2025屆湖南長沙鐵一中高三高考前熱身訓練數學試題含解析

2025屆湖南長沙鐵一中高三高考前熱身訓練數學試題Word版含解析注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點為雙曲線的右焦點，直線與雙曲線交于A，B兩點，若，則的面積為（）A． B． C． D．2．關于的不等式的解集是，則關于的不等式的解集是（）A． B．C． D．3．設分別是雙線的左、右焦點，為坐標原點，以為直徑的圓與該雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點（位于軸右側），且四邊形為菱形，則該雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．4．若P是的充分不必要條件，則p是q的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件5．已知函數在上都存在導函數，對于任意的實數都有，當時，，若，則實數的取值范圍是()A． B． C． D．6．已知函數，滿足對任意的實數，都有成立，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．7．已知，則的值構成的集合是（）A． B． C． D．8．已知集合，集合，那么等于（）A． B． C． D．9．設等差數列的前項和為，若，則（）A．23 B．25 C．28 D．2910．不等式的解集記為，有下面四個命題：；；；.其中的真命題是（）A． B． C． D．11．將函數的圖象向右平移個周期后，所得圖象關于軸對稱，則的最小正值是（）A． B． C． D．12．在中，為上異于，的任一點，為的中點，若，則等于（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．，則f（f（2））的值為____________．14．已知向量，，，若，則______.15．記數列的前項和為，已知，且.若，則實數的取值范圍為________.16．數學家狄里克雷對數論，數學分析和數學物理有突出貢獻，是解析數論的創(chuàng)始人之一.函數，稱為狄里克雷函數.則關于有以下結論:①的值域為;②;③;④其中正確的結論是_______(寫出所有正確的結論的序號)三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖1，已知四邊形BCDE為直角梯形，，，且，A為BE的中點將沿AD折到位置如圖，連結PC，PB構成一個四棱錐．（Ⅰ）求證；（Ⅱ）若平面．①求二面角的大??；②在棱PC上存在點M，滿足，使得直線AM與平面PBC所成的角為，求的值．18．（12分）設函數．（1）若，求函數的值域；（2）設為的三個內角，若，求的值；19．（12分）在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）若，求曲線與的交點坐標；（2）過曲線上任意一點作與夾角為45°的直線，交于點，且的最大值為，求的值.20．（12分）若數列前n項和為，且滿足（t為常數，且）（1）求數列的通項公式：（2）設，且數列為等比數列，令，.求證：.21．（12分）手工藝是一種生活態(tài)度和對傳統的堅持，在我國有很多手工藝品制作村落，村民的手工技藝世代相傳，有些村落制造出的手工藝品不僅全國聞名，還大量遠銷海外.近年來某手工藝品村制作的手工藝品在國外備受歡迎，該村村民成立了手工藝品外銷合作社，為嚴把質量關，合作社對村民制作的每件手工藝品都請3位行家進行質量把關，質量把關程序如下：（i）若一件手工藝品3位行家都認為質量過關，則該手工藝品質量為A級；（ii）若僅有1位行家認為質量不過關，再由另外2位行家進行第二次質量把關，若第二次質量把關這2位行家都認為質量過關，則該手工藝品質量為B級，若第二次質量把關這2位行家中有1位或2位認為質量不過關，則該手工藝品質量為C級；（iii）若有2位或3位行家認為質量不過關，則該手工藝品質量為D級.已知每一次質量把關中一件手工藝品被1位行家認為質量不過關的概率為，且各手工藝品質量是否過關相互獨立.（1）求一件手工藝品質量為B級的概率；（2）若一件手工藝品質量為A，B，C級均可外銷，且利潤分別為900元，600元，300元，質量為D級不能外銷，利潤記為100元.①求10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是多少件；②記1件手工藝品的利潤為X元，求X的分布列與期望.22．（10分）已知，.（1）解不等式；（2）若方程有三個解，求實數的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

設雙曲線C的左焦點為，連接，由對稱性可知四邊形是平行四邊形，設，得，求出的值，即得解.【詳解】設雙曲線C的左焦點為，連接，由對稱性可知四邊形是平行四邊形，所以，.設，則，又.故，所以.故選：D本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質，考查余弦定理解三角形和三角形面積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.2．A【解析】

由的解集，可知及，進而可求出方程的解，從而可求出的解集.【詳解】由的解集為，可知且，令，解得，，因為，所以的解集為，故選：A.本題考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查學生的計算求解能力與推理能力，屬于基礎題.3．B【解析】

由于四邊形為菱形，且，所以為等邊三角形，從而可得漸近線的傾斜角，求出其斜率.【詳解】如圖，因為四邊形為菱形，，所以為等邊三角形，，兩漸近線的斜率分別為和.故選：B此題考查的是求雙曲線的漸近線方程，利用了數形結合的思想，屬于基礎題.4．B【解析】

試題分析：通過逆否命題的同真同假，結合充要條件的判斷方法判定即可．由p是的充分不必要條件知“若p則”為真，“若則p”為假，根據互為逆否命題的等價性知，“若q則”為真，“若則q”為假，故選B．考點：邏輯命題5．B【解析】

先構造函數，再利用函數奇偶性與單調性化簡不等式，解得結果.【詳解】令，則當時，，又，所以為偶函數，從而等價于，因此選B.本題考查利用函數奇偶性與單調性求解不等式，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.6．B【解析】

由題意可知函數為上為減函數，可知函數為減函數，且，由此可解得實數的取值范圍.【詳解】由題意知函數是上的減函數，于是有，解得，因此，實數的取值范圍是．故選：B.本題考查利用分段函數的單調性求參數，一般要分析每支函數的單調性，同時還要考慮分段點處函數值的大小關系，考查運算求解能力，屬于中等題.7．C【解析】

對分奇數、偶數進行討論，利用誘導公式化簡可得.【詳解】為偶數時，；為奇數時，，則的值構成的集合為.本題考查三角式的化簡，誘導公式，分類討論，屬于基本題.8．A【解析】

求出集合，然后進行并集的運算即可.【詳解】∵，，∴.故選：A.本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和運算，屬于基礎題.9．D【解析】

由可求，再求公差，再求解即可.【詳解】解：是等差數列，又，公差為，，故選：D考查等差數列的有關性質、運算求解能力和推理論證能力，是基礎題.10．A【解析】

作出不等式組表示的可行域，然后對四個選項一一分析可得結果.【詳解】作出可行域如圖所示，當時，，即的取值范圍為，所以為真命題；為真命題；為假命題.故選：A此題考查命題的真假判斷與應用，著重考查作圖能力，熟練作圖，正確分析是關鍵，屬于中檔題.11．D【解析】

由函數的圖象平移變換公式求出變換后的函數解析式，再利用誘導公式得到關于的方程，對賦值即可求解.【詳解】由題意知，函數的最小正周期為,即,由函數的圖象平移變換公式可得，將函數的圖象向右平移個周期后的解析式為，因為函數的圖象關于軸對稱，所以，即，所以當時，有最小正值為.故選：D本題考查函數的圖象平移變換公式和三角函數誘導公式及正余弦函數的性質；熟練掌握誘導公式和正余弦函數的性質是求解本題的關鍵；屬于中檔題、?？碱}型.12．A【解析】

根據題意，用表示出與，求出的值即可.【詳解】解：根據題意，設，則，又，，，故選：A.本題主要考查了平面向量基本定理的應用，關鍵是要找到一組合適的基底表示向量，是基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．1【解析】

先求f（1），再根據f（1）值所在區(qū)間求f（f（1））.【詳解】由題意，f（1）=log3（11–1）=1，故f（f（1））=f（1）=1×e1–1=1，故答案為：1．本題考查分段函數求值，考查對應性以及基本求解能力.14．-1【解析】

由向量垂直得向量的數量積為0，根據數量積的坐標運算可得結論．【詳解】由已知，∵，∴，．故答案為：－1．本題考查向量垂直的坐標運算．掌握向量垂直與數量積的關系是解題關鍵．15．【解析】

根據遞推公式，以及之間的關系，即可容易求得，再根據數列的單調性，求得其最大值，則參數的范圍可求.【詳解】當時，，解得.所以.因為，則，兩式相減，可得，即，則.兩式相減，可得.所以數列是首項為3，公差為2的等差數列，所以，則.令，則.當時，，數列單調遞減，而，，，故，即實數的取值范圍為.故答案為：.本題考查由遞推公式求數列的通項公式，涉及數列單調性的判斷，屬綜合困難題.16．②【解析】

根據新定義，結合實數的性質即可判斷①②③，由定義求得比小的有理數個數，即可確定④.【詳解】對于①，由定義可知，當為有理數時；當為無理數時，則值域為，所以①錯誤；對于②，因為有理數的相反數還是有理數，無理數的相反數還是無理數，所以滿足，所以②正確；對于③，因為，當為無理數時，可以是有理數，也可以是無理數，所以③錯誤；對于④，由定義可知，所以④錯誤；綜上可知，正確的為②.故答案為：②.本題考查了新定義函數的綜合應用，正確理解題意是解決此類問題的關鍵，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．Ⅰ詳見解析；Ⅱ①，②或．【解析】

Ⅰ可以通過已知證明出平面PAB，這樣就可以證明出；Ⅱ以點A為坐標原點，分別以AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，可以求出相應點的坐標，求出平面PBC的法向量為、平面PCD的法向量，利用空間向量的數量積，求出二面角的大?。磺蟪銎矫鍼BC的法向量，利用線面角的公式求出的值.【詳解】證明：Ⅰ在圖1中，，，為平行四邊形，，，，當沿AD折起時，，，即，，又，平面PAB，又平面PAB，．解：Ⅱ以點A為坐標原點，分別以AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，由于平面ABCD則0，，0，，1，，0，，1，1，，1，，0，，設平面PBC的法向量為y，，則，取，得0，，設平面PCD的法向量b，，則，取，得1，，設二面角的大小為，可知為鈍角，則，．二面角的大小為．設AM與面PBC所成角為，0，，1，，，，平面PBC的法向量0，，直線AM與平面PBC所成的角為，，解得或．【點睛】本題考查了利用線面垂直證明線線垂直，考查了利用向量數量積，求二面角的大小以及通過線面角公式求定比分點問題.18．（1）（2）【解析】

（1）將，利用三角恒等變換轉化為：，，再根據正弦函數的性質求解，（2）根據，得，又為的內角，得到，再根據，利用兩角和與差的余弦公式求解，【詳解】（1），，，，即的值域為；（2）由，得，又為的內角，所以，又因為在中，，所以，所以.本題主要考查三角恒等變換和三角函數的性質，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題，19．（1），；（2）或【解析】

（1）將曲線的極坐標方程和直線的參數方程化為直角坐標方程，聯立方程，即可求得曲線與的交點坐標；（2）由直線的普通方程為，故上任意一點，根據點到直線距離公式求得到直線的距離，根據三角函數的有界性，即可求得答案.【詳解】（1），.由，得，曲線的直角坐標方程為.當時，直線的普通方程為由解得或.從而與的交點坐標為，.（2）由題意知直線的普通方程為，的參數方程為（為參數）故上任意一點到的距離為則.當時，的最大值為所以；當時，的最大值為，所以.綜上所述，或解題關鍵是掌握極坐標和參數方程化為直角坐標方程的方法，和點到直線距離公式，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.20．（1）（2）詳見解析【解析】

（1）利用可得的遞推關系，從而可求其通項.（2）由為等比數列可得，從而可得的通項，利用錯位相減法可得的前項和，利用不等式的性質可證.【詳解】（1）由題意，得：（t為常數，且），當時，得，得.由，故，，故.（2）由，由為等比數列可知：，又，故，化簡得到，所以或（舍）.所以，，則.設的前n項和為.則，相減可得數列的通項與前項和的關系式，我們常利用這個關系式實現與之間的相互轉化.數列求和關鍵看通項的結構形式，如果通項是等差數列與等比數列的和，則用分組求和法；如果通項是等差數列與等比數列的乘積，則用錯位相減法；如果通項可以拆成一個數列連續(xù)兩項的差，那么用裂項相消法；如果通項的符號有規(guī)律的出現，則用并項求和法.21．（1）；（2）①可能是2件；②詳見解析【解析】

（1）由一件手工藝品質量為B級的情形，并結合相互獨立事件的概率公式，列式計算即可；（2）①先求得一件手工藝品質量為D級的概率為，設10件手工藝品中不能外銷的手工藝品可能是件，可知，分別令、、，可求出使得最大的整數，進而可求出10件手工藝品中不能外銷的手工藝品的最有可能件數；②分別求出一件手工藝品質量為A、B、C、D級