河南省部分重點(diǎn)中學(xué)2025屆高三上學(xué)期開學(xué)摸底測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省部分重點(diǎn)中學(xué)2025屆高三上學(xué)期開學(xué)摸底測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故選：C.2.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，，則，所以.故選：D.3.已知向量.若，則（）A.-1 B.1 C.2 D.0〖答案〗A〖解析〗由，則，因?yàn)?，所以，即，解?故選：A.4.已知，且，則（）A.0 B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，則，所以.故選：B.5.將4個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子中，且每個(gè)盒子最多只能裝3個(gè)球，則不同的放法有（）A.60種 B.64種 C.78種 D.81種〖答案〗C〖解析〗不考慮每個(gè)盒子最多只能裝3個(gè)球，有種放法.若將4個(gè)球放入同一個(gè)盒子中，有3種放法.故不同的放法有種.故選：C.6.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，，故故選：A.7.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若，則（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗由圖可知，則，解得.因?yàn)?，所?因?yàn)榈膱D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以，解得因?yàn)?，所?因?yàn)榈膱D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得.故.因?yàn)?，所?.故選：D.8.已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在的同一支上），且，則（）A.6 B.8 C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得.根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線為，聯(lián)立可得.設(shè)，則.①由，則，又所以.②由①②可得，所以，解得或（舍），，所以.故選：D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.為了解某新品種玉米的畝產(chǎn)量（單位：千克）情況，從種植區(qū)抽取樣本，得到該新品種玉米的畝產(chǎn)量的樣本均值，樣本方差.已知原品種玉米的畝產(chǎn)量服從正態(tài)分布，假設(shè)新品種玉米的畝產(chǎn)量服從正態(tài)分布，則（）（若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗依題可知，，故C正確，D錯(cuò)誤.因?yàn)?，所以，A正確.因?yàn)?，所?.8，B正確.故選：ABC.10.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t（）A. B.C.是偶函數(shù) D.〖答案〗ABD〖解析〗令，得，A正確.令，得，所以.令，得，所以，B正確.令，得，所以是奇函數(shù)，C錯(cuò)誤.令，得，所以D正確.故選：ABD.11.如圖，球被一個(gè)距離球心的平面截成了兩個(gè)部分，這兩個(gè)部分都叫作球缺，截面叫作球缺的底面，球缺的曲面部分叫作球冠，垂直于截面的直徑被截后所得的線段叫作球缺的高.球冠的面積公式為，球缺的體積公式為，其中為球的半徑，為球缺的高，記兩個(gè)球缺的球冠面積分別為，兩個(gè)球缺的體積分別為，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則兩個(gè)球缺的底面面積均為B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A，設(shè)這兩個(gè)球缺的底面圓半徑為，則，因?yàn)椋?，解得，該圓的面積為A錯(cuò)誤.對(duì)于B，設(shè)兩個(gè)球缺的高分別為，則.由，得，則，所以，解得.，同理得，所以B正確.對(duì)于C，.設(shè)，由，得，則，C正確.對(duì)于D，.由，得.設(shè)函數(shù)，則在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，所以，即D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把〖答案〗填在答題卡中的橫線上.12.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)乘積為，若，則__________.〖答案〗1〖解析〗因?yàn)?，即，顯然，所以，則，故.13.已知為橢圓的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為上一點(diǎn)，若為等邊三角形，則的離心率為__________.〖答案〗〖解析〗取橢圓的左焦點(diǎn)，連結(jié)，由為等邊三角形，則，可知為直角三角形，且，設(shè)，則，，可得，則，所以橢圓的離心率是．14.已知函數(shù)有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍為__________.〖答案〗〖解析〗由題意可得方程有4個(gè)不同的根，方程的2個(gè)根為，則方程有2個(gè)不同的根，且，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)直線與函數(shù)的圖象相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)椋越獾?要使函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，只需直線的斜率大于，故的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求；（2）若為邊上一點(diǎn)，且，求的面積.解：（1）因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，解?（2）.由正弦定理，解得.由余弦定理，得，解得（舍去）.在中，，所以.16.如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn)，平面平面是等腰直角三角形，.（1）證明：；（2）求二面角的正弦值.（1）證明：因?yàn)槭堑妊苯侨切?，為中點(diǎn)，所以，平面，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以平面因?yàn)槠矫?，所以，又為的中點(diǎn)，所以是等腰三角形，故.（2）解：在平面上，作，垂足為，連接.平面平面，平面平面，又平面，所以平面.由（1），又，則為等邊三角形.所以，，所以，所以，，所以,在等腰直角三角形中，，所以與全等，故，即，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則..設(shè)平面的法向量為，則即取，可得.設(shè)平面的法向量為，則即取，可得.設(shè)二面角的大小為，則.故二面角的正弦值為.17.在拋物線上有一系列點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心的圓與軸都相切，且圓與圓彼此外切.已知，點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為.（1）求；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1），設(shè)拋物線焦點(diǎn)為，根據(jù)題意可知，解得.（2）因?yàn)閳A與圓彼此外切，所以則.因?yàn)?，所以，?因?yàn)?，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，即.故.（3），兩式相減得.令，則.兩式相減得，所以.所以.，即.18.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在正?shí)數(shù)，使得對(duì)于任意，有，且，則稱是上的“距增函數(shù)”.（1）已知函數(shù)，證明：對(duì)于任意正實(shí)數(shù)是上的“距增函數(shù)”；（2）若是上的“距增函數(shù)”，求的取值范圍；（3）已知是定義在上的“2距增函數(shù)”，求的取值范圍.（1）證明：因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增.對(duì)于任意正實(shí)數(shù)，所以，所以是上的“距增函數(shù)”.（2）解：因?yàn)槭巧系摹熬嘣龊瘮?shù)”，所以，即，化簡(jiǎn)得，所以無(wú)解，即，解得（舍去）.所以的取值范圍為.（3）解：因?yàn)槭嵌x在上的“2距增函數(shù)”，所以.①若，則.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以恒成立.②若，則.因?yàn)椋?令，則，即.令函數(shù)，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以.③若，則.由（2）可得，要使得是定義在上的“2距增函數(shù)”，則必須滿足.當(dāng)時(shí)，.綜上，的取值范圍為.19.甲?乙兩人各有六張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字，兩人進(jìn)行六輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.（1）求甲的總得分為0的概率；（2）求甲的總得分為1的概率；（3）若為隨機(jī)變量，則.記甲的總得分為，求.解：（1）由于對(duì)稱性，不妨固定乙六輪選卡的數(shù)字依次為，甲六輪選卡的數(shù)字有種排序方法.若甲的總得分為0，則甲六輪選卡的數(shù)字依次為，所以甲的總得分為0的概率為.（2）若甲的總得分為1，分以下情況討論.①若甲在第一輪得1分，則第一輪選卡的數(shù)字為3或5.若第一輪選卡的數(shù)字為3，則第二輪選卡的數(shù)字只能為1，第五?六輪選卡的數(shù)字只能為5，第三?四輪選卡的數(shù)字為3或1，有2種情況.若第一輪選卡的數(shù)字為5，則第二輪選卡的數(shù)字只能為1，第五?六輪選卡的數(shù)字有一個(gè)是5，剩下數(shù)字隨機(jī)為其他輪的選卡，有種情況.②若甲在第二輪得1分，類比在第一輪得1分的情況，則有8種情況.③若甲在第三輪得1分，則第一?二輪選卡的數(shù)字只能為1，第四輪選卡的數(shù)字只能為3，第五?六輪選卡的數(shù)字為3或