&BNE>

故③正確；

若AB=MN,

因為AB=OC,

所以DC=MN,

分別過N、C兩點向AD作垂線，垂足分別為“、K,

由平行線間的距離處處相等可知：NH=CK,

0Rt一NHMQRtCKD(HL),

0ZNMD=ZMDC,

^NMND^DCM(SAS),

SZMND=ZDCM,

y^\ZNFM=ZCFD,

^VMNF^/DCF（AAS）,

故④正確；

故選：D.

M

【點睛】

本題綜合考查了平行四邊形的性質、矩形的判定與性質、線段的垂直平分線的判定與性質、全等三角形的

判定與性質等內容，解決本題的關鍵是牢記相關概念與性質，能熟練運用全等三角形的判定與性質進行角

或邊之間關系的轉化等，本題對推理分析能力要求較高，屬于中等難度偏上的題目，對學生的綜合分析能

力有一定的要求.

13.（2023?湘潭中考）如圖，在中，對角線AC,3D相交于點。，點E是邊AB的中點.已知3c=10,

貝!）OE=.

【答案】5

【分析】

直接利用平行四邊形的性質結合三角形中位線定理得出EO的長.

【詳解】

解：團在口ABCD中，對角線AC,8D相交于點。，

回點。是AC的中點，

又回點E是AB的中點，

亞。是EIABC的中位線，

0EO=yBC=5.

故答案為：5.

【點睛】

此題主要考查了平行四邊形的性質以及三角形中位線定理，正確得出EO是MBC的中位線是解題關鍵.

14.（2023?江蘇揚州中考）如圖，在ABCD^,點E在AD上，且EC平分/BED,若N￡BC=30。，BE=10,

則ABCD的面積為.

【答案】50

【分析】

過點E作E用BC,垂足為F,利用直角三角形的性質求出EF,再根據平行線的性質和角平分線的定義得到

0BCE=BBEC,可得BE=BC=10,最后利用平行四邊形的面積公式計算即可.

【詳解】

解：過點E作E用BC,垂足為F,

EBEBC=30°,BE=10,

EIEF=5BE=5,

回四邊形ABCD是平行四邊形，

EMD0BC,

00DEC=EBCE,

又EC平分回BE。，即I3BEC=EIDEC,

00BCE=0BEC,

0BE=BC=1O,

團四邊形ABC。的面積=8Cx￡F=10x5=50,

故答案為：50.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的性質，30度的直角三角形的性質，角平分線的定義，等角對等邊，知識點較多,

但難度不大，圖形特征比較明顯，作出輔助線構造直角三角形求出EF的長是解題的關鍵.

4

15.（2023?廣東中考）如圖，在ABCD中，AD=5,AB=12,sinA=-.過點D作。垂足為S貝！I

sinZBCE=.

【答案】亞

50

【分析】

首先根據題目中的sinA,求出ED的長度，再用勾股定理求出AE,即可求出EB,利用平行四邊形的性質，

求出CD,在RtMEC中，用勾股定理求出EC,再作BFI3CE,在EIBEC中，利用等面積法求出BF的長，即可求

出sin/BCE.

【詳解】

BDE±AB,

EE/1DE為直角三角形，

4

又回AD=5,sinA=—,

.人4DEDE

團sinA二一二---二---,

5AD5

解得DE=4,

在RtMDE中，由勾股定理得：

AE=^ADr-DE1=A/52-42=3,

又MB=12,

BBE=AB-AE=12-3=9,

又回四邊形ABCD為平行四邊形，

EICD=A8=12,AD=BC=5

在/?應DEC中，由勾股定理得：

22

EC=JCZ52+DE?=,y/12+4=4版，

過點8作8用CE,垂足為F,如圖

在I3EBC中：

S0EBC=1g^BgD￡=g倉吩4=18;

X0S0￡BC=1gCEgBF=I?4回明F=2回BF

027iOBF=18,

解得8尸=上叵，

10

在RtSBFC中，

,BF9麗?<9M

sin9!BCF---=-----?5-----,

BC1050

故填：亞.

50

【點睛】

本題考查解直角三角形，平行四邊形的性質，勾股定理，三角形的等面積法求一邊上的高線，解題關鍵在

于熟練掌握解直角三角形的計算，平行四邊形的性質，勾股定理的計算和等面積法求一邊上的高.

16.（2023?山東臨沂中考）在平面直角坐標系中，ABC。的對稱中心是坐標原點，頂點A、8的坐標分別

是（2,1）,將沿x軸向右平移3個單位長度，則頂點C的對應點G的坐標是—.

【答案】（4,-1）

【分析】

根據平行四邊形的性質得到點C坐標，再根據平移的性質得到G坐標.

【詳解】

解：在平行四邊形ABC。中，

回對稱中心是坐標原點，A（-1,1）,B（2,1）,

0C（1,-1）,

將平行四邊形ABCD沿X軸向右平移3個單位長度，

0Ci（4,-1）,

故答案為：（4,；）.

【點睛】

本題考查了坐標與圖形變化-平移，平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移

減.

17.（2023?江西中考）如圖，將ABCD沿對角線AC翻折，點8落在點E處，CE交AD于點/，若/3=80。，

ZACE=2ZECD,FC=a,FD=b,貝!]ABCD的周長為.

【答案】4。+2b

【分析】

根據題意并利用折疊的性質可得出蜘C￡=MCB=213ECD,計算可得到EIECD=20。，E14CE=EMCB=40°,利用三角

形的外角性質得到回CFD=EID=80。，再等角對等邊即可求解.

【詳解】

解：由折疊的性質可得：射CE=MCB,

0EMCE=20ECD,

BEMC￡=EL4CB=2[3ECD,

團四邊形ABCD是平行四邊形，

^FAC=^\FCA,0fi+0BCD=18O°,EP0fi+EL4C￡+04CB+0ECD=18O°,

fflfCD=20°,EMCE=EMCB=40°=回弘C,

0CFD=0E4C+0FC^=8O°=0B=0D,

^AF=CF=CD=a,即AD=a+b,

則EM8CD的周長為2AD+2CD=4a+2b,

故答案為：4a+2b.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的性質，折疊的性質，等腰三角形的性質，正確的識別圖形是解題的關鍵.

18.（2023?廣西梧州中考）如圖，正六邊形ABCDEF的周長是24cm,連接這個六邊形的各邊中點G,H,K,

L,M,N,則六邊形GHKL/WN的周長是—cm.

AGB

【答案】126

【分析】

如圖，連接AE,過歹作FT,鉆于T,再求解正六邊形的邊長為4cm,證明AT=ET,NE4E=NEEA=30。,

再求解ET,AE,再利用三角形的中位線定理可得答案.

【詳解】

解：如圖，連接AE,過產作CAE于T,

正六邊形ABCDEF的周長是24cm,

AB=BC=CD=DE=EF=AF=4,ZAFE=120°,AT=ET,

:.ZFAE=ZFEA=30°,

ET=EF.cos30°=4x—=2后AE=2ET=4石，

2

M，N分別為ERA尸的中點，

:.MN=、AE=2瓜

2

同理：GN=GH=HK=KL=ML=273,

???六邊形GHKL/WN的周長是6x2有=12后.

故答案為：12班.

【點睛】

本題考查的是三角形的中位線定理，等腰三角形的性質，正多邊形的性質，銳角三角函數的應用，掌握以

上知識是解題的關鍵.

19.（2023?綏化中考）如圖，在RfABC中，CD為斜邊A3的中線，過點D作DELAC于點E,延長OE

至點/，使EF=DE,連接ARCF,點G在線段CF上，連接EG,且

ZCDE+ZEGC=180°,FG=2,GC=3.下列結論：①DE=；BC；②四邊形。Bb是平行四邊形；③

EF=EG;④8c=26.其中正確結論的序號是.（填序號）

【答案】①②③④

【詳解】

DE，AC,..ZAED=90。.團在MABC中，ZACB=90。,:.ZAED=ZACB,:.DE〃BC.QD是AB中點,

是AC的中點，,DE■是W.ABC的中位線，即。E=：2C,故①正確；

EF=DE,:.DE=gDF.DE=^BC,:.DF=BC.。尸|BC,團四邊形。3CF是平行四邊形，故②正

確；NCDE+ZEGC=180°,NEGF+NEGC=180°,NCDE=ZEGF.OE_LAC,E是AC的中點，

EF=DE,國四邊形ADCF是菱形，.?.NCDE=NGFE,，NGEE=/EGR，￡F=EG,故③正確；

Z.GFE=ZDFC,ZCDF=ZEGF,EGF^.CDF,,即2萬/“，解得FD=2幣,13四邊

FDCF----=-------

FD2+3

形。3c尸是平行四邊形，.[BC=*9=2如，故④正確.綜上所述，正確結論有①②③④.

20.（2023?湖南岳陽中考）如圖，在四邊形ABCD中，AEYBD,CFA.BD,垂足分別為點E,F.

（1）請你只添加一個條件（不另加輔助線），使得四邊形為平行四邊形，你添加的條件是；

（2）添加了條件后，證明四邊形AECF為平行四邊形.

【答案】（1）AF//CE（答案不唯一，符合題意即可）；（2）見解析

【分析】

（1）由題意可知AE〃W,要使得四邊形為平行四邊形，則使得AH/CE即可，從而添加適當條件即

可；

（2）根據（1）的思路，利用平行四邊形的定義證明即可.

【詳解】

（1）顯然，直接添加AF//CE,可根據定義得到結果，

故答案為：AF//CE（答案不唯一，符合題意即可）；

（2）證明：SAE±BD,CF±BD,

?AEHCF,

0AFHCE,

回四邊形AECV為平行四邊形.

【點睛】

本題考查平行四邊形的判定，掌握平行四邊形的判定方法是解題關鍵.

21.(2023?鄂州中考)如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與3。交于點O,點M,N分別為OA、

OC的中點，延長至點E,使=連接￡>E.

(1)求證：AAMB^ACND；

(2)若BD=2AB,且AB=5,DN=4,求四邊形的面積.

【答案】⑴見解析；⑵24

【分析】

⑴由四邊形ABCD是平行四邊形得出AB=CD,AB//CD,進而得到E1BAC=E]DCA,再結合A0=C0,M,N分別是

0A和0C中點即可求解；

⑵證明I3AB。是等腰三角形，結合M是A0的中點，得至膽]BMO=I3EMC)=90。，同時EIDOC也是等腰三角形，N

是0C中點，得到I3DNO=90。，得至ljEM〃DN,再由⑴得到EM=DN,得出四邊形EMND為矩形，進而求出面

積.

【詳解】

解：(1)證明：回四邊形ABCD是平行四邊形，

?AB=CD,AB//CD,OA=OC,

00BAC=0DCA,

又點M,N分別為OA、0c的中點，

SiAM=-AO=-CO=CN,

22

在AAMB和ACND中,

AB=CD

<ABAC=NDCA,

AM=CN

^/\AMB^/\CND{SAS).

(2)BD=2BO,又已知BD=2AB,

0BO=AB,H3AB0為等腰三角形；

又M為AO的中點，

團由等腰三角形的“三線合一"性質可知：BM0AO,

00BMO=0EMO=9O°,

同理可證Moe也為等腰三角形，

又N是0C的中點，

回由等腰三角形的"三線合一"性質可知：DN0CO,

0DNO=9O°,

00EMO+EIDNO=9OO+9O°=18O°,

EIEM//DN,

又已知EM=BM,由(1)中知BM=DN,

0EM=DN,

團四邊形EMND為平行四邊形，

又團EMO=90。，團四邊形EMND為矩形，

在RtlSABM中，由勾股定理有：AM=\lAB2-BM2=752-42=3-

0AM=CN=3,

EIMN=MO+ON=AM+CN=3+3=6,

E1S矩形EMN。=MMME=6X4=24.

故答案為：24.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的性質、矩形的判定和性質、矩形的面積公式等，熟練掌握其性質和判定方法是解

決此類題的關鍵.

22.如圖，在平行四邊形A6CD中，分別以邊BC,作等腰△3CV,ACDE,使BC=BF,CD=DE,

ZCBF=ZCDE,連接AF,AE.

（1）求證尸四AEZM；

（2）延長48與CF相交于G.若求證8尸，8c.

【答案】（1）見解析（2）見解析

【詳解】

證明：（1）在「ABCD中，AB=DC,

又國DE=DC,

回AB=DE.同理可得FB=AD.

在平行四邊形ABCD中，ZABC=ZADC,

又國NCBF=NCDE,

0ZABF=360°-ZABC-ZCBF,ZADE=360°-ZADC-ZCDE,

S\ZABF=ZEDA,

0AABF^^\EDA（SAS）:

（2）由（1）知△ABF絲△EZM,

SZAFB=ZEAD,

NGBF=ZAFB+ZFAB=NEAD+NFAB,

在：ABC￡>中，AD//BC,

SZCBG=ZDAG,

0ZCBF=NCBG+ZGBF=NDAB+ZEAD+ZFAB=ZEAF=90°,

S1BF1BC.

23.（2023四川樂山）點尸是平行四邊形ABC。的對角線AC所在直線上的一個動點（點尸不與點A、C重

合)，分別過點A、C向直線的作垂線，垂足分別為點E、F.點。為AC的中點.

(1)如圖1,當點P與點。重合時，線段0E和O尸的關系是;

(2)當點尸運動到如圖2所示的位置時，請在圖中補全圖形并通過證明判斷(1)中的結論是否仍然成立？

(3)如圖3,點P在線段OA的延長線上運動，當NOEF=30。時，試探究線段CF、AE、0E之間的關系.

【答案】(1)OE=OF-(2)補圖見解析，OE=O廠仍然成立，證明見解析；(3)OE=CF+AE,證明見解

析

【分析】

(1)證明ElAOEaaCOF即可得出結論;

(2)(1)中的結論仍然成立，作輔助線，構建全等三角形，證明團AOE豳CG。，得OE=OG,再根據直角三

角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出結論；

(3)FC+AE=OE,理由是：作輔助線，構建全等三角形，與⑵類似，同理得AAOE-ACO”,得出AE=CH,

OE=OH,再根據/OEF=30。，ZHFE=9Q°,推出5==即可得證.

【詳解】

解：(1)如圖1,回四邊形ABCD是平行四邊形，

0OA=OC,

0AE0BP,CF0BP,

EI0AEO=!?1CFO=9OO,

00AOE=ECOF,

團團A。EH3C。F(AAS),

EIOE=OF；

(2)補全圖形如圖所示，OE=O廠仍然成立,

證明如下：延長石。交C產于點G,

國AELBP,CFLBP,

團AE//CF,

團NE4O=NGCO,

回點。為AC的中點，

國AO=CO,

又團NAOE=NCOG,

回垃OESG,

團OE-OG,

回NGFE=90。，

^\OF=-EG=OE；

2

(3)當點尸在線段OA的延長線上時，線段。尸、AE.OE之間的關系為6?=CF+AE,

證明如下：延長￡。交尸C的延長線于點H,如圖所示，

回AE=CH,OE=OH,

又團NO"=30。，NHFE=90。,

^HF=-EH=OE,

2

⑦OE=CF+CH=CF+AE.

【點睛】

本題考查了平行四邊形、全等三角形的性質和判定以及等腰三角形的性質和判定，以構建全等三角形和證

明三角形全等這突破口，利用平行四邊形的對角線互相平分得全等的邊相等的條件，從而使問題得以解決.

24.如圖，在平行四邊形ABCD中，。為AC的中點，直線I與邊BC重合，將直線I繞點B旋轉，旋轉角為

?,AA/_L直線I于點M,CN_L直線I于點N,連接OM、ON

圖①

備用圖

(1)如圖①，當直線I繞點B逆時針旋轉a((F<a<30。)時，請直接寫出OM、ON