專題09-數(shù)列-五年(2017-2021)高考數(shù)學(xué)真題分項詳解(新高考地區(qū)專用)(解析版)

專題09數(shù)列【2021年】一、【2021·浙江高考】已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項和為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】顯然可知，，利用倒數(shù)法得到，再放縮可得，由累加法可得，進而由局部放縮可得，然后利用累乘法求得，最后根據(jù)裂項相消法即可得到，從而得解．【詳解】因為，所以，．由，即根據(jù)累加法可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，由累乘法可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，由裂項求和法得：所以，即．故選：A．【點睛】本題解題關(guān)鍵是通過倒數(shù)法先找到的不等關(guān)系，再由累加法可求得，由題目條件可知要證小于某數(shù)，從而通過局部放縮得到的不等關(guān)系，改變不等式的方向得到，最后由裂項相消法求得．【2021·浙江高考】已知數(shù)列的前n項和為，，且.（1）求數(shù)列的通項；（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，結(jié)合與的關(guān)系，分討論，得到數(shù)列為等比數(shù)列，即可得出結(jié)論；（2）由結(jié)合的結(jié)論，利用錯位相減法求出，對任意恒成立，分類討論分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為與關(guān)于的函數(shù)的范圍關(guān)系，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時，，，當(dāng)時，由①，得②，①②得，又是首項為，公比為的等比數(shù)列，；（2）由，得，所以，，兩式相減得，所以，由得恒成立，即恒成立，時不等式恒成立；時，，得；時，，得；所以.【點睛】易錯點點睛：（1）已知求不要忽略情況；（2）恒成立分離參數(shù)時，要注意變量的正負零討論，如（2）中恒成立，要對討論，還要注意時，分離參數(shù)不等式要變號.二、【2021·江蘇高考】某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.規(guī)格為20dm×12dm的長方形紙，對折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1=240dm2，對折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm【答案】5

240(3-【知識點】數(shù)列求和方法【解析】解：易知有20dm×34dm,10dm×32dm,5dm×3dm,52dm×6dm，54dm×12dm，共5種規(guī)格；

由題可知，對折k次共有k+1種規(guī)格，且面積為2402k，故Sk=240(k+1)2k，

則k=1n【2021·江蘇高考】已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=an+1,n為奇數(shù),an+2,n為偶數(shù)【答案】解：(1)因為a1=1，an+1=an+1,n為奇數(shù)an+2,n為偶數(shù)，

所以a2=a1+1=2，a3=a2+2=4，a4=a3+1=5，

所以b1=a2=2，b2=a4=5，

bn-bn-1=a2n-a【知識點】數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列求和方法【解析】(1)由數(shù)列{an}的通項公式可求得a2，a4，從而可得求得b1，b2，由bn-bn-1=3可得數(shù)列【2020年】一、【2020·北京高考】在等差數(shù)列{an}中，a1=-9，a5=-1.記TA.有最大項，有最小項 B.有最大項，無最小項

C.無最大項，有最小項 D.無最大項，無最小項【答案】B【知識點】等差數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的性質(zhì)、數(shù)列的函數(shù)特征【解析】【分析】

本題考查等差數(shù)列的通項公式，考查數(shù)列的函數(shù)特性，考查分析問題與解決問題的能力，是中檔題．

由已知求出等差數(shù)列的通項公式，分析可知數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，且前5項為負值，自第6項開始為正值，進一步分析得答案．

【解答】

解：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為d，由a1=-9，a5=-1，得d=a5-a15-1=-1-(-9)4=2，

∴an=-9+2(n-1)=2n-11．

由an=2n-11=0，得n=112，而n∈N*，

可知數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，且前5項為負值，自第6項開始為正值．

可知T1=-9<0，T2=63>0，T3=-315<0，T4=945>0為最大項，

自T5起均小于0，且逐漸減小．

∴數(shù)列{Tn}有最大項，無最小項．

故選：B．

【2020·北京高考】已知{an}是無窮數(shù)列．給出兩個性質(zhì)：

①對于{an}中任意兩項ai，aj【答案】解：(Ⅰ)不滿足，理由：a32a2=92?N*，不存在一項am使得a32a2=am．

(Ⅱ)數(shù)列{an}同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，

理由：對于任意的i和j，滿足ai2aj=22i-j-1，因為i∈N*，j∈N*且i>j，所以2i-j∈N*，則必存在m=2i-j，此時，2m-1∈{ai}且滿足ai2aj=22i-j-1=am，性質(zhì)①成立，

對于任意的n，欲滿足an=2n-1=ak2al=22k-l-1，滿足n=2k-l即可，因為k∈N*，l∈N*，且k>l，

所以2k-l可表示所有正整數(shù)，所以必有一組k，l使n=2k-l，即滿足an=ak2al，性質(zhì)②成立．

(Ⅲ)首先，先證明數(shù)列恒正或恒負，

反證法：假設(shè)這個遞增數(shù)列先負后正，

那么必有一項al絕對值最小或者有al與al+1同時取得絕對值最小，

如僅有一項al絕對值最小，此時必有一項am=al2aj，此時|am|<|al|

與前提矛盾，【知識點】等比數(shù)列的性質(zhì)、數(shù)列的函數(shù)特征【解析】(Ⅰ)由a32a2=92?N*，即可知道不滿足性質(zhì)．

(Ⅱ)對于任意的i和j，滿足ai2aj=22i-j-1，?2i-j∈N*，必存在m=2i-j，可得滿足性質(zhì)①；對于任意的n，欲滿足an=2n-1=ak2al=22A.2a4=a2+【答案】B【知識點】等差數(shù)列的通項公式、數(shù)列的遞推關(guān)系、等差數(shù)列的求和【解析】【分析】

本題考查數(shù)列遞推式，等差數(shù)列的通項公式與前n項和，考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力，是中檔題．

由已知利用等差數(shù)列的通項公式判斷A與C；由數(shù)列遞推式分別求得b2,b4,b6,b8，分析B，D成立時是否滿足公差d≠0，a1d?1判斷B與D．

【解答】

解：在等差數(shù)列{an}中，an=a1+n-1d，

Sn+2=(n+2)a1+(n+2)(n+1)2d，S2n=2na1+2n(2n-1)2d，

b1=S2=2a1+d，bn+1=Sn+2-S2n=(2-n)a1-3n2-5n-22d．

∴b2=a1+2【答案】10【知識點】數(shù)列的通項公式、數(shù)列的函數(shù)特征【解析】【分析】

本題考查數(shù)列求和，數(shù)列通項公式的應(yīng)用，是基本知識的考查．

求出數(shù)列的前3項，然后求解即可．

【解答】

解：數(shù)列{an}滿足an=n(n+1)2，

可得a1=1，a【2020·浙江高考】已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}滿足a1=b1=c1=1，cn+1=an+1-an，【答案】(1)解：由題意，b2=q，b3=q2，

∵b1+b2=6b3，∴1+q=6q2，

整理，得6q2-q-1=0，

解得q=-13(舍去)，或q=12，

∴cn+1=bnbn+2?cn=1bn+2bn?cn=1q2?cn=1(12)2?cn=4?【知識點】數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列求和方法、裂項相消法、等比數(shù)列的通項公式【解析】本題主要考查數(shù)列求通項公式，等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量的運算，以及和式不等式的證明問題．考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，整體思想，方程思想，累加法求通項公式，裂項相消法求和，放縮法證明不等式，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運算能力，屬于綜合題．

(1)先根據(jù)等比數(shù)列的通項公式將b2=q，b3=q2代入b1+b2=6b3，計算出公比q的值，然后根據(jù)等比數(shù)列的定義化簡cn+1=bnbn+2?cn可得cn+1=4cn，則可發(fā)現(xiàn)數(shù)列三、【2020·天津高考】已知{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，a1=b1=1，a5=5(a4-a3)，b5=4(b4-b3).

(Ⅰ)求{an}和{【答案】解：(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，

由a1=1，a5=5(a4-a3)，則1+4d=5d，可得d=1，

∴an=1+n-1=n，

∵b1=1，b5=4(b4-b3)，

∴q4=4(q3-q2)，

解得q=2，

∴bn=2n-1；

證明(Ⅱ)由(Ⅰ)可得Sn=n(n+1)2，

∴SnSn+2=1【知識點】錯位相減法、等差數(shù)列的通項公式、數(shù)列求和方法、等比數(shù)列的通項公式【解析】本題考查了等差數(shù)列等比數(shù)列的通項公式和求和公式，考查了不等式的大小比較，考查了數(shù)列求和的方法，考查了運算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，分類與整合能力，屬于難題．

(Ⅰ)分別根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的通項公式即可求出；

(Ⅱ)根據(jù)等差數(shù)列的求和公式和作差法即可比較大小，則可證明；

(Ⅲ)分類討論，再根據(jù)錯位相減法即可求出前2n項和．

四、【2020·上海高考】計算：limn【答案】1【知識點】極限思想【解析】【分析】

本題考查數(shù)列的極限的求法，注意運用極限的運算性質(zhì)，考查運算能力，是一道基礎(chǔ)題．

由極限的運算法則和重要數(shù)列的極限公式，可得所求值．【解答】

解：，故答案為：13【2020·上海高考】已知數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，且a1【答案】27【知識點】等差數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的求和【解析】【分析】

本題考查等差數(shù)列的前n項和與等差數(shù)列通項公式的應(yīng)用，注意分析a1與d的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)等差數(shù)列的通項公式可由a1+a10=a【解答】

解：根據(jù)題意，等差數(shù)列{an}滿足a1+所以a1故答案為：278【2020·上海高考】已知數(shù)列{an}為有限數(shù)列，滿足|a1(1)判斷數(shù)列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性質(zhì)P，請說明理由；(2)若a1=1，公比為q的等比數(shù)列，項數(shù)為10，具有性質(zhì)P，求(3)若{an}是1，2，3，…，m的一個排列(m≥4)，{bn}符合bk=ak+1(k=1,【答案】解：(1)對于數(shù)列3，2，5，1，有|2-3|=1，|5-3|=2，|1-3|=2，滿足題意，該數(shù)列滿足性質(zhì)P；對于第二個數(shù)列4、3、2、5、1，|3-4|=1，|2-4|=2，|5-4|=1.不滿足題意，該數(shù)列不滿足性質(zhì)P．(2)由題意：|a1-a1qn|≥|a1兩邊平方可得：q2整理可得：(q-1)qn-1所以等價于n=2時，q所以，(q+2)(q-1)≥0，所以q當(dāng)0<q≤1時，得qn-1(q所以(q+2)(q-1)≤0當(dāng)-1≤q<0當(dāng)n為奇數(shù)時，得qn-1(q+1)-2≤0，恒成立，當(dāng)故當(dāng)-1≤當(dāng)q<-1時，得qn-1[當(dāng)n為偶數(shù)時，qn-1(q所以(q+2)(q-1)≥0，所以q綜上．(3)設(shè)a1=p，p∈{3,4，…，因為a1=p，a2可以取p-1，或p+1如果a2或a3取了p-3或p+3，將使{an①a1=p，a2=p②a1=p，a2=p③a1=p，a2=p④a1=p，a2=p對于①，b1=p-1，|b2對于②，b1=p-1，|b2-b對于③，b1=p+1，|b2-b1對于④b1=p+1，|b2所以P∈{3,4，…，m-3，m-2}，均不能同時使{當(dāng)p=1時，有數(shù)列{an}:1，2，3，…，當(dāng)p=m時，有數(shù)列{an}:m，m-1，當(dāng)p=2時，有數(shù)列{an}:2，1，3，…，當(dāng)p=m-1時，有數(shù)列{an}:m-1，m，m-所以滿足題意的數(shù)列{a【知識點】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用、等比數(shù)列的通項公式【解析】本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，不等式以及不等關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力是難度大的題目，必須由高的數(shù)學(xué)思維邏輯修養(yǎng)才能解答．(1)根據(jù)定義，驗證兩個數(shù)列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性質(zhì)P即可；(2)假設(shè)公比q的等比數(shù)列滿足性質(zhì)P，可得：|a1-a1qn|≥|a1-(3)設(shè)a1=p，分p=1時，當(dāng)p=m時，當(dāng)p=2時，當(dāng)p=m-1時，以及P∈{3,4，【2019年】一、【2019·北京高考（理）】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2=-3，S5=-10，則a5=

【答案】0-【知識點】等差數(shù)列的通項公式、數(shù)列的函數(shù)特征、等差數(shù)列的求和【解析】【分析】

本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的前n項和的最小值的求法，屬于基礎(chǔ)題．

利用等差數(shù)列{an}的前n項和公式、通項公式列出方程組，能求出a1=-4，d=1，由此能求出a5的Sn的最小值．

【解答】

解：設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a2=-3，S5=-10，

∴a1+d=-35a1+5×4【2019·北京高考（理）】已知數(shù)列{an}，從中選取第i1項、第i2項、…、第im項(i1<i2<…<im)，若ai1<ai2<…<aim，則稱新數(shù)列ai1，ai2，…，aim為{an}的長度為m的遞增子列．規(guī)定：數(shù)列{an}的任意一項都是{an}的長度為1的遞增子列．

(Ⅰ)寫出數(shù)列1，8，3，7，5，6，9的一個長度為4的遞增子列；

(Ⅱ)已知數(shù)列【答案】解：

(I)1，3，5，6．

(II)證明：

考慮長度為q的遞增子列的前p項可以組成長度為p的一個遞增子列，

∴an0>該數(shù)列的第p項≥am0，

∴am0<an0．

(III)解：考慮2s-1與2s這一組數(shù)在數(shù)列中的位置．

若{an}中有2s，2s在2s-1之后，

則必然存在長度為s+1，且末項為2s的遞增子列，

這與長度為s的遞增子列末項的最小值為2s-1矛盾，

∴2s必在2s-1之前．

繼續(xù)考慮末項為2s+1的長度為s+1的遞增子列．

∵對于數(shù)列2n-1，2n，由于2n在2n-1之前，

∴研究遞增子列時，不可同時取2n與2n-1，

∵對于1至2s的所有整數(shù)，研究長度為s+1的遞增子列時，第1項是1與2二選1，第2項是3與4二【知識點】數(shù)列的遞推關(guān)系【解析】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)列的單調(diào)性，考查了邏輯推理能力、分析問題與解決問題的能力，屬于難題．

(I)1，3，5，6.答案不唯一．

(II)考慮長度為q的遞增子列的前p項可以組成長度為p的一個遞增子列，可得an0>該數(shù)列的第p項≥am0，即可證明結(jié)論．

(III)考慮2s-1與2s這一組數(shù)在數(shù)列中的位置，可得2s必在2s-1之前．繼續(xù)考慮末項為2s+1的長度為s+1的遞增子列，即可得出：遞增子列最多有2s個．由題意，這s組數(shù)列對全部存在于原數(shù)列中，并且全在2s+1之前．可得2，1，4，3，6，5，……，是唯一構(gòu)造．

【2019·北京高考（文）】設(shè){an}是等差數(shù)列，a【答案】解：(Ⅰ)∵{an}是等差數(shù)列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比數(shù)列．

∴(a3+8)2=(a2+10)(a4+6)，

∴(-2+2d)2=d(-4+3【知識點】等差數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的概念、等差數(shù)列的求和【解析】本題考查數(shù)列的通項公式、前n項和的最小值的求法，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．

(Ⅰ)利用等差數(shù)列通項公式和等比數(shù)列的性質(zhì)，列出方程求出d=2，由此能求出{an}的通項公式；

(Ⅱ)由a1=-10，d二、【2019·浙江高考】設(shè)a，b∈R，數(shù)列{an}滿足a1=aA.當(dāng)b=12時，a10>10 B.當(dāng)b=14時，a10【答案】A【知識點】數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列的函數(shù)特征【解析】【分析】

本題考查命題真假的判斷，考查數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查推理論證能力，屬于難題．逐項檢驗，可得結(jié)果．

【解答】

解：對于B，令λ2-λ+14=0，得λ=12，

取a1=12，∴a2=12,…,an=12<10，

∴當(dāng)b=14時，a10<10，故B錯誤；

對于C，令λ2-λ-2=0，得λ=2或λ=-1，

取a1=2，∴a2=2，…，an=2<10，

∴當(dāng)b=-2時，a10<10，故C錯誤；

對于D，令λ2-λ-4=0【2019·浙江高考】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a3=4，a4=S3.數(shù)列{bn}滿足：對每個n∈N*，Sn+bn，Sn+1+b【答案】解：(Ⅰ)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，

由題意得a1+2d=4a1+3d=3a1+3d，

解得a1=0，d=2，

∴an=2n-2，n∈N*．

∴Sn=n2-n，n∈N*，

∵數(shù)列{bn}滿足：對每個n∈N*，Sn+bn，Sn+1+bn，Sn+2+bn成等比數(shù)列．【知識點】等差數(shù)列的通項公式、運用數(shù)學(xué)歸納法證明、數(shù)列的綜合應(yīng)用【解析】(Ⅰ)利用等差數(shù)列通項公式和前n項和公式列出方程組，求出a1=0，d=2，從而an=2n-2，n∈N*.Sn=n2-n，n三、【2019·天津高考（理）】設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列．已知a1=4，b1=6，b2=2a2-2，b3=2a3+4．

(Ⅰ)求{an}和【答案】解：(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，

依題意有：

6q=6+2d6q2=12+4d，解得d=3q=2，

∴an=4+(n-1)×3=3n+1，

bn【知識點】等差數(shù)列的通項公式、分組轉(zhuǎn)化求和法、等比數(shù)列的求和、等比數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的求和【解析】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列通項公式及前n項和等基礎(chǔ)知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想和數(shù)列求和的基本方法以及運算求解能力．

(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式列出方程組，能求出{an}和{bn}的通項公式．【2019·天津高考（文）】設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，公比大于0.已知a1=b1=3，b2=a3，b3=4a2+3．【答案】解：

(Ⅰ){an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，公比大于0，

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，q>0，

由題意可得：3q=3+2d①，3q2=15+4d②，

解得：d=3，q=3，

故an=3+3(n-1)=3n，【知識點】錯位相減法、分組轉(zhuǎn)化求和法、數(shù)列的遞推關(guān)系【解析】本題主要考查等差等比數(shù)列通項公式和前n項和的求解，考查數(shù)列求和的基本方法分組和錯位相減法的運算求解能力，屬中檔題．

(Ⅰ)由等差等比數(shù)列通項公式和前n項和的求解{an}和{bn}的通項公式即可．

(Ⅱ)利用分組求和和錯位相減法得答案．

四、【2019·上海高考】已知數(shù)列{an}，a1=3，前n項和為Sn．

(1)若{an【答案】解：(1)設(shè)公差為d

∵a4=a1+3d=3+3d=15，∴d=4，

∴Sn=3n+n(n-1)2×4=2n2+n；

(2)設(shè)公比為q，

當(dāng)q=1時，Sn=3n【知識點】等比數(shù)列的求和、極限思想、等差數(shù)列的求和【解析】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和及等差數(shù)列的通項公式，考查了極限的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

(1)求出公差即可求Sn；

(2)當(dāng)q=1時，顯然不合題意，由limn→+∞Sn存在得-1<q<1【2019·上海高考】已知等差數(shù)列{an}的公差d∈(0,π]，數(shù)列{bn}滿足bn=sin(an)，集合S={x|x=bn,n∈N*}．【答案】解：(1)∵等差數(shù)列{an}的公差d∈(0,π]，數(shù)列{bn}滿足bn=sin(an)，集合S={x|x=bn,n∈N*}．

∴當(dāng)a1=0,d=2π3，

集合S={-32,0，32}.

(2)∵a1=π2，數(shù)列{bn}滿足bn=sin(an)，集合S={x|x=bn,n∈N*}恰好有兩個元素，如圖：

根據(jù)三角函數(shù)線，①等差數(shù)列{an}的終邊落在y軸的正負半軸上時，集合S恰好有兩個元素，此時d=π，

②a1終邊落在OA上，要使得集合S恰好有兩個元素，可以使a2，a3的終邊關(guān)于y軸對稱，如圖OB，OC，此時d=2π3，

綜上，d=23π或者d=π．

(3)①當(dāng)T=1時，bn+1=bn，數(shù)列{bn}為常數(shù)列，S僅有1個元素，顯然不符合條件；

②當(dāng)T=2時，bn+2=bn，，數(shù)列{bn}的周期為2，S中有2個元素，顯然不符合條件；

③當(dāng)T=3時，bn+3=bn，集合S={b1,b2,b3}，(1)情況滿足，符合題意．

④當(dāng)T=4時，bn+4=bn，sin(an+4d)=sinan，an+4d=an+2kπ，k∈Z，

或者an+4d=π+2kπ-an，k∈Z，

當(dāng)時，集合S={-1,0，1}，符合條件．

⑤當(dāng)T=5【知識點】數(shù)列綜合、集合中元素的性質(zhì)、正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)【解析】本題考查等差數(shù)列的相關(guān)知識、集合元素的性質(zhì)以及三角函數(shù)的周期性，是一道綜合題．

(1)根據(jù)等差數(shù)列及三角函數(shù)周期性求解；

(2)由集合S的元素個數(shù)，結(jié)合題意進而可求得答案；

(3)分別令T=1，2，3，4，5，6，7進行驗證，判斷T的可能取值．【2018年】一、【2018·北京高考（理）】“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻，十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于122.若第一個單音的頻率為fA.32f B.322【答案】D【知識點】等比數(shù)列的應(yīng)用【解析】【分析】

本題考查等比數(shù)列的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意，進行求解即可．

【解答】

解：由題意，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于122．

若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為：(122)7?f=1227f．

故選：D．

【2018·【答案】a【知識點】等差數(shù)列的通項公式【解析】【分析】

本題考查等差數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題．

列出方程組，求出d，由此能求出{an}的通項公式．

【解答】

解：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，

∵{an}是等差數(shù)列，且a1=3，a2+a5=36，

∴a1=3a1+d+a1+4d=36,

解得a1=3，d=6，

∴an【答案】解：(Ⅰ){an}是等差數(shù)列，且a1=ln2，a2+a3=5ln2．

可得：2a1【知識點】等差數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的求和【解析】本題考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列的通項公式以及數(shù)列求和，考查計算能力．

(Ⅰ)求{an}的通項公式；

(Ⅱ二、【2018·浙江高考】已知a1,a2,a3,A.a1<a3，a2<a4 B.a1>a3【答案】B【知識點】等比數(shù)列的性質(zhì)、對數(shù)與對數(shù)運算、對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)、分類討論思想【解析】【分析】

本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的值的判斷，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查分類討論思想，難度比較大．

利用等比數(shù)列的性質(zhì)以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，通過數(shù)列的公比的討論分析判斷即可．

【解答】

解：a1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，奇數(shù)項符號相同，偶數(shù)項符號相同，

a1>1，設(shè)公比為q，

當(dāng)q>0時，有a1+a2+a3+a4>a1+a2+a3，所以a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)不成立；

當(dāng)q=-1時，a1+a2+a3+a4=0，ln(a1+a2+a3)=ln【答案】解：(1)等比數(shù)列{an}的公比q>1，

且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中項，

可得2a4+4=a3+a5=28-a4，

解得a4=8，

由8q+8+8q=28，可得q=2或q=12(舍去)，

則q的值為2；

(2)由q=2及a3+a4+a5=28可得a1(q2+q【知識點】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用【解析】本題考查等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)、錯位相減法的運用，考查運算能力，屬于中檔題．

(1)運用等比數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列中項性質(zhì)，解方程可得公比q；

(2)設(shè)cn=(bn+1-三、【2018·天津高考（理）】設(shè){an}是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項和為Sn(n∈N*)，{bn}是等差數(shù)列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b【答案】(Ⅰ)解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a1=1，a3=a2+2，可得q2-q-2=0．

∵q>0，可得q=2．

故an=2n-1．

設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，由a4=b3+b5，得b1+3d=4，【知識點】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用、裂項相消法【解析】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及前n項和等基礎(chǔ)知識，考查利用裂項相消法求和，是中檔題．

(Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由已知列式求得q，則數(shù)列{an}的通項公式可求；等差數(shù)列{bn}的公差為d，再由已知列關(guān)于首項與公差的方程組，求得首項與公差，可得等差數(shù)列的通項公式；

(Ⅱ)(i)由等比數(shù)列的前n項和公式求得Sn，再由分組求和及等比數(shù)列的前n項和求得數(shù)列{Sn}的前n項和Tn；

(ii)化簡整理(Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)，再由裂項相消法證明結(jié)論．

【2018·天津高考（文）】設(shè){an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn(【答案】解：(Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，

由b1=1，b3=b2+2，可得q2-q-2=0，

∵q>0，可得q=2，

故bn=2n-1，Tn=1-2n1-2=2n-1，

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由b4=a3+a5，得a1+3d=4，

【知識點】等差數(shù)列的通項公式、分組轉(zhuǎn)化求和法、等比數(shù)列的求和、等比數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的求和【解析】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及前n項和等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)列求和的基本方法及運算能力，是中檔題．

(Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，由已知列式求得q，則數(shù)列{bn}的通項公式與前n項和可求；等差數(shù)列{an}的公差為d，再由已知列關(guān)于首項與公差的方程組，求得首項與公差，代入等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式可得Sn；

(Ⅱ)由(Ⅰ)求出T1+T2+……+Tn，代入Sn+(T1+T2+……+T【答案】14【知識點】等差數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的求和【解析】【分析】

本題考查等差數(shù)列的前n項和的求法，等差數(shù)列的通項公式，是基礎(chǔ)題．

利用等差數(shù)列通項公式列出方程組，求出a1=-4，d=2，由此能求出S7．

【解答】

解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

a3=0，a6+a7=14，

∴a1+2d=0a1+5d+a1+6d=14，

解得a【答案】3【知識點】等比數(shù)列的求和、數(shù)列的函數(shù)特征、等比數(shù)列的通項公式【解析】【分析】

本題主要考查等比數(shù)列的通項公式與求和公式，數(shù)列的函數(shù)特征，屬于中檔題．

利用等比數(shù)列的通項公式求出首項，通過數(shù)列的極限，列出方程，求解公比即可．

【解答】

解：等比數(shù)列{an}的通項公式為an=qn-1(n∈N*)，可得a1=1，

因為limn→+∞Snan+1=12，所以數(shù)列的公比不是1，

Sn=a1(1-qn)1-q，an+1=qn．

可得limn→+∞1-qn1-qqn=limn→+∞1-qn(1-q)qn=limn→+∞1qn-11-q，

當(dāng)0<q<1時，當(dāng)n→+∞時，1qn-11-q→+∞，

當(dāng)-1<q<0時，當(dāng)n→+∞時，1qn-11-q→+∞(n為偶數(shù))或1qn-11-q→-∞(n為奇數(shù))，

當(dāng)q?-1時，當(dāng)n→+∞【答案】解：(1)數(shù)列{bn}與{an}接近．

理由：{an}是首項為1，公比為12的等比數(shù)列，

可得an=12n-1，bn=an+1+1=12n+1，

則|bn-an|=|12n+1-12n-1|=1-12n<1，n∈N*，

可得數(shù)列{bn}與{an}接近；

(2){bn}是一個與{an}接近的數(shù)列，

可得an-1≤bn≤an+1，

數(shù)列{an}的前四項為：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，

可得b1∈[0,2]，b2∈[1,3]，b3∈[3,5]，b4∈[7,9]，

可能有①M=b1,b2,b3,b4，②M=b1,b3,b4,(b1=b2)，③M=b1,b3,b4,(b【知識點】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用【解析】本題考查新定義“接近”的理解和運用，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和通項公式的運用，考查分類討論思想方法，以及運算能力和推理能力，屬于難題．

(1)運用等比數(shù)列的通項公式和新定義“接近”，即可判斷；

(2)由新定義可得an-1≤bn≤an+1，求得bi，i=1，2，3，4的范圍，即可得到所求個數(shù)；

(3)運用等差數(shù)列的通項公式可得an，討論公差【2017年】一、【2017·北京高考（理）】若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a【答案】1【知識點】等差數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的通項公式【解析】【分析】

本題考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列的通項公式，是基礎(chǔ)題．

利用等差數(shù)列求出公差，等比數(shù)列求出公比，然后分別求解第二項，即可得到結(jié)果．

【解答】

解：等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1=b1=-1，a4=b4=8，

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，

可得8=-1+3d，∴d=3，a2=2；

由8=-q3，解得q=-2，∴b2=2；

可得a2b2=1．

故答案為：1．

【2017·北京高考（理）】設(shè){an}和{bn}是兩個等差數(shù)列，記cn=max{b1-a1n,b【答案】解：(1)a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，

當(dāng)n=1時，c1=max{b1-a1}=max{0}=0，

當(dāng)n=2時，c2=max{b1-2a1,b2-2a2}=max{-1,-1}=-1，

當(dāng)n=3時，c3=max{b1-3a1,b2-3a2,b3-3a3}=max{-2,-3,-4}=-2，

下面證明：對?n∈N*，且n≥2，都有cn=b1-na1，

當(dāng)n∈N*，且2≤k≤n時，

則(bk-nak)-(b1-na1)，

=[(2k-1)-nk]-1+n，

=(2k-2)-n(k-1)，

=(k-1)(2-n)，由k-1>0，且2-n≤0，

則(bk-nak)-(b1-na1)≤0，則b1-na1≥bk-nak，

因此，對?n∈N*，且n≥2，cn=b1-na1=1-n，cn+1-cn=-1，

又c2-c1=-1-0=-1，

∴cn+1-cn=-1對?n∈N*均成立，

∴數(shù)列{cn}是等差數(shù)列；

(2)證明：設(shè)數(shù)列{an}和{bn}的公差分別為d1，d2，下面考慮的cn取值，

由b1-a1n，b2-a2n，…，bn-ann，

考慮其中任意bi-【知識點】運用放縮法證明不等式、數(shù)列綜合、等差數(shù)列的判定與證明【解析】本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，等差數(shù)列的性質(zhì)，考查與不等式的綜合應(yīng)用，考查“放縮法”的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問題及解決問題的能力，考查分類討論及轉(zhuǎn)化思想，考查計算能力，屬于難題．

(1)分別求得a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，代入即可求得c1，c2，c3；由(bk-nak)-(b1-na1)≤0，則b1-na1≥bk-nak，則cn=b1-na1=1-n，cn+1-cn=-1對?n∈N*均成立；

(2)由bi-a【答案】解：(Ⅰ)等差數(shù)列{an}，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，

所以{an}的通項公式：an=1+(n-1)×2=2n-1；

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得a5=a1【知識點】等差數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用、等比數(shù)列的求和【解析】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列求和以及通項公式的求解，考查計算能力，屬于一般題．

(Ⅰ)利用已知條件求出等差數(shù)列的公差，然后求{an}的通項公式；

(Ⅱ)利用已知條件求出公比，然后求